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运筹学2

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运筹学2

运筹学2

• 从当前极点进化到另一极点，既使目标函数值上升，有保 达点可行
– 进基变量：最小检验数规则 – 离基变量：最小比值规则
z 3 x1 2 x2 x x 1 3 s.t. ( I ) 2 x2 x4 2 x 3x x5 1 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
（1） 进基变量的相持及其突破
进基变量按最小检验数规则选定，如果出现两个或更多个 σj<0同时达到最小而相持时,则应： 从相持的检验数σk 所对应的变量 xk中,任选一个 作为进基量。
（2） 离基变量的相持及其突破——退化与循环
从相持的离基变量中，选择下标最大者作为离基 变量。
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
比 值
x1 x4 x5
6 8 6 18
4 2 min
3 0 2
x1 x4 x2
6
4
2 22
1 0 0 0
0 0 1 0
1 4/3 -2/3 5/3
0 1 0 0
0 -2/3 1/3 2/3
X*= (6, 2, 0, 4, 0)T,
z* = 22
第三节 ห้องสมุดไป่ตู้他法则
进基（最小检验数规则）： 在负检验数中选择最小的进基。 min{σ j︱σj<0 } = σk → xk 进基 min{ -3，-2 } = -3= σ1 → x1 进基 由① ② ③有 ≥ 0 → x1 ≤ 6/1 x3 = 6-x1 ≥0 x4 = 8 x5 = 18 -2x1 ≥ 0 → x1 ≤ 18/2
2.2.3 单纯形法的计算过程 1° 把LP问题化为标准形
max Z 3 x1 2 x 2

运筹学第2章

运筹学第2章
China University of Mining and Technology
-43-
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。 且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运 筹 学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解， 则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解， 则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题 无最优解，则另一问题也无最优解。 一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运 筹 学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题 的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。

运筹学第二章

运筹学第二章

例2.4：将以下线性规划问题转化为 标准形式
Max s.t. Z = 3 x1 - 5 x2 + 8 x3 2x1 + 2x2 - x3 = 15.7
4 x1
+ 3x3 = 8.9
x1 + x2 + x3 = 38 x2 , x3 ≥ 0
4.右端项有负值的问题：
在标准形式中，要求右端项 必须每一个分量非负。当某一个 右端项系数为负时，如 bi<0，则 把该等式约束两端同时乘以-1， 得到：
产品甲 设备A 3 产品乙 2 设备能力 （h） 65
设备B
设备C 利润（元/件）
2
0 1500
1
3 2500
40
75
问：如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max
z = 1500 x1 + 2500 x2
MinZ=∑xi
i=1
X6 +
x1 x1 + x2 x2 + x3 x3 + x4 x4 + x5 x5 + x6
≥ 8 ≥ 12
≥ 10
≥ 8 ≥ 6 ≥ 4
二、线性规划模型的一般形式
目标函数 s.t.
产品对资源的 单位消耗量
利润系数
Max(Min)z=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+……+a1nxn≥(=、≤)b1 a21x1+a22x2+……+a2nxn≥(=、≤)b2 …… am1x1+am2x2+……+amnxn≥(=、≤)bm

运筹学第2章：线性规划的对偶理论

运筹学第2章：线性规划的对偶理论

目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1

运筹学2-DEA算法

运筹学2-DEA算法

决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策 实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率 。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效 率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入 和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够 处理多投入、多产出的复杂系 统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银 行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率， 优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医 院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率 进行评价，发现医院在某些科室的资源 配置和医疗服务质量方面存在不足，提 出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效 率评价，发现部分科室在人力资源和设备 资源配置方面存在不足，影响了医疗服务 质量。医院针对这些问题，优化了资源配 置，加强了医护人员的培训和管理，提高 了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措 施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方 面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等 措施，提高了整体生产效率。

运筹学2对偶问题

运筹学2对偶问题

§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 11 of 19
在例2.1中，原问题的最优解X＝（24.24，0，46.96） 对偶问题的最优解Y＝（10.6，0.91，0，0） 最优值z=w=5712.12
分析：
1. y1=10.6说明在现有的资源限量的条件下，增加 一个单位第一种资源可以给企业带来10.6元的利润； 如果要出售该资源，其价格至少在成本价上加10.6元。
1
1

3
5 x
x
2
2

8 10
x 1 0 , x 2 0
【解】这是一个对称形式的线性规划，它的对偶问题求最
小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5 y1 7 y2 y3 4 y1 2 y2 3y3 3 yi 0, i 1,2,3
§2.1线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Ch2 Dual Problem
2019/9/19
Page 16 of 19
若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再 写对偶问题。也可直接按表2－1中的对应关系写出非对称 形式的对偶问题。
例如，原问题是求最小值，按表2-1有下列关系：
及食物价格如下表，试建立此人在满足健康需要的基础上
花费最少的数学模型。
含量 食物
营养成分
一
二
三 四 五 六 需要量
A
13 25 14 40 8 11 ≥80
B
24
9
30 25 12 15 ≥150

北邮阶段作业运筹学2

1.矩阵对策中，如果最优解要求一个局中人采取纯策略，则另一局中人也必须采取纯策略。

A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:B1.矩阵对策中，当局势达到平衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失。

A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A1.动态规划的基本方程是将一个多阶段决策问题转化为一系列具有递推关系的单阶段的决策问题。

A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [A;]标准答案:A1.一个动态规划问题若能用网络表达时,节点代表各阶段的状态值,各条弧代表了可行方案的选择。

A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:A1.在允许缺货发生短缺的存储模型中，订货批量的确定应使由于存储量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。

A.正确B.错误知识点: 阶段作业二学生答[B;] 标准答A;案: 案:1.二人有限零和对策中“有限”的含义是指 ( )。

A.甲方的策略有限，而乙方的策略无限B.乙方的策略有限，而甲方的策略无限C.甲、乙两方的策略都是有限的D.甲、乙两方的策略都是无限的知识点: 阶段作业二学生答案: [C;]标准答案:C1.下面关于网络图中的虚工序的描述，正确的是（）。

A.虚工序是技术上的等待，因而它不耗费人力、物力，只耗费时间B.虚工序与实工序一样，包括技术上的等待，因而它既耗费人力、物力，又耗费时间C.虚工序所描述的是一类实际上不存在的工序，只是为了作图的需要D.虚工序是表示前后两道工序之间的逻辑关系，因而它既不耗费人力、物力，又不耗费时间知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:D1.完全决定动态规划问题第k + 1阶段的状态x k+1的是（）。

A.阶段数kB.决策d kC.状态x kD.状态x k与决策d k知识点: 阶段作业二学生答案: [B;]标准答案:D;1.对动态规划问题的描述，下列错误的结论是（）。

运筹学第2章-线性规划的对偶理论

❖ 影子价格不是市场价格，而是在现有技术和管理条件下， 新增单位资源所能够创造的价值，是特定企业的一种边 际价格；不同企业或同一企业不同时期，同种资源的影 子价格可能不同；当市场价格高于影子价格，可以卖出； 相反，则应买进，以获取更大收益
Ma例x：Z （ 2第x一1 章3例x22）
2 x1 2 x2 12
当原问题和对偶问题都取得最优解时，这 一对线性规划对应的目标函数值是相等的：
Zmax=Wmin
二、原问题和对偶问题的关系
1、对称形式的对偶关系
（1）定义：若原问题是
MaxZ c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21
x1
a22
二、 手工进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优表格的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
5y3 3
，y
2
3
0
（用于生产第i种产 品的资源转让收益不 小于生产该种产品时 获得的利润）
对偶变量的经济意义可以解释为对工时及原材 料的单位定价 ；
若工厂自己不生产产品A、B和C，将现 有的工时及原材料转而接受外来加工时， 那么上述的价格系统能保证不亏本又最富 有竞争力（包工及原材料的总价格最低）
内，使得产品的总利润最大 。
MaxZ 2x1 3x 2
2x1 2x2 12
s.t.54xx12
16 15
x1, x 2 0
它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了 劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力：
MinW 12y1 16y2 15y3
2y1 4y2
2
s.t.2y1y，1y
y1, y2, , ym 0

运筹学2


例如
1 0 A= ⋮ 0
0 1 ⋮ 0
⋯ 0 a1m +1 ⋯ a1n ⋯ 0 a2 m + 1 ⋯ a2 n ⋯ 1 anm +1 ⋯ ann
此时，问题的约束条件可以改写成 此时，
x1 = b1 − a1m +1 xm +1 − ⋯ − a1n xn x = b −a 2 2 2 m + 1 xm + 1 − ⋯ − a2 n xn ⋮ xm = bm − amm +1 xm +1 − ⋯ − amn xn
n
zj
于是 那么
z = z0 + z = z0 +
如果某一个 σ j > 0 , 则引入变量 x j 为进基变量 目标函数值会上升， 起了判断作用. 目标函数值会上升，可见 σ j 起了判断作用 检验数. 因此我们称 σ j 为检验数 定理1 最优解判别定理 最优解判别定理) 定理 (最优解判别定理 为对应于基矩阵B的基 若 x(0) = (b1 ,⋯, bm ,0,⋯,0)T为对应于基矩阵 的基 ′ ′ 本可行解， 本可行解，且对于一切 j = m + 1,⋯ , n 有 σ j ≤ 0 (0) 为最优解. 则 x 为最优解
x1
从初始基可行解X 开始迭代， 从初始基可行解 (0)开始迭代，依次得到 X(1),X(2),X(3)，这相当于图中的目标函数平移 点开始， 时，从O点开始，首先碰到 ，然后碰到 ， 点开始 首先碰到A，然后碰到B， 最后达到C. 最后达到 .
第一章 线性规划及单纯形法
第四节 单纯形法的计算步骤
一 一般线性规划问题的单纯形法 1 初始基本可行解的确定 单纯形法需要从一个初始基本可行解开始运 为了确定初始基本可行解， 算，为了确定初始基本可行解，首先要找出 初始基本可行基. 初始基本可行基 (1) 如果线性规划等式约束中能直接观察到存 在m个线性无关的单位向量，经过重新排序 个线性无关的单位向量，经过重新排序, 就可以得到一个可行基 可行基. 就可以得到一个可行基

运筹学第2章单纯形法

==８ ==6
① ② ③
－２Ｘ４＋Ｘ５ ＝１２
得到新的基本可行解 X1 =(0,6,8,0,12)T
(1)、决定进基变量：1=--3, X1进基 (2)、决定离基变量：最小比值规则来确定主 元与离基变量.
则Xl为进基变量。 MIN(8/1,-,12/3)=12/3 此时可以确定X5为离基变量
Z
X(0) =(0, 0, 10, 15 )T
Z0 =0
Z-30X1-20X2 =0 选中X1从0↗，X2 =0 X3=10-(-X1 )0
X4=15-(-3X1 )0 求X1， X1→+ ,Z→+
2.2.3 单纯形法计算之例
2-3 人工变量法 (Artificial Variable)
+1/2X4
+X5 =42 =6
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4
X1 -2/3X4+1/3X5=4 令X4 =X5 =0 X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2,
Z值不 再增大了,X值是最优基本解
5
=1,
* T * 即:X =(4,6) ,Z =42
检验数
当目标方程中基变量系数全为0时，非基 变量的系数可以作为检验当前的基本可 行解是否最优的标志，称之为检验数。
(2)、判定解是否最优 Z-3X1-5X2 =0 当X1从0↗或X2从0↗ Z从0↗ ∴ X0 不是最优解
(3)、由一个基可行解→另一个基可行解。 ∵ -5<-3 选X2从0↗，X1 =0 X3 =8 X4 =12-2X2 0 X2 12/2
N
沿边界找新 的基本可行解
结束
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重庆科技学院学生实验报告
四，实验内容及步骤
仓库位置问题：韩德公司有五个生产番茄酱的工厂，每个工厂的生产能力如表1所示。

生产出来的番茄酱可储存在三个成品库中，从各工厂运送一吨产品到各成品库的费用如表2所示。

由于某些因素，公司销售看淡，现只有四家客户，其需求量如表3所示。

从各成品库运送成品到各客户的需求地的单位费用如表4所示。

每个工厂和每个成品库运营的年固定费用如表5所示。

公司想确定关闭那些工厂和仓库，会使总费用最低。

建模思路：
xi——0-1变量，第i厂是否开；yj——0-1变量，第j库是否开。

建立0-1规划与运输问题的混合模型
费用：工厂——成品库运输费用+开工费；成品库——客户运输费用+成品库运营费。

仓库位置问题模型：
设xi=1 ——第i工厂开工0 ——第i工厂不开工
yj=1 ——第j库开工0 ——第j库不开工
xij——从第i工厂运至第j库数量；
yjk——从第j库运至第k客户数量
1）从第i工厂→ j库运输模型
z1=∑∑cijxij + ∑uixi + ∑vjyj
（cij—从i工厂至j库运费；ui—i厂开工费用；vj—j库开工费用）∑xij≤aixi （ai —i工厂生产能力）
∑xij≤ 500 yj
xij≥0
2）满足总需求限制
3）由库→客户运送模型
z2=∑∑kjkyjk （kjk—从j库至k客户运费；）
∑yjk= ∑xij （j=1,2,3；j库实际库存量）
∑yjk= bk （k=1,2,3,4；bk — k客户需求量)
yjk≥0
4）总目标函数。