导数第一课(极限与变化率)

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导数出手，求切线不再愁由导数的几何意义可知，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x 就是曲线()y f x 在点00(())P x f x ，处的切线的斜率，此时切线方程为000()()y y f x x x '-=-．利用上述结论，可以速求曲线的各种类型切线的方程,下面举例说明.类型一：已知切点,求曲线的切线方程例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为解析:由2()36f x x x '=-，则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+.应填32y x =-+.点评:此类题型较为简单,只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．类型二：已知斜率,求曲线的切线方程例2若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，求l 的方程.解析：∵直线l 与直线480x y +-=垂直,∴直线l 的斜率4k .设00()P x y ，为切点,则切点处的导数值为03044x x y x |='==.∴01x =．于是得到切点(1)P ，1.∴切线l 的方程为14(1),430y x x y 即.点评：此类题型可利用斜率0(k f x '=)求出切点00()P x y ，,再用点斜式方程加以解决． 类型三:已知过曲线上一点，求切线方程例3 求过曲线3235y x x =+-上的点M (11)-，的切线方程．解析：由3235y x x =+-,知236y x x '=+.设切点为00()P x y ，，则切线的斜率为020036x x y x x |='=+．∴曲线在点P 处的切线方程为20000(36)()y y x x x x -=+-．32200000(35)(36)()y x x x x x x -+-=+-．又切线过点(11)-，,于是有322000001(35)(36)(1)x x x x x --+-=+-．整理得3220000320,(1)(2)0x x x x 即-+=-+=。

函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。

本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。

一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。

形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。

导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。

二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。

2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。

3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。

常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。

三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。

当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。

函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。

平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。

瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。

四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。

以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。

在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。

导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。

五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。

导数与函数的变化率引言：数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。

其中，导数与函数的变化率是数学中一个重要的概念。

导数是函数的一种特殊性质，它描述了函数在某一点的变化率。

本文将深入探讨导数与函数的变化率的概念、性质以及应用。

一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，函数的导数可以通过极限的概念来定义。

具体而言，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处的导数存在，那么该导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量x的增量。

二、导数的性质导数具有一系列的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的变化率非常重要。

1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其中c为常数，其导数f'(x)=0。

这是因为常数函数在任意一点的斜率都为0，即没有变化。

2. 幂函数的导数幂函数y=x^n的导数可以通过幂函数的性质来求解。

具体而言，对于幂函数y=x^n，其中n为正整数，其导数f'(x)=nx^(n-1)。

3. 和差法则对于两个函数的和或差，其导数等于各个函数的导数的和或差。

即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

4. 乘法法则对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身，再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。

即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

5. 商法则对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母本身，再减去分子本身乘以分母的导数，最后除以分母的平方。

即(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。

函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。

导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。

本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。

1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。

对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。

导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。

若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。

2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。

以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。

例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。

2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。

通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。

2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。

对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。

第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。