第八章-离散控制系统
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第八章 离散控制系统
8．1 引言
自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。数字信号的取值只能是有限个离散的数值。如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。偏差信号)(te是模拟信号，经过A/D变换后转换成离散的数字信号)(*te进入计算机。计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。计算机的输出信号)(*tu为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号)(tuh。)(tuh输入到控制对象，是其按预定方式工作。将图8－1中的A/D转换器由一个采样开关代替，D/A转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。
8．2 采样系统
在离散控制系统中，数字计算机只能处理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。信号经过A/D转换，变成离散的数字信号输入到计算机。而计算机输出的离散的数字信号经过D/A转换，变成模拟信号输入到其余元件。在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个A/D ()rt )(te *()et *()ut ()hut
计算机 D/A 控制
对象 ()ct
测量
元件
()rt )(te *()et 数字
控制器 控制
对象 ()ct
测量
元件 )(te *()et
保持器 ()hut 图8－1 计算机控制系统
图8－2 离散控制系统 T T 数字量之间的时间间隔为T，称为采样时间，T/1为采样频率，单位为Hz。所以在图8－2中，偏差信号
0*)()()(kkTtkTete （8－1）
)(*te为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。若数字信号的位数为N，则其最小单位为
Nq21 （8－2）
q称为量化单位。可以看出量化会带来一定的误差，q越小，量化误差越小。在分析离散系统的特性时，通常忽略量化误差。图8－3是模拟信号经过采样后变换成离散的数字信号的过程，经过采样后，离散信号只在kT时刻上有意义，而在其余时刻无意义。
计算机的输出信号通过D/A变换，变成模拟信号。D/A变换首先将计算机中的数字信号变成模拟电压值，然后在每个采样间隔内保持输出信号的值。D/A转换通常采用零阶保持器，它将采样时刻kT时的电压或电流值保持到下一个采样时刻Tk)1(到来之前。若经零阶保持器保持之后，D/A转换器输出的模拟信号记为)(txh，则有
)()(kTxKTxhT0 （8－3）
图8－4为零阶保持器的输出特性，可以看出每个采样时刻的离散信号经过零阶保持器都保持到下一个采样时刻到来之前，保持时间为一个采样周期，)(txh为阶梯信号。
从零阶保持器的特性可以得出，其单位冲激响应为幅值为1，宽度为T的矩形脉冲，表示为
)(1)(1)(Ttttgh （8－4）
对)(tgh取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为 ()et *()et
t t ()et *()et
T 2T 0 kT ()()ekTtkT T
图8－3 采样过程
()hxt *()xt
T 0()Hs *()xt
()hxt
0 2 3 4 5 6 7 8TTTTTTTT t
图8－4 零阶保持器输出特性 sesessHTsTs11)(0 （8－5）
由采样定理可知，若信号的频率分量中最大频率为，则采样频率2/1T，才能保证信号不失真的进行A/D和D/A转换。在控制系统中，通常要求采样频率为系统闭环带宽的20倍或20倍以上。
8．3 z变换
8．3．1 z变换
在分析线性连续系统时，使用了拉普拉斯变换，对离散信号
0*)()()(kkTtkTxtx
进行拉氏变换，得到
0*)()(kkTsekTxsX （8－6）
令sTez，得到
0)()(kkzkTxzX （8－7）
)(zX称为离散时间函数——脉冲序列)(*tx的z变换，记为
*()()()Xzxtxt （8－8）
可以看出，z变换是的离散信号进行拉氏变换的一种表示方法。常用的z变换方法有级数求和法和部分分式法。
1. 级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号)(te按周期T进行采样，将采样点处的值代入式（8－7），可得
nznTezTezTeezE)()2()()0()(21
再求出上式的闭合形式，即可求得)(zE。
例8-1 对连续时间函数
000ttatet)(
按周期1T进行采样，可得 000nnanen)(
试求)(zE。
解
按(8-7)z变换的定义
31211010)()(1)()()(azazazazznTezEnnnn
若az，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为
azazzzE)(
2. 部分分式法（查表法）
已知连续信号)(te的拉氏变换)(sE，将)(sE展开成部分分式之和
)()()()(21sEsEsEsEn
且每一个部分分式),2,1()(nisEi都是z变换表中所对应的标准函数，其z变换即可查表得出
)()()()(21zEzEzEzEn
例8-2 已知连续函数的拉氏变换为
)1(2)(2ssssE
试求相应的z变换)(zE。
解
将)(sE展成部分分式：
11122ssssE)(
对上式逐项查z变换表，可得
)()1()]12(1[)12(1)1(2)(222TTTTezzzTezeTezzzzzTzzE
常用函数的z变换表见附录A表A-2。由表可见，这些函数的z变换都是z的有理分式。
8．3．2 z变换的基本定理
应用z变换的基本定理，可以使z变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种z变换定理。
1. 线性定理
若)]([)(teZzE11,)]([)(22teZzE,a,b为常数，则
)()()]()([zbEzaEtbetaeZ2121 (8－9)
上式表明，z变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。
2. 实数位移定理
实数位移是指整个采样序列)(nTe在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移)(kTnTe为超前，向右平移)(kTnTe为滞后。实数位移定理表示如下：
如果函数)(te是可z变换的，其z变换为)(zE，则有滞后定理
)()]([zEzkTtEZk (8－10)
以及超前定理
])()([)]([10knnkznTezEzkTteZ （8－11）
其中k为正整数。
显然可见，算子z有明确的物理意义：kz代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后k个采样周期；同理，kz代表超前环节，它把采样信号超前k个采样周期。
实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为z域的代数方程。
例8-3 试用实数位移定理计算滞后函数3)5(Tt的z变换。
解
由式(8－10)
4523423535353)1()14()1(6)14(6]!3[!3][])5[(zzzzTzzzTztZztZzTtZ
3. 复数位移定理
如果函数)(te是可z变换的，其z变换为)(zE，则有
)()]([bTbtzaEteaZ (8－12)
例8-4 试用复数位移定理计算函数aTet2的z变换。
解
令2)(tte，查表可得
32221122)()(][][)(zzzTtZtZzE
根据复数位移定理(8－12)，有
3232211)()()()()(][atatatatatatatatezezzeTzezezeTzeEetZ 4. 终值定理
如果信号e(t)的z变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(n＝o，1，2，…)，且极限
)(limnTen存在，则信号序列的终值
)()1(lim)(lim1zEznTezn (8－13)
例8-5 设z变换函数为
)57)(1()(23zzzzzE
试利用终值定理确定)(nTe的终值。
解
由终值定理(8－13)得
131)57(lim)57)(1()1(lim)()1(lim)(2312311zzzzzzzzzEzezzz
5. 卷积定理
设)(nTx和)(nTy (,2,1,0n)，为两个采样信号序列，其离散卷积定义为
0])[()()()(kTknykTxnTynTx (8－14)
则卷积定理可描述为：在时域中，若
()()*()gnTxnTynT (8－15)
则在z域中必有
)()()(zYzXzG (8－16)
在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与z域的桥梁。利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。
应当注意，z变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此z变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其z变换就一样。
8．3．3 z反变换
已知z变换表达式)(zE，求相应离散序列)(nTe的过程, 称为z反变换，记为
)]([)(zEZnTe1 (8－17)
当0n时，0)(nTe，信号序列)(nTe是单边的，对单边序列常用的z反变换法有部分分式法，幂级数法和反演积分法。
