人教版八年级下册数学菱形基础知识点及同步练习、含答案

学科：数学

教学内容：菱形

【基础知识精讲】

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

定理1：四边都相等的四边形是菱形．

定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【重点难点解析】

1．菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质；

(2)菱形的四条边都相等；

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

2 (4)菱形是轴对称图形．

2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

A．重点、难点提示

1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）

2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；

3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；

4．体会特殊与一般的关系．

B．考点指要

菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：

①菱形的四条边都相等；

②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）

③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）

3 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）

菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形．

【难题巧解点拨】

例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

（这是略证，并不是完整的证明过程）

4 ∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠CEA=∠AGE，

∴AE=AG，

∴EF∥AG，且EF=AG，

∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵AE=EF，

∴平行四边形AEFG是菱形．

例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．

已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．

思路分析

利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．

5 解：在菱形ABCD中，

∵AB=BC=CD=DA，

又AB+BC+CD+DA=20cm，

∴AB=BC=CD=DA=5cm，

又∵AC=5cm，

∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，

∴△ABC和△DAC都是等边三角形，

（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．

例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．

证法一：∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB （两直线平行，内错角相等）

又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE．（等角对等边）

同理，AB=AF，BE=EF，

∴AB=BE=EF=AF，

6 ∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）

证法二：∵AF∥BE，

∴∠FAE=∠AEB，

又∵∠BAE=∠FAE，

∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．

又∵∠FBA=∠FBE，

∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）

同理，BO=OF，

∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）

例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．

思路分析

本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

解法一：如图4-27，

∠B：∠A=1：2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

7

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°，

过A作AE⊥BC于E，

∴∠BAE=30°，

1AB21BE，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

312BEABAE2222，（勾股定理）

32AEBCSABCD菱形．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）

解法二：如图4-28，

∠B∶∠A=1∶2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，

∴∠B=60°，∠A=120°，

连结AC、BD交于点O，

30B21ABD，AC⊥BD．

（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）

8

在Rt△ABO中，1AB21AO，

312AOABBO2222，

∴AC=2，32BD，

3232221BDAC21SABCD菱形．

答：菱形的面积为32．

【典型热点考题】

例1 如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．

点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．

解：连接AC． ∵ 四边形ABCD为菱形，

∴ ∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，

∴ △ABC与△CDA为等边三角形．

∴ AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，

∵ ∠EAF=60°， ∴ ∠BAE=∠CAF．

9 ∴ AE=AF．

又∵ ∠EAF=60°，

∴ △EAF为等边三角形．

∴ ∠AEF=60°，

∵ ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

∴ 60°+18°=60°+∠CEF，

∴ ∠CEF=18°．

例2 已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．

点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．

证明：∵ ∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，

∴ AE=FE，∠AEC=∠FEC．

∵ EF⊥BC，AD⊥BC， ∴ EF∥AD．

∴ ∠FEC=∠AGE， ∴ ∠AEC=∠AGE

10 ∴ AE=AG， ∴

∴ 四边形AEFG为平行四边形．

又∵ AE=AG． ∴ 四边形AEFG为菱形．

点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．

例3 已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA

证明：∵ 四边形ABCD为菱形，

∴ ∠ABC=2∠ABD， AD∥BC，

∴ ∠DAE=∠AEB，

∵ AB=AE， ∴ ∠ABC=∠AEB．

∴ ∠DAE=2∠ABD．

∵ ∠DAE=2∠BAE，

∴ ∠ABD=∠BAE， ∴ OA=OB．

∵ ∠BOE=∠ABD+∠BAE，

∴ ∠BOE=2∠BAE．

∴ ∠BEA=∠BOE， ∴ OB=BE，

∴ AO=BE．

11 说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．

例4 已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．

点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．

解：∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，

∴ ∠1+∠2=90°，又∵ ∠1：∠2=4：5，

∴ ∠1=40°，∠2=50°，

∴ ∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，

故 ∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．

【同步达纲练习一】

一、选择题

1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别