2008年A题数学建模论文

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 吉林师范大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 宋关华

2. 李婷婷

3. 卢时伟

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 滕飞

日期： 2008 年 9 月 22 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

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阅

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评

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备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

1 数码相机定位

摘要

数码相机在计算机视觉中的应用逐渐普及和深入，在应用中数码相机的标定相当

重要.本文根据数码相机的成像原理，由摄影几何学中的相关知识，提出了一种标定方法.将数码相机的成像过程转化为图像在四个坐标系的变换，实现了三个变换步骤，分别将世界坐标系中的信息转换到摄像机坐标系，再由摄像机坐标系转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系.

本文通过一台相机拍摄的二维图像，实现空间坐标系与像平面坐标的透视变换，设计了一种方法检验了建立的模型算法，模型具有较好的稳定性.同时完成了对双目标定的重构，给出了两部固定相机相对位置的数学模型和方法.

1、对问题中给定的标定图像及由相机拍摄得到的图像，引入四个坐标系即世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系、像素坐标系，由坐标系的转换关系得到确定像平面坐标的数学模型.通过对内部参数矩阵及外部参数矩阵的确定实现了以圆为标定图像时，圆心坐标的转换，得到了圆心在像坐标系的坐标，建立确定靶标上圆的圆心在像平面坐标的数学模型.

2、由给定的像平面建立坐标系，确定各圆心的坐标，根据（1）的模型利用Matlab编 程 解得投影矩阵M（即内外参数），再根据坐标于内外参数M的关系得到靶标上圆的圆心在像平面的坐标。算的结果如下表:

表（一）

世界坐标(YX,）毫米

（12,112）

（42,112）

（112,112）

（12,12）

(112,12)

像素坐标（vu,）像素 （326.5290,

191.3318） （419.8290,

195.1718） （637.5290,

204.1318） （279.9890,

496.8318） (590.9890,

509.9318)

图像坐标（yx,）毫米 （-49.0664，

50.9704） （-24.3839，

49.9546） （33.2087，

47.5842） （-61.3786，

-29.8497） （20.8966，

-33.3153）

3、根据射影几何中直线与点结合性经过摄影变换的保持不变的性质可知两个共面的圆具有公共切线的性质经过透视投影之后仍成立，利用几何板测出像平面上靶标圆心坐标，即可检验模型的稳定性.

4、进一步研究两部相机成像从而来确定实物的位置，即双目定位，给出一种简单的相机空间三维重建，简单地可以让两部相机公面且光轴互相平行，由中心摄影比例关系可知两部相机相对位置关系.最后，将简化模型推广建立了一般模型，实现了摄像机标定与三维重构.

本文理论上提出了一种对相机直接标定的数学模型于算法，此算法简化了计算机过程，避免了对多余参数的计算.

关键词 双目定位 三维重建 射影几何 摄像机标定

2 一、问题重述与分析

数码相机在现实生活中有广泛的应用，如通过数码相机可以确定物体表面某些点的位置的特征，来给物体定位.常用的定位方法是双目定位,它的主要原理是对物体上一个特征点用两部固定在不同位置的相机摄得物体的像,分别获得该点在两部相机像平面上的坐标.只要知道两部相机精确的相对位置,就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标,即确定了特征点的位置.而对于双目定位的关键在于两部相机的位置,这一过程为系统标定.标定的过程由于无法直接得到没有几何尺寸的“点”，利用平面画圆的标靶方法来把对应圆与像的圆心找到，标定实现.

（1）、建立数学模型和算法确定靶标上的圆心在该相机像平面的像坐标,以该相机的光心为原点建立坐标系,我们计算各个坐标系之间的转化,从而得到此坐标.

（2）、根据所给的图把靶标上的圆丰富的圆心在像平面上的图像坐标,通过坐标之间的转化求出相机的内外参数,利用计算机编程求得圆心的像坐标.

（3）、根据摄影几何中直线和点的结合性经过摄影变换仍然保持不变的性质,利用切线和切点来求出像点坐标进行检验.

（4）、确定两部固定相机的相对位置.

二、条件假设

1 、假设光轴与相机的成像平面垂直,两台相机的x轴重合,y轴相互平行.将其中一部相机沿着其x轴方向平移一段距离b（称为基线）后与令一部相机重合.

2 、在问题四中假设两台相机的焦距及其他内部参数均相等.

三、符号说明

CCD-------------------英文Charge Coupled Device 即电荷耦合器件的缩写，它是一种特殊半导体器件

（wwwZYX,,）---------世界坐标系，其中wX ，wY ，wZ 分别为坐标系的坐标轴

cccZYX,, ---------摄像机坐标系，其中cX， cY ，cZ分别为坐标系的坐标轴

yx,----------------图像坐标系，其中x，y分别为坐标轴

vu,----------------像素坐标系，其中u ，v 分别为坐标轴

O -----------------摄像机光心，即摄像机坐标系的原点

1o------------------坐标原点在CCD图像平面的中心

U-------------------像素坐标系坐标原点在CCD图像平面左上角U轴

V ------------------像素坐标系坐标原点在CCD图像平面左上角V轴

NM--------------储存图像的M行N列数组

00,vu -------------1O在u，v坐标系中的坐标

dx ----------------每一个像素在x轴方向上的物理尺寸

3 dy-----------------每一个像素在y轴方向上的物理尺寸

1OO ----------------摄相机焦距

R -----------------旋转矩阵

t ------------------三维平移向量

P-------------------假设空间中的某一点

p ----------------任何点P在图像的投影位置为p

OP ---------------光心O与P点的连线

Tvu,----------- 空间某点P的图像点P的位置

TwiwiwiZYX1,,,---为空间第i个点的坐标

Tiivu1,, ------第i点的图像坐标

ijm-------------投影矩阵M的第i行j列元素

K---------------为112n矩阵

U --------------为n2维向量

3,2,1imTi-----M矩阵的第i行的前三个元素组成的行向量

xt，zytt,---------分别为平移向量t的三个分量

L ---------------------一条外公切线

1C 、2C-------------圆

21EE、 -------------椭圆，圆1C 、2C的像

~m-------------------Twvu,,的齐次坐标

~X--------------------TWZYX,,,的齐次坐标

21,pp -------------21,PP表示这条外公切线与圆1C、圆2C的切点

 -------------------非零常数因子

H ------------------一个非奇异的33矩阵

d--------------------空间平面上这两点之间的距离

四、模型的建立与求解

问题一：

为了定量描述光学成像过程,在线性模型摄像机标定中我们不妨引入四个坐标系：世界坐标系、摄像机坐标系、图像坐标系、像素坐标系.

（1）世界坐标系-----根据自然环境所选用的坐标系，坐标值用（wwwZYX,,）表

4 示.

（2）摄像机坐标系--以摄像机的光心O点为坐标原点,cX轴、cY轴分别平行于CCD平面的垂直边,摄像机的光轴为cZ轴,坐标值用cccZYX,,表示.

（3）图像坐标系----坐标原点在CCD图像平面的中心1o,X轴、Y轴分别为平行于CCD平面两条垂直边,坐标值用yx,表示.

（4）像素坐标系----坐标原点在CCD图像平面左上角U轴、V轴分别为平行于图像坐标系的X轴、Y轴,坐标值用vu,表示,且为离散的整数值.

在解决此问题时,我们将图像坐标系与像素坐标系建立在同一个面上.在计算机内N

可以用NM的数组来储存图像,M行N列图像中的每一个元素（成为像素）的数值是该图像点的亮度,在下图1，定义直角坐标系vu,,vu,是以像素为单位的图像坐标系的坐标即：vu,分别是该像素在数组中的列数与行数,因此并没有用物理单位表示出该像素在图像中的位置,需要在建立以物理单位（例如毫米）表示的图像坐标系.该坐标系以图像内某点1O为原点.x轴与y轴分别与u轴、v轴平行.如下图1所示,

图1 图像坐标系

图像坐标系vu,表示以像素为单位的图像坐标系的坐标,yx,表示以毫米为单位的图像坐标,这两个坐标采用的单位坐标不同但都是图像坐标系,在x，y坐标系中,原点1O是摄像机光轴与坐标系平面的交点,这一点一般位于图像中心处,由于摄像镜头的畸变也许会是这个点稍微与理想值有点偏差,若1O在u,v坐标系中的坐标为00,vu假设每一个像素在x,y轴方向上的物理尺寸为dx,dy,这样可以通过下面的式子来联系两个坐标系