2008年数学建模b题
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高等教育学费标准探讨
摘要：
高等教育是一个国家综合国力提升的根本，而其合理的教育收费对教育的良好推行有着很深的影响。如何从国家、社会、家庭、个人等各方面效益进行权衡来制定一个合理的收费标准是一个很值得探讨的问题。
首先，用模糊数学的方法建立模糊数学模型，通过对所收集到的大量数据进行分析研究，将学费分成五个学费段，并对影响学费的几个主要因素--培养成本、政府经费、家庭收入、学校财力和社会捐赠进行分析。利用模糊矩阵与权重向量相乘得到待解决问题的评价向量，并对得到的评价向量进行分析，从而利用该模型得到一个合适收费段作为最佳学费标准；其次，使用基于多智能体系统（Multi—Agent
System,MAS）建立高校学费定价模型，通过MAS仿真得到高等教育对社会的经济收益和公平性反映的社会收益，通过使用已有方法实现该仿真系统进行仿真实验，并得到收费定价最优值与经济效率、教育公平的关系，在社会收益最大时的学费即为最优学费。建立的模糊模型是从教育的多种主要成本方面考虑教育收费；而建立的高校学费定价模型则是从社会包含经济效率和教育公平两方面的社会利益出发，来弥补模糊模型带来的不足!从而保证结果更加合理、全面和有效。
本文从对部属重点高校与普通高校的培养成本、政府经费、家庭收入等五个方面的数据分析，运用我们所建立的数学模型得出结果，对于中等收入家庭来说我们得出部属重点高校学费为7000——7999元，普通高校的学费为6000——6999元是合理的。该结果与当前社会现状相吻合。（我们所论的学费包括住宿费在内）但是对于农村及低收入家庭来说，这个费用偏高，超出了他们的支付能力。为解决困难家庭孩子的大学费用问题，对政策制定部门提出了一些相关的建议。
运用此模型能较广泛方便的得到学校的合理收费标准，适可推广使用！
关键词：模糊模型 高校学费定价模型 多智能体系统 家庭收入
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一、问题重述
随着我国高校招生规模的不断扩大,我国高等教育已提前进入大众化教育阶段,大学收费也创历史新高，这直接触动了广大人民群众的切身利益,引起了全社会的高度关注,成为当前社会的热点问题之一。
高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。
学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。
我们的目标就是根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。对数据进行收集和分析后整理编写出一篇观点鲜明、分析有据、结论明确的数学建模论文。
最后，根据建模分析的结果，给有关部门写一份报告，提出具体建议。
二、模型的假设与符号约定
2.1模型的假设
1) 假设学校的收费只受培养成本、学校财力、社会捐赠、国家扶持、家庭收入五个因素的影响，忽略其他因素的关系。
2) 忽略社会经济的动荡影响。
3) 在高校学费定价模型中，学校和社会的投资都归于政府投资。
2.2符号的约定
A1 : 培养成本
A2 : 政府经费
A3 : 家庭收入
A4 : 学校财力
A5 : 社会捐赠
U : 模糊矩阵
C : 权重向量
Ci : 第i个影响因素的权重
D : 评价向量
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dj ： 评价向量中的第j项
G : 社会的最大效益
E ： 为经济效率量度
F ： 公平性度量
w1 ： E效益值的权重系数
w2 ： F效益值的权重系数
N1 ： 能支付起学费的学生数
N2 ： 为总招收人数
N3 ： 为总招收人数中具有最强学习能力的人
三、模型的建立
3.1 概述
我国现行的大学学费标准是依据高校年日常运行费用生均值的25%计算出来的。同时国家，社会、学校对大学生都设有各项奖学金及资助措施！国家社会不可能全额的去承担大学生高等教育的费用，个人及家庭也无法去全部承受，其间就存在一个最合理的值，能让国家和社会在为大学生付费后能较大限度的获得收益，并且在个人及家庭能够承受的学费的情况下让个人及家庭也能获得较大的收益。则找到其中的各项制约因素，并建立他们之间的关系成为解决问题的重点。我们认为
① 个人主观因素对整个过程的影响有：培养费用，政府经费，家庭收入、学校财力，社会捐赠
② 从社会包含经济效率和教育公平两方面的社会利益出发去验证能更完善模型
3.2 模糊模型的建立
3.2.1模型中对象确定
对于求得大学学费标准的模型有很多种。如模糊模型，微分方程模型，MAS仿真模型，层次分析模型也能对即定的收费方案进行合理的选择。各种方法各有自身的优点，模型的选择可根据所拥有的数据特点、预测范围特点进行预测。由于学费是一个相对不需要太精准的数值，所以我们可以把学费列成好多段， 如 ：
段B1 : 学费为4000元——4999元
段B2 : 学费为5000元——5999元
段B3 : 学费为6000元——6999元
段B4 : 学费为7000元——7999元
段B5 : 学费为8000元——8999元
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3.2.2 模型中性质的确定
由于能够找到影响学费选择的因素，有足够的数据来确定因素与学费段对应的权值，所以我们能用模糊模型对各个学费段做出合理的评价，从而得出最佳的收费标准。从中国的具体国情考虑，应该收多少学费才是相对最合适的会受到很多因素的影响，其主要因素有政府经费、培养费用、家庭收入、学校财力及社会捐赠等。
在此，我们的模糊模型就取定这五项作为大学收费合理性的评价指标。分别把培养费用、政府经费、家庭收入、学校财力和社会捐赠用符号记为A1，A2，A3，A4，A5。
而对应的学费段我们有在“模型建立” 部分提出的五个学费段即B1，B2，B3，B4，B5。
3.2.3 确立模糊矩阵
如果记评价指标 Ai在某一学费段Bj上的程度为 uij，则称以下矩阵为研究多个评价指标 Ai和多个学费段Bj间关系的模糊矩阵：
U = ( iju )m*n
其中，m为对象的个数，n为性质的种数。
进一步，如果获得的权重向量C为：
C = ( ci )1xm
表示各个评价指标在待选择方案中的不同的重要性，其中它的元素（又称为权重系数）满足：
ci ≥0
而且，由于我们取到了影响学费的最主要的一些因素，则有：
即所有的权重系数和为1
表一 权重比例
权重系数 B1 B2 B3 B4 B5
c1 A1 u11 u12 u13 u14 u15
c2 A2 u21 u22 u23 u24 u25
c3 A3 u31 u32 u33 u34 u35
c4 A4 u41 u42 u43 u44 u45
c5 A5 u51 u52 u53 u54 u55 11miic
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表中uij表示影响因素Ai对学费段Bj的程度，uij的具体数值最好是从一次广泛的市场调研与专家的审议后得到。（市场调研方面是考虑到单个家庭经济状况，而专家审议则是考虑到了社会的效益。）在建模过程中，由于时间原因，在针对建模过程中要定量分析的学校专业的学费，我们所取定的uij的值则是由我们分析往年的各项数据得到的。
现在我们可以定义待选择方案的评价向量D=(dj)1xn，它满足：
D=C*U （1）
那么，评价向量的每一项的计算公式为：
(j=1,2,3…,n) （2）
这一过程往往称为模糊线性加权变换。
最后得出di的值，然后比较各大小，得出其中di值最大的那个对应的第i个方案，即为最后结果。
3.3基于MAS高校学费定价模型的建立
3.3.1 模型前期分析
前面通过模糊模型能够得出最优的学费方案。由于模糊模型中个人主观因素对整个过程的影响较大，从而有必要通过其它模型来对结果进行验证。所以我们从社会包含经济效率和教育公平两方面的社会利益出发，基于多智能体系统（Multi—Agent System,MAS）建立高校学费定价模型对高校收费进行研究。该模型以学费对学生接受高等教育的影响为微观准则，以此为基础通过MAS仿真得到高等教育对社会的以经济收益和公平性反映的社会收益。最后，实现了该仿真系统，进行了仿真实验，并得到收费定价最优值与经济效率、教育公平的关系。
从社会整体的角度考虑，高等教育的投资收益率较高，有利于社会整体的发展。从实质来讲投资的来源总的来分有居民储蓄和政府投资。（为使问题直观，把学校和社会的投资都归于政府投资）
一方面，由于居民储蓄投资会使得一部分成绩好的学生国为没钱交学费而失去了接受高等教育的机会，产生不公平性；另一方面，由于居民储蓄的很大一部分并不用于再投资生产。
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