第35讲 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题

第35讲 一元二次不等式（组）与简单的线性规划问题

考试大纲

1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

——知识聚焦 ——

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式 表示区域

Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括_______

Ax＋By＋C≥0 包括________

不等式组 各个不等式所表示的平面区域的________

2．线性规划中的基本概念

名称 意义

约束条件 由变量x，y组成的________

线性约束条件 由关于x，y的________不等式组成的不等式组

目标函数 关于x，y的函数________，如z＝2x＋3y等

线性目标函数 关于x，y的________解析式

可行解 满足线性约束条件的________

可行域 由所有可行解组成的________

最优解 使目标函数取得________或________的可行解

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的________或________的问题

—— 正本清源 ——

► 链接教材

1．[教材改编] 不等式x－2y≥0表示的平面区域是________．

2．[教材改编] 在平面直角坐标系中，不等式组x＋y－2≤0，x－y＋2≥0，y≥0表示的平面区域的面积是________．

3．[教材改编] 已知变量x，y满足约束条件y≤2，x＋y≥1，x－y≤1，则z＝3x＋y的最大值为________．

4．[教材改编] 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数)．

► 易错易混

5．不等式表示平面区域的易错点：不等号与平面区域的关系．

(1)不等式－x＋2y－3＞0位于直线x－2y＋3＝0的________方．

(2)若用阴影表示不等式组－x＋y≤0，3x－y≤0所形成的平面区域，则该域中的夹角的大小为________． ► 通性通法

6．确定线性目标函数最优解的方法：转化为求直线截距的最值．

(1)若变量x，y满足约束条件y≤2x，x＋y≤1，y≥－1，则x＋2y的最大值是________．

(2)若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则z＝x－y的最小值是________．

► 探究点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域

例1 在平面直角坐标系中，满足不等式x2－y2≤0的点(x，y)的集合所对应的平面区域是(

)

[思路点拨] 把不等式x2－y2≤0转化为两个不等式组x－y≤0，x＋y≥0或x－y≥0，x＋y≤0，然后求解．

[总结反思] 在确定二元一次不等式表示的平面区域时，可用特殊值法．在直线的某一侧任取一点(x0，y0)(若原点不在直线上，则取点(0，0)最简便)，把它的坐标代入Ax＋By＋C，根据其符号即可判断二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)表示直线哪一侧．

【配例1使用】不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(

)

变式题 若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形区域，则a的取值范围是( )

A．a<5

B．a≥7

C．5≤a<7

D．a<5或a≥7

► 探究点二 求目标函数的最值 ► 考向一 求线性目标函数的最值

例2 若变量x，y满足约束条件y≤1，x＋y≥0，x－y－2≤0，则z＝x－2y的最大值是( )

A．4 B．3

C．2 D．1

[总结反思] 求目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

【配例2使用】设双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝2围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z＝12x－y的最小值为( )

A．－2 B．－3 22 C．0 D．－5 22

变式题 已知－1

► 考向二 求非线性目标函数的最值

例3 [2014·衡阳六校联考] 已知实数x，y满足2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，则x2＋y2的最小值是( )

A．2 B．5

C．2 55

D．45

[总结反思] 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有：

①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；

②yx表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．

【配例3使用】若x，y满足0≤x≤2，0≤y≤2，x－y≥1，则(x－1)2＋(y－1)2的取值范围是________．

变式题 [2014·咸阳一模] 设实数x，y满足x－y－2≤0，x＋2y－4≥0，2y－3≤0，则yx的最大值是________．

► 考向三 求线性规划中的参数 例4 [2014·临沂一模] 实数x，y满足x≥1，y≤a（a>1），x－y≤0，若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为( )

A．4 B．3 C．2 D．32

[总结反思] 在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值，当求解目标中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．

变式题 已知实数x，y满足y≥0，y－x＋1≤0，y－2x＋4≥0，若z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为________．

► 探究点三 线性规划的实际应用

例5 [2014·黄冈模拟] 某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品的搭载实验，计划搭载A，B两种新产品，该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：

产品A(件) 产品B(件)

研制成本与搭载费用之和(万元/件) 20 30 计划最大投资金额300万元

产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量110千克

预计收益(万元/件) 80 60

试问：如何安排这两种产品的件数，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？

[总结反思] 解线性规划实际应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出约束条件，确定目标函数；(3)画出可行域；(4)判断最优解；(5)求出目标函数的最值，并根据实际问题作答．

【配例5使用】预计用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能得多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的32倍，问桌子、椅子应各买多少？

变式题 [2014·洛阳一模] 某企业生产甲、乙两种产品，已知每生产1吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；每生产1吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．已知每销售1吨甲产品可获得利润1万元，1吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，若消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，则该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )

A．1吨 B．2吨

C．3吨 D．113 吨

误区警示 14.含参数的线性规划问题的易错点

【典例】已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________．

[易错点析] ①画可行域时因为含有变化的区域导致可行域画不出；②不能确定目标函数取得最值的情况.

【跟踪练习】 (1)当点M(x，y)在如图6-35-3所示的三角形ABC内(含边界)运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为(1，2)，则实数k的取值范围是( )

图6-35-3

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B．[－1，1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(－1，1)

(2)在平面直角坐标系xOy中，若不等式组y≥0，y≤2x，y≤k（x－1）－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．