《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第6章 均匀平面波的反射与透射

· 1 ·. 图 6.1.1 均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面 入射波

反射波 介质分界面

iE

ik

rE iH

rH

rk o z

y x

媒质1

媒质2

透射波 tE

tH tk 第6章 均匀平面波的反射与透射

我们已经讨论了均匀平面波在无界均匀媒质中的传播特性。实际上，电磁波的传播过程中经常会遇到不同的媒质的分界面，这时部分电磁能量被分界面反射，形成反射波；而另一部分电磁能量将透过分界面继续传播，形成透射波。

这一章中，我们将讨论均匀平面波对介质分界面的垂直入射和斜入射以及对理想导体表面的垂直入射和斜入射。

6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射

6.1.1 对导电媒质分界面的垂直入射

如图6.1.1所示，0z的半空间充满参数为1、1和1的导电媒质1，0z的半空间充满参数为2、2和2的导电媒质2，均匀平面波从媒质1垂直入射到0z的分界平面上。为简化讨论但又不失一般性，假定入射波是沿x方向的线极化波。这时，媒质1中的入射波电场和磁场分别为

1()ziximzEeEe

(6.1.1)

11111()()ziziyimcczzEeHeEe (6.1.2)

其中

1111111(1)cjjj

· 2 ·. 111121111(1)ccj

媒质1中的反射波电场和磁场分别为

1()zrxrmzEeEe (6.1.3)

11111()()zrzryrmcczzEeHeEe (6.1.4)

于是，媒质1中的合成波电场和磁场分别为

111()()()[]zzirximrmzzzEeEeEEEe (6.1.5)

11111()()()[]zziryimrmczzzEeEeHHHe (6.1.6)

媒质2中只有透射波，其电场和磁场分别为

22()()ztxtmzzEeEEe (6.1.7)

222211()()()ztztytmcczzzEeHHeEe (6.1.8)

其中

2222222(1)cjjj

122222222(1)ccj

根据边界条件，在0z的分界平面上，应有12xxEE、12yyHH。将式(6.1.5)～(6.1.8)代入边界条件，可得到

112imrmtmimrmtmcccEEEEEE

由此可解得

2121ccrmimccEE (6.1.9)

2212ctmimccEE (6.1.10)

定义反射波电场振幅rmE与入射波电场振幅imE的比值为分界面上的反射系数，并用表示，则由式(6.1.9)得到

2121rmccimccEE (6.1.11)

定义透射波电场振幅tmE与入射波电场振幅imE的比值为分界面上的透射系数，并用表示，则由式(6.1.10)得到透射系数

2212tmcimccEE (6.1.12)

· 3 ·. 图 6.1.2 平面波对理想导体平面的垂直入射 iE

rE iH x

rH rk

11, ik

z

理想导体 o 由式(6.1.11)和(6.1.12)可知，反射系数和透射系数之间的关系为

1 (6.1.13)

一般情况下，和均为复数，这表明在分界面上，反射波、透射波与入射波之间存在相位差。

6.1.2 对理想导体平面的垂直入射

如图6.1.2所示，媒质1为理想介质，其电导率10；媒质2为理想导体，其电导率2。

由于媒质2的电导率2，其本征阻抗

2222220ccj

由式(6.1.11)和(6.1.12)，得到

1，0

(6.1.14)

这是由于理想导体内部的电磁场为零，所以0。根据边界条件，在理想导体表面上，电场的切向分量应等于零，所以mrmiEE，即反射波电场与入射波电场的相位差为，如1。

由于媒质1是理想介质，1111jj、1111c，故入射波电场和磁场分别为

1()jziximzEeEe (6.1.15)

111()ziyimzEeHe (6.1.16)

反射波的电场和磁场分别为

1()jzrximzEeEe (6.1.17)

111()jzryimzEeHe (6.1.18)

故媒质1中的合成波的电场和磁场分别为

· 4 ·. 1111()()2sinjzjzximximzEeejEzEee (6.1.19)

11111112()()cosjzjzyimyimzEeeEzHee (6.1.20)

合成波的电场和磁场的瞬时值表示式分别为

111(,)Re[()]2sinsinjtximztzeEztEEe (6.1.21)

11112(,)Re[()]coscosjtyimztzeEztHHe (6.1.22)

由此可见，媒质1中的合成波的相位仅与时间有关，这就意味着空间各点合成波的相位相同。空间各点的电场强度的振幅随z按正弦函数变化，即

11()2sinimzEzE (6.1.23)

最大值为2imE，最小值为0。磁场强度的振幅随z按余弦函数变化，即

1112()cosimzEzH (6.1.24)

最大值为12imE，最小值也为0。合成波在空间没有移动，只是在原来的位置振动，故称这种波为驻波。

由式(6.1.23)可知，在1zn，即

12nz （n=0,1,2,3,…） (6.1.25)

处，电场的振幅始终为零，故这些点为电场的波节点。而在121zn，即

1214nz （n=0,1,2,3,…） (6.1.26)

处，电场的振幅最大，故这些点为电场的波腹点。

由式（6.1.23）和（6.1.24）可以看出，磁场的波节点恰好是电场的波腹点，而磁场的波腹点恰好是电场的波节点。在理想导体表面上，1(0)E为零，而1(0)H为最大值。如图6.1.3所示。

由式（6.1.21）和（6.1.22）可以看出，1(,)ztE和1(,)ztH的驻波不仅在空间位置上错开14，在时间上也有2的相移，如图6.1.4所示。 图 6.1.3 对理想导体垂直入射时电场、磁场的波节与波腹 z1,E1H1E1Ho14121341

· 5 ·. 1210z1xE0t4t2t54t32t 141340z1yH0t4t2t54tt图 6.1.4 对理想导体垂直入射时电场、磁场的时空关系 （a）电场的时空关系 （b）磁场的时空关系

媒质1中合成波的平均坡印廷矢量为

2111111411Re[()()]Re[sincos]022imavzEzzjzzSEHe

因此，驻波不发生电磁能量的传输，仅在两个波节间进行电场能量和磁场能量的交换。

例6.1.1 一右旋圆极化波垂直入射至位于0z的理想导体板上，其电场强度的复数形式为

()()jzixymzjEeEee

（1）确定反射波的极化；

（2）写出总电场强度的瞬时表达式；

（3）求板上的感应面电流密度。

解：（1）设反射波电场的复数形式为

()()jzrxrxyryzEEeEee

由理想导体表面电场所满足的边界条件，在 0z时有

0()()0irzzzEE

得

()()jzrxymzjEeEee

这是一个沿ze方向传播的左旋圆极化波。

（2）0z区域的总电场强度

(,)Re()()jtirztzze1EEE

Re()()jzjzjtxyxymjejeEeeeee

Re()2sinjtxymjjzEeee

2sin(sincos)mxyEzttee

（3）又由理想导体表面磁场所满足的边界条件

1nSeHJ

这里nzee，则

· 6 ·. 0()()SzirzzzJeHH

而

01()()()jzmizixyEzzjeHeEee

01()()()()jzmrzrxyEzzjeHeEee

故

002()()()mSzirxyzEzzjJeHHee

6.1.3 对理想介质分界面的垂直入射

如图6.1.5所示，媒质1和媒质2均为理想介质，即120，则

1111jj、1111c

2222jj、2222c

由式(6.1.11)和(6.1.12)，得到

2121 (6.1.27)

2212 (6.1.28)

在这种情况下，1和2皆为实数。当21时，反射系数0，这意味着在分界面上反射波电场与入射波电场同相位；当21时，反射系数0，这意味着在分界面上反射波电场与入射波电场的相位差为，即存在半波损失。

在媒质1中，入射波电场和磁场的分别为

1()jziximzEeEe (6.1.29)

111()ziyimzEeHe (6.1.30) 图6.1.5 波对分界平垂射 z tE

tH tk x

22, 11,ik iE

iH

rE

rk rH o