2022《单元滚动检测卷》高考数学(文)(苏教版)：阶段滚动检测(三) Word版含解析

单元滚动检测卷(三)[测试范围：第五单元时间：120分钟分值：150分]第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)1．如图3－1，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是(C)图3－1A．(－2，－3)B．(－2，6)C．(1，3) D．(－2，1)2．当x＞0时，函数y＝－5x的图象在(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是(C)A．y＝－x＋3 B．y＝5 xC．y＝2x D．y＝－2x2＋x－74．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图3－2所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)图3－2A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3【解析】由图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，此时y＜0.5．如图3－3，正比例函数y1与反比例函数y2相交于点E(－1，2)，若y1＞y2＞0，则x的取值范围在数轴上表示正确的是(A)图3－3图3－46．把抛物线y＝12x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为(B)A．y＝12(x＋1)2－3B．y＝12(x－1)2－3C．y＝12(x＋1)2＋1D．y＝12(x－1)2＋17．关于二次函数y＝2(x－3)2＋1有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中正确的有(A) A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；②图象的对称轴为直线x＝3，故本说法错误；③图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．综上所述，说法正确的只有1个．故选A.8．某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则出发后到B地油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数的大致图象是(C)图3－5【解析】根据某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化，再次出发后油量继续减小，即可得出符合要求的图象．9．如图3－6，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，下列结论：①ac ＜0；②a ＋b ＝0；③4ac －b 2＝4a ；④a ＋b ＋c ＜0.其中正确结论的个数是( C )图3－6A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 根据图象可知： ①a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0正确； ②∵顶点横坐标等于12，∴－b 2a ＝12， ∴a ＋b ＝0正确；③∵顶点纵坐标为1，∴4ac －b 24a ＝1， ∴4ac －b 2＝4a ，正确；④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＞0，错误． 正确的有3个，故选C.10．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图3－7)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m图3－7【解析】 建立如图所示的直角坐标系．设抛物线解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)， 将点(0，0.5)的坐标代入得a ＝－0.5， ∴y ＝－0.5x 2＋0.5. 当x ＝0.2时，y ＝0.48； 当x ＝0.6时，y ＝0.32，第10题答图∴每一段护栏需用支柱的长度为2×(0.48＋0.32)＝1.6(m)，1.6×100＝160(m)，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)11．在平行四边形ABCD 中，已知点A (－1，0)，B (2，0)，D (0，1)，则点C 的坐标为__(3，1)__．【解析】 如图，∵平行四边形ABCD 中，已知点A (－1，0)，B (2，0)，D (0，1)，∴AB ＝CD ＝2－(－1)＝3，DC ∥AB ，第11题答图∴点C 的横坐标是3，纵坐标和点D 的纵坐标相等，是1， ∴点C 的坐标是(3，1)．12．如图3－8，一次函数y 1＝ax ＋b (a ≠0)与反比例函数y 2＝kx (k ≠0)的图象交于A (1，4)，B (4，1)两点，若y 1>y 2，则x 的取值范围是__1<x <4或x <0__．图3－8【解析】 根据图象，当x ＜0或1＜x ＜4时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，即y 1＞y 2.13．已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)经过(2，－1)，(－3，4)两点，则它的图象不经过第__三__象限．14．如图3－9，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是__x ≥12__．图3－9【解析】 依题意有⎩⎨⎧0＝（－1）2－b ＋c ，－2＝1＋b ＋c ，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，对称轴为x ＝12，∴当x ≥12时，y 随x 的增大而增大．15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图3－10所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0，其中正确的是__①③④__(把正确的序号都填上)．图3－10【解析】 根据图象可得：a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时图象上有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误； 根据图示知，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b2a ＝1，则b ＝－2a ，那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，对应的二次函数图象上的点一定在x 轴的下方，因而其纵坐标a －b ＋c ＜0，故④正确．16．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：__①③④__(①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大． 【解析】 观察可知抛物线对称轴为x ＝12，设抛物线解析式为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋h ，把(－2，0)和(0，6)的坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋h ，6＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋h ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，h ＝254，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋254，∴正确的有①③④.三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23 题每题12分，第24题14分，共80分)17．常用的确定物体位置的方法有两种．如图3－11，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A 的位置．图3－11解：方法1：用有序实数对(a，b)表示．比如：以点A为原点，水平向右方向为x轴正方向，竖直向上方向为y轴正方向，建立直角坐标系，则B(3，3)．方法2：用方向和距离表示．比如：B点位于A点的东北方向(北偏东45°等均可)，距离A点32处．18．在直角坐标系xOy中，直线l过(1，3)和(3，1)两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．(1)求直线l的函数关系式；(2)求△AOB的面积．图3－12解：(1)设直线l的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把坐标(3，1)，(1，3)代入，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝1，k ＋b ＝3，解方程组得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线l 的函数关系式为y ＝－x ＋4； (2)当x ＝0时，y ＝4， ∴B (0，4)；当y ＝0时，－x ＋4＝0， 解得x ＝4， ∴A (4，0)，∴S △AOB ＝12AO ·BO ＝12×4×4＝8.19．已知点P (2，2)在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上． (1)当x ＝－3时，求y 的值； (2)当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．解：(1)∵点P (2，2)在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上， ∴2＝k2，即k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x ， ∴当x ＝－3时，y ＝－43.(2)∵当x ＝1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝43，又反比例函数y ＝4x 在x ＞0时y 值随x 值的增大而减小，∴当1＜x ＜3时，y 的取值范围为43＜y ＜4.20．一名男生推铅球，铅球行进高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)之间的关系是y ＝－112x 2＋23x ＋53，铅球运行路线如图3－13所示． (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m?图3－13解：(1)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， 所以铅球推出的水平距离是10米．(2)y ＝－112x 2＋23x ＋53＝－112(x 2－8x ＋16－16)＋53 ＝－112(x 2－8x ＋16)＋53＋43＝－112(x －4)2＋3， 当x ＝4时，y 取最大值3，所以铅球行进高度不能达到4 m ，最高只能达到3 m.21．如图3－14，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过A (1，－1)，B (4，0)两点． (1)求这个二次函数解析式；(2)点M 为坐标平面内一点，若以点O ，A ，B ，M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图3－14解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过A (1，－1)，B (4，0)两点， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝－1，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－43，∴二次函数的解析式为y ＝13x 2－43x .(2)根据题意，得M 1(3，1)，M 2(－3，－1)，M 3(5，－1)．22．如图3－15，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于一、三象限内的A ，B 两点，直线AB 与x 轴交于点C ，点B 的坐标为(－6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴正半轴上一点，且tan ∠AOE ＝43.(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB 的面积．图3－15解：(1)如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，第22题答图在Rt △AOD 中，tan ∠AOE ＝AD OD ＝43，设AD ＝4x ，OD ＝3x ，又OA ＝5，∴在Rt △AOD 中，根据勾股定理可得AD ＝4，OD ＝3，∴A (3，4)．把A (3，4)的坐标代入反比例函数y ＝m x 的解析式中，解得m ＝12，则反比例函数的解析式为y ＝12x ；(2)把点B 的坐标(－6，n )代入y ＝12x 中，解得n ＝－2，则点B 的坐标为(－6，－2)．把A (3，4)和B (－6，－2)的坐标分别代入一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的解析式中，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝4，－6k ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝2，则一次函数的解析式为y ＝23x ＋2.∵点C 在x 轴上，令y ＝0，得x ＝－3，即OC ＝3，∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×3×4＋12×3×2＝9.23．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间的对应关系如图3－16所示．(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (元)与销售单价x (元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．图3－16解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，∵一次函数的图象过点(10，300)，(12，240)，∴⎩⎨⎧10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240，解得⎩⎨⎧k ＝－30，b ＝600，∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120，即点(14，180)，(16，120)均在函数y ＝－30x ＋600的图象上，∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－30x ＋600.(2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3 600，即w 与x 之间的函数关系式为w ＝－30x 2＋780x －3 600.(3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900，解得x ≥15.w ＝－30x 2＋780x －3 600图象的对称轴为x ＝－7802×（－30）＝13， ∵a ＝－30＜0，∴抛物线开口向下，当x ≥15时，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝15时，w 最大＝1 350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1 350元．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；(3)若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．图3－17解：(1)对于y＝mx2－2mx－2，当x＝0时，y＝－2，∴A(0，－2)．抛物线的对称轴为x＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)．(2)易得A点关于对称轴x＝1的对称点为A′(2，－2)，第24题答图则直线l经过点A′，B.设直线l的解析式为y＝kx＋b，则⎩⎨⎧2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝2， ∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2.(3)∵抛物线的对称轴为x ＝1，抛物线在2<x <3这一段与抛物线在－1<x <0这一段关于对称轴x ＝1对称，结合图象可以观察到抛物线在－2<x <－1这一段位于直线l 的上方，在－1<x <0这一段位于直线l 的下方，∴抛物线与直线l 的其中一个交点横坐标为－1，由直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2，当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4，则抛物线过点(－1，4)，故当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4，解得m ＝2，∴抛物线的解析为y ＝2x 2－4x －2.。

阶段滚动检测(三)(第六至第八章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(1＋2i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．1－2i【解析】选B.由题意z ＝4＋3i 1＋2i＝2－i ，所以z ＝2＋i.2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( ) A ．三角形的三个内角都不大于60° B ．三角形的三个内角都大于60° C ．三角形的三个内角至多有一个大于60° D ．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解析】选 B.由反证法可知，只需要把结论否定即可，应该假设：三角形的三个内角都大于60°.3．若a ＜b ＜0，则下列不等式中不能成立的是( ) A ．1a ＞1bB ．1a －b ＞1aC ．|a |＞|b |D ．a 3＜b 3【解析】选B.对于A ，因为a ＜b ＜0，所以ab ＞0，所以a ab ＜b ab ＜0，即1a ＞1b ，所以A 成立；对于B ，若a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＝－1，1a＝－12 ，此时1a ＞1a －b ，所以B 不成立；对于C ，因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以C 成立；对于D ，因为a ＜b ＜0，所以a 3＜b 3＜0，所以D 成立．4．设a ，b ，c 为任意正数．则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 这三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【解析】选C.假设三个数均小于2，即a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a ＜2，故a ＋1a ＋1b ＋b ＋1c＋c ＜6，而a ＋1a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ≥2a ·1a ＋2b ·1b ＋2c ·1c＝6，当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，这与a ＋1a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＜6矛盾，故假设不成立，故至少有一个不小于2，C 正确；取a ＝b ＝c ＝2，计算排除BD ；取a ＝b ＝c ＝1，计算排除A. 5．若x ＞1，则4x ＋1x －1 的最小值等于( ) A ．6B ．9C ．4D ．8【解析】选D.因为x ＞1，所以x －1＞0，因此4x ＋1x －1 ＝4x －4＋1x －1＋4≥2()4x －4·1x －1＋4＝8，当且仅当4x －4＝1x －1，即x ＝32 时，等号成立．6．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n －1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为( )A.4 072B ．2 026C ．4 096D ．2 048【解析】选A.由题意可知：每一行数字之和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n 项和为S n ＝1－2n1－2 ＝2n －1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n ＝n ()n ＋12 ，可得当n ＝10时，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212－1，则此数列前55项的和为S 12－23＝4 072.7．若点P (x ，y )在以A (－3，1)，B (－1，0)，C (－2，0)为顶点的△ABC 的内部运动(包含边界)，令k ＝y －2x －1 ，则k 的可能取值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．52【解析】选B.作出以A (－3，1)，B (－1，0)，C (－2，0)为顶点的△ABC 所表示的平面区域，如图所示，因为y －2x －1 的几何意义是过动点P (x ，y )与定点M (1，2)的直线的斜率，结合图象，可得当过A 点时，此时AM 的斜率最小，最小值为k AM ＝14 ；当过B 点时，此时BM 的斜率最大，最大值为k BM ＝1，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，1 ，结合选项知，k 的可能取值为12.8．如图所示的程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若x ＝y ，则这样的x 值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】选C.根据题意可知，当x ≤2时，y ＝x 2，令x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1，当2＜x ≤5时，y ＝2x －4，令2x －4＝x ，解得x ＝4，当x ＞5时，y ＝1x ∈⎝⎛⎭⎫0，15 ，方程1x ＝x 在给定范围内无解，故一共有三个解．9．数列1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，…，其相邻的两个1被2隔开，第n 对1之间有n 个2，则数列的前209项的和为( ) A ．279B ．289C ．399D ．409【解析】选C.根据题意，先把数列分组，第一组为1，2，有2个数，第二组为1，2，2有3个数，第三组为1，2，2，2，有4个数……第n 组中，第一个数为1，其他均为2，有n ＋1个数，即每组中，第一个数为1，其他均为2，则前n 组共有n ()n ＋32个数，当n ＝19时，恰好前19组有209个数，前19组有19个1，有209－19＝190(个)2，则这些数的和为19＋190×2＝399.10．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖； 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的．成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符．另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是( ) A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙D ．甲和丙【解析】选 B.若乙，丁的预测成立，则甲，丙的预测不成立，推出矛盾．故乙，丁预测不成立时，推出获奖的是乙和丁．11．已知a 1＝1，且a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 60＝( ) A ．58B ．60C ．62D ．64【解析】选A.由题意知，当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＋1＝2()n ＋1 －1＝2n ＋1， 所以a n ＋2－a n ＝2，则{}a n 中偶数项组成等差数列，由a 2＝2－1－a 1＝0， 得a 2k ＝0＋2()k －1 ＝2k －2，k ∈N *，当k ＝30时，a 60＝58.12．已知数列{}a n 满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则||a 1 ＋||a 2 ＋…＋||a 6 ＝( ) A ．9B ．15C ．18D ．30【解析】选C.因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5， 所以数列{}a n 是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2()n －1 ＝2n －7，数列{}a n 的前n 项和S n ＝n ()－5＋2n －72 ＝n 2－6n ，令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72，所以n ≤3时，||a n ＝－a n ；n ≥4时，||a n ＝a n ；则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下真命题的个数是________．①z 的共轭复数为75 －4i 5 ；②z 的虚部为－75 ；③||z ＝3；④z 在复平面内对应的点在第一象限． 【解析】因为z ＝3＋2i 2－i ＝()3＋2i ()2＋i ()2－i ()2＋i ＝45 ＋7i5，所以z 的共轭复数为45－7i 5 ，z 的虚部为75，||z ＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫752 ＝655，z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫45，75 ，在第一象限．答案：114．如图所示，把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是______．【解析】依题意，第7个三角形数是1＋2＋3＋…＋7＝28. 答案：2815．已知数列{}a n 中，a 1＝0，a 2＝1，且当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝2；当n 为偶数时，a n ＋2＝3a n ，则此数列的前20项的和为________．【解析】因为a 1＝0，a 2＝1，且当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝2，所以数列{}a n 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝3a n ，所以数列{}a n 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；所以S 20＝()a 1＋a 3＋…＋a 19 ＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝10×0＋10×()10－1×22 ＋1×()1－3101－3 ＝310－12 ＋90. 答案：310－12＋9016．已知⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤26，2x ＋5y －13≤0，x ∈N ，y ∈N ， 则目标函数z ＝20x ＋10y 的最大值为________．【解析】作出由不等式组满足的平面区域，如图将目标函数z ＝20x ＋10y 化为y ＝－2x ＋z 10 ，由图可知，当直线y ＝－2x ＋z10 过点A (5，0)时，直线y ＝－2x ＋z10 在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值100.答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝3＋b i ()b ∈R ，且()1＋3i ·z 为纯虚数． (1)求复数z ；(2)若ω＝z2＋i，求复数ω以及||ω .【解析】(1)将z ＝3＋b i 代入()1＋3i ·z 得()1＋3i ·z ＝()1＋3i ()3＋b i ＝3－3b ＋()b ＋9 i ，因为()1＋3i ·z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3b ＝0，b ＋9≠0，解得b ＝1，所以复数z ＝3＋i. (2)由(1)知z ＝3＋i ，所以ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝（3＋i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝7－i 5 ＝75 －i5 ，||ω ＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152 ＝2 .18．(12分)已知数列{}a n 满足a 1＝a 3，a n ＋1－a n 2 ＝32n ＋1 ，设b n ＝2n a n .(1)求数列{}b n 的通项公式； (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .【解析】(1)由b n ＝2n a n ，得a n ＝b n 2n ，代入a n ＋1－a n 2 ＝32n ＋1 得b n ＋12n ＋1 －b n 2n ＋1 ＝32n ＋1 ，即b n ＋1－b n ＝3，所以数列{}b n 是公差为3的等差数列， 又a 1＝a 3，所以b 12 ＝b 38 ，即b 12 ＝b 1＋68 ，所以b 1＝2，所以b n ＝b 1＋3()n －1 ＝3n －1.(2)由b n ＝3n －1得a n ＝b n 2n ＝3n －12n ，所以S n ＝22 ＋522 ＋823 ＋…＋3n －12n ，12 S n ＝222 ＋523 ＋824 ＋…＋3n －12n ＋1 两式相减得12 S n ＝1＋3⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n －3n －12n ＋1 ＝52 －3n ＋52n ＋1 ，所以S n ＝5－3n ＋52n . 19．(12分)关于复数z 的方程z 2－(a ＋2i)z －4＋3i ＝0(a ∈R ). (1)若此方程有实数解，求a 的值；(2)用反证法证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根． 【解析】(1)设方程的实数解为t ，则t 2－(a ＋2i)t －4＋3i ＝0，90 所以t 2－at －4＋(3－2t )i ＝0， 所以3－2t ＝0所以t ＝32 ，因为t 2－at －4＝0，所以a ＝－76 .(2)假设原方程有纯虚数根， 令z ＝m i(m ≠0，且m ∈R )， 则(m i)2－(a ＋2i)m i －4＋3i ＝0， 整理得－m 2＋2m －4＋(－am ＋3)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m －4＝0，①－am ＋3＝0，② 对于①，由于判别式Δ＜0，所以方程①无解，故方程组无解，故假设不成立．故原方程不可能有纯虚数根．20．(12分)设x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋4y ＋a ，其中a 为参数． (1)当a ＝0时，求x ＋y 的最小值； (2)当a ＝5时，求xy 的最小值． 【解析】(1)当a ＝0时，xy ＝x ＋4y ， 因为x ＞0，y ＞0，则4x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝()x ＋y ⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋x y ＋4yx ≥5＋2x y ·4yx＝9当且仅当x ＝2y ＝6时，等号成立， 因此，x ＋y 的最小值为9.(2)因为a ＝5，由xy ＝x ＋4y ＋5可得 y ()x －4 ＝x ＋5，所以y ＝x ＋5x －4，因为x ＞0，y ＞0，由y ＝x ＋5x －4＞0可得x ＞4，所以xy ＝x ()x ＋5x －4 ＝x ⎝⎛⎭⎫1＋9x －4 ＝x ＋9x x －4 ＝x ＋9[]()x －4＋4x －4 ＝x ＋9＋36x －4 ＝()x －4 ＋36x －4＋13≥2()x －4×36x －4 ＋13＝25，当且仅当x －4＝36x －4()x ＞4 ，即当x ＝10时等号成立，因此，xy 最小值为25.21．(12分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如表所示： 连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 【解析】(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整点坐标．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125 x ＋z 25 ，这是斜率为－125 ，随z 变化的一组平行直线．z 25 为直线在y 轴上的截距，当z25 取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0， 得点M 的坐标为()6，3 .所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 22．(12分)已知数列{}a n 为等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝15. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求证数列{}b n 为等比数列； (3)令c n ＝1a n a n ＋1 ，求数列{}c n 的前n 项和S n .【解析】(1)因为数列{a n }为等差数列， 且a 1＋a 2＋a 3＝15，所以a 2＝5，又a 1＝2，所以公差d ＝3， 所以a n ＝3n －1. (2)因为b n ＝2a n ， 所以b n ＋1b n ＝23n ＋223n －1 ＝8，所以{}b n 为首项b 1＝4，公比q ＝8的等比数列．(3)因为c n ＝1a n a n ＋1 ＝1()3n －1()3n ＋2 ＝13 ⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2 ，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝13 ⎝⎛⎭⎫12－15＋15－18…＋13n －1－13n ＋2所以S n ＝13 ⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2 ＝n6n ＋4 .。

阶段滚动检测（三）一、选择题1．(2016·某某“四地六校”联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于() A ．(2,3] B ．(2,3) C ．(－3，－2)D ．[－3，－2)2．(2016·)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的() A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2016·某某质检)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x－x －1≤0”，则綈p 为() A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<04．(2016·某某)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于()A ．－2B ．－1C ．0D ．25．设a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4log 2(－x )，x <0，|x 2＋ax |，x ≥0.若f [f (－2)]＝4，则f (a )等于()A ．8B ．4C ．2D ．16．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是()7．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝32,2,(1),2,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值X 围是() A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(0,1]D ．(－1,0)8.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，x >0，y >0，则x ，y 的值分别为()A.3，1 B ．1＋3， 3 C ．2， 3D.3，1＋ 39．已知sin(x －2 017π)＝13，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan 2x 等于() A.24B ．－24C.427D ．4 210．已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cos A 等于()A.32 B ．－22 C ．－24D ．－3411．(2015·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值X 围是()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 12．已知O 是锐角△ABC 的外心，tan A ＝22，若cos B sin C AB →＋cos C sin BAC →＝2mAO →，则m 等于() A.33B.32 C ．3 D.53二、填空题13．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (1)＝________.14．若tan α＝3，则sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝________.15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－14，则AD →·BC →＝________.16．关于函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ，有下列命题： ①对任意x 1，x 2∈R ，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图象关于点(π12，0)对称；④将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y ＝2sin 2x 的图象重合．其中正确的命题是________．(注：把你认为正确的序号都填上) 三、解答题17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意x ∈R 恒成立，q ：函数y ＝(m2－1)x是增函数，若p 正确，q 错误，某某数m 的取值X 围．18．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |.19．设向量a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，记f (x )＝a·b . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)试用“五点法”画出函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图，并指出该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到；(3)若函数g (x )＝f (x )＋m ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3的最小值为2，试求出函数g (x )的最大值．20.已知函数f (x )＝x 2x －a，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(1,2)上是单调函数，求a 的取值X 围．21．在△ABC 中，AB →＝(－3sin x ，sin x )，AC →＝(sin x ，cos x )． (1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值．22.某地棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户区建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及AC 的长；(2)因地理条件的限制，边界AD ，DC 不能变更，而边界AB ，BC 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出最大值． 答案精析1．A[因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1,3]，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}＝{x |x 2－x >2}＝{x |x <－1或x >2}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2,3]． 故选A.]2．D[若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立．所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]3．C[已知全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，则否定为綈p ：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，故选C.] 4．D[∵当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.] 5．A[由f (－2)＝4log 22＝2，f (2)＝|4＋2a |＝4，解得a ＝－4，所以f (a )＝f (－4)＝4log 24＝8，故选A.]6．C[∵函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，∴它们的图象关于直线y ＝x 对称，∴选项B 的图象不正确；当0<a <1时，y ＝log a x 与y ＝a x都随x 的增大而减小，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的下方，只有选项C 的图象正确；当a >1时，y ＝log a x 与y ＝ax都随x 的增大而增大，y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点在y ＝1的上方，没有选项符合要求．] 7．B[根据题意作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象，如图．关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，?x －1?3，x <2的图象与直线y ＝k 有两个不同的公共点，则由图象可知当k ∈(0,1)时，满足题意．故选B.] 8．B[设AD ＝DC ＝1，则AC ＝2，AB ＝22，BC ＝ 6.在△BCD 中，由余弦定理，得DB 2＝DC2＋CB 2－2DC ·CB ·cos(45°＋90°)＝7＋2 3.以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则D (0,0)，A (1,0)，C (0,1)，由DB →＝x ·DC →＋y ·DA →，得B (y ，x )，∴CB →＝(y ，x －1)，DB →＝(y ，x )，∴6＝(x －1)2＋y 2，x 2＋y 2＝7＋23，∴x ＝1＋3，y ＝ 3.] 9．C[因为sin(x －2 017π)＝13，所以sin x ＝－13，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos x ＝－223，所以tan x ＝24， 所以tan 2x ＝2×241－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝427.]10．C[设△ABC 面积为S ⇒a ＝4S ，b ＝22S ，c ＝2S ⇒cos A ＝(22)2＋22－422×22×2＝－24，故选C.]11．D[由已知函数关系式，先找到满足f (x 0)<0的整数x 0，由x 0的唯一性列不等式组求解． ∵f (0)＝－1＋a <0，∴x 0＝0.又∵x 0＝0是唯一的使f (x )<0的整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e(2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e.又∵a <1，∴32e≤a <1，经检验a ＝34，符合题意，故选D.]12．A[取AB 的中点D ，连接OD ， 则OD ⊥AB ， ∴OD →·AB →＝0， ∵AO →＝AD →＋DO →，∴cos B sin C AB →＋cos C sin B AC →＝2mAO → ＝2m (AD →＋DO →)，∴cos B sin C AB →2＋cos C sin B AC →·AB → ＝2mAD →·AB →＋2mDO →·AB →，∴cos B sin C |AB →|2＋cos C sin B |AC →||AB →|cos A ＝2m ·12|AB →|2＝m |AB →|2， 由正弦定理可得cos B sin C sin 2C ＋cos C sin B sin B sin C cos A ＝m sin 2C ，即cos B ＋cos C cos A ＝m sin C ，又cos B ＝－cos(A ＋C )＝－cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝m sin C ，∴m ＝sin A ， 又tan A ＝22，∴m ＝sin A ＝33.] 13．0解析 记a ＝⎠⎛01f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ，故⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋2a )d x ＝12＋2a ，所以a ＝12＋2a ，a ＝－12，故f (x )＝x －1，f (1)＝0.14．－1235解析 由题意知cos α≠0， ∵sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝sin 2α＋3cos 2α－4sin 2α＋2sin αcos α－5cos 2α ＝tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5， ∴tan 2α＋3－4tan 2α＋2tan α－5＝9＋3－36＋6－5＝－1235， 即sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋2sin αcos α－5＝－1235. 15．－2解析 ∵AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·(BC →＋CD →)＝AD →·BC →＋(AD →－BC →－CD →)·CD →＝AD →·BC →＋(AD →＋DC →＋CB →)·CD →＝AD →·BC →＋AB →·CD →， ∴AD →·BC →－6×2＝－14⇒AD →·BC →＝－2. 16．①③解析 f (x )＝cos 2x －23sin x cos x ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因为f (x 1)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x 2＋π)＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝f (x 2)，故①正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈[0，π]，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减，故②错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝2cos π2＝0，故③正确；函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π3＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，易知该图象与函数y ＝2sin 2x 的图象不重合，故④错误．17．解 (1)作出函数f (x )的图象，如图所示．可知函数f (x )在x ＝－2处取得最小值1.(2)若p 正确，则由(1)得m 2＋2m －2≤1，即m 2＋2m －3≤0， 所以－3≤m ≤1.若q 正确，则函数y ＝(m 2－1)x是增函数， 则m 2－1>1，解得m <－2或m > 2.又p 正确q 错误，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.即实数m 的取值X 围是[－2，1]．18．解 (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得a·b ＝－6， ∴cos θ＝a·b |a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵b·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a·b ＋(1－t )b 2＝－15t ＋9＝0，∴t ＝35，∴|c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ＋25b 2＝10825，∴|c |＝635.19．解 (1)f (x )＝a·b ＝3sin x cos x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝sin(2x ＋π6)＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)列表如下：x－π12 2π12 5π12 8π12 11π12 2x ＋π6π2 π3π2 2πsin(2x ＋π6)0 1 0 －1 0 y123212－1212描点，连线得函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，11π12上的简图如图所示：y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12后得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，最后将y ＝sin(2x ＋π6)的图象向上平移12个单位长度后得到y ＝sin(2x ＋π6)＋12的图象． (3)g (x )＝f (x )＋m ＝sin(2x ＋π6)＋12＋m . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin(2x ＋π6)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ，32＋m . 又函数g (x )的最小值为2，∴m ＝2，∴g (x )max ＝32＋m ＝72. 20．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠a }．f ′(x )＝x (x －2a )(x －a )2. ①当a ＝0时，f ′(x )＝1，则f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．②当a >0时，由f ′(x )>0，得x >2a 或x <0，此时0<a <2a ；由f ′(x )<0，得0<x <a 或a <x <2a ，则f (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)，(－∞，0)，单调递减区间为(0，a )，(a,2a )．③当a <0时，由f ′(x )>0，得x >0或x <2a ，此时2a <a <0；由f ′(x )<0，得2a <x <a 或a <x <0， 则函数f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(2a ，a )，(a,0)．(2)①当a ≤0时，由(1)可知，f (x )在(1,2)上单调递增，满足题意；②当0<2a ≤1，即0<a ≤12时，由(1)可知，f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增，即在(1,2)上单调递增，满足题意；③当1<2a <2，即12<a <1时，由(1)可得，f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意； ④当2a ＝2，即a ＝1时，由(1)可知，f (x )在(a,2a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意；⑤当1<a <2时，因为f (x )的定义域为{x |x ≠a }，显然f (x )在(1,2)上不具有单调性，不满足题意；⑥当a ≥2时，由(1)可知，f (x )在(0，a )上单调递减，即在(1,2)上单调递减，满足题意．综上所述，a ≤12或a ＝1或a ≥2. 21．解 (1)f (x )＝AB →·AC →＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋sin 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. ∵f (A )＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32， 又2A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π＋π3， ∴2A ＋π3＝2π3，∴A ＝π6. (2)由|AB →－tAC →|≥|BC →|，得|CB →＋(1－t )AC →|≥|BC →|，则|CB →|2＋2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥|BC →|2，故对任意的实数t ，恒有2(1－t )CB →·AC →＋(1－t )2|AC →|2≥0，故CB →·AC →＝0，即BC ⊥AC .∵|AB →|＝4sin 2x ≤2，|AC →|＝1，∴BC ＝AB 2－AC 2≤3，∴△ABC 的面积S ＝12BC ·AC ≤32， ∴△ABC 面积的最大值为32. 22．解 (1)根据题意知，四边形ABCD 内接于圆，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC ，即AC 2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC .在△ADC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ，即AC 2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC .又cos ∠ABC ＝－cos ∠ADC ，∴cos ∠ABC ＝12，AC 2＝28， 即AC ＝27万米，又∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π3. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×4×6×sin π3＋12×2×4×sin 2π3＝83(平方万米)． (2)由题意知，S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，且S △ADC ＝12AD ·CD ·sin 2π3＝23(平方万米)． 设AP ＝x ，CP ＝y ，则 S △APC ＝12xy sin π3＝34xy . 在△APC 中，由余弦定理，得AC 2＝x 2＋y 2－2xy ·cosπ3＝x 2＋y 2－xy ＝28， 又x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，∴xy ≤28.∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93(平方万米)， 故所求面积的最大值为93平方万米，此时点P 为ABC 的中点．。

[考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1.3a ·6－a 等于________．2．如果log a 2＞log b 2＞0，则a ，b 的大小关系为________．3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是________．4．[2011·常州模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，f x －1，x >0，则f (1＋log 23)＝________.5．已知一容器中有A 、B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为________．①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5<P A <5.5.6．[2011·苏北四市三调] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.7．[2012·苏北四市一模] 已知f (x )是定义在[－2,2]上的函数，且对任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．8．[2011·苏北四市一调] 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x －1|＋|x －2|，且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则满足条件的所有整数a 的和是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值与最小值．10．方程2ax 2－x －1＝0(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有且仅有一个实根，求函数y ＝a －3x 2＋x 的单调区间．11．某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：h ，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？12．[2011·镇江期末] 已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)如果x ∈[1,4]，求函数h (x )＝(f (x )＋1)g (x )的值域；(2)求函数M (x )＝f x ＋g x －|f x －g x |2的最大值；(3)如果对f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(三)1．－－a [解析] 3a ·6－a ＝a 13·(－a )16＝－(－a )13＋16＝－(－a )12.2．a ＜b [解析] 由换底公式及1log 2a >1log 2b>0，得0＜log 2a ＜log 2b ，∴a ＜b .3．4 [解析] 函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，当x ＝12时，y max ＝4.4.83[解析] 本题考查周期函数与指数的运算，因为1＋log 23>2，所以f (1＋log 23)＝f (log 23)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 234－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 238＝83. 5．1 [解析] 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10；若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg(n A )＝lg2＋5.又∵lg2≈0.301，所以5<P A <5.5，故③正确．6．0 [解析] 当x <0时，－x >0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以－x 2－x ＝ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.7.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，4 [解析] 由题意知函数f (x )在[－2,2]上单调递增，所以f (2)＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤2，log 2x <2，解得14≤x <4.8．6 [解析] 由题意知函数f (x )是偶函数且当x ∈[－1,1]时函数y ＝f (x )为常函数，所以有a 2－3a ＋2＝a －1或a 2－3a ＋2＋a －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a 2－3a ＋2≤1，－1≤a －1≤1.又a ∈Z ，解得a ∈{1,2,3}，从而所有整数a 的和为6.9．[解答] 令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12. 当t ＝3时，y 有最小值12；当t ＝1时，y 有最大值52.10．[解答] 令f (x )＝2ax 2－x －1， (1)由f (－1)＝2a ＝0，得a ＝0，舍去； (2)由f (1)＝2a －2＝0，得a ＝1，舍去；(3)f (－1)·f (1)<0⇔a 2－a <0⇔0<a <1， 综上：0<a <1.对于函数y ＝a －3x 2＋x ，令y ＝a t ，t ＝－3x 2＋x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －162＋112，则y ＝a t 在R 上为减函数，t ＝－3x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞上为减函数．∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16时，y ＝a －3x 2＋x 是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞时，y ＝a －3x 2＋x 是增函数．11．[解答] (1)由题意知，需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，(216－x )人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3，即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N *)．(2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000432－5x3x 216－x.∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )； 当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N *，1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N *.(3)求完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，即f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129，∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，即f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129，∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129.∴当加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129时，完成总任务所用的时间最少．12．[解答] 令t ＝log 2x ，(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(t －1)2＋2， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]， 则h (x )的值域为[0,2]．(2)f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )，当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )，∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2.当0<x ≤2时，M (x )的最大值为1； 当x >2时，M (x )<1.综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.(3)由f (x 2)f (x )>kg (x )得：(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立． ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t－15，∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．∴4t ＋9t－15的最小值为－3，∴k <－3.综上k 的取值范围是k <－3.。

单元滚动检测六 数 列考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．(2022·苏北四市联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d ＝________.2．数列{}a n 为等差数列，a 1，a 2，a 3为等比数列，a 5＝1，则a 10＝________.3．若数列{}a n 满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{}a n 的前n 项和最大时，n 的值为________． 4．(2022·江苏扬州中学期中测试)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.5．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是__________． 6．已知{}a n 为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8.则a 1＋a 10＝________.7．已知{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是____________．8．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{}a n 的通项公式是a n ＝________. 9．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．10．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为__________．11．(2022·常州模拟)已知S n 是数列{}a n 的前n 项和，且点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，则S 5S 3＝________.12．设函数f (x )＝xm＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是__________．13．(2022·黑龙江大庆铁人中学一模)设S n 是等比数列{}a n 的前n 项和，若S 504S 1008＝110，则S 1008S 2022＝________.14．(2022·苏州一模)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为______________．第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)答案解析1．－3解析 方法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋6d )＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.方法二 由题意可得a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 2．1解析 由题意得a 22＝a 1a 3＝(a 2－d )(a 2＋d )＝a 22－d 2，所以d ＝0，a 10＝a 5＝1. 3．7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{}a n 是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0.∴193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 4．6解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 又S k ＝1－2k 1－2＝63，∴2k－1＝63，解得k ＝6.5．1或－12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求； 当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或q ＝－12. 6．－7解析 由题意，依据等比数列的性质得a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，设a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.解得a 1＋a 10＝－7.7．8，323)解析 由于{}a n 是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，所以q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝4，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n)∈8，323)． 8．(－2)n －1解析 ∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1，∴{}a n 是以1为首项，－2为公比的等比数列，∴a n ＝(－2)n －1. 9．1 830解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.10.4n n ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)，∴S n ＝4(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1.11.317解析 由点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，得2a n －S n －2＝0，即S n ＝2(a n －1)，所以当n ≥2时，S n －1＝2(a n －1－1)，两式相减可得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，S 5S 3＝2(1－25)1－22(1－23)1－2＝25－123－1＝317.12.n n ＋1解析 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.13.182解析 设S 504＝a ≠0，则S 1 008＝10a .S 1 008－S 504＝9a ，所以数列S 504，S 1 008－S 504，S 1 512－S 1 008，S 2 016－S 1 512…是首项为a ，公比为9的等比数列． 所以S 1 512＝91a ，S 2 016＝820a ，所以S 1 008S 2 016＝10a 820a ＝182.14．a n ＝2n ＋12n (n ∈N *) 解析 由H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2(n ≥2)，②①－②得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12(n ≥2)，∴a n ＝2n ＋12n (n ≥2)．又H 1＝1a 1＝23，∴a 1＝32，也满足a n ＝2n ＋12n .综上，a n ＝2n ＋12n (n ∈N *)．15．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依据已知有S 7＝7＋21d ＝28，解得d ＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .所以b 1＝lg 1]＝0，b 11＝lg 11]＝1，b 101＝lg 101]＝2.(2)由于b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.16．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2,2＋d,2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .明显2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0， 解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，且n 的最小值为41. 17．解 (1)由题意，a n ＋1＝3S n ＋1， 则当n ≥2时，a n ＝3S n －1＋1. 两式相减，得a n ＋1＝4a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝4，a 2a 1＝4，所以数列{a n }是首项为1，公比为4的等比数列， 故通项公式是a n ＝4n －1(n ∈N *)．(2)T n ＝(1＋a 1)＋(2＋a 2)＋(3＋a 3)＋…＋(n ＋a n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋42＋…＋4n －1) ＝n (1＋n )2＋1×(1－4n )1－4＝n ＋n 22＋4n －13.18．(1)证明 ∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ， ∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，∴数列{}b n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)解 由(1)知数列{}b n 的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n，∴a n ＝1b n＝12n －1.∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝12n －1.19．证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，∴S n ＝12n －1.∴13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＜12.20．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得q ＞0.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0， 又由于q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)得c n＝(2n－1)·2n－1，设{c n}的前n项和为S n，则S n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2S n＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述两式相减，得－S n＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以S n＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.。

树人中学高三数学滚动练习三一、填空题（每小题５分，计７０分）1．命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是 ▲ 2．函数)41sin(2)(+=x x f π的最小正周期是 ▲3．已知全集U ＝Z ，A={-1,0,1,2}，B={x|x 2=x}，则A ∩U B= ▲ 4．已知复数z 满足（1＋2i ）z ＝5(i 为虚数单位)，则z ＝ ▲5．已知命题：“设,,a b c R ∈，若22ac bc >，则a b >”，原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是 ▲6．设p: x<-1或x>1，q: x<-2或x>1，则⌝p 是⌝q 的 ▲ 条件 7．若,5sin 2cos -=+a a 则a tan = ▲8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若1200100101,1,a a a a ++成等比数列，则200S = ▲9．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是(,1)-∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集是 ▲10．已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,则βcos = ▲11．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 ▲12．已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和最小值分别是 ▲……………………装……………订……………线……………内……………不……………准……………答……………题………………………………………………姓名____________ 班级____________ 学号___________ 编号13． 定义在R 上的函数f (x)图像关于直线x=1对称，且x>1时，()f x '＞0，P=1()2f ，Q=1()4f ，R=5()3f ，则P 、Q 、R 的大小关系是 ▲14．设,s t 为正整数，两直线12:0:022t tl x y t l x y s s+-=-=与的交点是11(,)x y ，对于正整数(2)n n ≥，过点1(0,)(,0)n t x -和的直线与直线2l 的交点记为(,)n n x y .则数列{}n x 通项公式n x ＝ ▲二．解答题（共６题，计９０分） 15．(本小题满分14分)已知向量12)(),cos ,cos (),sin ,(cos +⋅=-==b a x f x x b x x a,设p 为：“⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ89,2x ”，q 为“3)(<-m x f ”。

阶段滚动检测（三）第一～六章 （120分钟 150分） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（滚动单独考查）2022·金华模拟）已知集合M={|-2≤1i 1i 2++12121+i 21i 2-2”2a 224π4πy x y mx x y 1≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩222m a 2m 2bBa OA OB 1OC +λ++λ（）30 cm MN 0,a ≠1，函数f=2xx 1a ++有最大值，则不等式og a -1>0的解集为________15（2022·淄博模拟）设实数,满足不等式组y x 1y x 1y 0+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则x y 1+的取值范围是________．16将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”直角三角形具有性质：“两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方”仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：________17（滚动交汇考查）（2022·日照模拟）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知7B=60°，则S △ABC=____________三、解答题本大题共5小题，共72分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 18（14分）设数列{a n }满足a 1=2,a n1-a n =3·22n-1，1求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n19（14分）某玩具厂日生产套“喜羊羊与灰太狼”玩具所需成本费用为110x b n n S q a 1q 1=--1413，使12n 111mb b b 3++⋯+≥对n ∈N *都成立若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由 21（15分）（滚动交汇考查）已知函数f=n-()a x 1x 1-+（1）若函数f 在0,∞上为单调增函数，求a 的取值范围；（2）利用第（1）问结论比较n m n与m 2(1)n m 1n-+（m,n ∈R ）的大小 22（15分）（滚动单独考查）已知函数f=12-12n-aa ．（1）若a=32，求函数f 的极值；（2）若对任意的∈1,3，都有f>0成立，求a 的取值范围．答案解析1【解析】选={|=og 2-1}={|>1}， ∴M ∩N={|-2≤1}={|11i 1i 2++1i 2-i 2121由Δ=4-4m1真命题 ④因为若M ∩1a 2a2a 1a22x ax 3x 1≤++1x 2x x 3x 1++11x 3x++123+152x x 3x 1++1515154π4π4π4π4π在点1m ,1m 1m++）处取得最大值，由21m 1m 1m +++2ma 2ma 2ma 2m 12m 1(2m 1)(a a )2--+2m2ab a b a ba 2a2a a b ＋OA OB +λOC OE OF+λ1212MNMN1234340，即og a -1>og a 1,即1x y 1+x y 1+12-2c1222csinA sin60sinC ==︒7714sin60︒122122219211 0005x x P 10x x++=1x 10 1 000x 1x10 1 000x x b 2x 1011b 10-5a150112()b 10150a 30b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩q q 1-qq 1-q q 1-nn 1a a -14n 14n n n11(1)11144S (1)134314-==-<-1a ()n n 12+()n 12112()b n n 1n n 1==-++12n 11112n 2(1)b b b n 1n 1++⋯+=-=++2n n 1+m 36n n 1+6n 1+6n 1+6n 1+611+12n 111b b b ++⋯+m3()()()2a x 1a x 11x x 1+---+()()()2222x 12ax x (22a)x 1x x 1x x 1+-+-+=++-2a-2a2a 1x 1x 1x 1x x 1x 2a ()2x 1x 1-+m n 1， 所以hmn>h1=0 即n mn-m 2(1)n m 1n -+>0成立从而n m n>m 2(1)n m 1n-+ 【方法技巧】函数与不等式综合应用问题的解题技巧函数与不等式证明题是高考中常见题型，多以与单调性结合利用函数单调性证明不等式，本题中先利用导数及单调性转化为恒成立问题，利用参数分离法，及基本不等式求参数的范围，而后利用分析法结合第（1）问的结论设出函数利用单调性证明，题目立意新颖 ，考查知识点较多，是很好的一道典型题22【解析】（1）由题知f 的定义域为（0，∞,当a=32时，f ′= 2152x 5x 2x 22x-+-=，令f ′=0,得=1或=2，列表： 函数f 在=2处取得极大值f 2=8-n2，函数f在=2处取得极小值f2=n2-1；（2）方法一：f′=1x-1a,∈1,3时，1x∈2,103,①当1a≤2，即a≤1时，∈1,3时，f′>0，函数f在1,3上是增函数，任意∈1,3,f>f1=0恒成立；②当1a≥103，即a≥73时，∈1,3时,f′10373f1=0不能恒成立；综上，a的取值范围是a≤1方法二：∵1x≥1xx=2,∴f′=1x-1-a≥1-a①当a≤1时，f′≥1-a≥0，而f′=1x-1-a不恒为0，∴函数f在（1，3）上是单调递增函数，任意∈1,3，f>f1=0恒成立；②当a>1时，令f′=()2x a1x1x-++，设2-a11=0的两根是1,212，12=1，∴0f1>f2，而f1=0，∴f1>0>f2若2≤3，∵任意∈1,3，f>0，∴f2>f1=0，不可能，若2>3，函数f在1,3上是减函数，f3<f1=0，也不可能，综上，a的取值范围是a≤1。

单元滚动检测七不等式考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若1a<1b<0，则下列式子①a2>b2;②ab<b2；③a＋b<0;④|a|＋|b|>|a＋b|.其中推断不正确的为________．2．已知函数f(x)＝{x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为__________．3．(2022·常州模拟)若关于x的不等式x2－4x＋a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是_________________．4．若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________________．5．(2022·苏州模拟)不等式－x2＋|x|＋2<0的解集是______________________．6．(2022·东北三校联考)变量x，y满足约束条件1,2,314,yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值组成的集合是____________．7．若变量x，y满足约束条件,1,1,y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.8．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则a，b的大小关系是________．9．(2022·威海模拟)已知a>1，设函数f(x)＝a x＋x－4的零点为m，g(x)＝log a x＋x－4的零点为n，则mn的最大值为________．10．(2022·江苏天一中学月考)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是______．11．函数y＝log2(x＋1x－1＋5)(x>1)的最小值为______．12．已知二次不等式ax2＋2x＋b>0(a≠0)的解集为{x|x≠－1a}，且a>b，则a2＋b2a－b的最小值为________．13．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则x＋8yxy的最小值为________．14．某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建筑第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5时，解不等式f(x)<0；(2)若不等式f(x)>0的解集为R，求实数a的取值范围.16.(14分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.17.(14分)当x、y满足约束条件0,,20xy xx y k≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值.18.(16分)某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？19.(16分)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.20.(16分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的一个零点是－1，且满足f(x)－x]·f(x)－x2＋12]≤0恒成立．(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式.答案解析1．①④解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |. 2．－1,1]解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图， 由图知f (x )≥x 2的解集为－1,1]．3．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由于y ＝x 2－4x ＋a 2开口向上， 不等式x 2－4x ＋a 2≤0的解集是空集． 所以Δ＝16－4a 2<0，解得a <－2或a >2， 所以实数a 的取值范围是a <－2或a >2. 4．(－∞，22－3] 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 由于x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 5．{x |x <－2或x >2}解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0， 因式分解得(|x |－2)(|x |＋1)>0，由于|x |＋1>0恒成立，所以|x |－2>0，即|x |>2， 解得x <－2或x >2. 6．{3，－1}解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个， 即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3. 7．6解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 8．a <b 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1. 而m ＋1＋m >m ＋m －1，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .9．4解析 令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 由于y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤(m ＋n2)2＝4. 10．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23a b ·4ba ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba 时取等号． 11．3解析 x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，取“＝”．所以y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3.12．2 2解析 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0， 所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥22(当且仅当a ＝2＋62，b ＝6－22时等号成立)． 13．9解析 由已知得x ＋2y2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝(1y ＋8x )(x ＋2y 2)＝12(10＋x y ＋16y x )≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号． 14．10解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x ＋20x ＋380≥22 000x ·20x ＋380＝780， 当且仅当2 000x ＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．15．解 (1)由于当a ＝5时，不等式f (x )<0， 即x 2＋5x ＋6<0，所以(x ＋2)(x ＋3)<0， 所以－3<x <－2，所以不等式f (x )<0的解集为{x |－3<x <－2}．(2)不等式f (x )>0的解集为R ，即关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋6>0的解集为R . 所以Δ＝a 2－24<0，解得－26<a <26， 所以实数a 的取值范围是(－26，26)． 16．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64，∴xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy ＋10≥216＋10＝18，当且仅当x 2＝4y 2，即x ＝2y 时，取等号．17．解 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3. ∴点A 的坐标为(－k 3，－k 3)． 则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.18．解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400(240x －1)＋240x (x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160. 由于x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x ＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x ·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立， 此时k ＝240x －1＝24020－1＝11. 故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元． 19．解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，∵0≤a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，∴不等式的解集为(－12，32)．20．解 (1)由基本不等式得x 2＋12≥2|x |2＝|x |， 若f (x )－x ]·f (x )－x 2＋12]≤0恒成立，即x ≤f (x )≤x 2＋12恒成立，令x ＝1，得1≤f (1)≤12＋12＝1，故f (1)＝1.(2)由函数零点为－1，得f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0， 又由(1)知a ＋b ＋c ＝1，所以解得a ＋c ＝b ＝12. 又f (x )－x ＝ax 2＋12x ＋c －x ＝ax 2－12x ＋c ，由于f (x )－x ≥0恒成立，所以a >0，c >0，Δ＝14－4ac ≤0， 因此ac ≥116，再由a ＋c ＝12，① 得ac ≤(c ＋a 2)2＝116，② 故ac ＝116，且a ＝c ＝14，故f (x )＝14x 2＋12x ＋14.。

单元滚动检测十统计考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．检测机构对某地区农场选送的有机蔬菜进行农药残留量平安检测，其中供应黄瓜、花菜、小白菜、芹菜这4种蔬菜的分别有40家、10家、30家、20家，现从中抽取一个容量为20的样本进行农药残留量平安检测．若接受分层抽样的方法抽取样本，则抽取的供应花菜与芹菜这2种蔬菜的共有________家．2．(2022·武汉4月调研)已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛的得分茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和为________．3．(2022·苏州模拟)某地区选出600名消防官兵参与灾区救援，将其编号为001,002，…，600.为打通生命通道，先接受系统抽样方法抽出50名消防兵为先遣部队，且随机抽得的号码为003.这600名官兵来源于不同的县市，从001到300来自A市，从301到495来自B市，从496到600来自C市，则三个市被抽中的人数依次为________．4．(2022·石家庄正定中学第一次月考)某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n的值为________．5．(2022·沈阳质检)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，恰好抽到4个男生，6个女生．给出下列命题：(1)该抽样可能是简洁随机抽样；(2)该抽样肯定不是系统抽样；(3)该抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率．其中真命题的个数为________．6．(2022·南通模拟)为了“城市品位，便利出行，促进进展”，某市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建的市民占80%，在赞成修建的市民中，又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在20～30岁的有400人，40～50岁的有m人，则n＝______，m＝________.7．(2022·扬州模拟)样本a1，a2，…，a10的平均数为a，样本b1，b2，…，b10的平均数为b，那么样本a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，a10，b10的平均数是________．8．(2022·无锡模拟)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号为________．9．某校有1400名考生参与市模拟考试，现实行分层抽样的方法从文、理科考生中分别抽取20份和50份数学试卷进行成果分析，得到下面的成果频数分布表：分数分组0,30)30,60)60,90)90,120)120,150]文科频数2483 3理科频数3712208由此可估量理科考生的及格人数(90分为及格分数线)大约为________．10．(2022·陕西质检二)一个频率分布表(样本容量为30)不当心被损坏了一部分，只记得样本中数据在20,60)上的频率为0.8，则估量样本在40,50)，50,60)内的数据个数为________．分组10,20)20,30)30,40)频数34 511.(2022·沈阳质检二)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试．现随机调查了24名笔试者的成果，如下表所示：分数段60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)85,90]人数23495 1据此估量允许参与面试的分数线大约是________．12．(2022·合肥其次次质检)甲、乙两位同学5次考试的数学成果(单位：分)，统计结果如表：次数同学第一次其次次第三次第四次第五次甲7781838079乙8990929188则成果较为稳定的那位同学成果的方差为________．13．(2022·黑龙江哈尔滨六中月考)对某同学的六次数学测试成果(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成果的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是________．14．(2022·山东枣庄八中南校区月考)某高校为了了解教研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间为35,40)，40,45)，45,50)，50,55)，55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的老师有________人．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知某校高三理科班同学的化学与物理的水平测试成果抽样统计如下表，若抽取同学n人，成果分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示化学成果与物理成果．例如：表中化学成果为B等级的共有20＋18＋4＝42(人)，已知x与y均为B等级的概率是0.18.(1)求抽取的同学人数；(2)设在该样本中，化学成果优秀率是30%，求a，b的值；(3)在物理成果为C等级的同学中，已知a≥10，b≥8，求化学成果为A等级的人数比C等级的人数少的概率.16．(14分)(2022·泰州模拟)为了调查某校同学体质健康达标状况，现接受随机抽样的方法从该校抽取了m名同学进行体育测试．依据体育测试得到了这m名同学的各项平均成果(满分100分)，依据以下区间分为七组：30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100]，并得到频率分布直方图(如图)．已知测试平均成果在区间30,60)内有20人．(1)求m的值及中位数n；(2)若该学校测试平均成果小于n，则学校应适当增加体育活动时间．依据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？17．(14分)为使同学更好地了解中华民族宏大复兴的历史学问，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的学问竞赛，每班选25名同学参与竞赛，成果分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将某班级的一班和二班的成果整理并绘制成统计图：请依据以上供应的信息解答下列问题：(1)把一班竞赛成果统计图补充完整；(2)写出下表中a，b，c的值；平均数(分)中位数(分)众数(分)一班 a b 90二班87.680c(3)请从以下给出的三个方面中任选一个对这次竞赛成果的结果进行分析：①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成果；②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成果；③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成果.18.(16分)(2022·徐州模拟)依据以往的成果记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布状况如图所示．(1)求图中a的值；(2)求甲队员命中环数大于7的概率(频率当作概率使用)；(3)由图推断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成果更稳定(结论不要求证明).19.(16分)学校进行“文明环保，从我做起”征文竞赛，现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成果(单位：分)统计如下：甲班：等级成果(S)频数A 90＜S≤100xB 80＜S≤9015C 70＜S≤8010D S≤70 3合计30乙班：依据上面供应的信息回答下列问题：,(1)表中x＝，甲班同学成果的中位数落在等级中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n的度数是.,(2)现学校打算从两班全部A等级成果的同学中随机抽取2名同学参与市级征文竞赛，求抽取到两名同学恰好来自同一班级的概率(请列树状图或列表求解)20．(16分)某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指横、纵直线的交叉点及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．依据历年的种植阅历，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X 123 4Y 51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1m.请完成下表，并求所种作物的平均年收获量．Y 51484542频数4答案解析1．6解析依题意可知，抽取的供应花菜与芹菜这2种蔬菜的共有10＋2040＋10＋30＋20×20＝310×20＝6(家)．2．63解析利用中位数的概念求解．由茎叶图可得甲得分的中位数为26＋282＝27，乙得分的中位数为36，则中位数之和为63.3．25,17,8解析依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003,015,027,039,051,063,075，…，简洁知道抽到的编号构成以3为首项，12为公差的等差数列，故被抽到的第n名消防官兵的编号为a n＝3＋(n－1)×12＝12n－9，由1≤12n A－9≤300，得1≤n A≤25，因此抽取到来自A市的人数为25.同理可知抽到来自其他两市的人数为17和8.4．270解析依题意，睡前看手机不低于20分钟的频率为1－0.01×10＝0.9，故n＝2430.9＝270.5．1解析明显，该抽样可能是简洁随机抽样，故(1)正确；实行系统抽样时，抽到的样本中男生的人数与女生的人数无关，故该抽样可以是系统抽样，故(2)错误；每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均为15，故(3)错误．6．40001120解析由题干中直方图知，年龄在20～30岁的人的频率为0．0125×10＝0.125，所以，样本容量n＝4000.125×10080＝4000，m＝4000×(0.0350×10)×80100＝1120.7.12(a＋b)解析样本平均数为a1＋b1＋a2＋b2＋…＋a10＋b1020＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b10)20＝10a＋10b20＝12(a＋b)．8．482解析依据题意可知，抽样间隔为32－7＝25，所以由7＋(k－1)×25≤500，解得k≤49325＋1，可得k≤20，所以样本中最大的编号为7＋19×25＝482.9．560解析∵1400×5070＝1000,1000×20＋850＝560，∴估量理科考生有560人及格．10．15解析由题意得样本数据在20,60)内的频数为30×0.8＝24，则样本在40,50)和50,60)内的数据个数之和为24－4－5＝15.11．80解析由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P＝100400＝14，由于随机调查了24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14＝6，观看表格可知，分数在80,85)的有5人，分数在85,90)的有1人，故面试的分数线大约为80分．12．2解析依题意得x甲＝15(77＋81＋83＋80＋79)＝80，s2甲＝15(2×32＋2×12)＝4；x乙＝15(89＋90＋92＋91＋88)＝90；s2乙＝15(2×22＋2×12)＝2.因此成果较为稳定的那位同学成果的方差为2.13．①③解析由茎叶图知，六次数学测试成果分别为78,83,83,85,91,90，可得中位数为83＋852＝84，故①正确；众数为83，故②错误；平均数为85，故③正确；极差为91－78＝13，故④错误．14．48解析这80名老师中年龄小于45岁的老师的频率为(0.04＋0.08)×5＝0.6，这80名老师中年龄小于45岁的老师人数为0.6×80＝48.15．解(1)由题意可知18n＝0.18，得n＝100.故抽取的同学人数是100.(2)由(1)知n＝100，所以7＋9＋a100＝0.3，故a＝14，而7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，故b＝17.(3)由(2)易知a＋b＝31，且a≥10，b≥8，满足条件的(a，b)有(10,21)，(11,20)，(12,19)，…，(23,8)，共14组，其中b＞a的有6组，则所求概率为P＝614＝37.16．解(1)由频率分布直方图知第1组，第2组和第3组的频率分别是0.02,0.02和0.06，则m×(0.02＋0.02＋0.06)＝20，解得m＝200.由直方图可知，中位数n位于70,80)内，则0.02＋0.02＋0.06＋0.22＋0.04(n－70)＝0.5，解得n＝74.5.(2)设第i(i＝1,2,3,4,5,6,7)组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1＝0.02，p2＝0.02，p3＝0.06，p4＝0.22，p5＝0.40，p6＝0.18，p7＝0.10，则由x i＝200×p i，可得x1＝4，x2＝4，x3＝12，x4＝44，x5＝80，x6＝36，x7＝20，故该校同学测试平均成果是x＝35x1＋45x2＋55x3＋65x4＋75x5＋85x6＋95x7200＝74<74.5，所以学校应当适当增加体育活动时间．17．解(1)一班成果等级为C的人数为25－6－12－5＝2. (2)a＝87.6，b＝90，c＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成果好于二班；②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成果好于一班；③B级以上(包括B级)一班18人，二班12人，故一班的成果好于二班．18．解(1)由题图可得0.01＋a＋0.19＋0.29＋0.45＝1，所以a＝0.06.(2)设大事A为“甲队员命中环数大于7”，它包含三个两两互斥的大事：命中环数为8,9,10，所以P(A)＝0.29＋0.45＋0.01＝0.75.(3)甲队员的射击成果更稳定．19．(1)2B36解析x＝30－15－10－3＝2；中位数落在等级B中；等级D部分的扇形圆心角n＝360°×330＝36°.(2)解乙班A等级的人数是30×10%＝3，甲班的两个人用甲1，甲2表示，乙班的三个人用乙1，乙2，乙3表示．共有20种状况，则抽取到的两名同学恰好来自同一班级的概率是820＝25.20．解由题图知，三角形中共有15个格点，以两条直角边的交点为坐标原点，三角形两条直角边分别为x轴、y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系(图略)，则与四周格点的距离不超过1m的格点数都是1的格点有2个，坐标分别为(4,0)，(0,4)．与四周格点的距离不超过1m的格点数都是2的格点有4个，坐标分别为(0,0)，(1,3)，(2,2)，(3,1)．与四周格点的距离不超过1m 的格点数都是3的格点有6个，坐标分别为(1,0)，(2,0)，(3,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．与四周格点的距离不超过1m 的格点数都是4的格点有3个，坐标分别为(1,1)，(1,2)，(2,1)．如下表所示：平均年收获量Y ＝51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝46.。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测十二 推理与证明、算法、复数第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．(·桂林模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为________．2．如图所示，阅读流程图，如果输出的函数值在区间[1,3]上，则输入的实数x 的取值范围是________________．3．设a 是实数，且a1＋i＋1－i 2是实数，则a ＝________.4．四个小动物换座位，开始是鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________.5．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当F B →⊥A B →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e ＝____________.6．(·苏州模拟)设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数满足的条件是________． ①至少有一个不大于2； ②都小于2；③至少有一个不小于2； ④都大于2.7．设复数z ＝7＋i 3＋4i －isin θ，其中i 为虚数单位，θ∈[－π6，5π6]，则|z |的取值范围是__________．8．(·淮安质检)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021，则数列{a n }的通项公式为__________．9．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12……则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为________．10．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．11．在复平面内复数11＋i ，11－i 对应的点分别为M ，N ，若点P 为线段MN 的中点，则点P对应的复数是________．12．(·镇江检测)执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．13.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第2个数应是________．14．执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(14分)已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共扼复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．16.(14分)有一种密英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a ，b ，c ，…，z 的26个字母(不分大小写)，依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见如下表格：a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14151617181920212223242526X ′＝⎩⎨⎧x ＋12(x ∈N ，1≤x ≤26，x 不能被2整除)x2＋13(x ∈N ，1≤x ≤26，x 能被2整除)将明文转换成密文，如8→82＋13＝17，即h 变成q ；如5→5＋12＝3，即e 变成c .(1)按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc ，那么原来的明文是什么？17．(14分)已知m ＞0，a ，b ∈R ，用分析法证明：(a ＋mb 1＋m )2≤a 2＋mb 21＋m .18．(16分)(·徐州模拟)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入；②从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算；③输出函数值y .若D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.(1)求y ＝4的概率；(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率．19.(16分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b件．经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S(件)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的流程图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？20．(16分)在递增数列{a n}中，a1＝2，不等式(n＋1)a n≥na2n，对任意n∈N*都成立．(1)求a2的取值范围；(2)判断数列{a n}能否为等比数列，并说明理由．答案解析1．S n ＝2n n ＋1解析 S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)， ∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.2．{x ∈R |0≤x ≤log 23或x ＝2} 解析 依题意及框图可得，⎩⎨⎧－2＜x ＜2，1≤2x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧|x |≥2，1≤x ＋1≤3， 解得0≤x ≤log 23或x ＝2. 3．－1解析 a 1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋(12－12i)＝(a 2＋12)－(a 2＋12)i ，由题意知a 2＋12＝0， ∴a ＝－1. 4．1解析 由图，经过四次交换后，每个小动物又回到了原来的位置， 故此变换的规律是周期为4， ∵2 009＝4×502＋1，∴第2 009次互换座位后，小兔的座位对应的是编号1. 5.5＋12解析 根据“黄金椭圆”的性质是F B →⊥A B →，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质， 设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)， 在“黄金双曲线”中， ∵F B →⊥A B →，∴F B →·A B →＝0， 又F B →＝(c ，b )，A B →＝(－a ，b )， ∴b 2＝ac ，而b 2＝c 2－a 2， ∴c 2－a 2＝ac ， 在等号两边同除以a 2得e ＝5＋12.6．③解析 ∵a ＋b ＋c ＝1x ＋x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥6，∴a ，b ，c 至少有一个不小于2. 7．[52，5] 解析 z ＝7＋i3＋4i －isin θ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )－isin θ＝25－25i25－isin θ＝1－(1＋sin θ)i ， 所以|z |＝1＋(sin θ＋1)2，由θ∈[－π6，5π6]知12≤sin θ＋1≤2，所以52≤|z |≤ 5. 8．a n ＝2n －1解析 当i ＝1时，a 2＝a 1＋d ，M ＝1a 1a 2，S ＝1a 1a 2；当i ＝2时，a 3＝a 2＋d ，M ＝1a 2a 3，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3； 当i ＝3时，a 4＝a 3＋d ，M ＝1a 3a 4，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4；…因此，由流程图可知，数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d . 当k ＝5时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋1a 4a 5＋1a 5a 6＝(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋1a 3－1a 4＋1a 4－1a 5＋1a 5－1a 6)1d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 61d ＝5a 1a 6＝511， ∴a 1a 6＝11，即a 1(a 1＋5d )＝11.① 当k ＝10时，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 10－1a 111d ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 111d ＝10a 1a 11＝1021， ∴a 1a 11＝21，即a 1(a 1＋10d )＝21.② 由①②得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 9．80解析 由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )的个数为4n ， ∴|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80. 10．13 3n ＋1解析 易得第4个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1根． 11.12解析 ∵11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 2，11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝1＋i 2，∴M ⎝⎛⎭⎫12，－12，N ⎝⎛⎭⎫12，12，而P 是MN 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，故点P 对应的复数为12. 12．2或－2 2解析 由 a ≥b ，得x 2≥x 3， 解得x ≤1，所以当x ≤1时，输出a ＝x 2， 当x ＞1时，输出b ＝x 3， 当x ≤1时，由a ＝x 2＝8， 解得x ＝－8＝－2 2.当x ＞1时，由b ＝x 3＝8，得x ＝2， 所以输入的数为2或－2 2. 13．2 015解析 由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同， 奇数行的数字从左向右依次减小， 偶数行的数字从左向右依次增大， 第63行的数字从左向右依次减小， 可求出第63行最左边的一个数是 63×(63＋1)2＝2 016， 从左至右的第2个数应是2 016－1＝2 015. 14．3解析 输入ε＝0.25后，程序执行如下：①⎩⎪⎨⎪⎧ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，②⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝3，F 0＝F 1－F 0＝2，n ＝2，1F 1＝13＞0.25， ③⎩⎪⎨⎪⎧ F 1＝F 0＋F 1＝5，F 0＝F 1－F 0＝3，n ＝3，1F 1＝15≤0.25.此时满足条件，结束循环，故输出的n 的值为3.15．解 由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i.因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＞0，－(4m 2－8m ＋3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞0，4m 2－8m ＋3＜0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－5－12或m ＞5－12，12＜m ＜32.所以5－12＜m ＜32， 所以m 的集合为{m |5－12＜m ＜32}． 16．解 (1)g →7→7＋12＝4→d ； o →15→15＋12＝8→h ； d →4→42＋13＝15→o ； 则明文good 的密文为dhho.(2)逆变换公式为x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－1 (x ′∈N ，1≤x ′≤13)，2x ′－26 (x ′∈N ，14≤x ′≤26). 则有s →19→2×19－26＝12→l ；h →8→2×8－1＝15→o ；x →24→2×24－26＝22→v ；c →3→2×3－1＝5→e .故密文shxc 的明文为love.17．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0，∴要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．18．解 (1)∵D ＝{1,2,3,4,5}，f (x )＝3x ＋1，g (x )＝x 2.∴第一步：从集合D 中随机抽取1个数作为自变量x 输入，共有5种方法，第二步：从函数f (x )与g (x )中随机选择一个作为H (x )进行计算，共有2种方法，∴该运算共有f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，10种方法， 而满足y ＝4的有f (1)，g (2)两种情况，∴由古典概型概率公式得y ＝4的概率P ＝210＝15. (2)输出结果是奇数有以下几种情况：f (2)，f (4)，g (1)，g (3)，g (5)共5种，∴由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率P ＝510＝12. 19．解 (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N *)． 由题意得，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *，于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n ) ＝b (2－12n )(n ∈N *)． 所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告每天播放量n (次)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n ∈N *. (2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒n ≥4(n ∈N *)． 所以，要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需4次．20．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a 2＞a 1，即a 2＞2.又(n ＋1)a n ≥na 2n ，令n ＝1，则有2a 1≥a 2，即a 2≤4，所以a 2∈(2,4]．(2)数列{a n }不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a n }是公比为q 的等比数列，由a 1＝2＞0，得a n ＝2q n －1. 因为数列{a n }是递增数列，所以q ＞1.因为(n ＋1)a n ≥na 2n ，对任意n ∈N *都成立，所以对任意n ∈N *，都有1＋1n≥q n ．① 因为q ＞1，所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞2.因为1＋1n≤2(n ∈N *)． 所以存在n 0∈N *，使得当n ≥n 0时，q n ＞1＋1n，与①矛盾，故假设不成立． 故数列{a n }不能为等比数列．。