《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第7课函数的性质(1)

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2017-2018年高考数学考点总结，高考数学函数必考性质总结.函数是高考数学中的难点和重点，在高考临近之际，应该如何应对呢？三好网高中数学辅导老师将函数必考性质总结如下。

高考数学考点总结一次函数一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b 则此时称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，y是x的正比例函数.即:y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质1。

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

高三数学总复习教程第7讲函数的性质一、本讲内容二、本讲进度函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的图像三、学习指导函数的单调性，对我们研究函数的图像，解不等式，求函数的最值和极值，证明不等式都有着非常重要的意义。

研究函数的单调性，有两种方法：一是根据定义，先确定单调区间，再根据定义加以证明；一是求出函数的导函数，求出使f/(x)=0的点（驻点）再根据这一点左、右导函数的符号是否发生了变化。

如果没有变化，说明单调性没有改变，该点不是单调区间的端点；如果由f/(x)＞0变为f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端和一个增区间的左端点，函数在这点取得极大值；如果由f/(x)＜0，说明该点是一个减区间的右端点和一个增区间的左端点，函数在该点取得极小值。

要分清极值与最值这两个不同的概念，极值是一个局部的概念，最值是一个整体的概念，，无极值，无最值 y=x， x∈[0，1]y=x ∈[－23，23] 有极值，有最值，但最值不是极值关于函数的奇偶性和周期性，要特别注意以下几点：1．奇函数和偶函数的定义域必然是关于x=0对称的区域，故定义域不是关于x=0对称的函数必不是奇函数，也不是偶函数。

2．奇函数的图像至于原点对称，偶函数的图像关于y 的轴对称。

注意“图像关于原点对称的函数必是奇函数”与“关于原点对称的图形必是奇函数的图像”的区别。

3．在x=0处有定义的奇函数必满足f(0)=0，即图像过原点（想一想，为什么？）4．奇函数，偶函数仅仅是图像的对称中心，对称轴位置较特殊的函数，奇函数，偶函数的图像经过平移后，未必还表示奇、偶函数，而不是奇函数，偶函数的函数，只要它们的图像是轴对称图形或中心对称图形，就可经适当平移，成为奇（偶）函数的图像。

5．定义域有界的函数不可能是同期函数。

同期函数不一定有最小正周期。

若T （T ≠0）是函数y=f(x)的周期，则T 的非零整数倍也是它的周期。

6．一个函数的图像，如果有两条对称轴：x=a 和x=b （a ≠b ）就必有无数条对称轴，∵f(x)=f(2a －x)=f(2b ―(2a ―x))=f(2b －2a+x)，∴f(x)为周期函数2(b －a)为它的一个周期；如果有两个对称中心：（a ，0），（b ，0）（a ≠b ），则有无数个对称中心，设（x ，y ）为函数y=f(x) 图像上任意一点，则(2a ―x ，―y)在函数图象上，从而[2b ―(2a ―x)，―(―y)]即（2b ―2a+x ，y ）也在函数图像上，∴f(x)为周期对称，2(b －a)当它的一个周期；如果有一条对称轴x=a 和一个对称中心(b ，0)（a ≠b ）则函数图像也有无数条对称轴和无数个对称中心，设(x ―y)当函数图像上任意一点，则(2a ―x ，y)在图像上，(2b ―2a+x ，―y)在图象上，从而f(4b ―4a+x)=f(x)，∴f(x)当周期函数4b ―2a 当其一个周期。

第7讲 二项式定理一、教学目标1．理解二项式定理和二项开放式的性质；2．能运用二项式定理和二项开放式的性质来解决与二项开放式有关的简洁问题。

二、学问回顾与梳理1、二项式定理：（a +b ）n =C 0n a n +C 1n a n －1b 1+…+C r n a n －r b r +…+C n n b n。

这个公式所表示的定理叫做二项式定．．．．理．，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项开放式，其中的系数C rn (r ＝0,1,2，…n )叫做二项式系数．．．．．。

式中的C .r r n r n b a -叫做二项开放式的通项．．，用T r ＋1表示，即开放式的第r+1项；T r ＋1＝C .rr n r n b a - 留意区分“二项式系数”和“系数”则两个基本概念。

要留意二项式定理的双向功能：一方面可将()n a b +开放，另一方面可将二项开放式合并成()na b +，可以用于化简、求和或者证明。

2、二项式系数性质：C mn=C mn n-，即对称性.当n为偶数时，C 2nn最大.当n为奇数时，21C -n n =C 21+n n 且最大.3、各项二项式系数之和：nn r n n n C C C C 10+++++ =2n .偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和.14205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ，“赋值法”是争辩系数和或二项式系数和常用方法。

三、诊断练习1、教学处理：课前由同学自主完成5道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏内．课前抽查批阅部分同学的解答，了解同学的思路及主要错误．点评时要有针对性，抓住开放式、二项式系数、开放式系数、次数、二项式系数性质等进行，订正同学普遍存在问题，重点是进一步渗透思想和方法．2、诊断练习点评题1：6(42)()xx x R --∈开放式中的常数项为 15 . 【分析与点评】6(42)()x x x R --∈()6222x x--=，()6222x x--中r r x r x r r x r x r r C C T )1(2)2()2()()6(266261-=-=-+---+由题意可知：xr r x --)6(2为常数，即)212(r r x --为常数，所以4,123==r r ，15)1(22640465==-=∴C C T ，15常数项为∴．题2：在52x ⎫⎪⎭中第3项的二项式系数为__________，系数为__________【分析与点评】本题主要考查了二项开放式的通项公式T r ＋1＝C rn rr n ab -的应用，通项公式体现了开放式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求某些特定项及系数方面有着广泛的应用，本题还考察同学对“二项式系数”和“系数”则两个基本概念的理解。

§7函数的性质（1）【考点及要求】理解单调性，奇偶性及其几何意义，会判断函数的单调性，奇偶性【基础知识】1．函数单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，①若 则()f x 在区间I 上是增函数，②若 则()f x 在区间I 上是增函数2．若函数()f x 在区间I 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间具有（严格的） ， 区间I 叫做()f x 的3．偶函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是偶函数。

其图象关于 对称。

奇函数：如果对函数()f x 的定义域内 x 都有 ，那么称函数()f x 是奇函数。

其图象关于 对称。

【基本训练】1．偶函数12+=x y 在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数，奇函数xy 1=在（0，+∞）上为单调 函数，（∞-，0）上为单调 函数。

2．函数x y 2log =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，则函数x x y 2log +=在（0，+∞）上为单调 函数；3．函数2x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y =在（0，+∞）上为单调 函数，函数x y -=在（0，+∞）上为单调 函数；4．若奇函数)(x f y =的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在)(x f y =的图象上；若偶函数)(x f y =的图象上有一点（3，—2），则另一点 必在)(x f y =的图象上；【典型例题讲练】例1已知函数)0(13)(2>++=x x x x x f 试确定函数)(x f 的单调区间，并证明你的结论练习 讨论函数)0(3)(>+=x xx x f 的单调性例2 若函数)3(log 22a ax x y +-=在[2，+∞)是增函数，求实数a 的范围练习： 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求a 的范围【课堂小结】1、函数单调性的定义 2、单调区间 3、复合函数的单调性【课堂检测】1．数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是2．函数x x y -=2)31(的单调递增区间是 3． 若y x y x 5533-≥---成立，则_____0x y +4．函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上是单调函数，求a 的范围。

函数的性质知识讲解一、函数的奇偶性1.定义奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．2.判断函数奇偶的方法1）定义法：先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断()f x 与()f x 关系；若()()f x f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x ，则()f x 是奇函数． 2）图像法：函数图像关于y 轴对称函数是偶函数．函数图像关于原点对称函数是奇函数．3.性质1）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．3）设()f x ，()g x 的定义域分别是12D D ，，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇⨯奇=偶(例如sin yx x 是偶函数)，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（例如cos y x x 是奇函数）．4.奇偶性的等价条件条件：对于定义域内的任意一个x ()()()()0f x f x f x f x ()f x 是偶函数函数图像关于y 轴对称．()()()()0f x f x f x f x ()f x 是奇函数函数图像关于原点对称．推广：①()y f x a 是偶函数()()f a x f a x ()(2)f x f a x ()f x 关于x a 对称．②()()f ax f b x ()f x 关于2a b x 对称③()yf x a 是奇函数()()f a x f a x ()f x 关于(0)a ，成中心对称．④()()(2)()f x a f x a f x a f x ()f x 是周期函数2T a （0a ）的周期函数．二、函数的单调性1.定义：设函数()yf x 的定义域为A ，区间M A ，如果取区间M 中任意两个值，12x x ，，改变量 210xx x △，则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．则当210y y y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．2.讨论函数单调性：必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单 调区间是其定义域的子区间；3.判断函数的单调性的方法有：1）定义法2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的导数判断函数的单调性；4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；5）奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性． 6）在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．7）()af x 当0a >时候与()g x 的单调性相同，当0a <时候与()g x 的单调性相反．8）如果()f x 是单调函数且()0f x >，则()f x 和1()f x 数的单调性是相反的，如果()f x 是单调函数且()0f x <，()f x 和1()f x 的单调性是相反的． 注意：单调性区间不能写成并集，可以写成和．不能根据()f x 的单调性和()g x 的单调性来判断判断()f x 与()g x 成积单调性．三、函数的对称性1.一个函数的对称问题：1）关于y 轴对称：)()(x f x f =-；2）关于原点对称：)()(x f x f -=-；3）关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；4）关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+．2.互两个函数的互对称：函数()y f x a =-与()y f a x =-的图像关于直线x a =对称．四、函数的周期性1.判断函数是否是周期函数：方法：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2.具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），1）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．2）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．3）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y ，()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．4）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数．经典例题一．选择题（共11小题）1．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f （x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，①又函数y=f（x）在R上为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）②由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）故选：A．2．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log2x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，4）B．（4，+∞）C ．（0，14）∪（4，+∞）D ．（14，4） 【解答】解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴在[0，+∞）上是增函数，∴f （log 2x ）=f （|log 2x |），则不等式等价于f （|log 2x |）＜f （2），∴|log 2x |＜2．∴﹣2＜log 2x ＜2∴14＜x ＜4． 故选：D ．3．已知f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f （1﹣x ）=f （1+x ），若f （1）=2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （50）=（ ）A ．﹣50B ．0C ．2D ．50【解答】解：∵f （x ）是奇函数，且f （1﹣x ）=f （1+x ），∴f （1﹣x ）=f （1+x ）=﹣f （x ﹣1），f （0）=0，则f （x +2）=﹣f （x ），则f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，∵f （1）=2，∴f （2）=f （0）=0，f （3）=f （1﹣2）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （4）=f （0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．4．下列函数满足f（x）+f（﹣x）=0的是（）A．f(x)=√x B．f（x）=ln|x|C．f(x)=1x−1D．f（x）=xcosx【解答】解：f（x）+f（﹣x）=0；∴f（﹣x）=﹣f（x）；A．f（﹣x）=√−x≠﹣f（x）；B．f（﹣x）=ln|x|=f（x）；C.f(−x)=1−x−1≠−f(x)；D．f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x）．故选：D．5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，）|x﹣1|（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐设函数g（x）=（12标之和为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴f（x）的周期为2．∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），故f（x）的图象关于直线x=1对称．）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，又g（x）=（12作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．故选：B．6．已知函数f(x)=lgx4−x，则（）A．f（x）在（0，4）单调递减B．f（x）在（0，2）单调递减，在（2，4）单调递增C．y=f（x）的图象关于点（2，0）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=2对称【解答】解：由x4−x＞0得：x∈（0，4），令t=x4−x =﹣1﹣4x−4，故t=x4−x在（0，4）上为增函数，故函数f(x)=lg x4−x在（0，4）单调递增，故排除A，B，D，由f(x)=lg x4−x，故f（4﹣x）=﹣f（x），即y=f（x）的图象关于点（2，0）对称故选：C．7．设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A．f（3x）＞f（2x）B．f（3x）＜f（2x）C．f（3x）≥f（2x）D．f（3x）≤f（2x）【解答】解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）对于任意的x∈R有f（1﹣x）=f（1+x）可得函数关于x=1对称由a＞0可得函数在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增当x＞0时，3x＞2x＞1，f（3x）＞f（2x）当x=0时，3x=2x=1，f（3x）=f（2x）当x＜0时，3x＜2x＜1，f（3x）＞f（2x）综上可得，f（3x）≥f（2x）故选：C．8．函数f(x)=1x−x的图象关于（）A．y轴对称B．坐标原点对称C．直线y=x对称D．直线y=﹣x对称【解答】解：函数f(x)=1x−x的定义域为{x|x≠0，且x∈R}，由f（﹣x）=1−x+x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则函数f(x)=1x−x的图象关于坐标原点对称．故选：B．9．已知f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤π2时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，12）D．（0，1）【解答】解：f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x）；∴f（x）为奇函数，且f（x）在R上为增函数；由f（msinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（msinθ）＞f（m﹣1）；∴msinθ＞m﹣1；∴m（1﹣sinθ）＜1；∴①θ=π2时，m∈R；②0≤θ＜π2时，m＜11−sinθ；11−sinθ的最小值为1；∴m＜1；∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．故选：B．10．已知函数f（x）=x3+x+10，实数x1，x2，x3满足x1+x2＜0，x2+x3＜0，x3+x1＜0，则f （x1）+f（x2）+f（x3）的值（）A．一定大于30B．一定小于30C．等于30D．大于30、小于30都有可能【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣10=x3+x，则有g（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）=﹣g（x），函数g（x）为奇函数，又由g（x）=x3+x，则g′（x）=3x2+1＞0，则g（x）在R上为增函数，若x1+x2＜0，则x1＜﹣x2，则有g（x1）＜g（﹣x2）=﹣g（x2），即有g（x1）+g（x2）＜0，则有f（x1）﹣10+f（x2）﹣10＜0，变形可得f（x1）+f（x2）＜20，同理可得：f（x2）+f（x3）＜20，f（x1）+f（x3）＜20，三个式子相加，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜30；故选：B．11．奇函数f （x ）满足f （x +2）=﹣f （x ），当x ∈（0，1）时，f （x ）=3x +12，则f （log 354）=（ ）A ．﹣2B ．﹣76C ．76D ．2【解答】解：∵f [（x +2）+2]=﹣f （x +2）=f （x ），∴f （x ）是以4为周期的奇函数，又∵f(log 354)=f(log 381×23)=f(4+log 323)=f(log 323)=f(−log 332)=−f(log 332)，∵0＜log 332＜1，∴f(log 332)=3log 332+12=32+12=2，∴f （log 354）=﹣2，故选：A ．二．填空题（共5小题）12．奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，则f （1）= 2 ．【解答】解：奇函数f （x ）的图象关于点（1，0）对称，f （3）=2，可得f （x ）+f （2﹣x ）=0，即有f （3）+f （﹣1）=0，则f （﹣1）=﹣2，可得f （1）=﹣f （﹣1）=2，故答案为：2．13．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（﹣x）+f（x）=0，当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，则f（﹣21）+f（16）=﹣1．【解答】解：由f（﹣x）+f（x）=0，知f（x）是定义在R上的奇函数，又f（x+4）=f（x），且当0＜x＜2时，f（x）=2x﹣1，∴f（﹣21）+f（16）=f（﹣1）+f（0）=﹣f（1）=﹣（﹣121﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．14．若函数f（x）=x3+x，若f（a﹣2）+f（a2）≥0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）为奇函数，且在R上单调递增；∴由f（a﹣2）+f（a2）≥0得：f（a2）≥f（2﹣a）；∴a2≥2﹣a；解得a≤﹣2，或a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．15．已知定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （﹣1）=2，则不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为 （1，2] ．【解答】解：因为f （x ）是在R 上的奇函数，f （﹣1）=2，所以f （1）=﹣f （﹣1）=﹣2，因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （x ﹣1）+2≤0为：f （x ﹣1）≤﹣2=f （1）， 所以0＜x ﹣1≤1，解得1＜x ≤2，所以不等式f （x ﹣1）+2≤0在（0，+∞）的解集为（1，2]，故答案为：（1，2]．16．若函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数，则a= ﹣1 ，函数f （x ）的值域为 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．【解答】解：函数f(x)=a −22x −1(a ∈R)是奇函数， 可得f （﹣x ）+f （x ）=a ﹣22−1+a ﹣22−1=2a ﹣（22x −1+2⋅2x 1−2x）=2a +2=0， 解得a=﹣1，则y=f （x ）=﹣1﹣22x −1， 可得1﹣2x =21+y ，即有2x=y−1＞0，y+1解得y＞1或y＜﹣1，可得值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），．三．解答题（共2小题）17．已知奇函数f（x），在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分，（1）请补全函数f（x）的图象；（2）求函数f（x）的表达式；（3）写出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于y轴左侧的部分，如图所示：（2）当x≥0时，设f（x）=a（x﹣1）2﹣1，又f（0）=0，得a=1，即f（x）=（x﹣1）2﹣1；当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x﹣1）2﹣1]=﹣（x+1）2+1，（3）根据函数图象可知：函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；函数f（x）的单调递减区间是：[﹣1，1]．18．定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．（1）试判断并证明f（x）在（﹣∞，0）上的单调性；（2）若f（1）＜f（x﹣1），求x的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数，设x1＜x2＜0，则﹣x1＞﹣x2＞0，∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数∴f（﹣x1）＞f（﹣x2），又∵f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，0）是单调减函数；（2）若f（1）＜f（x﹣1），则f（1）＜f（|x﹣1|），则有|x﹣1|＞1，解可得：x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．。

专题7 函数的图象及性质1.知式选图的四个切入点(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 2.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称. (2)若对于R 上的任意x 都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)考向一 由函数解析式确定函数图象【典例】(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=错误!未找到引用源。

在[-π,π]的图象大致为考向二 函数基本性质的综合应用【典例】(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=x 3-错误!未找到引用源。

,则f(x)A.是奇函数①,且在(0,+∞)单调递增②B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减① 利用定义f(-x)=-f(x)②利用复合函数同增异减的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.1.确定函数图象的方法(1)奇偶性定对称(2)特殊值定正负(3)端点值定趋势2.图象对称巧变换(1)y=f(x)错误!未找到引用源。

y=|f(x)|.(2)y=f(x)错误!未找到引用源。

y=f(|x|).3.恒成立(有解)问题巧转化若f(x)≤m 在x∈错误!未找到引用源。

恒成立,则等价于f(x)max≤m ;若f(x)≤m 在x∈错误!未找到引1.已知函数f(x)=错误!未找到引用源。

若f(f(0))=1,则a的值为A.1B.0C.-1D.22.已知函数f(x)=log a错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

x(a>0且a≠1),则A.f(x)图象关于原点对称B.f(x)图象关于y轴对称C.f(x)在R上单调递增D.f(x)在R上单调递减3.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞),有错误!未找到引用源。

2021年新高考数学总复习讲义：函数的性质知识讲解一、函数的奇偶性1.定义奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．2.判断函数奇偶的方法1）定义法：先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断()f x 与()f x 关系；若()()f x f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x ，则()f x 是奇函数．2）图像法：函数图像关于y 轴对称函数是偶函数．函数图像关于原点对称函数是奇函数．3.性质1）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．2）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．3）设()f x ，()g x 的定义域分别是12D D ，，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇， 偶±偶=偶，奇⨯奇=偶(例如sin yx x 是偶函数)，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇（例如cos yx x 是奇函数）．4.奇偶性的等价条件条件：对于定义域内的任意一个x ()()()()f x f x f x fx ()f x 是偶函数函数图像关于y 轴对称．()()()()0f x f x f x fx ()f x 是奇函数函数图像关于原点对称． 推广：①()yf xa 是偶函数()()f a x f a x ()(2)f x f a x ()f x 关于xa 对称．②()()f a x f b x ()f x 关于2a b x对称③()y f x a 是奇函数()()f a x f a x ()f x 关于(0)a ，成中心对称．④()()(2)()f xa f xa f xa f x ()f x 是周期函数2Ta （0a ）的周期函数．二、函数的单调性1.定义：设函数()yf x 的定义域为A ，区间M A ，如果取区间M 中任意两个值，12x x ，，改变量 210x x x △，则当210yy y △时，就称函数()yf x 在区间M 上是增函数．则当210yy y △时，就称函数()y f x 在区间M 上是增函数．2.讨论函数单调性：必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单 调区间是其定义域的子区间；3.判断函数的单调性的方法有：1）定义法2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的导数判断函数的单调性； 4）复合函数的单调性结论：“同增异减”；5）奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．6）在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数． 7）()af x 当0a >时候与()g x 的单调性相同，当0a <时候与()g x 的单调性相反． 8）如果()f x 是单调函数且()0f x >，则()f x 和1()f x 数的单调性是相反的，如果()f x 是单调函数且()0f x <，()f x 和1()f x 的单调性是相反的． 注意：单调性区间不能写成并集，可以写成和．不能根据()f x 的单调性和()g x 的单调性来判断判断()f x 与()g x 成积单调性．三、函数的对称性1.一个函数的对称问题：1）关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 2）关于原点对称：)()(x f x f -=-；3）关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；4）关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+．2.互两个函数的互对称：函数()y f x a =-与()y f a x =-的图像关于直线x a =对称．四、函数的周期性1.判断函数是否是周期函数：方法：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2.具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数），1）函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．2）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．3）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y ，()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数．4）函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2017秋•城关区校级期末）若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（log2x）＜0的x的取值范围是（）A．（0，4）B．（4，+∞）C．（0，14）∪（4，+∞）D．（14，4）2．（2017秋•周村区期末）已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f （x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=﹣x（x+2）B．f（x）=x（x﹣2）C．f（x）=﹣x（x﹣2）D．f（x）=x（x+2）3．（2017•天津学业考试）下列函数中是奇函数的为（）A．y=2x B．y=﹣x2C．y=（13）x D．y=log3x4．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．505．（2018•海淀区一模）下列函数满足f（x）+f（﹣x）=0的是（）A．f(x)=√x B．f（x）=ln|x|C．f(x)=1x−1D．f（x）=xcosx6．（2018•湛江二模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=e x B．y=log12xC．y=x 13D．y=﹣x37．（2018•宝鸡三模）函数f（x）=4x+12的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称8．（2018•桃城区校级模拟）已知函数f(x)=lgx4−x，则（）A．f（x）在（0，4）单调递减B．f（x）在（0，2）单调递减，在（2，4）单调递增C．y=f（x）的图象关于点（2，0）对称D．y=f（x）的图象关于直线x=2对称9．（2018•呼和浩特一模）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=x﹣2D．y=log3（﹣x）10．（2018•太原二模）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）A．y=e x+e﹣x B．y=ln（|x|+1）C．y=sinx|x|D．y=x−1x11．（2018•南充模拟）设f（x）是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x （1+x），则f(−92)=（）A．−34B．−14C．14D．3412．（2018•天心区校级一模）已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数是（）A．3B．5C．7D．9二．填空题（共4小题）13．（2018•绵阳模拟）奇函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，f（3）=2，则f（1）=．14．（2017•徐汇区校级模拟）定义在R上的奇函数f（x）以2为周期，则f（1）=．15．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）=x+1，则f（25）=．16．（2009秋•黄浦区校级期末）函数f(x)=a x+a−x2，则图象关于对称．三．解答题（共2小题）17．（2011•通州区校级模拟）已知函数f（x）=x3+x．（1）指出f（x）在定义域R上的奇偶性与单调性（只要求写出结论，无须证明）；（2）已知实数a，b，c满足a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，试判断f（a）+f（b）+f （c）与0的大小，并加以证明．18．（2010•广州校级模拟）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1﹣f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值．。

学科教师辅导讲义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期：1、掌握函数四大性质:单调性，奇偶性，周期性，对称性2、掌握函数四大性质的推论3、抽象函数的结论1、()()12120f x f x x x ->-⇒()f x 单调递增2、()'0f x >⇒()f x 单调递增；注意：()f x 单调递增⇒()'0f x ≥有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．Point:单调性知识详解教学目标同增异减1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性4、 (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．5、已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f 12⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c复合函数的单调性()()f x f x -=偶函数 ()()f x f x -=-奇函数注意：定义域关于()0,0对称，且奇函数中，()00f =1、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.2、(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．3、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________．4. 函数()y f x =在区间[0,2]上单调递增，且函数()2f x +是偶函数，比较()571,,22f f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小5. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()132xf x a =++，则31log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭Point:奇偶性()f x 为奇函数，无偶次方的项 ()f x 为偶函数，无奇次方的项加一重负号⇒偶函数 加两重负号⇒奇函数f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．把奇偶性看作正负性进行运算： 注意：偶-奇=偶是不对的()f x a +是偶函数⇒()f x 关于x a =对称1．下列函数为偶函数的是( )A ．y ＝tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝x 2＋e |x |C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数奇偶性运算分段函数的奇偶性高次函数的奇偶性B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数3、函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x4、已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)一偶为偶重点奇函数：()3f x x =，()sin f x x =，()tan f x x =，()()af x x a R x=+∈，()x x f x e e -=-（类双刀） ()()2ln1f x x x =+±，()11x xa f x a -=+，()1ln 1x f x x +=- 偶函数：()y f x =，()cos f x x =，()1x x f x e e=+（类对勾）1.若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4常见的奇偶函数复合函数的奇偶性周期用减，对称用加括号内相减为常数，对应的函数有周期性。

精品家教个性化教学辅导教案学员姓名：____ 任课教师：_______ 所授科目：___数学__要点八 段函数和抽象函数【例8】2010天津理（8）已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞【命题立意】分段函数是一类非常重要的函数形式，因为其覆盖面较大，而备受命题人的青睐. 本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的数学思想。

【标准解析】由已知，函数在整个定义遇上单调递增的。

故)()2(2a f a f >- ，等价于022<-+a a ，解得12<<-a【误区警示】常见的错误是计算中不能根据自变量的范围挑选出适合的函数段，或计算错误.解决这类问题的有效方法是由内到外逐层计算，解题时要层次分明，思路清晰.【变式训练】2010年天津文（8）若函数()f x =212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若()f a >()f a -,则实数a 的取值范围是（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）【标准解析】当0a >时，由f(a)>f(-a)得：212log log a a >，即221log log a a >，即1a a >， 解得1a >；当0a <时，由()f a >()f a -得：12log ()a ->2()log a -，即21log ()a->2()log a -，即1a->a -，解得10a -<<，故选C 。

___第7课__函数的性质(1)____1. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性．2. 掌握判断一些简单函数单调性的常用方法．3. 会运用函数图象理解和研究函数的单调性.1. 阅读：必修1第37～39页．2. 解悟：①圈出第37页蓝色框中关于单调函数及单调区间概念中的关键词；②如何求函数的单调区间？有哪些方法？③用定义法判断函数单调性的一般步骤和注意点；④对于根本初等函数，我们一般用什么方法求函数的最值？3. 践习：在教材空白处，完成第40页练习第1、2、5、7、8题.根底诊断1. 函数y ＝xx －1的单调减区间是__(－∞，1)，(1，＋∞)__．解析：因为y ＝x x －1＝1＋1x －1，所以该函数的单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)． 2. 函数y ＝f(x)在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，那么实数m 的取值范围为__(－∞，－1)∪(0，＋∞)__．解析：因为y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (m 2)>f (－m )，所以m 2>－m ，即m 2＋m >0，解得m >0或m <－1，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．3. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间为__(0，1]__．解析：由题意可知x>0，y′＝x －1x ，令y′≤0，那么x －1x ≤0，即x 2－1x ≤0，解得－1≤x ≤1且x ≠0.又因为x>0，所以0<x ≤1，故该函数的单调减区间为(0，1]．4. 函数y ＝f(x)在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，那么不等式－2<f (x )<2的解集为__(－3，0)__．解析：由题意得－2＝f (0)，2＝f (－3)，所以－2<f (x )<2，即f (0)<f (x )<f (－3)．又因为函数f (x )在R 上是减函数，所以－3<x <0，故该不等式的解集为(－3，0)．5. f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x>1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的单调增函数，那么实数a 的取值范围为__[4，8)__．解析：因为函数f (x )是R 上的单调增函数，所以f (x )＝a x 在(1，＋∞)上单调递增，f (x )＝⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2在(－∞，1]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥4－a 2＋2，解得4≤a <8，故实数a 的取值范围是[4，8)．范例导航考向❶ 求函数的单调区间例1 求以下函数的单调区间： (1) y ＝2－x 2＋4x －3； (2) y ＝log 12(－x 2＋4x －3)．解析：(1) 由题意得函数的定义域为R ， 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，所以函数y ＝－x 2＋4x ＋3的增(减)区间即为原函数的增(减)区间． 因为函数y ＝－x 2＋4x ＋3的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)， 所以原函数的增区间为(－∞，2)，减区间为(2，＋∞)． (2) 因为y ＝log 12(－x 2＋4x －3)，所以－x 2＋4x －3>0，解得1<x <3. 令t ＝－x 2＋4x －3，那么y ＝log 12t .因为t 在区间(1，2)上单调递增，区间(2，3)上单调递减，而y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y ＝log 12(－x 2＋4x ＋3)在区间(2，3)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减．求函数y ＝12x 2－x －2ln x 的单调区间．解析：由题意知，原函数的定义域为(0，＋∞)． 因为y ＝12x 2－x －2ln x ，所以y ′＝x －2x －1.令y ′>0，那么x －2x －1>0，解得x >2；令y ′<0，那么x －2x－1<0，解得0<x <2.所以该函数的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(0，2). 考向❷ 证明单调性，以及根据单调性求参数的取值范围 例2 函数f(x)＝xx －a(x ≠a)．(1) 假设a ＝－2，求证：函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；(2) 假设a>0且函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 设x 1<x 2<－2， 那么f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2〔x 1－x 2〕〔x 1＋2〕〔x 2＋2〕. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2) 设1<x 1<x 2，那么f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a 〔x 2－x 1〕〔x 1－a 〕〔x 2－a 〕. 因为a>0，x 2－x 1>0，所以要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立，所以a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．函数f(x)＝23ax 3＋x 2＋x －1.(1) 当a ＝－12时，求f(x)的单调区间；(2) 假设函数f(x)在[1，3]上单调递增，求a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝－12时，f(x)＝－13x 3＋x 2＋x －1，那么f′(x)＝－x 2＋2x ＋1.令f′(x)≥0，解得1－2≤x ≤1＋2；令f′(x)<0，解得x<1－2或x>1＋ 2.故当a ＝－12时，f(x)的单调增区间为[1－2，1＋2]，单调减区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)． (2) f′(x)＝2ax 2＋2x ＋1≥0对∀∈[1，3]恒成立， 所以a ≥－1x －12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x ＋12＋12.因为1x ∈⎣⎡⎦⎤13，1，所以当x ＝3时，－12(1x ＋1)2＋12取最大值－718， 所以a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－718，＋∞. 考向❸ 利用单调性求最值例3 函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求函数f(x)的最小值；(2) 假设对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2.设1≤x 1<x 2，那么f(x 2)－f(x 1)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－12x 1x 2.因为1≤x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，2x 1x 2>2， 所以0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0，所以f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2) 在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立，即x 2＋2x ＋a>0恒成立． 设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，那么函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数， 所以当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3，即实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．自测反应1. 定义在区间(－1，1)上的函数f(x)是减函数，且满足f(1－a)<f(2a －1)，那么实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫0，23__． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－a>2a －1，－1<1－a<1，－1<2a －1<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<23，0<a<2，0<a<1，所以0<a<23，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 2. 函数f(x)＝2xx ＋1在区间[1，2]上单调递__增__．(填“增〞或“减〞) 解析：设1≤x 1<x 2≤2，那么f(x 1)－f(x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1＝2〔x 1－x 2〕〔x 1＋1〕〔x 2＋1〕. 因为(x 1＋1)(x 2＋1)>0，x 1－x 2<0，所以f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间[1，2]上单调递增．3. “a ≤0〞是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增〞的__充要__条件． 解析：当a ＝0时，f(x)＝|－x|＝|x|，函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)＝|(ax －1)x|，函数f(x)与x 轴的交点为(0，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，0，函数的大致图象如图1，故函数f(x) 在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)＝|(ax －1)x|，函数与x 轴的交点为(0，0)，⎝⎛⎭⎫1a ，0，函数的大致图象如图2，故函数f(x)在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在(0，＋∞)上不是增函数． 综上，当函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增时，a ≤0，故“a ≤0〞是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增〞的充要条件．图1 图24. 假设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6， x ≤2，3＋log a x ， x>2(a>0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，那么实数a的取值范围是__(1，2]__．解析：当x ≤2时，f(x)＝－x ＋6≥－2＋6＝4；当x>2时，假设a>1，那么f(x)＝3＋log a x>3＋log a 2，由f(x)的值域可知，3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；假设0<a<1，那么f(x)＝3＋log a x<3＋log a 2，与f(x)的值域矛盾，故a 的取值范围是(1，2]．1. 函数的单调性主要关注的是函数的局部性质．2. 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．多个单调区间不能用“∪〞连结，要用“逗号〞或者“和〞连结.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

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题组训练7 函数的奇偶性与周期性1．函数f（x）＝x＋错误!(x≠0）是( )A．奇函数，且在(0，3)上是增函数B．奇函数，且在(0,3）上是减函数C．偶函数，且在（0，3）上是增函数D．偶函数，且在（0,3）上是减函数答案B解析因为f（－x)＝－x＋错误!＝－(x＋错误!)＝－f(x）,所以函数f（x)＝x＋错误!为奇函数．当x1，x2∈（0，3）(x1〈x2）时，f（x1)－f（x2）＝x1＋错误!－（x2＋错误!)＝（x1－x2）错误!.因为x1－x2〈0,x1x2>0,x1x2〈9，所以（x1－x2)错误!〉0，所以f(x1）>f(x2)，所以函数f（x）在(0，3)上是减函数，故选B.2．（2018·黑龙江大庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞）上单调递减,并且是偶函数的是( )A．y＝x2B．y＝－x3C．y＝－ln|x| D．y＝2x答案C解析A项，y＝x2是偶函数，在(0，＋∞）上单调递增，不合题意；B项，y ＝－x3是奇函数，不合题意；C项，y＝－ln|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意;D项，y＝2x不是偶函数，不合题意．故选C。

第8课 函数的性质（2）一、教学目标1.理解函数奇偶性的概念，把握推断一些简洁函数奇偶性的方法；2.把握奇、偶函数的对称性，体会数学的对称美；3.能解决与单调性，奇偶性等有关的一些综合题。

二、学问梳理 [回顾要求]1. 阅读必修一第41—42页并完成以下任务: （1）如何理解函数的奇偶性的定义？（2）写出常见的初等函数，并推断它们的奇偶性。

（3）推断函数奇偶性的主要依据是什么？2．在必修一第42-43页空白处重新完成例题6、7后总结：推断函数奇偶性的一般步骤是什么？ 3. 具备奇偶性的函数，其定义域必需具有怎样的特点？这一特点是函数奇偶性定义的要求吗？ 4．请尝试写出具备奇偶性的函数的其它性质。

5．什么是周期函数，你能用数学符号表示吗？你知道的周期函数有哪些？ 6.在教材上的空白处做以下题目:第43页练习第1,2，4，6，7题. [要点解析]1. (1)利用定义推断函数奇偶性的步骤：(2)在推断奇偶性的运算中，可以转化为推断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.（3）推断函数的奇偶性，首先应当推断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.（4）推断函数f (x )是奇函数，必需对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0).对于偶函数的推断同此理.2．正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )必需是整个定义域上的恒等式.3.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去推断函数的奇偶性.4.若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝)(1x f 或f (x ＋a )＝－)(1x f (a是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数.5.分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行推断，不行以利用函数在定义域某一区间上不具有奇偶性而否定函数在整个定义域上的奇偶性.热身训练1.对于定义在R 上的函数()f x ，下列推断是否正确？①若(2)(2)f f -=，则()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -=，则()f x 肯定不是奇函数； ③若(2)(2)f f -≠，则()f x 肯定不是偶函数；【教学建议】本题主要是挂念同学复习、理解函数奇偶性的概念．（1）教学时，老师可让同学说明理由或举出反例。