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非线性Klein-Gordon方程的最低阶混合元超收敛分析新模式樊明智;王芬玲【摘要】针对一类非线性Klein-Gordon方程利用最简单的双线性元Q11及Q01×Q10元建立了最低阶且自然满足Brezzi-Babuska条件的混合元逼近格式.基于双线性元的积分恒等式结果,建立了插值与Riesz投影之间的超收敛估计,再结合Q01×Q10元的高精度分析结果和插值后处理技术,在半离散和全离散格式下,导出了关于原始变量u和流量p分别在H1模和L2模意义下单独利用插值或Riesz投影所无法得到的超逼近性和超收敛结果.【期刊名称】《许昌学院学报》【年(卷),期】2016(035)005【总页数】9页(P1-9)【关键词】非线性Klein-Gordon方程;超逼近性和超收敛结果;混合有限元新模式;半离散和全离散格式【作者】樊明智;王芬玲【作者单位】许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000;许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000【正文语种】中文【中图分类】O242.21本文考虑如下的非线性Klein-Gordon方程其中Ω⊂R2为有界矩形区域，∂Ω为Ω的边界，X=(x,y)，f(X,t)∈L2(Ω)，γ是正常数，u0(X)，u1(X)是已知充分光滑的函数，假设a(u)，g(u)满足如下条件：(i)a(u)关于u一致有界，即存在正常数a0,a1满足,a0≤a(u)≤a1；(ii)a(u)和g(u)对变量满足Lipschitz条件，即存在正常数L使得Klein-Gordon方程具有丰富的实际背景和物理意义，它用于描述相对论量子力学和量子场论中自旋为零的粒子的最基本方程和Schrödinger方程的相对论形式，对于它的研究值得物理学家和数学家的高度关注.关于Klein-Gordon方程已有研究, 例如文献[1]对无界区域上一维Klein-Gordon方程建立一个显式差分格式, 并给出该格式的稳定性和收敛性结果；文献[2]和[3]研究了一维情形下的数值解；文献[4]讨论了二维Klein-Gordon方程存在唯一的整体解.不难看出,当a(u)=1和g(u)=sinu时，问题(1)变成了sine-Gordon方程, 因此sine-Gordon方程是问题(1)的特殊情况, 并得到一些有价值的成果[5～8], 由于Klein-Gordon方程比sine- Gordon方程复杂, 使问题的处理更为困难. 因此据我们所知到目前为止尚未见到有关问题(1)混合元格式的高精度分析.混合有限元方法与传统Galerkin有限元方法相比具有对空间的光滑度要求较低、并能同时得到原始变量和流量的误差估计等突出优势, 已成为一种常用的数值逼近方法.对于经典的混合有限元格式来说,混合元空间要满足Brezzi-Babuška条件[9，10] (简记为B-B条件),给构造合适的空间对带来一定的困难. 最近文献[11、12]给出了二阶椭圆问题新的混合有限元逼近格式, 具有自由度小且当逼近空间对满足包含关系时, B-B条件成立,同时又能避开散度算子带来的困扰等特点,文献[13]将此方法应用到线性抛物方程, 给出关于时间半离散混合格式和全离散化混合有限元格式,但仅仅得到了最优误差估计,文献[14]及[15]进一步研究了二阶椭圆问题和线弹性问题在新格式下的超收敛性,文献 [16]将其推广到线性Sobolev方程得到了非协调混合元格式半离散格式下的超收敛性和向后欧拉全离散格式下关于空间步长的超逼近性.该文目的是将Riesz投影的优势和插值的高精度分析方法的特色有机的结合起来, 利用Q11及Q01×Q10元针对方程(1)给出了最低阶混合元超收敛分析新模式. 借助于双线性元的高精度分析结果[17],得到了精确解的双线性插值与其Riesz投影之间的超收敛估计. 进一步的结合插值后处理技巧, 在半离散和全离散格式下,分别导出了原始变量u和分别在H1模和L2模意义下单独利用Riesz投影和插值技巧所无法得到的超逼近性和超收敛结果.设Th为Ω上的一族矩形剖分，∀K∈Th定义单元K的中心为(xK,yK)，其边长分别为2hx,K，2hy,K，取}.单元K的顶点为a1(xK-hx,K,yK-hy,K)，a2(xK+hx,K,yK-hy,K)，a3(xK+hx,K,yK+hy,K)，a4(xK-hx,K,yK+hy,K)，单元K的边为(mod4). 定义有限元空间：其中Qij=span{xrys,0≤r≤i，0≤s≤j}.设和分别为和所诱导的插值算子,且满足这里是对应边∂K的单位切向量.引理1[17] 若u∈H3(Ω)，则进一步地，若u∈H4(Ω)，则若，则利用文献[17]中类似的方法可得如下的结论：引理2 若u∈H3(Ω)则证明为了得到高精度估计引进误差函数[17]：令u-Ihu=φ，对ω1∈Q01做Taylor展开有于是注意到‴，根据分部积分公式得∫Kφxdxdy=∫KF″(y)φxdxdy=(∫l3-∫l1)F′(y)φxdxdy-∫KF′(y)φxydx= F′(yK+hy,K)(φ(xK+hx,K,yK+hy,K)-φ(xK-hx,K,yK+hy,K))-F′(yK-hhy,K)(φ(xK+hx,K,yK-hy,K)-φ(xK-hx,K,yK-hy,K))-(F(yK+hy,K)∫l3φxydx-F(yK-hy,K)∫l1φxydx)+∫KF(y)φxyy=∫KF(y)uxyy,∫Kφx(y-yK)dxdy=‴y.根据式(6)～(8)和逆不等式可知∫Kφxω1dxdy=.同理可证利用式(9)和(10)该引理2得证.设的Riesz(或椭圆)投影算子,即对，满足并且Rh具有性质：设，有接下来，我们给出插值和投影之间的超收敛估计.引理3 若,则.证明根据式(2)和(11)得((Rhu-Ihu)，(Rhu-Ihu))=((Rhu-u)，(Rhu-Ihu))+((u-Ihu)，(Rhu-Ihu))≤ch2|u|3|Rhu-Ihu|1.从而引理3得证.令=-u，则方程(1)可改写为令则问题(13)的变分形式为：求,使得其满足变分问题(14)的有限元逼近方程为：求满足定理1 设和分别是(14)和(15)的解,则有其中.证明首先令ξ.∀，根据式(14)和(15)有如下误差方程在(19a)和(19b)中分别令vh=ξt和ξt，并将(19a)+γ(19b)得(ξ,(η,.由Cauchy和Young不等式及式(12)可知基于式(11)得由假设(i)和(ii)可知,,根据式(21)～(24)将(20)变形为对(25)从0到t积分,并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0得将Gronwall引理应用于(26)可知借助(27)和引理3有，从而(16)式得证.另一方面，利用引理2和引理3得在 (19b)中利用引理2和式(4)、(26)及(27)得,即，从而式(17)成立，定理1证毕.注1 若将式(15)和(18)中的Rh换成插值Ih时可得如下结论：(1)结合式(3)可得半离散超逼近结果此时，u∈H4(Ω)的要求比本文定理1中的u∈H3(Ω)的光滑度要高.(Ⅱ)借助于文献[5～7]中的导数转移技巧有显然与定理1相比对ut的光滑度要求稍高.注2 若仅用投影时虽然可以得到关于空间步长的超逼近性，但如何构造关于投影的后处理算子仍然是悬而未决的问题.因此，到目前为止无法直接得到关于投影的超收敛结果.为了得到整体超收敛，我们先把Th相邻的四个小单元合并构成一个大单元(如图1).并设Zi(i=1,2,…,9)为四个小单元的所有顶点.在上根据文献[17]构造具有如下性质的插值后处理算子:其中)为上的连续函数空间，则算子分别满足如下性质：定理2 在定理1的条件下，有如下的整体超收敛结果证明利用定理1和(29)可知，).即式(31)得证.同理借助定理1和式(30)可证式(32)，定理2证毕.在本节中我们将主要讨论全离散格式下的误差估计，仅讨论a(u)=a(X)的情形.设0=t0≤t1≤…tN-1≤tN=T是上步长为τ=T/N的剖分，tn=nτ, n=0,1,2,…,N,Un 代表t=tn时u(tn)在Vh中的逼近.为了方便起见，我们引入下面一些记号：定义(14)全离散逼近格式为：求满足其中utt(X,0)=-a(X)u1(X)+γΔu0(X)-g(u0(X))+f(X,0).定理和分别是(14)和(33)的解，则有其中.证明为了进行误差估计，记∀由(14)和(33)可导出如下误差方程其中根据(37b)可得在(37a)和(38)中分别取,并将(37a)+γ(38)有,不难看出，(39)的右端各项分别变形为接下来我们给出(39)式右端的估计，注意到借助于(43)有根据(11)可知利用假设(i)和插值理论得G3=.利用假设(i)和(43)将G4估计为.借助泰勒展开式直接计算有利用式(48)有.综合式(40)～(42)、(44)～(47)及(49)并取得其中.对式(50)关于j从1到n-1求和得).由初始条件和泰勒展开式得因此，再结合U1的定义可知再借助于式(52)并注意到ξ0=0得利用式(53)将式(51)变形为其中(ξn，ξn-1).根据Young不等式得，(ξn，，得选择适当小的τ，使1-cτ>0，再根据离散的Gronwall引理得.利用引理3和三角不等式有即式(34)得证.在式(37b)中令h=θn，再利用(4)和引理2及1的估计结果得，定理3得证.注3 若将式(36)中的Rh换成插值Ih时，结合(3)可得如下结论：其中.此时式(55)和式(56)中对解的光滑度要求比定理3偏高.注4 本文方法对抛物方程、双曲方程、抛物积分微分方程、双曲积分微分方程均使用.【相关文献】[1] Han H D. 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非线性Klein-Gordon方程的定性分析和精确解的开题报告一、选题背景Klein-Gordon方程是描述自由粒子的经典场论，但实际上在量子场论和相对论中有着广泛的应用。
例如，在标准模型中，粒子的质量与Higgs场耦合，并通过Klein-Gordon方程描述粒子的行为。
在相对论量子力学中，Klein-Gordon方程则是描述粒子的量子行为的基本方程之一。
然而，实际应用中常常遇到非线性情形，这时候常常需要通过数学分析和求解方程来理解和描述现象。
因此，非线性Klein-Gordon方程的定性分析和精确解的研究具有重要的学术价值和实际意义。
二、研究内容本课题将对非线性Klein-Gordon方程的定性分析和精确解进行研究。
具体研究内容包括：1. 对非线性Klein-Gordon方程的物理背景进行介绍，阐述其在物理中的应用及意义。
2. 对非线性Klein-Gordon方程的一些基本性质进行分析，包括方程的Hamilton 量、对称性、Huygens原理等。
3. 对非线性Klein-Gordon方程的微扰理论进行研究，分析微扰能量的计算和微扰波动的行为。
4. 对非线性Klein-Gordon方程的精确解进行研究，包括不同的求解方法和已知的精确解的分类及性质分析。
5. 对非线性Klein-Gordon方程的定性特征进行分析，包括不同的非线性项、不同的初始条件等对方程解的影响。
三、研究方法本课题将采用微积分、泛函分析、微扰理论等数学方法进行Klein-Gordon方程的定性分析和精确解的研究。
特别是在研究精确解时，将涉及到包括分离变量、Lie对称性、Painlevé分析等求解方法。
四、研究意义非线性Klein-Gordon方程作为描述粒子行为的基本方程，对其进行定性分析和精确解的求解具有重要的学术和实际意义。
一方面，这将有助于我们更深入地理解非线性波动方程的性质和行为，为更广泛的物理领域提供理论支持；另一方面，这也将有助于我们对一些实际问题进行量化分析和求解，从而更好地理解和解决实际问题。
《Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是描述非线性波动现象的一种重要模型，广泛运用于物理学、材料科学以及生物学等领域。
由于该方程的复杂性，其数值求解方法一直是研究的热点。
本文旨在探讨Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法，以期为该方程的求解提供新的思路和手段。
二、Sine-Gordon方程及其基本性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，描述了某些具有非线性恢复力的振荡系统。
本节将介绍Sine-Gordon方程的基本形式、特性以及其在实际问题中的应用。
三、时空混合有限元方法概述时空混合有限元方法是一种将空间域和时间域离散化相结合的数值方法，通过在时间和空间上分别采用有限元离散和插值技术，实现对偏微分方程的近似求解。
本节将简要介绍时空混合有限元方法的基本原理和特点。
四、第一类时空混合有限元方法4.1 方法介绍第一类时空混合有限元方法采用等参数时间有限元方法和等距时间有界方法相结。
该方法的优点在于对时间和空间的离散灵活性强，同时具有良好的计算精度和稳定性。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
4.2 数值实验与结果分析本节将通过数值实验，对第一类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
通过对比不同时间步长和空间划分对计算结果的影响，分析该方法的计算精度和稳定性。
五、第二类时空混合有限元方法5.1 方法介绍第二类时空混合有限元方法主要采用有限差分法和时间积分法相结合的方式。
该方法在处理具有复杂边界条件和初始条件的问题时具有较高的计算效率。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
5.2 数值实验与结果分析同样地，本节将通过数值实验，对第二类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
将分析该方法的计算精度和效率，并与第一类方法进行比较，以便读者了解各种方法的优缺点和适用场景。
