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函数压轴题知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个重要概念，也是高中数学必学的内容。
在数学中，函数是指一个集合到另一个集合的映射关系，其中每一个输入值都会对应一个输出值。
在实际应用中，函数可以用来描述各种自然现象和数理关系，是数学模型的重要组成部分。
二、函数的表示方法函数可以通过多种方式来表示，常见的有解析式、表格、图像等表示方法。
其中，解析式是最常见的表示函数的方式，通常用字母表示自变量、常数和运算符组合成的式子来表示函数。
例如，f(x) = 2x + 3就是一个用解析式表示的函数。
另外，函数还可以通过表格来表示，即将自变量和对应的函数值列成一张表格。
这种表示方法可以直观地看出函数的取值规律。
另外，函数的图像也是一种常见的表示方法。
通过图像可以直观地看出函数的增减性、极值、零点等性质。
三、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指函数的输出值的范围。
在解析式中，通常可以通过分析解析式找出定义域和值域的范围。
2. 奇偶性奇函数和偶函数是函数的常见性质。
奇函数是指具有f(-x) = -f(x)的性质，而偶函数是指具有f(-x) = f(x)的性质。
通过奇偶性可以对函数的图像进行简化，从而更加直观地表示函数的性质。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
可以通过导数的符号来判断函数的单调性，从而对函数的增减性质有更深入的了解。
4. 极值函数的极值是指函数在一定范围内取得最大值或最小值的点。
通过导数的性质可以判断函数的极值点和极值大小。
5. 零点函数的零点是指函数取值为0的点。
通过分析函数的解析式可以找出函数的零点，从而对函数的图像有更深入的了解。
6. 对称轴对称轴是指函数图像关于某一直线对称。
通过对称轴可以对函数的图像进行简化，从而更好地理解函数的性质。
四、函数的运算函数之间可以进行一系列的运算，包括加减乘除、复合函数、反函数等。
这些运算在解决实际问题中起着重要的作用。
专题02 函数的图象与性质1．下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的为( )A ．y ＝xB ．y ＝－3C ．y ＝12log xD ．y ＝＋1x答案 B解析 由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y ＝＋1x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B. 2．已知函数f ()＝a －2xa ＋2x是奇函数，则f (a )的值等于( ) A ．－13B ．3C ．－13或3 D.13或3 答案 C解析 函数f ()为奇函数，则f (－)＝－f ()， 即a －2－x a ＋2－x ＝－a －2xa ＋2x在定义域内恒成立， 整理可得a ·2x －1a ·2x ＋1＝－a ＋2xa ＋2x， 即a 2＝1恒成立，∴a ＝±1，当a ＝1时，函数f ()的解析式为f ()＝1－2x 1＋2x ，f ()a ＝f ()1＝1－211＋21＝－13， 当a ＝－1时，函数f ()的解析式为f ()＝－1－2x －1＋2x ，f ()a ＝f ()－1＝－1－2－1－1＋2－1＝3. 综上可得f ()a 的值为－13或3. 3．函数f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 f ()＝x ＋1||x ＋1log a ||x＝⎩⎪⎨⎪⎧ －log a x x <－1，log a ()－x ，－1<x <0，log a x ，x >0.故选C.4．设函数f ()＝12log (1＋2)＋11＋2|x |，则使得f ()≤f (2－1)成立的的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[)1，＋∞答案 C5．已知函数f ()＝＋sin ，若a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f ()log 26，则a ，b ，c 的大小关系为() A ．a <b <c B ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案 D 解析 由于f (－)＝－f ()，且定义域为R ，故函数f ()为奇函数， 由于f ′()＝1＋cos ≥0，故函数f ()为定义域上的增函数，而2<log 26<3，所以b <c <a ，故选D.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥1，－x 2＋ax ＋1，x <1在R 上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．[2,3]B ．[2，＋∞)C ．[1,3]D ．[1，＋∞)答案 A 解析 由题意得⎩⎨⎧ a 2≥1，－1＋a ＋1≤2＋1，∴a ∈[2,3]，故选A.7．函数y ＝()2－x e xx ＋12的图象大致为( )答案 B解析 令y ＝0，可得＝2，即函数y ＝2－x e xx ＋12有唯一的零点＝2，四个选项中，只有选项B 符合题意，故选B.8．已知log 2＝log 3y ＝log 5<0，则2x ，3y ，5z的大小排序为( )A.2x <3y <5zB.3y <2x <5zC.5z <2x <3yD.5z <3y <2x答案 A解析 ，y ， 为正实数，且log 2＝log 3y ＝log 5<0，令log 2＝log 3y ＝log 5＝(<0)，∴x 2＝2－1，y 3＝3－1，z 5＝5－1， 可得2x ＝21－，3y ＝31－，5z＝51－， 又1－>0，∴函数f ()＝1－在(0，＋∞)上单调递增，∴2x <3y <5z.故选A. 9．已知y ＝f ()满足f (＋1)＋f (－＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是( )A ．f (－1)＋1是偶函数B ．f (－＋1)－1是奇函数C ．f (＋1)＋1是偶函数D ．f (＋1)－1是奇函数答案 D解析 方法一 根据题干条件可知函数f ()关于点(1,1)中心对称，故f (＋1)关于点(0,1)中心对称，则f (＋1)－1关于点(0,0)中心对称，是奇函数．方法二 ∵f (＋1)＋f (－＋1)＝2，∴f (－＋1)－1＝－f (＋1)＋1＝－[f (＋1)－1]，∴f (＋1)－1是奇函数．10．若函数y ＝f ()，∈M 对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数，都有af ()＝f (＋T )恒成立，此时T 为f ()的类周期，函数y ＝f ()是M 上的a 级类周期函数，若函数y ＝f ()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数且T ＝2，当∈[0,2)，f ()＝⎩⎨⎧ 12－2x 2，0≤x ≤1，f 2－x 1<x <2， 函数g ()＝－2ln＋122＋＋m，若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)使g(2)－f(1)≤0成立，则实数m的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，132B．(－∞，12]C．(－∞，39] D．[12，＋∞)答案 C解析根据题意，对于函数f()，当∈[0,2)时，f()＝⎩⎨⎧12－2x2，0≤x≤1，f2－x1<x<2，分析可得：当0≤≤1时，f()＝12－22，此时f()的最大值f(0)＝12，最小值f(1)＝－32，当1<<2时，f()＝f(2－)，函数f()的图象关于直线＝1对称，则此时有－32<f()<12，又由函数y＝f()是定义在区间[0，＋∞)内的3级类周期函数，且T＝2，则在∈[6,8)上，f()＝33·f(－6)，则有－812≤f()≤272，则f(8)＝27f(2)＝81f(0)＝812，则函数f()在区间[6,8]上的最大值为812，最小值为－812；对于函数g()＝－2ln ＋122＋＋m，g′()＝x－1x＋2x.分析可得：在(0,1)上，g′()<0，函数g()为减函数，在(1，＋∞)上，g′()>0，函数g()为增函数，则函数g ()在(0，＋∞)上有最小值g (1)＝32＋m ， 若∃1∈[6,8]，∃2∈(0，＋∞)，使g (2)－f (1)≤0成立，必有g ()min ≤f ()ma ，即32＋m ≤812， 得m 的取值范围为(－∞，39]．11．函数f ()＝122－ln 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′()＝－1x≤0，解得0<≤1，所以函数f ()的单调递减区间为(0，1]．答案：B12．若a >0，b >0，且函数f ()＝43－a 2－2b ＋2在＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：∵f ()＝43－a 2－2b ＋2，∴f ′()＝122－2a －2b ，又∵f ()在＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0⇒a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．答案：D13．已知函数f ()＝133＋a 2＋3＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3，3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：f ′()＝2＋2a ＋3.由题意知方程f ′()＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4a 2－12>0，解得a >3或a <－ 3.答案：D14．已知函数f ()＝3＋a 2＋3－9，若＝－3是函数f ()的一个极值点，则实数a ＝________.解析：f ′()＝32＋2a ＋3，由题意知＝－3为方程32＋2a ＋3＝0的根，∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.答案：515．若函数f ()＝－122＋4－3ln 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．16．已知函数f ()＝e(a ＋b )－2－4，曲线y ＝f ()在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f ()的单调性，并求f ()的极大值．解：(1)f ′()＝e(a ＋a ＋b )－2－4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f ()＝4e(＋1)－2－4，f ′()＝4e(＋2)－2－4＝4(＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f ′()＝0，得＝－ln 2或＝－2.从而当∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′()>0；当∈(－2，－ln 2)时，f ′()<0.故f ()在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当＝－2时，函数f ()取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．17．设函数f ()＝1＋(1＋a )－2－3，其中a >0.(1)讨论f ()在其定义域上的单调性；(2)当∈[0，1]时，求f ()取得最大值和最小值时的的值．解：(1)f ()的定义域为(－∞，＋∞)，f ′()＝1＋a －2－32.令f ′()＝0，得1＝－1－4＋3a 3， 2＝－1＋4＋3a 3，1<2， ∴f ′()＝－3(－1)(－2)．当<1或>2时，f ′()<0；当1<<2时，f ′()>0.故f ()在(－∞，1)和(2，＋∞)内单调递减，在(1，2)内单调递增．(2)∵a >0，∴1<0，2>0.①当a ≥4时，2≥1，由(1)知，f ()在[0，1]上单调递增，∴f ()在＝0和＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，2<1.由(1)知，f ()在[0，2]上单调递增，在[2，1]上单调递减，因此f ()在＝2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，∴当0<a <1时，f ()在＝1处取得最小值；当a ＝1时，f ()在＝0和＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f ()在＝0处取得最小值．综上①②可知，当a ≥4时，f ()取得最大值和最小值时的值分别为1和0；当0<a <4时，f ()取得最大值时的值为－1＋4＋3a 3；当0<a <1时，f ()取最小值时的值为1；当a ＝1时，f ()取得最小值时的值为0或1；当1<a <4时，f ()取得最小值时的值为0.18．已知函数f ()＝e －－a (∈R)．(1)当a ＝－1时，求函数f ()的最小值；(2)若≥0时，f (－)＋ln(＋1)≥1，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f ()＝e －＋，则f ′()＝－1e x ＋1. 令f ′()＝0，得＝0.当<0时，f ′()<0；当>0时，f ′()>0.∴函数f ()在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．∴当＝0时，函数f ()取得最小值，其值为f (0)＝1.(2)若≥0时，f (－)＋ln(＋1)≥1，即e ＋a ＋ln(＋1)－1≥0.(*)令g ()＝e ＋a ＋ln(＋1)－1，则g ′()＝e ＋1x ＋1＋a . ①若a ≥－2，由(1)知e －＋≥1，即e －≥1－，故e ≥1＋.∴g ′()＝e ＋1x ＋1＋a ≥(＋1)＋1x ＋1＋a ≥2（x ＋1）·1x ＋1＋a ＝2＋a ≥0. ∴函数g ()在[0，＋∞)上单调递增．∴g ()≥g (0)＝0.∴(*)式成立．②若a <－2，令φ()＝e ＋1x ＋1＋a ， 则φ′()＝e －1（x ＋1）2＝（x ＋1）2e x －1（x ＋1）2≥0. ∴函数φ()在[0，＋∞)上单调递增．由于φ(0)＝2＋a <0， φ(－a )＝e －a ＋11－a ＋a ≥1－a ＋11－a ＋a ＝1＋11－a>0. 故∃0∈(0，－a )，使得φ(0)＝0.则当0<<0时，φ()<φ(0)＝0，即g ′()<0.∴函数g ()在(0，0)上单调递减．∴g (0)<g (0)＝0，即(*)式不恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．19.已知函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f ()的单调区间；(2)若f ()有最大值3，求a 的值．20.已知函数f ()＝－＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值； (2)当∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f ()是否存在最小值？若存在，求出f ()的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f ()＋f (－)＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f ()的定义域为(－1，1)，∵f ()＝－＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1， 当1<2且1，2∈(－1，1)时，f ()为减函数，∴当a ∈(0，1)，∈(－a ，a ]时f ()单调递减，∴当＝a 时，f ()min ＝－a ＋log 21－a 1＋a.。
高考数学精品复习资料2019.5高考数学押题精粹试题 理（全国卷）本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B ð等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <【答案】B 【解析】{}{}|2,|23,A x x B x x =≥=-<<得{}|2R A x x =<ð，{}()|22.R A B x x =-<<ð2. 已知复数()4i1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】试题分析：41bi z i +=-＝(4)(1)44(1)(1)22bi i b b i i i ++-+=+-+，则由412b -=-，得6b =，所以15z i =-+，所以75z b i -=--，其在复平面上对应点为(7,5)--，位于第三象限.3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A.121 C.1 D.12【答案】A【解析】由()1i 1i i z-=-+i ,得i i)(1i)1i (1i)(1i)z +==--+=11i 22+,所以z 的实部为12,故选A ． 4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =【答案】B【解析】选项C 、D 不是奇函数，3y x = 在R 上都是增函数，只有选项B 符合.5.若()(),,,Aa b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( ) A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd【答案】C 【解析】因为()(),,,Aa b B c d 在()ln f x x =图象上,所以ln b a = ,ln ,d c =所以ln ln ln b d a c ac +=+=,因此(),ac b d +在()ln f x x =图象上,故选C ．6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ） A.12B.2【答案】A 【解析】1,2,a c ==∴C 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为1.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92 B.97 C.61 D.56 【答案】D【解析】由题意知1111x y -≤≤-≤≤⎧⎨⎩表示的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足12-≥x y 的区域即为图中阴影部分，面积为()1231111102112()|33x dx x x --⨯+-=+-=⎰，所以所求概率为105346P ==，故选D ．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12C ．－3D ．13【答案】A由程序框图知：2,1s i ==；123,212s i +==-=-；131,3132s i -==-=+; 11()12,4131()2s i +-===--; 1132,511)3s i +===-……，可知S 出现周期为4， 当 201745041i ==⨯+时，结束循环输出S ，即输出的 2s =.9.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为20xx ，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.6【答案】A.3,2016;20162015,3,20162015;20151,2,20151;1,2016=====-==-===i b a i b a i b i a 结束，输出【解析】：运转程序， 10.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( ) A.2 B.2 C. 3D.4＋2 3【答案】：C【解析】：a 在+a b上的投影为2()||⋅+====+a a b a b11.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题：p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥ p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 3【答案】D【解析】可行域如图所示，A(1，3),B(2，1)，所以所以，故p 2，p 3 正确，故答案为D.12.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（ ）i【解析】由直观图可知俯视图应为正方形,排除A,C ,又上半部分相邻两曲面的交线看得见,在俯视图中应为实线,故选B.13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（ ）A.2333cm B.2233cmC.4763cm D.73cm 【答案】A【解析】该几何体是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -截去一个三棱锥11C B EF -后所得的多面体，其体积为1123222112.323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=14.若数列{n a }满足11n a －－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则165x x +等于（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【答案】B 【解析】∵数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，∴111111n n n nx x d x x ++--＝＝，∴{}n x 是等差数列. 又∵1220200x x x ++⋯+==12020()2x x +， ∴12020x x +=.又120516516,20x x x x x x +=+∴+=.15.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116D.2916【解析】设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m , 则由题意知3029305390,2d ⨯⨯+=解得16.29d =16.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000N σσ>,，若,8.0)12080(=<<X P 则)800(<<X P 等于（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B【解析】由题意知(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P X P X <<=-⨯<<=，故选B ．17．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（ ） A.2544 B.1332 C.2532 D.1320 【答案】A【解析】分两种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()221231001011332A ++⨯⨯++=，(2)含0且0只能在十位上的三位数的和为()()1212310011212A ++⨯⨯+=，那么可得符合条件的这些三位数之和为133212122544+=.18.已知()2cos 2,21x xf x ax x =+++若π()3f =2,则π()3f -等于（ ） A.2- B.1- C.0 D. 1【答案】A【解析】因为()2cos 221x xf x ax x =+++,所以()()222cos 22121x xx x f x f x x --+-=++++ 212cos 212cos 22112x x xx x =++=+++,所以π()3f +π()3f -=1+2π2cos 3=0,所以ππ()() 2.33f f -=-=-19.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数 【答案】C【解析】由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=即s i n ϕ=，所以3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，在5(,)1212ππ-上，2(,)322x πππ+∈-，所以()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数，故选C ．20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131- 【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c =交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）32 【答案】D【解析】显然PF PA >,PF AF >,所以由PAF ∆是等腰三角形得PA AF =.易知A (0)a ，,P 2()a ab c c ， ,所以2222()()()a aba c a c c-+=-, 222222()()()()()a aa c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a+⇒+⨯=-22111 1.1e e e e +⇒+⨯=- 解得 2e =.故选D.22.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.2【答案】C【解析】设直线AB 的倾斜角为(0)θθπ<<及BF m =，∵3AF =，∴点A 到准线 :1l x =-的距离为 3，∴23cos 3θ+=,即1cos 3θ=，则sin 3θ= ∵2cos()m m πθ=+-，∴23.1cos 2m θ==+∴AOB ∆的面积为 113sin 1(3)22232S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=23.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0]2，C ．D ．(0]2，【答案】B【解析】由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π6【答案】A【解析】DE BF ⋅=22115115()()224224CB CD CD CB CB CD CD CB --=⋅--=-.由2CD AB ==,1BC AD ==,可得1cos 2CB CD 〈〉=，,所以π3CB CD 〈〉=，,从而π3AB AD 〈〉=，.故选A.25.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3【答案】D【解析】由题设条件对于R ∈∀1x ，存在唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =知()x f 在()0,∞-和()+∞,0上单调，得3=b ，且0<a .由()()b f a f 32=有39322+=+a ，解之得26-=a ，故326+-=+b a ，选D.26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）【答案】D【解析】当01x <<时，ln 0x <，所以0y <，排除B 、C ；当1x >时，由于函数2y x =比ln y x =随x 的增长速度快，所以随x 的增大，2ln xy x=的变化也逐渐增大，排除A ，故选D ．27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅【答案】C 【解析】因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，则由()()tan f x f x x '<得sin ()()cos xf x f x x '<，即cos ()sin ()0xf x xf x '-<．令sin ()=()x F x f x ，则2sin cos ()sin ()()=()0()[()]x f x xf x F x f x f x '-''=<，所以()F x 在(0,)2π上递减，所以()()63F F ππ>，即sinsin63()()63f f ππππ>()()63f ππ<，故选C ．28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( ) A.(),e -∞ B.()e,+∞ C.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,+∞ 【答案】B【解析】设切点为(),ln Q t t t ,则切线斜率()k f t '==1ln t +,所以切线方程为()()ln 1ln y t t t x t -=+-,把(),P a a 代入得()()ln 1ln a t t t a t -=+-,整理得ln a t t =,显然0a ≠,所以1ln t a t =,设()ln t g t t =,则问题转化为直线1y a=与函数()g t 图象有两个不同交点,由()21ln tg t t -'=,可得()g t 在()0,e 递增,()e,+∞递减,在e x =处取得极大值1e,结合()g t 图象,可得110e e a a <<⇒> ,故选B.29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(AC =,()BD =,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4-【答案】C【解析】取(0,0)A ,则C ；设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则2121 1.x x y y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,1AB x y x y ==-,(221,CD x y =-,求得222211()()2222AB CD x y ⋅=++--≥-,当11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,AB CD ⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD 的对角线恰好相交于一点,故选C.30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】不妨设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s∈+，所以311[5,]21t s-∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．【答案】16π【解析】设正ABC ∆的外接圆圆心为1O ，易知1AO =1Rt OO A ∆中，12cos30O AOA ==，故球O 的表面积为24216ππ⨯=.32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．【答案】52【解析】根据不等式组画出可行域为图中阴影部分，目标函数可写为1zy x m m=-+，因为1m >，所以110m -<-<，将函数1y x m =-的图象平移经过可行域时，在G 点12(,)33处y 取最大值，此时2z =，所以有12233m =+，解得52m =.33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．【答案】2520-【解析】由题意可知,11p =,22p =,34p =,48p =,51p =,62p =,74p =,88p =,91p =,102p =,114p =,128p =,131p =,……,又∵{}n p 是4阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,11q =-,21q =-,31q =,41q =-,51q =-,61q =,71q =-,81q =-,91q =,101q =-,111q =-,121q =,131q =-,……,又∵{}n q 是3阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{}n n p q ⋅,每12项的和循环一次,易求出11221212...15p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-,因此2016S 中有168组循环结构,故2016151682520S =-⨯=-．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-＝113(21)n ++++-＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n 并累加得24(1)(1)444(41)3n nf n f +-=+++=-．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13nf n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=．35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+. (1)求A ；(2)若a =ABC ∆的面积b c +.【答案】：（1）23π，（2）6b c +=. 【解析】：（1）由()2cos 14sin sin B C B C -=+，得()2cos cos sin sin 4sin sin 1B C B C B C +-=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=. ∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.（2）由（1）得23A π=.由S =12sin823bc bc π=∴=.①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(22222cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=. 36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB . （1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.【答案】（1）45；（2 【解析】（1）因为102cos -=∠ADB ，所以1027sin =∠ADB .又因为,4π=∠CAD 所以,4π-∠=∠ADB C 所以4sin cos 4cos sin )4sin(sin πππADB ADB ADB C ∠-∠=-∠=∠5422102221027=⋅+⋅. （2）在ADC ∆中，由正弦定理得ADCACC AD ∠=∠sin sin ，故2210275427sin sin )sin(sin sin sin =⨯=∠∠⋅=∠-∠⋅=∠∠⋅=ADB C AC ADB C AC ADC C AC AD π.又,710272221sin 21=⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆BD ADB AB AD S ABD 解得5=BD . 在ADB ∆中，由余弦定理得.37)102(5222258cos 2222=-⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ADB BD AD BD AD AB 37.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n nb a =，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.【答案】（1）31n a n =-；（2）10.【解析】：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由2481,1,1a a a +++，得2(33)(3)(37),d d d +=++解得3d =或0d =（舍）， 故1(1)23(1)3 1.n a a n d n n =+-=+-=- (2)由（1）知331n b n =-，19113().(31)(32)3132n n b b n n n n +==--+-+ 12231111111119...3(++)3(),2558313223264n n nb b b b b b n n n n ++++=---=-=-+++依题有945,6432n n =+解得10.n = 38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(23)26n n T n +=-+．【解析】(1)由12n n n S S a +=++得：*12()n n a a n N +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由125,,a a a 成等比数列得2+)2(1a =1a (1a +8)，解得1a =1， ∴*21()n a n n N =-∈.（2）由(1)可得2(21)(21)2nn n b n n =-⋅=-，∴1231...,n n n T b b b b b -=+++++即123123252...(21)2nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①，23121232...(23)2(21)2n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅②，①-②可得23122(22...2)(21)2,n n n T n +-=++++--∴1(23)26n n T n +=-+.39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关；② ()2,E X =().5D X =【解析】：2200(80104070)11.11110.828,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X②由于~(5,)5X B ,则()52,5E X =⨯=()5(1).555D X =⨯⨯-=40.（本小题满分12分）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A 、B 两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C 为“A 校学生计算机优秀成绩高于B 校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率．【答案】（1） 1.5,A B x x ==2 1.5,A S =21.8;B S =（2）()0.02P C =.【解析】：（1）从A 校样本数据的条形图可知：成绩分别为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有：6人、15人、21人、12人、3人、3人. A 校样本的平均成绩为465156217128393660A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），A 校样本的方差为22216(46)3(96) 1.560A S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.从B 校样本数据统计表可知： B 校样本的平均成绩为49512621798693660B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（分），B 校样本的方差为22219(46)3(96) 1.860B S ⎡⎤=⨯-++⨯-=⎣⎦.因为,A B x x =所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又因为22A B S S <，所以A 校的学生的计算机成绩比较稳定，总体得分情况比B 校好.(2) 记1A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为8分或9分”，2A C 表示事件“A 校学生计算机成绩为9分”，1B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为7分”，2B C 表示事件“B 校学生计算机成绩为8分”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A PC P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1()A P C 6=60，2()=A P C 360，19()=60B P C ，26()60B P C =，故9663()=+0.0260606060P C ⨯⨯=．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，平面ABCD 平面ABPE =AB ，且2,1AB BP AD AE ====，,AE AB ⊥且AE ∥BP ．（1）设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】：（1）证明见解析；（2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25，理由见解析． 【解析】：（1）证明：（方法一）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且B C A B ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直，故以B 为原点，,,BA BP BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则1(0,2,0),(2,0,1),(1,1,),(2,1,0),(0,0,1)2P D M E C ，所以1=(1,0,)2EM -．易知平面ABCD 的一个法向量等于(0,1,0)n =， 因为1=(1,0,)(0,1,0)02EM n ⋅-⋅=，所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ．（方法二）由已知，平面ABCD ⊥平面ABPE ，且BC AB ⊥，则BC ⊥平面ABPE ，所以,,BA BP BC 两两垂直．连结,AC BD ，其交点记为O ，连结MO ，EM ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为M 为PD 中点， 所以OM ∥PB ，且12OM PB =．又因为AE ∥PB ，且12AE PB =，所以AE ∥OM ，且AE =OM ．所以四边形AEMO 是平行四边形，所以EM ∥AO .因为EM ⊄平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，所以EM ∥平面ABCD ． （2）当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25． 理由如下：因为(2,2,1),(2,0,0)PD CD =-=，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，由110,0n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111220,20.x y z x -+=⎧⎨=⎩取11y =，得平面PCD 的一个法向量1(0,1,2)n =．假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25． 设(01)PN PD λλ=≤≤，则(2,2,1)(2,2,)PN λλλλ=-=-，(2,22,)BN BP PN λλλ=+=-． 所以111||sin |cos ,|||||BN n BN n BN n α⋅=<>=⋅22225λ===．所以29810λλ--=，解得1λ=或19λ=-（舍去）． 因此，线段PD 上存在一点N ，当N 点与D 点重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25．42.（本小题满分12分）正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．【答案】：（1）证明见解析；（2）4.3【解析】：（1）由题意：以点D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1A B C E M ， ∴()2,0,1BM =-，平面ADEF 的一个法向量()0,4,0DC =，0BM DC ⋅=，∴BM DC ⊥，即//BM ADEF 平面．（2）设()()0,4,20,4,2EM tEC t t t ==-=-，故点()()0,4,2201M t t t -<<，设平面BDM 的一个法向量()z y x n ,,1=，则()11220,4220DB n x y DM n ty t z ⋅=+=⋅=+-=．令1y =-，则121,1,1t n t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，易知平面ABF 的一个法向量()21,0,0n =， ∵121212cos ,6n n n n n n ⋅<>===⋅，解得12t =，∴()1,2,0M 为BC 的中点，221==∆∆CDM DBM S S ，B 到面DEM 的距离2=h ，∴14.33M BDE DEM V S h -∆=⋅⋅= 43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线 a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）ax y 42=；（2）FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．【解析】（1） 椭圆)0(11222>=++a y ax 右焦点F 的坐标为(,0)a ， (,)NF a n ∴=-．(,)MN m n =-，∴由0=⋅NF MN ，得02=+am n ．设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=． 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，则4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由⎩⎨⎧=+=ax y a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ．因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0．(法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．由2,y x x a =⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =--． 由2,y x x a=-⎧⎨=-⎩ 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =-． (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=．②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y ayA 、),4(222y a y B ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a ． 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． 44.（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.【答案】（1）2213x y +=；（2）以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 【解析】（1）依题意，得222,c ab a b c a ===+又解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. （2）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=（1）， 且00(,)Q x y --，00()AP x y =，()AM m =. 因为,,A P M 三点共线，所以APAM ，故有00(x m =，解得m =；同理，可得n =.假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥，即0RM RN ⋅=. 因为(,)RM t m =-，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t =，整理得2202033y t x =--， 又由（1），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-. 故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-,(1,0). 方法二：（1）同方法一；（2）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q . 设(0,)M m ，(0,)N n又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =， 因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m =同理，可得n =，假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， 直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4n k t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t =，整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). 45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；（3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．【答案】：（1）当0>a 时，增区间为(]0,1，减区间为[)1,+∞；当0<a 时，增区间为[)1,+∞，减区间为(]0,1；（2）212e e a --≤；（3）见解析．【解析】：（1）)0()1()(>-='x xx a x f ， 当0>a 时，)(x f 的单调增区间为]1,0(，单调减区间为),1[+∞； 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),1[+∞，单调减区间为]1,0(． （2）令()ln 34ln 1,F x a x ax ax x e a x x e =--+++-=++-.0)(=+='xax x F 若e a ≤-，e a -≥，)(x F []上在2,e e 是增函数，21,012)()(222maxe e a e e a e F x F --≤≤+-+==无解．若2e a e ≤-<，e a e -<≤-2，)(x F 在],[a e -上是减函数；在],[2e a -上是增函数，.1,01)(-≤≤+=a a e F ,21,012)(222e e a e e a e F --≤≤+-+=.2122e e a e --≤≤-∴若2e a >-，2e a -<，)(x F 在],[2e e 上是减函数，1,01)()(max -≤≤+==a a e F x F ，.2e a -<∴综上所述.212e e a --≤（3）令1a =-（或1a =），此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >，即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， ∵2,N*n n ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 要证2222ln(21)ln(31)ln(41)ln(1)12ln !(2,)n n n n N *++++++++<+≥∈，只需证22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1(2,),234n n N n *++++++++<≥∈ 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)()()()1 1.234223341n n n n++++++++<-+-+-+-=-<-所以原不等式成立46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<. 【解答】：依题意，()[(1)()(1)()](),x x x f x a x e a x e a a x e a '''=--+--=⋅- 令()()xh x a x e a =⋅-，则()(1)x h x a x e '=+⋅.（1）①当0x <时，0xx e ⋅<，0a >，故()()0h x f x '=<，所以()f x '在(,0)-∞上不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞上不存在极值点；②当0x ≥时，由()(1)0x h x a x e '=+⋅>，故()h x 在[0,)+∞上单调递增. 又2(0)0h a =-<，2()()(1)0a a h a a a e a a e =⋅-=->，所以()()h x f x '=在[0,)+∞上有且只有一个零点.又注意到在()f x '的零点左侧，()0f x '<，在()f x '的零点右侧，()0f x '>， 所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. 综上所述，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. （2）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ,2x （不妨设12x x <）， 所以1x ,2x 是()()h x f x '=的两个零点，且由（1）知，必有0a <. 令()(1)0x h x a x e '=+⋅=得1x =-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅>得1x <-； 令()(1)0x h x a x e '=+⋅<得1x >-.所以()()h x f x '=在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， 又因为2(0)(0)0h f a '==-<，所以必有1210x x <-<<. 令()()0t f t a t e a '=⋅-=，解得ta t e =⋅，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t e a te t e te e t t e t t t =--=--=--=--+. 因为12,x x 是()()h x f x '=的两个零点， 所以12321111()(2)x f x ex x x =--+，22322222()(2)x f x e x x x =--+.将代数式232(2)t e t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)t g t e t t t =--+， 则22()(1)(21)tg t e t t '=---.当1t <-时，因为2210,210,0t t t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)f x g x g e =<-=， 又因为122111()(1)0x f x ex x =-->，所以1240()f x e<<. 当10t -<<时，因为2210,210,0t t t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)g g x f x g e=<=<-=. 综上知，1240()f x e <<且2240()f x e <<． 47.（本小题满分10分）从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ，TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (1)证明：//AB CD ；(2)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【解答】：（1）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠,同理，NTB TCD ∠=∠,所以TCD TAB ∠=∠, 所以//AB CD . （2）连接TM 、AM,因为CD 是切内圆于点M ， 所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠，又由（1）知//AB CD ，所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠.在MTD ∆中,由正弦定理知, sin sin MD TDDTM TMD =∠∠,在MTC ∆中,由正弦定理知, sin sin MC TCATM TMC=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠,所以MD TDMC TC=,由//AB CD 知TD BD TC AC =, 所以MD BDMC AC=,即, AC M D BD CM ⋅=⋅. (2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）4πα=或34π. 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+=. （2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=．设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩∴12AB t t =-==∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π．(3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）2m =；（2）1．【解析】：（1）当1x ≤-时，()32f x x =+≤； 当11x -<<时，()132f x x =--<； 当1x ≥时，()34f x x =--≤-， 故当1x =-时，()f x 取得最大值2m =.（2）因为()()()22222222222a b c a b b c ab bc ab bc ++=+++≥+=+，当且仅当a b c ===时取等号，此时ab bc +取得最大值1. 48.（本小题满分12分） 从下列三题中选做一题(1).选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB=AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．（1）求证：PC PD =AC BD；（2）若AC=3，求AP •AD 的值．【解析】（1）∵∠CPD=∠ABC ，∠D=∠D ，∴△DPC～△DBA， ∴PC PD =AB BD ，又∵AB=AC，∴PC PD =AC BD.（2）∵∠ACD=∠APC ，∠CAP=∠CAP ，∴△APC∽△ACD. ∴AP AC =AC AD，∴.92=⋅=AD AP AC(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【解答】（1）依题,因222x y ρ=+,所以曲线1C 的直角坐标下的方程为221x y +=, 所以曲线2C 的直角坐标下的方程为22(1)1x y +-=, 又sin y ρθ=，所以22sin 0ρρθ-=, 即曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(2)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= ,即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈.(解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数）， 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ， 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM .(3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥. 【解析】：（1）因为()|2|,f x m x =--所以(2)1f x +≥等价于1x m ≤-,由[]1,1A -⊆知A 是非空集合,所以 11m x m -≤≤-,结合[]1,1A -⊆可得112m m -≥⇒≥,即实数m的取值范围是[)2,.B =+∞（2）由（1）知02m =,所以1112,23a b c++= ()11112323223a b c a b c a b c ⎛⎫∴++=++++ ⎪⎝⎭21922≥+=.。
函数的性质——灵活运用,绕开陷阱名师纠错本 误点1、考虑不周导致错误样题1:函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B ．(3)+∞， C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，【错因分析】错解1:因为652+-=x x y 的单调递增区间为52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，,故选A.该解法没有掌握复合函数的单调性,直接把内函数的单调区间看作复合函数的单调区间. 错解2:因为u y 21log =为减函数,故只需找652+-=x x u 的单减区间,所以选C.该解法没有考虑到函数的定义域,从而导致函数的单调区间范围扩大.【正确答案】由定义域为(2)-∞，∪(3)+∞，,排除A 、C,因为u y 21log =为减函数,故只需找652+-=x x u 的单减区间,故212log (56)y x x =-+的单调增区间为(2)-∞，,选D【纠错反思】求函数的单调性,首先要求出函数的定义域,函数的单调区间都是定义域的子区间.对于复合函数()()x g f 的单调性,要先找出内函数()x g u =的单调性,若()x g u =与()u f y =的单调性相同（同增同减）,则复合函数()()x g f 单调递增,若()x g u =与()u f y =的单调性相反（一增一减）,则()()x g f 单调递减.样题2:已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是 ( )（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7【错因分析】若x a log 为减函数,则10<<a ；若()a x a 413+-为减函数,则013<-a 解得 31<a ,结合10<<a ,所以a 的取值范围是1(0,)3.只让分段函数的每一段满足单调递减,没有考虑到函数在整个定义域(,)-∞+∞上单调递减.【正确答案】若x a log 为减,则10<<a ；若()a x a 413+-为减,则013<-a 解得 31<a ,又在(,)-∞+∞上为减函数,故当1=x 时,函数值()≤+⨯-a a 41131log a ,解得71≥a 所以∈a 11[,)73【温馨提示】分段函数是一个函数,而不是多个函数,因此对于分段函数的单调性,必须要在整个函数的定义域内考虑,特别是在函数的分界点处,要满足函数的单调性.分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复习时认真对待． 误点2、性质应用错误样题3: 在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数,则()f x ( )A.在[2,1]--上是增函数,在[3,4]上是增函数B.在[2,1]--上是增函数,在[3,4]上是减函数C.在[2,1]--上是减函数,在[3,4]上是增函数D.在[2,1]--上是减函数,在[3,4]上是减函数【错因分析】根据()()x f x f -=2,可知函数()f x 的周期为2,根据()f x 在区间[1,2]上是减函数,所以在区间[3,4]上也是减函数,又因为()f x 是偶函数,所以根据偶函数在对称区间上的单调性相反,所以在区间[2,1]--上是增函数,故答案选B.该做法也找到了正确答案,却是歪打正着. 由()()x f x f -=2得到的是函数()f x 关于x 1=对称,而不是周期为2.【正确答案】由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称,又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称,可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2,结合()f x 在区间[1,2]上是减函数,可得如右()f x 草图.故选B.【思维提升】对于函数的奇偶性、单调性、周期性综合应用的题,有必要记住以下常见的结论:⑴若()()x a f x f -=2,或()()x a f x a f -=+,则()f x 关于a x =对称；⑵若()()x a f x f +=2,或()()a x f a x f -=+或()()x f a x f 1=+或()()x f a x f 1-=+则()f x 的周期为a T 2=；⑶若函数()f x 为偶函数,且关于a x =对称,则函数()f x 的周期为a T 2=；若函数()f x 为奇函数,且关于a x =对称,则函数()f x 的周期为a T 4=.掌握这些常见的结论,对我们解决与函数性质相关的题时,很有帮助.样题4:若()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在[)1,0上单调递增,若()()0422<---a f a f ,求实数a 的取值范围.【错因分析】因为()x f 是偶函数,且在[)1,0上单增,所以()x f 在(]0,1-上单减.又()()0422<---a f a f 可化为:()()242a f a f -<-,下边分三种情况讨论:⑴当242a a --和同在[)1,0内时；⑵当242a a --和同在(]0,1-内时,⑶当242a a --和一个在区间[)1,0内,另一个在区间(]0,1-内时------上面这种解题方法不算错误,但是计算量大,步骤繁琐,非常容易出错.属于“小题大做”.【正确答案】:因为()x f 是定义在()1,1-上的偶函数,且在[)1,0上单调递增,所以()x f 在(]0,1-上单调递减,所以函数图象开口向上.又()()0422<---a f a f 可化为:()()242a f a f -<-,故根据()()()x f x f x f =-= 可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-<-⇒-<-<<⇒<-<-<<⇒<-<-222425314131121222a a a a a a a a a ⇒53<<a 且2≠a 所以a 的取值范围是()()5,22,3 ∈a【温馨提示】若函数()x f 是偶函数,则有:()()()x f x f x f =-=,反之亦然.这是偶函数性质中一个重要的公式.特别是在解决函数的奇偶性与单调性相结合的题时,思路简洁,计算简单,能够很好的避免利用分区间讨论法带来的繁琐计算,降低了出错率.样题5:定义域为R 的函数()x f 在),8(+∞上为单减,且函数()8+=x f y 为偶函数,则（ ）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)【错因分析】()8+=x f y 为偶函数,所以()()88--=+x f x f ,所以------【正确答案】:()8+=x f y 为偶函数(8)(8).f x f x ⇒+=-+即()y f x =关于直线8x =对称。
专题函数的图象与性质．下列函数中既是奇函数，又在区间(，＋∞)上是减函数的为( )
．＝．＝－
．＝．＝＋
答案
解析由题意得，对于函数＝和函数＝都是非奇非偶函数，排除，.
又函数＝＋在区间()上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，排除，故选.
．已知函数()＝是奇函数，则()的值等于( )
．－．
．－或或
答案
解析函数()为奇函数，则(－)＝－()，
即＝－在定义域内恒成立，
整理可得＝，
即＝恒成立，∴＝±，
当＝时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝－，
当＝－时，函数()的解析式为
()＝，＝＝＝.
综上可得的值为－或.
．函数()＝(<<)的图象的大致形状是( )
答案
解析()＝
＝
错误!故选.
．设函数()＝(＋)＋，则使得()≤(－)成立的的取值范围是( )
．(－∞，] ．[，＋∞)
∪
答案
．已知函数()＝＋，若＝()，＝()，＝，则，，的大小关系为( )
．<< ．<<
．<< ．<<
答案
解析由于(－)＝－()，且定义域为，
故函数()为奇函数，
由于′()＝＋≥，
故函数()为定义域上的增函数，
而<<，所以<<，故选.
．若函数()＝(\\(＋，≥，,－＋＋，<))在上是增函数，则的取值范围为( ) ．[] ．[，＋∞)
．[] ．[，＋∞)
答案
解析由题意得(\\(()≥，,－＋＋≤＋，))
∴∈[]，故选.
．函数＝的图象大致为( )。
2012届高三理科数学压轴题（二）一．选择题 B C D A B C D B 二．填空题9.12；3 10.70 11.10x y -+= 12.π 13.②③14.)6π三．解答题16.解：（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，17.解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n n n a --=⋅=， --3分12(1)124(1)1212nn n S -==--. ------------------------------6分 （2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --== ----------------- 7分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=-∴2242n n b n -=-- --------------------9分设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P 则(224)(3)2n n n P n n -+-==- ------------10分∴221(3)4(1)3422n n n n n T P S n n n n -=-=---=--+. -------- 12分18.解：(1 ) 求得=a 0.5 =b 0.3. …… 2分(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率5.0=p …… 3分设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨，则X ～B （5,0.5） …… 5分3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P …… 7分 ②ξ的可能取值为4,5,6,7,8，则3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP 09.03.0)8(2===ξP (每个1分) …… 12分ξ19.解：（1）Θ∴⊥AE …… 1分 又⊂BC 面BEFC ∴BC AE ⊥ Θ又ΘABCD 是正方形 ∴BC AB ⊥又A AB AE =⋂∴⊥BC 面ABE 又⊂BE 面ABE ∴BE BC ⊥ …… 4分 （2）Θ四边形AE FD 为矩形，且ABCD 是正方形 ∴EF //BCΘBE BC ⊥∴四边形EFBC 为矩形 ∴BF 为圆柱下底面的直径 …… 5分 设正方形ABCD 的边长为x ，则AD=EF=AB=x在直角AEB ∆中AE=2，AB=x ，且BE 2+AE 2= AB 2，得BE 2=x 2-4在直角BEF ∆中BF=6，EF=x ，且BE 2+EF 2= BF 2，的BE 2=36-x 2…… 6分解得x =52，即正方形ABCD 的边长为52 …… 7分 （3）法一：如图以F 为原点建立空间直角坐标系,则A(52，0，2),B(52，4，0),E(52，0，0),=FA (52，0， 2),=FB (52，4，0), =FE (52，0，0)设面AEF 的法向量为=(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧==•=•==•=•04y -x 0),，z ，y 02z -x -2),，z ，y 52, 45(2) (x52, 05(2) (x令1=x ，则2y z ==即=(1，25，5) …… 11分设直线EF 与平面ABF 所成角的大小为θ，则sin ,29n EFCOS n EF n EFθ•=<>===⋅r u u u rr u u u r r u u u r …… 13分 所以直线EF 与平面ABF 所成角的正弦值为29. …… 14分20. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， ()f x 的导数()1ln f x x '=+. ……………2分令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得10x e <<.从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以，当1x e =时，()f x 取得最小值11()f e e=-. ……………………… 6分（2）解法一：依题意，得()1f x ax ≥+在[)1,+∞上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . ……………………………………8分 令1()ln g x x x =+， 则21111()1g x xx x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. ………………………10分 当1x >时，因为11()10g x x x⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，故()g x 是()1,+∞上的增函数， 所以()g x 的最小值是(1)1g =，…………… 13分 所以a 的取值范围是(],1-∞. ……………………………………………………14分 解法二：令()()(1)g x f x ax =-+，则()()1ln g x f x a a x ''=-=-+，① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>+≥，故()g x 在()1,+∞上为增函数，所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-；…………………… 10分 ② 若1a >，方程()0g x '=的根为10a x e -=，此时，若()01,x x ∈，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. 所以()01,x x ∈时，()(1)10g x g a <=-<，即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.综上，满足条件的a 的取值范围是(],1-∞. (14)分21．解：（1）由题意可得圆的方程为222x y b +=， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴d b ==，即b =又c e a ==即a =，222a b c =+，解得a =1c =，所以椭圆方程为22132x y +=． ---------------------3分（2）设000(,)(0)P x y y ≠，(A，B ，则2200132x y +=，即2200223y x =-，则1k =2k = --------------------4分即22200012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴12k k g 为定值23-． --------6分（3）设(,)M x y，其中[x ∈． 由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[x ∈． -----------------------8分①当3λ=时，化简得26y =， 所以点M 的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；-----------9分②当λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[x ∈， --------------------11分当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x ≤≤部分；1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x ≤≤分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ------------14分 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、理想的路总是为有信心的人预备着。
