专题58 三角形中作辅助线造相似(解析版)

专题58 三角形中作辅助线造相似1、如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．（1）求AC边上的高BH的长；（2）如图2，点D、E分别在边AB、BC上，G、F在边AC上，当四边形DEGF是正方形时，求DE的长．解：（1）过点A作AN⊥BC于N，∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝6，∴AN＝＝＝8，∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AN，∴BH＝＝9.6；（2）如图2，设BH与DE交于点M，∵四边形DEGF是正方形，∴DE＝EG＝DF，DE∥AC，∠EDF＝∠DFC＝90°，且BH⊥AC，∴四边形DFHM是矩形，∴DF＝MH，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴∴DE＝．2、【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝4，BE＝3，求AD的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AD•AB．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C，又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2＝BE•BC，∴BC＝＝，∴AD＝．（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD，∵AC∥EF，∴四边形AEGC为平行四边形，∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴，∴DE2＝EF•EG，又∵EG＝AC＝2EF，∴DE2＝2EF2，∴DE＝EF，又∵，∴DG＝，∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2．3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．（1）证明：如图1中，∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，∵E，D分别是OC，OB的中点，∴CE＝BD，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．（2）解：如图1中，连接DE．∵S△ADB＝S△ACE＝×8×4＝16，S△EOD＝×4×4＝8，∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，∴S＝2S△AED＝48．菱形AEFD（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD，∴OK＝KE＝KD＝2，∵AO＝8，∴AK＝6，∴AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．∵菱形PAQG∽菱形ADFE，∴PH＝3AH，∵HN∥OQ，QH＝HP，∴ON＝NP，∴HN是△PQO的中位线，∴ON＝PN＝8﹣t，∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，∴△HMA∽△PNH，∴＝＝＝，∴HN＝3AM＝3t，∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，∵PN＝3MH，∴8﹣t＝3（8﹣3t），∴t＝2，∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，∴P（12，0）．如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．同法可证：△AMH∽△HNP，∴＝＝＝，设MH＝t，∴PN＝3MH＝3t，∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，∵HI是△OPQ的中位线，∴OP＝2IH，∴HIHN，∴8+t＝9t﹣24，∴t＝4，∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，∴P（24，0）．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．∵MH是△QAC的中位线，∴MH＝AC＝4，同法可得：△HPN∽△QHM，∴＝＝＝，∴PN＝HM＝，∴OM＝PN＝，设HN＝t，则MQ＝3t，∵MQ＝MC，∴3t＝8﹣，∴t＝，∴OP＝MN＝4+t＝，∴点P的坐标为（，0）．如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．∵IH是△ACQ的中位线，∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，同法可得：△PMH∽△HNQ，∴＝＝＝，则MH＝NQ＝，设PM＝t，则HN＝3t，∵HN＝HI，∴3t＝8+，∴t＝，∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t＝，∴P（，0）．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．∵HI∥x轴，AH＝HP，∴AI＝IB＝4，∴PN＝IB＝4，同法可得：△PNH∽△HMQ，∴＝＝＝，∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，∵HI是△ABP的中位线，∴BP＝2IH＝8，∴OP＝OB+BP＝16，∴P（16，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（，0）或（，0）或（16，0）．4、如图1，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN．（1）当∠DCM＝30°时，求DM的长度；（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM•DE＝BE•CD；（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是．解：（1）如图1，连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OB，CD＝BC＝AB＝，∵∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，∴OC＝BC＝，∴OB＝OC＝，∴BD＝3，∵∠BCD＝120°，∠DCM＝30°，∴∠BCM＝90°，∴CM＝BC＝1，∴BM＝2CM＝2，∴DM＝BD﹣BM＝1；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵MN∥CD，MN＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN，∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，∴∠AMB＝∠EBD，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠EDB，∴△ABM∽△EDB，∴，∴AM•DE＝BE•AB，∵AB＝CD，∴AM•DE＝BE•CD；（3）如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，CD∥AB，∵∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°，连接CN并延长交AB的延长线于P，∵CD∥MN，CD＝MN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴当点M从点D向B运动时，点N从点C向点P运动（点N的运动轨迹是线段CP），∠APC＝∠ABD ＝30°，由（2）知，四边形ABNM是平行四边形，∴AM＝BN，∴AM+AN＝AN+BN，而AM+AN最小，即：AN+BN最小，作点B关于CP的对称点B'，当点A，N，B'在同一条线上时，AN+BN最小，即：AM+AN的最小值为AB'，连接BB'，B'P，由对称得，BP＝B'P＝AB＝，∠BPB'＝2∠APC＝60°，∴△BB'P是等边三角形，B'P过点B'作B'Q⊥BP于Q，∴BQ＝B'P＝，∴B'Q＝BQ＝，∴AQ＝AB+BQ＝，在Rt△AQB'中，根据勾股定理得，AB'＝＝3，即：AM+AN的最小值为3，故答案为3．5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）求证：△ACD∽△BAC；（2）求DC的长；（3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．（1）证明：∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠DCA又AC⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△BAC；（2）解：在Rt△ABC中，＝8，由（1）知，△ACD∽△BAC，∴，即解得：DC＝6.4；（3）能．由运动知，BF＝10﹣2t，BE＝t，△EFB若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当BF＝BE时，10﹣2t＝t，解得秒．②当EF＝EB时，如图，过点E作AB的垂线，垂足为G，则．此时△BEG∽△BAC∴，即，解得：；③当FB＝FE时，如图2，过点F作BC的垂线，垂足为H则．此时△BFH∽△BAC∴，即，解得：综上所述：当△EFB为等腰三角形时，t的值为秒或秒或秒．6、如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．7、已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△BAE∽△ACE；（2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°＝∠BAC，∴∠EAB＝∠DAC，∴∠EAB＝∠C，且∠E＝∠E，∴△BAE∽△ACE；（2）∵△BAE∽△ACE∴，∴AE2＝BE•CE＝9，∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E，∴△EAF∽△EFD，∴∴DE•EF＝AE2＝9．8、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC边上的高为12cm；（2）设正方形EFGH的边长为xcm，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的边长为cm．9、如图1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作▱DEFG．（1）连接DF，求DF的长度；（2）求▱DEFG周长的最小值；（3）当▱DEFG为正方形时（如图2），连接BG，分别交EF，CD于点P、Q，求BP：QG的值．解：（1）如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，∵BF＝FC，AD＝2；∴FC＝1，∵AB＝3；∴DC＝3，在Rt△DCF中，由勾股定理得，∴DF＝＝＝；（2）如图1所示：作点F关直线AB的对称点M，连接DM交AB于点N，连接NF，ME，点E在AB上是一个动点，①当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形，∴ME+DE＞MD，②当点E与点N重合时点M、E（N）、D在同一条直线上，∴ME+DE＝MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，∵MB＝BF，∴MB＝1，∴MC＝3，又∵DC＝3，∴△MCD是等腰直角三角形，∴MD＝＝＝3，∴NF+DN＝MD＝3，∴l▱DEFG＝2（NF+DF）＝6；（3）∵▱DEFG为正方形，∴DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF＝1，BE＝AD＝2，过点B作BH⊥EF，如图2所示：在Rt△EBF中，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴BH＝＝，又∵△BEF～△FHB，∴＝，HF＝＝＝，在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，∴△BPH∽△GPF，∴＝＝＝，∴PF＝•HF＝，又∵EP+PF＝EF，∴EP＝﹣＝，又∵AB∥BC，EF∥DG，∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），∴＝＝＝．10、（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝时，△APB∽△ABC；（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF 和DQ的比例中项．（保留作图痕迹，不写作法）（1）解：∵△APB∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AP＝，故答案为．（2）解：作∠DEQ＝∠F如图点Q就是所求作的点．11、如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，∴＝，解得BF＝5．答：线段BF的长为5．12、如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；②当S△ACD＝时，求CE的值．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x1＝2，（舍去）∴．。

相似三角形添加辅助线的方法举例例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．BC例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC∴BC CE CD BC =即BCAC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法三（构造BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．∴BC AC CD CE =即BCACCD BC=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ．BCEBCBB C∴EC AC CD BC =J 即BC ACCDBC 21=． ∴BC 2＝2CD ·AC ．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值 （1）设k AE =，则k BE 3=解法1 如图，延长BA 、CD 交于点FBC AD //，AD BC 3=， ∴AF BF 3= k AF 2=，E 为BF 的中点 又BF CE ⊥ CF BC =，又BF CF = B C F ∆为等边三角形 故︒=∠60B解法2如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥，得平行四边形ABFD 同解法1可证得CDF ∆为等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法3 如图作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥，得矩形AEHGCE AF //3==AEBECF BC ，又AD BC 3= AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD 可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形，故︒=∠60B 解法6 如图（补形法），读者可自行证明CDF ∆是等边三角形， 得︒=∠=∠60F B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等） （2）设S S BCE 3=∆，则S S AECD 2=四边形 解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =∆，则x S S ACE -=∆2，x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 45=s x s S ACE 432=-= 4433===∆∆ss S S AE BE ACE BCE解法2（补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91=∆∆ABC FAD S SsS S S FAD ABCD FAD 581∆∆==梯形 s S FAD 85=∆，s s s S FEC 821285=+=∆，又s S EBC 3=∆87==∆∆BEC FBC S S BE EF 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AFm 2=AE ，4==AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆，故AF AB 3=（1）ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形23===∆∆∆AECD BCE FEC BEC S S S S EF BE 四边形 故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2） 由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，s S S ABCD ABG 5==∆梯形21212153h BG h BC S S ABGEBC⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC 5421=h h ，54=AB BE ，故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．解法1： 延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB ，∴ △AEF ≌△BEH ，即AF=BH ，∵AD AF 31=，∴ BC AF 31=，即CH AF 41=．∵ AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴ △AFG ∽△CGH ．∴ AG ：GC=AF ：CH ，∴ AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5．解法2： 如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，DC AB //，即AB ∥MC ，∴ AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ． ∵ AD AF 31=，∴ AF ：FD=1：2，∴ AE ：MD=1：2．∵DC AB AE 2121==．∴ AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵ B 为AC 的中点， ∴ BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点， ∴ F 为DG 的中点． ∴ EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴ AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1： 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴ M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴ OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE OMBF =， 即cacb BF +=221，∴c a bc BF 2+=. 解法2： 如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a cBF b BF +=-， ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3： 延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BECF BF =． 解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =． 分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决． 证法1： 如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴ AE BADCBD =① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE ．代入②式得AC ABDCBD =． 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2： 如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3． 于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴ CD BDAC AB =.分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3： 如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DC BD =，∴CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证． 证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BEDF BE DC BD ==．11 又∵ AC AB DE BE =，∴ DC BD AC AB =.。

全等三角形问题中常有的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。

要证线段倍与半，延伸缩短可试验。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延伸中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3.角均分线在三种添协助线4.垂直均分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法” ：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90 的特别直角三角形，而后计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特别直角三角形，或40-60-80 的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（ 2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。

初中三角形8种辅助线的作法说到三角形，大家脑袋里第一反应应该就是那三条边和三角形的三个角吧？对，就是这种形状。

那你知道怎么在这些三角形里画出一些特殊的辅助线吗？这些线啊，往往能帮你解决一些看似复杂的问题，让三角形的“奥秘”暴露无遗，简直是数学界的小妙招。

好啦，今天就来聊聊这八种常见的辅助线，保证让你瞬间变身三角形达人！我敢打赌，学会了这些，你会觉得自己就像是三角形里的“魔术师”，每画一条线，都会有新的发现，新的答案。

最简单的辅助线之一就是角平分线。

想象一下，你有一个三角形，某个角很大，你就想把这个角一分为二，变成两个完全一样的小角，咋办呢？对啦，画个角平分线。

它可不是随便一画的，要从角的顶点开始，朝着对边走过去，确保把这个角“平分”成两个一样大的小角。

说白了，角平分线就是帮助我们把角“对半切”的神奇线。

画完后，你会发现，原本难解的问题竟然迎刃而解，想想是不是挺爽的？然后，还有一种叫垂直平分线的辅助线。

别看它名字听起来有点复杂，实际上它就是从三角形的一个边中点出发，垂直地画一条线，直接穿过这个边。

它的作用就像是让三角形中的某一条边被“公平对待”一样，平均分开。

你可以通过这条线，找到三角形的某些对称性，帮助你解决一些难题，尤其是那些涉及到对称性的题目，简直就是救命稻草。

如果你觉得角平分线和垂直平分线还不够酷，那我得给你介绍高线。

它的名字也挺威风的，是不是有种“高大上的感觉”？其实它就是从三角形的一个顶点，垂直地落到对边的延长线上，形成一个直角。

听起来是不是有点高深？但是一旦你学会了高线，你就能解决很多跟直角、面积相关的问题。

这条线虽然看起来简单，但它可以帮助你在一瞬间算出很多复杂的几何问题，简直就是三角形中的秘密武器。

你以为高线已经够神奇了吗？那我再告诉你，中线更是妙不可言。

它从三角形的一个顶点出发，直奔对边的中点，直接把这条边“分成了两半”。

很显然，中线的作用就是帮助你在三角形中找出一个平衡点，很多时候，掌握了中线，你就能找到三角形内心的“宁静”——也就是一些难以捉摸的关系。

等边三角形常考作辅助线法技巧1：作平行线法技巧2：截长补短法【典例1】（烟台）如图在等边三角形ABC中点E是边AC上一定点点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．【问题解决】如图1 若点D在边BC上求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2 若点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE如图1所示：∵△ABC是等边三角形∴∠ECH＝60°∴△CEH是等边三角形∴EH＝EC＝CH∠CEH＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝FE∠DEF＝60°∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°∴∠DEH＝∠FEC在△DEH和△FEC中∴△DEH≌△FEC（SAS）∴DH＝CF∴CD＝CH+DH＝CE+CF∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝60°过D作DG∥AB交AC的延长线于点G如图2所示：∵GD∥AB∴∠GDC＝∠B＝60°∠DGC＝∠A＝60°∴∠GDC＝∠DGC＝60°∴△GCD为等边三角形∴DG＝CD＝CG∠GDC＝60°∵△EDF为等边三角形∴ED＝DF∠EDF＝∠GDC＝60°∴∠EDG＝∠FDC在△EGD和△FCD中∴△EGD≌△FCD（SAS）∴EG＝FC∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图在等边三角形ABC中点E是边AC上一定点点D是射线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．【问题解决】如图1 点D与点B重合求证：AE＝FC；【类比探究】（1）如图2 点D在边BC上求证：CE+CF＝CD；（2）如图3 点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论．【答案】详见解答【解答】证明：【问题解决】∵△ABC和△DEF是等边三角形∴AB＝BC∠ABC＝∠EDC＝60°DE＝DF∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC即∠ABE＝∠CBF在△ABE和△CBF中∴△ABE≌△CBF（SAS）∴AE＝CF；【类比探究】（1）如图2 在CD上截取CH＝CE连接EH∵△ABC是等边三角形∴∠ECH＝60°∴△CEH是等边三角形∴EH＝EC＝CH∠CEH＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝FE∠DEF＝60°∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°∴∠DEH＝∠FEC在△DEH和△FEC中∴△DEH≌△FEC（SAS）∴DH＝CF∴CD＝CH+DH＝CE+CF∴CE+CF＝CD；（2）线段CE CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝60°过D作DG∥AB交AC的延长线于点G如图3所示：∵GD∥AB∴∠GDC＝∠B＝60°∠DGC＝∠A＝60°∴∠GDC＝∠DGC＝60°∴△GCD为等边三角形∴DG＝CD＝CG∠GDC＝60°∵△EDF为等边三角形∴ED＝DF∠EDF＝∠GDC＝60°∴∠EDG＝∠FDC在△EGD和△FCD中∴△EGD≌△FCD（SAS）∴EG＝FC∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-2】（天心区期中）如图在等边△ABC中点D是边AC上一定点点E是直线BC上一动点以DE为一边作等边△DEF连接CF．（1）如图1 若点E在边BC上且DE⊥BC垂足为E求证：CD＝2CE；（2）如图1 若点E在边BC上且DE⊥BC垂足为E求证：CE+CF＝CD；（3）如图2 若点E在射线CB上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°又∵DE⊥BC∴∠DEC＝90°∠EDC＝30°∴CD＝2CE；（2）∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠EDC＝30°∴∠FDC＝30°＝∠EDC DC＝DC∴△EDC≌△FDC（SAS）∴CE＝CF∴CD＝2CE＝CE+CF；（3）当点E在线段BC上如图2 结论：CD＝CE+CF理由如下：如图2 在BC上截取CG＝CD连接GD∵∠DCG＝60°∴△DCG是等边三角形∴DG＝DC∠GDC＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠GDE+∠EDC＝60°＝∠EDC+∠CDF∴∠GDE＝∠CDF∴△GDE≌△CDF（SAS）∴GE＝CF∴CD＝CG＝CE+EG＝CE+CF；当点E在射线BC延长线上如图3 结论：CE＝CD+CF理由如下：如图3 在BC上截取CG＝CD连接GD∵∠DCG＝60°∴△DCG是等边三角形∴DG＝DC∠GDC＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠GDE+∠GDF＝60°＝∠GDF+∠CDF∴∠GDE＝∠CDF∴△GDE≌△CDF（SAS）∴GE＝CF∴CE＝CG+EG＝CD+CF．【典例2】（2020秋•湖南期末）如图△ABC是等边三角形点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点点D从点A出发沿射线AB移动点E从点B出发沿BG移动点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．（1）如图①当点D移动到线段AB的中点时求证：DE＝DC．（2）如图②当点D在线段AB上移动但不是中点时试探索DE与DC之间的数量关系并说明理由．（3）如图③当点D移动到线段AB的延长线上并且ED⊥DC时求∠DEC度数．【答案】详见解答【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形AD＝DB∴∠DCB＝∠ACB＝30°AD＝DB由题意得AD＝BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠BED∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°∴∠BDE＝∠BED＝30°∴∠DCE＝∠BED∴DE＝DC．（2）解：DE＝DC理由如下：作DF∥AC交BC于F则∠BDF＝∠A＝60°∠DFB＝∠ACB＝60°∴△DBF为等边三角形∴DB＝DF＝BF∠DBF＝∠DFB＝60°∴FC＝AD＝BE∠DBE＝∠DFC在△DBE和△DFC中∴△DBE≌△DFC（SAS）∴DE＝DC；（3）解：在BE上截取BH＝BD连接DH∵∠DBH＝∠ABC＝60°∴△BDH为等边三角形∴DH＝DB∠BDH＝∠BHD＝60°∴∠DHE＝∠DBC＝120°∵AD＝BE BH＝BD AB＝BC∴HE＝BC在△DHE和△DBC中∴△DHE≌△DBC（SAS）∴∠HDE＝∠BDC∵∠EDC＝90°∠HDB＝60°∴∠HDE+∠BDC＝30°∴∠HDE＝∠BDC＝15°∴∠DEC＝∠DHC﹣∠HDE＝45°．【变式2-1】（道外区期末）如图△ABC中AB＝AC点D在AB边上点E在AC的延长线上且CE＝BD连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）过点D作DG⊥BC垂足为G求证：BC＝2FG．【答案】详见解答【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC DH交BC于H如图1所示：则∠DHB＝∠ACB∠DHF＝∠ECF∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠B＝∠DHB∴BD＝HD∵CE＝BD∴HD＝CE在△DHF和△ECF中∴△DHF≌△ECF（AAS）∴EF＝DF；（2）如图2 由（1）知：BD＝HD∵DG⊥BC∴BG＝GH由（1）得：△DHF≌△ECF∴HF＝CF∴GH+HF＝BH+CH＝BC∴BC＝2FG．【变式2-2】（东城区期末）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1 等边△ABC边长为2 过AB边上一点P作PE⊥AC于E Q为BC延长线上一点且AP＝CQ连接PQ交AC于D求DE的长．小明同学经过认真思考后认为可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2 当P为BA的延长线上一点时作PE⊥CA的延长线于点E Q 为边BC上一点且AP＝CQ连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC当P为AB的延长线上一点时作PE⊥射线AC于点E Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点且AP＝CQ连接PQ交直线AC于点D能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【答案】详见解答【解答】解：（1）如图过点P作PF∥BC交AC于点F∴∠Q＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ又∠PDF＝∠CDQ∠Q＝∠FPD∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF）∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F∴∠DQC＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB ∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠F AP＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ又∠PDF＝∠CDQ∠DQC＝∠FPD ∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF）∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ∠PDF＝∠CDQ∠DQC＝∠FPD∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC）∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．1．（2021秋•咸丰县期末）如图等边△ABC的边长为12cm D为AC边上一动点E为AB延长线上一动点DE交CB于点P点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC求BP的长．【解答】（1）证明：作DF∥AB交BC于F如图所示：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°∵DF∥AB∴∠CDF＝∠A＝60°∠DFC＝∠ABC＝60°∠DFP＝∠EBP ∴△CDF是等边三角形∴CD＝DF∵点P为DE中点∴PD＝PE在△PDF和△PEB中∴△PDF≌△PEB（AAS）∴DF＝BE∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC∴∠ADE＝90°∴∠E＝90°﹣∠A＝30°∴AD＝AE∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E∴BP＝BE由（1）得：CD＝BE∴BP＝BE＝CD设BP＝x则BE＝CD＝x AD＝12﹣x∵AE＝2AD∴12+x＝2（12﹣x）解得：x＝4即BP的长为4．2．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中点E是AB上的动点点E与点A、B不重合点D在CB的延长线上且EC＝ED．（1）如图1 若点E是AB的中点求证：BD＝AE；（2）如图2 若点E不是AB的中点时（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立请直接写出BD与AE数量关系若成立请给予证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵点E是AB的中点∴CE平分∠ACB AE＝BE∴∠BCE＝30°∵ED＝EC∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED∴∠BED＝30°∴∠D＝∠BED∴BD＝BE．∴AE＝DB．（2）解：AE＝DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC∠AFE＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°AB＝AC＝BC∴∠AEF＝∠ABC＝60°∠AFE＝∠ACB＝60°即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°∵DE＝EC∴∠D＝∠ECD∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中∴△DEB≌△ECF（AAS）∴DB＝EF∴AE＝BD．3.（2020秋•旅顺口区期中）如图在等边三角形ABC中点E是边CA延长线上一点点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．（1）如图1 若点D在边BC上求证：CE＝CF+CD；（2）如图2 若点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系并说明理由．【答案】详见解答【解答】（1）证明：在CA上截取CG＝CD连接DG如图1所示：∵△ABC和△DEF是等边三角形∴∠B＝∠ACB＝∠EDF＝60°BC＝AC DE＝DF∵CG＝CD∴△CDG是等边三角形∴DG＝DC＝CG∠GDC＝60°＝∠EDF∴∠EDG＝∠FDC在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC（SAS）∴GE＝CF∵CE＝GE+CG∴CE＝CF+CD；（2）解：CD＝CF+CE理由如下：在CA的延长线上截取CG＝CD连接DG如图2所示：同（1）得：△CDG是等边三角形△DEG≌△DFC（SAS）∴DG＝DC＝CG GE＝CF∵CG＝GE+CE∴CD＝CF+CE．4.（2020•安徽）如图D是等边△ABC的边AB上一点E是BC延长线上一点CE＝DA连接DE交AC于F过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．【答案】详见解答【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝60°∵DG⊥AC∴∠AGD＝90°∠ADG＝30°∴AG＝AD；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H∴∠ADH＝∠B∠AHD＝∠ACB∠FDH＝∠E∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°∴△ADH是等边三角形∴DH＝AD∵AD＝CE∴DH＝CE在△DHF和△ECF中∴△DHF≌△ECF（AAS）∴DF＝EF；（3）∵△ABC是等边三角形DG⊥AC∴AG＝GH∴S△ADG＝S△HDG∵△DHF≌△ECF∴S△DHF＝S△ECF∴S△DGF＝S△DGH+S△DHF＝S△ADG+S△ECF．5．（2020秋•花雨区校级月考）我们在前面曾遇到过这样一道题目：小明与同桌小聪讨论后进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时如图1 确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）一般情况证明结论：如图2 过点E作EF∥BC交AC于点F．请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明．（3）变式探究：如图3 △ABC是等边三角形D是边BC上一点点E在BA的延长线上且BD＝AE此时CE和DE有何数量关系？请画出图形作出判断并说明理【答案】详见解答【解答】解：（1）∵E为等边三角形AB边的中点∴∠ECD＝30∵DE＝CE∴∠ECD＝∠D＝30°∵∠DEB＝180°﹣∠D﹣∠DBE＝30°∴∠DEB＝∠D∴BD＝BE∴AE＝BD．（2）如图2∵在等边三角形ABC中EF∥BC∴BE＝CF∵DE＝CE∴∠D＝∠ECD∵∠D+∠DEB＝60°∠ECF+∠ECD＝60°∴∠ECF＝∠DEB在△CEF和△DBE中∴△CEF≌△DBE（SAS）∴AE＝DB．（3）如图3 过D做DF∥AC则△BDF为等边三角形∴BD＝BF＝DF∵BD＝AE∴AB＝BF+AF＝BD+AF＝AE+AF＝EF∴AC＝EF∵DF∥AC∴∠DFE＝∠EAC在△DEF和△ECA中∴△DEF≌△ECA（SAS）∴CE＝DE．6．（2020秋•河西区期末）如图△ABC是边长为6的等边三角形P是AC边上一动点由A向C运动（与A、C不重合）Q是CB延长线上一点与点P同时以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（Q不与B重合）过P作PE⊥AB于E连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时求AP的长；（2）证明：在运动过程中点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【解答】（1）解：设AP＝x则BQ＝x∵∠BQD＝30°∠C＝60°∴∠QPC＝90°∴QC＝2PC即x+6＝2（6﹣x）解得x＝2即AP＝2．（2）证明：如图过P点作PF∥BC交AB于F∵PF∥BC∴∠PF A＝∠FP A＝∠A＝60°∴PF＝AP＝AF∴PF＝BQ又∵∠BDQ＝∠PDF∠DBQ＝∠DFP∴△DQB≌△DPF∴DQ＝DP即D为PQ中点（3）运动过程中线段ED的长不发生变化是定值为3 理由：∵PF＝AP＝AF PE⊥AF∴又∵△DQB≌△DPF∴∴．7．（2020秋•裕华区校级期末）知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起让两个30°角合在一起成60°经过拼凑、观察、思考探究出结论“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图等边三角形ABC的边长为4cm点D从点C出发沿CA向A运动点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动运动过程中DE与BC相交于点P设运动时间为x秒．（1）请直接写出AD长．（用x的代数式表示）（2）当△ADE为直角三角形时运动时间为几秒？（3）求证：在运动过程中点P始终为线段DE的中点．【解答】解：（1）由题意得CD＝0.5x则AD＝4﹣0.5x；（2）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC＝4cm∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．设x秒时△ADE为直角三角形∴∠ADE＝90°BE＝0.5x AD＝4﹣0.5x AE＝4+0.5x∴∠AED＝30°∴AE＝2AD∴4+0.5x＝2（4﹣0.5x）∴x＝；答：运动秒后△ADE为直角三角形；（3）如图2 作DG∥AB交BC于点G∴∠GDP＝∠BEP∠DGP＝∠EBP∠CDG＝∠A＝60°∠CGD＝∠ABC＝60°∴∠C＝∠CDG＝∠CGD∴△CDG是等边三角形∴DG＝DC∵DC＝BE∴DG＝BE．在△DGP和△EBP中∴△DGP≌△EBP（ASA）∴DP＝PE∴在运动过程中点P始终为线段DE的中点．8．（2021秋•营口期末）已知A（﹣10 0）以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如下图点M、N分别为OA、OB边上的动点以MN为边在x轴上方作等边△MNE连结OE当∠EMO＝45°时求∠MEO的度数．【解答】解：（1）如图过B作BD⊥OA于点D∵△AOB为等边三角形点A（﹣10 0）∴OA＝OB＝AB＝10 ∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°∵BD⊥OA∴AD＝OD＝OA＝×10＝5∴点B的横坐标为﹣5；（2）如图2 过点M作MF∥AB交OA于点F∵MF∥AB∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°∴△MOF为等边三角形∴∠FMO＝60°MF＝MO∵△MNE是等边三角形∴∠NME＝60°MN＝ME∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°∴∠FMN＝∠OME在△MFN和△MOE中∴△MFN≌△MOE（SAS）∴∠MFN＝∠MOE＝60°∵∠EMO＝45°∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO ＝180°﹣60°﹣45°＝75°．。

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,连结BE 并延长交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，，1==AE DE FEPE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DCBC DQBF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 25=例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

可编辑修改精选全文完整版相似三角形中的辅助线专题训练一、基本图形：二、基本方法：证相似，实不难，A字字仔细看；如没有，辅助线，各种情况常相见。

三、实例演习：（一）遇燕尾，作平行，构造字一般行。

1、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF（二）遇梯形，延长腰，构成A字瞧一瞧。

2、梯形ABCD中，AD∥BC，CH平分∠BCD，BH＝3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

（三）遇平分，作等腰，三线合一要记牢。

3、AC⊥BC，AE⊥DE，2∠ADE＝∠B，AC：BC＝3：1，求AE：DG（四）直角多，垂线作，再难题目你能做。

4、平行四边形ABCD中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2HDCBAEDCBAGEDCBAA BCDEF四、巩固练习：（做题目，看情况，灵活运用最恰当。

） 1、BD ：DC ＝2：1，E 为AD 中点，求①BE ：EF ②AF ：FC2、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC3、D 为BC 中点，求证：AF ：BF ＝AE ：EC4、AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，FG ⊥AB ，E 为CD 中点，求证：FG 2＝CF ·BF 5、AB ＝AC ，AD 为中线，CF ∥AB ，求证：BP 2＝PE ·PF6、AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD ，求证：ED 2＝EB ·EC7、矩形ABCD 中，E 为AD 中点，EF ⊥EC ，求证：△AEF ∽△ECF8、AB ＝AC ，AB ⊥BC ，AD 为中线，BE ⊥AD ，求证：①AE ＝2EC ②∠AEB ＝∠CED 9、∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，BD ＝DC ＝EC ＝1，求AC 的长10、AB ＝AC ，BD 为高，求证：BC 2＝2AC ·CDFE DC BA G F E DC B A A BC DE FA B C D E F G PA BC D E F AB CD EF AB CD E F P AB C D E PAB CDEA BCDPA B CD E。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。

一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广•因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为 基础. 二、 两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路:1 ）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单； 2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、 已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、 已知可能的一个直角三角形 ①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似 ③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、 与等腰三角形有关的①找顶角对应相等 判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、 相似形的传递性 若4 1S^ 2,^ 23,则厶 3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所 代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只 要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

八下数学思维解法技巧培优小专题专题1 特殊三角形常见辅助线作法题型一利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线【典例1】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【点拨】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF=12AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE ＝∠AFE＝90°．【解析】证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC=12AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAE和△F AE中{AB=AF∠BAD=∠CAD AE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．【典例2】（2019•武隆县校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD＝AB+BD．【点拨】在DC上取DE＝BD，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB ＝AE，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠AEB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C＝∠CAE，再根据等角对等边的性质求出AE＝CE，然后即可得证．【解析】证明：如图，在DC上取DE＝BD，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，在△ACE中，∠AEB＝∠C+∠CAE，又∵∠B＝2∠C，∴2∠C＝∠C+∠CAE，∴∠C＝∠CAE，∴AE＝CE，∴CD＝CE+DE＝AB+BD．题型二巧用特殊角构造含30°的直角三角形【典例3】（2019•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC ＝120°，求CD的长．【点拨】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【解析】解：延长AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴2（1+x）＝x+4，解得；x＝2，∴CD＝2．【典例4】（2019•彭泽县期中）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，DC＝8，求△ABC的面积．【点拨】由题意先求得∠B＝∠C＝30°，再由AD⊥AC，求得∠ADC＝60°，则∠BAD＝30°，然后得出AD＝BD，得到BC＝12，过A作AE⊥BC于E，求得AE=√33BE＝2√3，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，DC＝8，∴AD=12CD＝4，∠ADC＝60°，∴∠B＝∠BAD＝30°，∴AD＝BD＝4∴BC＝12，过A作AE⊥BC于E，∴BE=12BC＝6，∴AE=√33BE＝2√3，∴△ABC的面积=12BC•AE=12×12×2√3=12√3．题型三作平行线构造等腰三角形【典例5】（2019•垦利区期末）已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【点拨】（1）求出∠E＝∠CDE，推出CD＝CE，根据等腰三角形性质求出AD＝DC，即可得出答案；解：（1）AD＝CE，理由：过D作DF∥AB交BC于E，（2）（1）中的结论仍成立，如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD＝CE，即可得到AD＝CE．【解析】解：（1）AD＝CE，证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，即∠BPD＝∠DCE，在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE；（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD 和△DCE 中，{∠PDB =∠DEC∠P =∠DCE =60°DB =DE，∴△BPD ≌△DCE ，∴PD ＝CE ，∴AD ＝CE ．题型四 截长补短构造等腰三角形【典例6】（2019•西城区校级期中）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD ＝60°，∠ACD ＝60°，求证：BD +DC ＝AB ．【点拨】延长BD 到F ，使BF ＝BA ，连接AF ，CF ，得出等边三角形ABF ，推出AF ＝AB ＝AC ＝BF ，∠AFB ＝60°，推出∠ACF ＝∠AFC ，得出∠DFC ＝∠DCF ，推出DC ＝DF 即可．【解析】证明：延长BD 到F ，使BF ＝BA ，连接AF ，CF ，∵∠ABD ＝60度，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝AB＝AC＝BF，∠AFB＝60°，∴∠ACF＝∠AFC，又∵∠ACD＝60°，∴∠AFB＝∠ACD＝60°∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF．∴BD+DC＝BD+DF＝BF＝AB，即BD+DC＝AB．题型五倍长中线法构造等腰三角形【典例7】（2019•分宜县校级月考）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．【点拨】过B作BF∥AC交CE的延长线于F，由E为AB中点，得到AE＝EB，再由BF与AC平行，得到两对内错角相等，利用AAS得到△ACE≌△BFE，可得到CE＝EF，AC＝BF，即CF＝2CE，再由已知角相等，利用等角对等边得到AC＝AB，根据B为AD中点，得到AC＝AB＝BD＝BF，利用外角性质及等量代换得到夹角相等，利用SAS得到三角形CBD与三角形CBF全等，利用全等三角形对应边相等得到CD＝CF，等量代换即可得证．【解析】证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，∵CE 是中线，BF ∥AC ，∴AE ＝BE ，∠A ＝∠ABF ，∠ACE ＝∠F ，在△ACE 和△BFE 中，{∠A =∠ABF ∠ACE =∠F AE =BE，∴△ACE ≌△BFE （AAS ），∴CE ＝EF ，AC ＝BF ，∴CF ＝2CE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ，CB 是△ADC 的中线，∴AC ＝AB ＝BD ＝BF ，∵∠DBC ＝∠A +∠ACB ＝∠ABF +∠ABC ，∴∠DBC ＝∠FBC ，在△DBC 和△FBC 中，{DB =FB ∠DBC =∠FBC BC =BC，∴△DBC ≌△FBC （SAS ），∴DC ＝CF ＝2CE ．巩固练习1．（2019•镇赉县期末）如图，在四边形ABCD 中，CB ＝CD ，∠D +∠ABC ＝180°，CE ⊥AD 于E ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）若AE ＝3ED ＝6，求AB 的长．【点拨】（1）过C 点作CF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F ．由AAS 证明△CDE ≌△CBF ，可得CE ＝CF ，结论得证；（2）证明Rt △ACE ≌Rt △ACF ，可得AE ＝AF ，可求出AB ＝4．【解析】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．（2）解：由（1）得BF＝DE，∵CE＝CF，CA＝CA，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，∵AE＝6，DE＝2，∴AB＝4．2．（2019•恩平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【点拨】（1）由AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ，BE ＝CF ，BD ＝CE ．利用边角边定理证明△DBE ≌△CEF ，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．（2）根据∠A ＝40°可求出∠ABC ＝∠ACB ＝70°根据△DBE ≌△CEF ，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF 的度数．【解析】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，在△DBE 和△CEF 中{BE =CF ∠ABC =∠ACB BD =CE，∴△DBE ≌△CEF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵△DBE ≌△CEF ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B =12（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF ＝70°3．（2019•萧山区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，AD⊥BC，∠ABC＝2∠C，试说明AB+BD＝CD的理由．【点拨】由Rt△ABC中，∠B＝2∠C，可知∠B＝60°，∠C＝30°，易证BC＝2AB，由AD⊥BC，可知∠BAD＝30°，同理可知AB＝2BD，CD＝3BD，故可以推出AB+BD＝CD．【解析】解：∵Rt△ABC中，∠B＝2∠C，∴∠B＝60°，∠C＝30°．∴BC＝2AB．∵AD⊥BC，∴∠BAD＝30°．∴AB＝2BD．∴BC＝4BD∴CD＝3BD．∴AB+BD＝CD．4．（2019•泰安期末）如图，在△ABC中．AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．请说明：BM＝MN＝NC．【点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AM＝BM，AN＝CN，继而求得∠B＝∠BAM＝30°，∠C＝∠CAN＝30°，则可求得∠MAN的大小；根据三角形外角的性质得：∠AMN＝∠ANM＝60°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM＝MN＝NC．【解析】解：连结AM，AN∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°∵EM垂直平分AB∴BM＝AM，∴∠MAB＝∠B＝30°∴∠AMB＝120°，∴∠AMN＝60°同理：CN＝AN，∠ANM＝60°∠AMN＝∠MAN＝∠ANM＝60°∴△ANM是等边三角形∴BM＝MN＝CN．5．（2019•来宾期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．【点拨】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE＝BE，∴∠BCE＝30°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED，∴∠BED＝30°，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE．∴AE＝DB．（2）解：AE＝DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°，AB ＝AC ＝BC ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°，即∠AEF ＝∠AFE ＝∠A ＝60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠DBE ＝∠EFC ＝120°，∠D +∠BED ＝∠FCE +∠ECD ＝60°，∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ．在△DEB 和△ECF 中，{∠DEB =∠ECF ∠DBE =∠EFC DE =EC，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴DB ＝EF ，∴AE ＝BD ．6．（2019•集安市期末）如图，O 是等边△ABC 内的一点，已知∠AOB ＝110°，∠COD ＝60°，∠BOC ＝α，△BOC ≌△ADC ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）若α＝150°，试判定△AOD 的形状，并说明理由；（3）当△AOD 是等腰三角形时，试求出α的度数．【点拨】（1）根据旋转的性质得到CO ＝CD ，∠OCD ＝60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD 是等边三角形；（2）根据旋转的性质得到∠ADC ＝∠BOC ＝α＝150°，再利用△COD 是等边三角形得∠CDO ＝60°，于是可计算出∠ADO ＝90°，由此可判断△AOD 是直角三角形；（3）先利用α表示出∠ADO ＝α﹣60°，∠AOD ＝190°﹣α，再进行分类讨论：当∠AOD ＝∠ADO 时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α＝α﹣60°；当∠AOD＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°﹣α）+α﹣60°＝180°；当∠ADO＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α+2（α﹣60°）＝180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．【解析】（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，∴△AOD是直角三角形；（3）解：∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝∠COD＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，∠AOD＝360°﹣60°﹣110°﹣α＝190°﹣α，当∠AOD＝∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°；当∠AOD＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°；当∠ADO＝∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°﹣α+2（α﹣60°）＝180°，解得α＝110°，综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．7．（2019•邹城市期末）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD 于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．【点拨】（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD；（2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案．【解析】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠BAE＝∠ACD，∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABE≌△CAD（ASA）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，∵AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．。

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

1/ 142 / 14已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180?例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA ，PD ⊥OA ，如果PC=4，则PD=（ ）A 4B 3C 2D 12.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。

相似三角形添加辅助线的方法举例1.垂直角辅助线：当三角形中存在垂直角时，我们可以通过添加一条垂直角辅助线来将问题简化。

例如，在一个直角三角形中，我们可以通过从直角顶点到斜边的任意一点画一条垂直辅助线，这样可以将原问题转化为两个相似的直角三角形的求解。

2.中位线辅助线：在一个任意三角形中，我们可以通过连接每个顶点与对边中点的线段来得到三条中位线。

这些中位线的交点被称为三角形的重心。

通过画三角形重心与其他顶点的连线，可以将原问题转化为多个相似的三角形的求解。

3.等角辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加等角辅助线来帮助我们得到一些相等的角度。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一个等角辅助线使得两个直角形成的角相等，那么我们可以推断这两个三角形相似。

4.比例辅助线：当我们需要求解相似三角形的长边与短边的比例时，可以利用比例辅助线。

例如，在两个相似三角形中，我们可以通过添加比例辅助线，将两个相似三角形分割成若干个相似的小三角形，并且利用小三角形的边长比例来求解长边与短边的比例关系。

5.平行辅助线：当我们需要证明两个三角形相似时，可以通过添加平行辅助线来帮助我们得到一些对应边平行的关系。

例如，在两个直角三角形中，如果我们能找到一条边使得它与另一个直角三角形的对边平行，那么我们可以推断这两个三角形相似。

以上是一些常见的相似三角形添加辅助线的方法，它们可以帮助我们更好地理解问题、简化问题以及找到解决问题的方法。

在实际解题过程中，根据问题的不同，我们可以选择适合的辅助线方法来解决问题。