黑龙江省哈尔滨市第三中学2018-2019学年高一下学期第一次阶段性测试数学试题 含解析

哈三中2022—2023学年度上学期高三学年第一次验收考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合(){}lg 3,A x y x x N ==-∈，则集合A 的真子集的个数为A ．7B ．8C ．15D ．162．sin 495=A ．1B ．12-CD．23．若幂函数()()226844mm f x m m x -+=-+在()0,+∞上为减函数，则m 的值为A ．1或3B ．1C ．3D ．24．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t hc c T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中c T 是环境温度，h 为常数.现有一个105C 的物体，放在室温15C 的环境中，该物体温度降至75C 大约用时1分钟，那么再经过m 分钟后，该物体的温度降至30C ，则m 的值约为（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．2.9B ．3.4C ．3.9D ．4.45.将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数23cos y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的图象，则ϕ的值可以是A ．712πB ．125πC ．12πD ．3π6．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为A ．()sin πf x x x =B ．()(1)sin πf x x x =-C ．[]()cos π(1)f x x x =+D ．()(1)cos πf x x x =-7．已知())20222022lnx x f x x -=--，当02x <<π，cos a x =，ln cos b x =，cos e x c =，试比较()()(),,f a f b f c 的大小关系A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<8．已知()()βαβαβαsin sin cos cos 2=++-，其中α，β均为锐角，则()βα-tan 的最大值为A.31 B.32 C.33 D.332(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．02cos <C ．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角D.若βαsin sin =，则α与β的终边相同10．下列命题为真命题的是A ．若0a b <<，则22a ab b>>B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则33a b >D ．若0a b >>，c d >，则ac bd>11．已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是A ．()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是23πC ．ω的取值范围是91344⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．()f x 在区间0,15⎛⎫⎪⎝⎭π上单调递增12．)(x f 是定义在R 上的函数，满足12()(),(1)2xf x f x xe f e'+=-=-，则下列说法错误的是A ．)(x f 在R 上有极大值B ．)(x f 在R 上有极小值C ．)(x f 在R 上既有极大值又有极小值D ．)(x f 在R 上没有极值第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．若sin 2cos 0A A +=，则2sin cos sin 3cos A AA A+=-___________；14．“R x ∃∈，210ax ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_________；15．某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为24T =分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h （单位：米）与时间t （单位：分）的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟，则1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系()h t 的解析式为；16．已知函数()21log 0()210x x x f x x ---<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，，，若关于x 的方程()()220f x af x a a -+-=有四个不等实根．则实数a 的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知π0π2<<<<αβ，1cos 43⎛⎫-= ⎪⎝⎭πβ，()3sin 5+=αβ.（1）求sin 2β的值；（2）求cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．已知函数2()2(1)2ln ()f x ax a x x a R =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.19．已知函数2()2sin sin cos cos 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的对称中心，并求当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；（2）若函数()g x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.20．已知函数()11e e xx f x -=+．(1)判断并用定义法证明()f x 在其定义域上的单调性；(2)若()()33920x x x f k f ⋅+-+<对任意1x >恒成立，求实数k 的取值范围．21.哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层．本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当05x ≤≤时，()34k T x x =+；当5<10x ≤时，()()213023560T x x x =-+；若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．设()f x 为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．22.已知函数2)1()1ln(2)(+-+=x ax x f 有两个不同的零点1x ，2x .（1）当211-<<-x 时，求证：211)1ln(+->+x x ；（2）求实数a 的取值范围；（3）求证：0122212221<++++x x x x .哈三中2022—2023学年度上学期 高三学年第一次验收考试数学答案13.514.[]4,0 15. ()30sin32(0)12h t t t π=+≥ 16.(]0,1 17.(1)27sin 2cos 2cos 22cos 12449πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫β=−β=β−=β−−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)()cos cos 44π⎛π⎫⎛⎫⎛⎫α+=α+β−β− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()4134cos cos sin sin 44535315ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=α+ββ−+α+ββ−=−⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18.(1)()22ln ,()22222'()2,'()2,(2).(1)(22)(2)'()220'(),(01)(1)0(01)(1)111(0)(1)(f x x x f e e f x f e y x x e e x ax f x xx a f x xa a a a=−=−=−=−=−−+=−==+∞>+∞<−+∞切线方程：，时，单减区间：，，单增区间： ，②当时，单减区间：，，单增区间： ，③当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：-①当)1(0)1110(0,1)()(1)0(01)(1)111(0)(1)()1(0)110a a a aa a a aa =−+∞−<<+∞≥+∞<−+∞=−+∞ ，1④当时,单减区间： ，⑤当时,单减区间：和- ，，单增区间： ，-综上，当时,单减区间：，，单增区间： ，当时，单减区间： ，-和 ，，单增区间：- ，1当时,单减区间： ，- 1-119.(1)())3211(,),().62221(2)()()2),32511(0,)(,).1212f x x k k Zg x f x x x =++−+∈−=−=−++∈，对称中心：，值域：当时，单增区间：πππππππ121212121212121220.(1),,112()()()0,11(1)(1)()(),().x x x x x x x x R x x R x x e e e e f x f x e e e e f x f x f x R ∀∈<−−−−=−=<++++⇒<定义域：，且在上单调递增 11(2)()(),()11(?3)(392)(392)·33921231,3(3,)324()1,'()0,()(3)34.3x xx x x x x x x x x x x xx e e f x f x f x e e f k f f k x k t t g t t g t g t g t k −−−−−===−⇒++<−−+=−+−⇒<−+−><−−=∈+∞=−−>⇒>=⇒≤为奇函数，对任意恒成立令，21(1)()20540=⇒==k kT()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+−≤≤++=1052235721504360082x x x x x x x f(2) 当50≤≤x 时()600860032322088348034334333x x x x +=++−≥−=++ 当且仅当311=x 时等号成立. 当105<<x 时，当7=x 时，()937m in ==f f31120831。

哈三中2018-2019学年度下学期高一第一次阶段性测试物理试卷一、选择题（本题共10小题；每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。

）1.关于曲线运动，下列说法中正确的是：A ．物体所受合外力是变力B ．物体在恒力作用下不可能做曲线运动C ．物体所受合外力方向与加速度方向不在同一直线上D ．物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上2.关于平抛运动的叙述，下列说法正确的是：A ．平抛运动是一种在变力作用下的曲线运动B ．平抛运动的速度是时刻变化的C ．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角保持不变D ．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越大3.如图所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g ，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为：A ．t ＝v 0tan θB ．g v t θtan 20=C ．θtan 0g v t =D ．θtan 20g v t = 4.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3。

若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为：A ．r 1ω1r 3 B ．r 3ω1r 1C ．r 3ω1r 2D ．r 1ω1r 25.一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，则竖直杆运动的速度为：A． B． C． D．6.有甲、乙两只船(可视为质点)，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向对岸开去，已知甲船用最短时间渡河，乙船用最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比为：A． B． C． D．7.下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是：A．线速度恒定 B．角速度恒定C．加速度恒定 D．周期恒定8.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】故选：A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2.（）A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】【分析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了对数的运算性质，考查了计算能力.3.已知集合，，,则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】，借助余弦图像即可得到结果．【详解】∵，∴即故选：Ｃ【点睛】本题考查交集概念及运算，考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．4.函数的零点所在区间为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令函数f（x）＝0得到，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．【详解】令0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5.下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）① ② ③ ④A. ①，②，③，④B. ①，②，③，④C. ①，②，③，④D. ①，②，③，④【答案】B【解析】【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．6.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求单调减区间．【详解】∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；且y＝log2x在（0，+∞）上是增函数；∴函数y＝log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选：A．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．7.在中,角所对的边分别为，,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理，即可解得.【详解】∵∴，即，∴，又a＜b，A三角形的内角，∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用，注意利用大边对大角进行角的限制，属于基础题.8.已知则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．【详解】∵∴，∴。

哈三中2018—2019学年度下学期高一学年第一模块数学考试试卷第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量()3,1a =，则||a =（ ）A. 1 23 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由向量的模长公式求模长即可. 【详解】因为()3,1a =，所以()22||312a =+=.故选D.【点睛】本题考查向量的模长.向量(,)a x y =的模长22||a x y =+2.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2223b c a bc +-=，则A =（ ） A.6π B.5π6C.π3D.2π3【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可求出cos A ，再求A .详解】由余弦定理可得22233cos 2b c bc A bc a +===-， 又()0,πA ∈，所以π6A =. 故选A. 【点睛】本题考查余弦定理.222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.3.在等差数列{}n a 中，若3712a a +=，则5a =（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得3752a a a +=，则答案易求.【详解】在等差数列{}n a 中，因为37=52+⨯，所以3752a a a +=. 所以511262a =⨯=.故选B. 【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列{}n a 中，若p q s t +=+，则p q s t a a a a +=+.特别地，若2p q s +=，则2p q s a a a +=.4.已知12,e e 是单位向量，若12|4|13e e -=则1e 与2e 的夹角为（ ） A. 30° B. 60︒C. 90︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】先由12|4|13e e -=12e e ，再求1e 与2e 夹角的余弦值，进而可得夹角. 【详解】因为12|4|13e e -=()212413e e -=，则22112281613e e e e -+=.由12,e e 是单位向量，可得12||=||=1e e ，2212==1e e ， 所以121=2e e .所以1212121cos ,=2||||e e e e e e =. 所以12,=60e e ︒.故选B.【点睛】本题考查平面向量的数量积、模、夹角的综合问题.利用22||a a =可以把模长转化为数量积运算.5.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c o s c o s 0a A b B -=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式结合正弦定理，可得sin 2sin 2A B =，再结合三角形中角的范围分析角,A B 的关系，进而判断三角形的形状.【详解】由cos cos 0a A b B -=结合正弦定理， 可得sin cos sin cos 0A A B B -=，则sin 2sin 2A B =. 所以22A B =或22πA B +=.所以A B =或π2A B +=. 所以ABC △是等腰三角形或直角三角形.故选D.【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.6.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ，34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（ ） A. 9 B. 6C. 3D. 1【答案】A 【解析】 【分析】易得2220191817181718217a a a q a q a a a a q ++==++，于是根据已知条件求等比数列的公比即可. 【详解】设公比为q .由132a ，34a ，2a 成等差数列，可得312322a a a +=， 所以2111322a a q a q +=，则2230q q --=，解1q =-(舍去)或3q =. 所以22201918171817181279a a a q a q a a a a q ++===++.故选A. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.7.在等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，23S =，49S =，则6S =（ ） A. 12 B. 18C. 21D. 27【答案】C 【解析】 【分析】24264,,S S S S S --也成等比数列，则6S 易求.【详解】在等比数列中，可得24264,,S S S S S --也成等比数列，所以()()242264S S S S S -=-，则()()269339S -=-，解得621S =.故选C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质,也可以由1,a q 进行基本量计算来求解.若等比数列的前n 项和是n S ，则232,,,m m m m m S S S S S --(0m S ≠)也成等比数列.8.在数列{}n a 中，已知14a =，25a =，且满足21(3)n n n a a a n --=≥，则2019a =（ ）A.14B.54C.15 D.45【答案】B 【解析】 【分析】由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求2019a . 【详解】由21(3)n n n a a a n --=≥，可得12(3)n n n a a n a --=≥. 又14a =，25a =，所以32341251,44a a a a a a ====， 同理可得567814,,4,555a a a a ====. 于是可得数列{}n a 是周期数列且周期是6. 因为201963363=⨯+，所以2019354a a ==.故选B.【点睛】本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.9.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则AE =u u u r（ ）A.4255a b + B.2455a b + C.4233a b + D. 2433a b +【答案】A 【解析】 【分析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案.【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===，在Rt ABE △中，可得5AB m =.过点E 作EH AB ⊥于点H ,则22555EH m m ==，EH AD ∥，()22254525AH m m m ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以42,55AH AB HE AD ==.所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+.故选A.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量.平面内的任意一个向量都可以用一对基向量(不共线的两个向量)来线性表示.10.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为*()n S n ∈N ．有下列命题：①若315S S =，则180S =；②若315S S =，则9S 是n S 中的最大项；③若315S S =，则9100a a +=；④若910S S >，则1011S S >．其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】方法一：由前n 项和公式()112n n n S na d -=+代入各命题判断是否正确. 方法二：由等差数列前n 项和的性质判断各命题是否正确. 【详解】方法一：若315S S =，则1132151431522a d a d ⨯⨯+=+，可得12170a d +=， ()1811181718921702S a d a d ⨯=+=+=，①正确； ()()21111128192171717n n n a S na a n a -⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，则9S 是n S 中的最大项，②正确； 910111892170a a a d a d a d +=+++=+=，③正确.若910S S >，则109100S S a -=<，又10a >，故0d <， 所以111011100S S a a d -==+<，即1011S S >，④正确. 故选D.方法二：若315S S =，则4591014150a a a a a a +++++++=，而415514910a a a a a a +=+=+，则9100a a +=，③正确；()()1811891018902S a a a a =+=+=，①正确； 若0d >，由10a >可得n S 单调递增，不合题意，故0d <， 等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数， 由对称性可得当31592n +==时，n S 取得最大值，②正确. 若910S S >，则109100S S a -=<，又10a >，故0d <， 所以111011100S S a a d -==+<，即1011S S >，④正确. 故选D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的有关问题.有关等差数列、等比数列的问题一般都能够使用两种方法求解，一是用首项和公差(公比)进行基本量运算，二是利用有关性质进行解题.11.已知锐角ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2c a a b =+，则2c o s c o s ()AC A -的取值范围是（ ）A. 22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. 13,22⎛ ⎝⎭C. 2232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由()2c a a b =+结合余弦定理得2cos b a C a -=，再由正弦定理并恒等变形得()sin sin C A A -=，故2C A =，于是2cos =cos cos()AA C A -且可由锐角三角形求得角A 的取值范围，进而可得答案. 【详解】因为()2222cos c a a b a b ab C =+=+-,所以22cos b ab C ab -=，则2cos b a C a -=. 所以sin 2sin cos sin B A C A -=. 所以()sin 2sin cos sin A C A C A +-=. 所以cos sin sin cos sin A C A C A -=.所以()sin sin C A A -=.又ABC △是锐角三角形，π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以C A A -=，即2C A =.所以2cos =cos cos()AA C A -. 由锐角三角形，可得πππ0,02,2222A A A A <<<<+>， 则ππ64A <<，所以23cos 2A ⎛∈ ⎝⎭.故选C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形问题中的运用，需要综合运用正弦定理、余弦定理和三角恒等变换进行解题.12.已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A. 1 B.12C.13D.16【答案】C 【解析】 【分析】先由n S 与n a 的关系式求{}n a 的通项公式，于是可得{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求出n T ，于是答案易得.【详解】因为20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N , 所以当1n =时，2111122a S a a ==+，解得11a =； 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+.所以()()221112=22n n n n n n n a S S a a a a ----=+-+. 于是()()22110n n n n a a a a ---+=-.由10n n a a -+≠，可得11n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，即n a n =.所以1111212111(2)(2)(2)(21)221n n n n n n n n n n n b a a n n n n ++++++===-++++++++.所以121223111112122211221223n n n n T b b n n b +=+++=-+-++++++-+++ 11311213n n +=<++-. 因为对任意的111,321n n n k T n +∈>=-++*N 恒成立， 所以13k ≥，即k 的最小值是13.故选C.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和、与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强.第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知向量(2,1),(1,3),(3,2)a b c =-==，若()a b c λ+∥，则λ=_______． 【答案】1- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标条件求解即可.【详解】由(2,1),(1,3),a b =-=可得()2,13a b λλλ+=-++. 又(3,2)c =，()a b c λ+∥，所以()()313=22λλ+-+，解得=1λ-.【点睛】本题考查向量平行的条件.若向量()()1122,,,a x y b x y ==且a b ∥，则1221x y x y =，可记为“交叉相乘相等”.14.已知等比数列{}n a 满足14652,21a a a a ==-，则9a =________．【答案】12【解析】 【分析】由等比数列的下标性质先求5a 再求9a .【详解】由等比数列的性质可得2465a a a =，于是25521a a =-，解得51a =.又2195a a a=，所以259112a a a ==.【点睛】本题考查等比数列的基本性质. 在等比数列{}n a 中，若p q s t +=+，则p q s t a a a a =.特别地，若2p q s +=，则2p q s a a a =.15.已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S ．若*1(,n n n a S S n -=∈N 2)n ≥，则数列11{}n n a a +的前15项和为_______． 【答案】1531【解析】 【分析】 先由1n n n a S S -={}n S 是等差数列，进而求得数列{}n a 的通项公式，再由裂项相消法求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前15项和．【详解】因为*1(,n n n a S S n -=∈N 2)n ≥，所以11111n n n n n n n nn n S S S S a S S ------===+1n n S S -.11a ==，所以是首项为1，公差为1n =.所以*121(,n a n n n n ==+-=-∈N 2)n ≥.又11a =也满足，所以*21()n a n n =-∈N .所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭. 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前15项和为12231516111111111111111512132352293123131a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知n a 与n S 的关系式，有两种思路：一是由1n n n S S a --=消掉S 得到关于通项的关系式；二是把n a 代换成1n n S S --得到关于求和的关系式.16.已知,A B 是单位圆O 上的两点，120AOB ∠=︒，点C 是平面内异于,A B 的动点，MN 是圆O 的直径．若0AC BC ⋅=，则CM CN ⋅的取值范围是________．【答案】330,22⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】 【分析】由MN 是单位圆O 的直径，可得2=1CM CN OC ⋅-，于是需求OC 的取值范围. 由0AC BC ⋅=可得点C 在以AB 为直径的圆上，于是可求出定点O 到圆上的动点的距离OC 的取值范围. 【详解】因为MN 是单位圆O 的直径， 所以()()()()2221CM CN OM OCON OC OM OCOM OC OC OM OC =--=---=-=-.在AOB 中，=1OA OB =，120AOB ∠=︒， 所以30OAB OBA ==︒∠∠，3AB =因为0AC BC ⋅=，所以点C 在以AB 为直径的圆上， 其圆心为AB 的中点H易得12OH =，又点C 异于,A B ， 313122OC ≤≤且1OC ≠. 所以222313111122OC ⎫⎫--≤-≤-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭且210OC -≠，即3CM CN ≤⋅≤0CM CN ⋅≠. 所以CM CN ⋅的取值范围是330022⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合问题，考查数量积的取值范围、圆、动点等问题.通过几何意义求取值范围是一种常见的方法.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在等差数列{}n a 中，已知567,24a S ==． （1）求n a ；（2）若(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前10项和10T ．【答案】（1）23n a n =-；（2）1010T =. 【解析】 【分析】(1)设出公差，由567,24a S ==列方程解出1,a d 即可.(2)(1)nn n b a =-表示{}n b 的项负正相间，可把相邻两项结合起来再求和.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得516147,61524,a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得11,2,a d =-⎧⎨=⎩所以()12123n a n n =-+-=-.(2)因为(1)nn n b a =-，所以123491010T b b b b b b =++++++()()()1234910a a a a a a =-++-+++-+d d d =+++55210d ==⨯=.【点睛】本题考查等差数列的基本问题，数列的求和.对于通项中含有()1n-，即正负相间的数列，可把相邻两项结合起来再求和.18.已知A ,B ,C 是ABC △的三个内角，向量(cos ,sin 2sin ),m B B C =-(2cos cos ,sin )n C B B =+，且m n ⊥．（1）求A ；（2）若3BC =，求+AB AC 的取值范围． 【答案】（1）π3A =；（2）3,3]. 【解析】 【分析】(1)由m n ⊥，得=0m n ，逐步化简可得()1cos =2B C +-，可得答案. (2)由正弦定理、三角形内角和把+AB AC 表示为一个角的函数，再求其取值范围. 【详解】(1)由m n ⊥，得=0m n ，则()()cos 2cos cos sin 2sin sin 0B C B B C B ++-=， 则()()222cos cos sin sin cos sin 0B C B C B B -++=，即()2cos 10B C ++=，故()1cos =2B C +-.又()0,πB C +∈，所以2π=3B C +. 所以π3A =.（2）因为π3A =，BC =， 所以由正弦定理得2sin sin sin AB AC BCC B A===. 所以2π2sin ,2sin 2sin 3AB C AC B C ⎛⎫===-⎪⎝⎭. 所以2π2sin 2sin 3AB AC C C ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭31=2sin 2cos sin 22C C C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭=3sin 3C C31cos 22C C ⎫+⎪⎪⎭π6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.其中2π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162C ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，π233236C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，.所以+AB AC 的取值范围是323，.【点睛】本题考查三角形中综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等.三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，解题时也经常综合在一起应用.19.已知ABC △中，2545,10,cos B AC C =︒==． （1）求边BC 的长；（2）若边AB 的中点为D ，求中线CD 的长．【答案】（1）（2【解析】 【分析】(1)先由,B C 求A ，再由余弦定理求BC .(2)方法一：先在△ABC 中由正弦定理(余弦定理也可)求AB ，再在△BCD (或△ACD )中由余弦定理求CD . 方法二：由()12CD CA CB =+求向量CD 的模长. 【详解】(1)因为25cos 5C =，()0,πC ∈, 所以25sin 1cos C C =-=. 又45B =︒，所以255310sin sin()4545A B C =+=︒+︒=. 由正弦定理得sin sin BC ACA B=， 所以310101032sin 45BC ==︒(2)方法一： 在ABC △中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=， 所以51052sin 45AB ==︒，则112BD AB ==. 在△BCD 中，由余弦定理，得2222cos 181624513CD BC BD BC BD B =+-=+-︒=，所以13CD =方法二：因为边AB 的中点为D ，所以()12CD CA CB =+. 所以()()222211=244CD CA CB CA CB CA CB =+++1=101821345⎛++= ⎝⎭.所以CD =【点睛】本题考查运用正弦定理、余弦定理解三角形.20.已知数列{}n a 满足112(1),2n n na a n a +=+=，设nn a b n=． （1）证明数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见详解；（2）1(1)22n n S n +=-+.【解析】 【分析】(1)由1n n b qb +=(q 为非零常数)且10b ≠可证得{}n b 为等比数列.(2)可得2nn a n =，则可由错位相减法求和.【详解】(1)证明：由12(1),n n na a n +=+可得12+1n n a an n+=. 而nn a b n=，所以12n n b b +=. 又1121a b ==，所以数列{}n b 为等比数列. (2)由(1)得{}n b 为首项是2，公比是2的等比数列，所以1222n nn b -==.由n n a b n=可得2nn n a nb n ==. 所以1231222322n n S n =++++， 则234121222322n n S n +=++++.以上两式相减得()23111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-=-=---，所以()111222122n n n n S n n +++=-++=-+.【点睛】本题考查等比数列的证明和错位相减法求和.若数列{}n c 满足n n n c a b =，其中{},{}n n a b 分别是等差数列和等比数列，则可由错位相减法求数列{}n c 的前n 项和.21.数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2112,32 2.n n n a S a ++==-+（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明121111118n a a a +++<． 【答案】（1）42n nn a =- ；（2）证明见详解.【解析】 【分析】(1)由已知结合1n n n a S S -=-可得1142n n n a a ++-=，变形得1111442n n n n n a a +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用叠加法可求n a .(2)由42n nn a =-可得11114n na a +<，用放缩法证明不等式. 【详解】(1)由21322n n n S a ++=-+,得11322n n n S a +-=-+， 以上两式相减得211133322n n n n n n n a S S a a ++-+=-=--+，则1142n n n a a ++-=.两边同除以14n +，可得1111442n n n n n a a +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭.22121442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 332321442a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …，111442nn n nn a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 以上1n -个式子相加得23111144222nn n a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又12a =，则23111111422222nnn na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以42n nn a =-.(2)证明：因为42n nn a =-，所以()11114244224n n n n n n n a a ++++=-=-+>.所以11114n na a +<. 记12111n nT a a a +++=， 则1222112111111111711,4221842421218T T a a a ===<=+=+=<---， 当3n ≥时，12231111111171114124n n n n T T a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫<+++++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得()13711711114124412824442n n n n T a a <--=--<-， 所以1118n T <. 所以121111118n a a a +++<. 【点睛】本题考查求数列的通项公式，不等式的证明.求数列通项公式时一般需要构造等差数列或等比数列.放缩法是证明数列不等式的一种常用方法，有时需要保留前面的若干项，只把后面的各项放缩.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2111,2n n a S S n n p +=+=++．（1）若=0p ，求234,,a a a ；（2）若数列{}n a 为递增数列，求实数p 的取值范围． 【答案】（1）2341,4,3a a a ===；（2）13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 分析】(1)令1,2,3n =，求出234,,S S S ，然后可求出234,,a a a .(2)同(1)的方法求出234,,a a a ，由1234a a a a <<<解得p 的取值范围，由212n n S S n n p ++=++可推出112n n a a +--=(3n ≥)，进而可推证数列{}n a 为递增数列.【详解】(1)0p =时，212n n S S n n ++=+，所以2132433,8,15S S S S S S +=+=+=. 又111a S ==，所以2342,6,9S S S ===.所以2213324431,4,3a S S a S S a S S =-==-==-=， 即2341,4,3a a a ===.(2)212n n S S n n p ++=++,所以213S S p +=+，328S S p +=+，4315S S p +=+. 又111a S ==，所以2342,6,9S p S S p =+==+. 所以2341,4,3a p a p a p =+=-=+.若数列{}n a 为递增数列，则1143p p p <+<-<+， 解得1322p <<. 由212n n S S n n p ++=++，①可得()()21121n n S S n n p -+=-+-+(2n ≥),② ①-②，得121n n a a n ++=+(2n ≥)，③ 所以121n n a a n -+=-(3n ≥).④ ③-④，得112n n a a +--=(3n ≥). 于是由23a a <，可得4567,,,a a a a <<由34a a <，可得5678,,,a a a a <<即12345678n a a a a a a a a a <<<<<<<<<，即数列{}n a 为递增数列.综上所述，p 的取值范围为13,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的综合问题，考查n a 与n S 的关系式的应用，递增数列的性质.要使数列{}n a 为递增数列，则一定要保证1n n a a +<(*n N ∈)恒成立，推理过程一定要严谨，不可用特殊性代替一般性.。

哈三中2018-2019学年度下学期高一第一次阶段性测试英语试卷本套试卷满分125分，限时90分钟第一部分听力（共20小题，满分20分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节：共5小题；每小题1分，满分5分。

听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中给出的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Which programme is the man going to watch first?A. A movie.B. A soccer game.C. The evening news.2. Where are the speakers probably?A. In a hotel.B. In a restaurant.C. At the man’s house.3. How does the woman feel?A. Worried.B. Satisfied.C. Happy.4. What does the man think of the TV programmes?A. Most are OK.B. Some are bad.C. Most are terrible.5. Which channel does the woman want to watch?A. Channel 2.B. Channel 4.C. Channel 9.第二节：共15小题；每小题1分，满分15分。

听下面5 段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A, B, C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至8题。

高一第一次阶段性测试（数学）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A ={}4,3,2,1,0，B ={}6,5,3,0,则A B 等于（A ）{}0,3 （B ）{}4,3,2,1,0 （C ）{}5,6,0,3 （D ）{}6,5,4,3,2,1,02．集合{}0,3,5,7A =的子集个数为(A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 83．集合A =}{40≤≤x x ，B ={}20≤≤y y ，则下列对应关系不能构成从集合A 到集合B映射的是（A ）x y x f 21:=→ （B ）x y x f 31:=→ （C ）x y x f 32:=→ （D ） x y x f =→: 4．已知函数2(1)()13(1)x f x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+≤⎩，则[](3)f f =（A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）2-5．函数y =的定义域为（A ）[)[]3,21,2-- （B ）[)()3,21,2-- （C ）[](]3,21,2-- （D ）[)(]3,21,2--6.函数()2f x x = （A ）(],2-∞ （B ）5,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ） [)2,+∞ （D ）15,8⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭7. 函数212++=x x y 的值域为 （A ）R （B ）),74[+∞ （C ） ]74,0( （D ）]74,(-∞ 8．已知)(x f 是一次函数，2(2)3(1)5,2(0)(1)1f f f f -=--=，则=)(x f（A ）23+x （B ）23-x （C ）32+x （D ）32-x9．全集为R ，{}2|50A x x x =->,B ={}a x x <-5|,（a 是常数），且10B ∈，则 （A ）()U A B R =ð （B ）()U B A R =ð （C ）()()U U A B R =痧 （D ）A B R =U 10．若函数1)1(2++-=x a ax y 在()+∞∈,2x 上是增函数，则（A ）0>a （B ）1>a （C ）1≥a （D ）31≥a11．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=)0(4)0(4)(22x x x x x x x f ，若2(2)(1)f a a f ->-，则实数a的取值范围是（A ）()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭12．已知21,x x 是方程()()053222=+++--k k x k x ()R k ∈的两个实根，则2212(1)(1)x x -+-的最大值为（A ）32 （B ） 36 （C ）955 （D ）不存在二、填空题（每小题5分）13．不等式12x +>的解集为 ．14．已知2()21f x x =+，则(21)f x += ．15．函数2)(2++-=x x x f 的单调递增区间为 ．16．定义在正实数集上的函数满足条件：（1）1)2(=f ；（2）)()()(y f x f xy f +=；（3）y x >时)()(y f x f >，则满足2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围为_____．三、解答题（本大题共4道题，每小题10分，共40分）17. 已知函数2()x f x x +=，证明函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递减.18. 已知集合{}06|2<--=x x x A ，{}082|2<-+=x x x B ，{}023|22<+-=a ax x x C ，若()C A B ⊆I ，求实数a 的取值范围.19. 若正方形ABCD 边长为4，一质点P 从B 出发沿正方形从B 至C 至D 至A 运动，设点P运动路程为x ,把ABP ∆的面积)(x f 表示为x 的函数.（1）求)(x f 的解析式；（2）x 取何值时ABP ∆面积最大？最大值是多少？20．已知函数bax x x f +=2)(（ ,a b 为常数）且方程()12f x x =-有两个实根为123,4x x ==.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设1k >，解关于x 的不等式；xk x k x f --+<2)1()(.参考答案1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.B9.D 10.D11. C 12.A13.14．15．16．17．证明略。

哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。

哈三中2018—2019学年度下学期高一学年第一学段历史考试试卷第一部分选择题（共70分）一、单项选择题（本大题共35小题，每题2分，共70分。

）[国际部和校本部共同作答]1．先秦时期，古代中国的农耕方式经历了从“刀耕火种”到“铁犁牛耕”的转变。

中国传统农业的主要耕作方式是A．石器锄耕B．刀耕火种 C．铁犁牛耕 D．机械化耕种2．据史书记载，“评进之则箭下，入土也深；退之则箭上，入土也浅……江东之田器尽于是”。

这一农具是指唐代发明的3．《史记·河渠书》载:“蜀守冰凿离碓(堆)，避沫水之害，穿二江成都之中。

此渠皆可行舟，有余则用灌浸，百姓享其利。

”该材料记载的水利工程是A．都江堰B．郑国渠 C．灵渠 D．坎儿井4．春秋战国时期，是我国原始农业向传统农业转型的重要时期。

下图是有关中国古代农业生产方式示意图，推断空缺方框①、②中最可能填写的是A．铁犁牛耕家庭农业 B．采集经济封建农业C．集体劳作自然经济 D．集体劳作铁犁牛耕5．下列关于中国古代土地制度的叙述，正确的是A．井田制是一种土地公有制，土地属于全体国民所有B．战国时期的变法确立了土地私有制C．自耕农土地所有制是封建土地私有制的主要形式D．均田制所体现的是一种土地国有，自唐代开始实行6．明末思想家顾炎武在《吴中纪事》中指出：“富民有田而贫者多佃之，秋收之后，所得各居其半。

”这反映了当时农村经济中的哪一经营方式A．村社式经营 B．田庄式经营 C．自耕农式经营 D．租佃式经营7．汉代董仲舒、王莽等人对商鞅“废井田，开阡陌”的土地变革极为不满；宋代王安石、朱熹等人主张“复古井田制，田尽归官”；近代孙中山曾多次给予井田制高度的评价。

这些主张的共同目的是A．保护田庄经济 B．发展商品经济 C．维护封建统治 D．限制土地兼并8．明末，某地出现了收蚕、烘煮、缫丝、制丝、织绸、浆染等家庭作坊几百家，并有“桑植满田日，户户皆养蚕；步步闻机声，家家织绸缎”的民谣。

库仑力作用下的平衡问题1．（2018浙江省金华市十校高一下期末调研考试）一个半径为R的光滑绝缘圆环固定在竖直平面内,环上套着两个带电小球A和B (中央有孔,可视为点电荷),当它们处于如图所示位置时,恰好都能保持静止状态。

此时小球B与环中心O处于同一水平面, 连线与水平方向夹角为。

已知小球B为带电量为q的负电荷,质量为m,重力加速度为g,静电力常量为k,由此可知小球A（）A．质量为B．带负电C．带电荷量为D．对圆环的弹力大小为【答案】A2．（2018云南省建水县高三四校联考卷（七））如图所示，空间正四棱锥型的底面边长和侧棱长均为a，水平底面的四个顶点处均固定着电量为+q的小球，顶点P 处有一个质量为m的带电小球，在库仑力和重力的作用下恰好处于静止状态．若将P处小球的电荷量减半，同时加竖直方向的匀强电场强度E，此时P处小球仍能保持静止．重力加速度为g，静电力常量为k，则所加匀强电场强度大小为（）A．B．C．D．【答案】D3．（2018浙江省宁波市六校高二下期末联考）如图所示，绝缘水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角θ=30°．一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行，且小球A正好静止在斜面中点．在小球A的正下方地面处固定放置一带电小球B，两球相距为d．已知两球的质量均为m、电荷量均为+q，静电力常量为k，重力加速度为g，两球均可视为点电荷．则下列说法不正确的是（）A．两球之间的库仑力F=kB．当时，斜面对小球A的支持力为C．当时，细线上拉力为0D．将小球B移到斜面底面左端C点，当时，斜面对小球A的支持力为0【答案】C4．（2018百校联盟5月高考名师猜题保温金卷）如图所示，在电场强度大小为E0的水平匀强电场中，a、b、和c三个点电荷分别固定在光滑水平面上的同一直线上，ab之间的距离为L，c在ab的中点上。

当a、b、和c的电量均为+Q时，水平面内与a、b两点电荷距离均为L的O 点处有一电量为+q的点电荷恰好处于平衡状态。

2023年哈三中高三学年 第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}2023,1xM y y x -==>，{}2023log ,01N x y x x ==<<，则M N ⋂=（ ） A ．102023y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}01y y <<C ．112023yy ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．∅2．在△ABC 中，0AB BC ⋅>是△ABC 为钝角三角形的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-．当[]0,1x ∈时，()33f x x x =+，则()2023f =（ ） A ．-4B ．4C ．14D ．04．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（ ）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直5．已知()1,0A -，()1,0B ，若在直线()2y k x =-上存在点P ，使得∠APB =90°，则实数k 的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦⋃C ．33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,33⎛⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋃ 6．哈尔滨市第三中学古诗词大赛中，12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ） A ．14B ．13C ．155D ．3557．在边长为3的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，将△ABD 绕直线BD 旋转到．A BD '△，使得四面体A BCD '外接球的表面积为18π，则此时二面角A BD C '--的余弦值为（ ）A ．13- B ．12- C ．1 3D ．8．已知（ln1.21a =，b =0.21，0.21c e =-，则（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（ ） A ．()y f x =的最小正周期为π B ．()y f x =的图象关于3x π=对称C ．若()y f x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后关于原点对称，则ϕ的最小值为53π D ．()f x 在,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1-10．已知圆锥SO （O 是圆锥底面圆的圆心，S 是圆锥的顶点）的母线长为3P ，Q 为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆锥SO 的侧面积为B ．△SPQ 面积的最大值为C ．三棱锥O -SPQ 体积的最大值为53D ．圆锥SO 的内切球的体积为43π11．已知抛物线2:4C x y =，O 为坐标原点，F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线上，则下列说法中正确的是（ ）A ．若点()2,3A ，则PA PF +的最小值为4B ．过点()3,2B 且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C ．若正三角形ODE 的三个顶点都在抛物线上，则△ODE的周长为D ．点H 为抛物线C 上的任意一点，()0,1G -，HG t HF =，当t 取最大值时，△GFH 的面积为2 12．已知a ≠0，b ≠0且b >-1，()()1ln 1a ab e b =-+，则下列说法中错误的是（ ） A ．a b ≤B ．若关于b 的方程1bm a+=有且仅有一个解，则m =e C ．若关于b 的方程1bm a+=有两个解1b ，2b ，则122b b e +> D ．当a >0时，11222a b b <++ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．()41212x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______． 14．已知x +y =4，且x >y >0，则21x y y+-的最小值为______． 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，23n n S a n =+-，令4(log 1)n n b a =-，则12125125b b b ++⋅⋅⋅+=______．16．如图，椭圆22221x y a b +=（a >b >0）与双曲线22221x y m n-=（m >0，n >0）有公共焦点()1,0F c -，()2,0F c （c >0），椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，则221213e e +=______；I 为12F PF △的内心，1F ，I ，G 三点共线，且0GP IP ⋅=，x 轴上点A ，B 满足AI IP λ=，BG GP μ=，则22λμ+的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 外接圆的半径为R ，且()2212cos cos bc R B C =+．（1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 边上的点，AD =BD =2，CD =1，求tan B ． 18．（本题满分12分）已知递增等差数列{}n a 满足：26727a a a ++=，1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12122n a n n n n a b a a +++⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，PB ⊥BC ．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）E 为线段PC 上一点，若直线AE 与平面ABCD所成的角的正弦值为10，求平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值． 20．（本题满分12分）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次． ①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；②记摸出的红球个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率． 21．（本题满分12分）已知平面内动点M 到定点F （0，1）的距离和到定直线y =4的距离的比为定值12． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）设动点M 的轨迹为曲线C ，过点()1,0的直线交曲线C 于不同的两点A 、B ，过点A 、B 分别作直线x =t 的垂线，垂足分别为1A 、1B ，判断是否存在常数t ，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点?若存在，求出常数t 的值和该定点坐标；若不存在，说明理由． 22．（本题满分12分）已知函数()2ln 1f x x ax x =-++．（1）当a =0时，求函数()()xg x xe f x =-的最小值；（2）当()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为y =1时，求a 的值，并证明：当*n N ∈时，)211ln 112knk k =⎛⎫+<+- ⎪⎝⎭∑．答案一、选择题：二、填空题： 13．-10 14．215．3116．4；1+三、解答题： 17．（1）2sin sin b cR B C==，24sin sin bc R B C = 2sin sin 1cos cos B C B C =+，1cos()cos 2B CA +=-=- 1cos 2A =，(0,)A π∈，3A π= （2）2CDA B ∠=∠，23C B π=- sin sin CD ADDAC C=∠，即2sin sin 33CD ADB B ππ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos sin 2sin 2222B B B B ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭ 3sin 22B B = tan B =18．（1）()()12111312274a d a a d a d +=+=+⎧⎪⎨⎪⎩，∵d >0，∴112a d =⎧⎨=⎩． ∴21n a n =-（2）1(21)222(21)(23)2321n n nn n b n n n n +-⋅==-++++ ∴122233n n T n +=-+19．（1）取AD 中点O ，连接OB ，OP∵PAD △为等边三角形，∴OP AD ⊥，OA =1，OP =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD⋂平面ABCD =AD ，OP ⊂平面P AD∴OP ⊥平面ABC ，又∵OB ⊂平面ABCD ，∴OP OB ⊥ ∵PB BC ⊥，∴BC AD ∥，∴PB AD ⊥又∵OP AD ⊥，OP ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，OP PB P ⋂= ∴AD ⊥平面PO ，又∵OB ⊂平面POB ，∴AD OB ⊥∴OB =PB =设点A 到平面PBC 的距离为h 则1133PBC ABC S h S OP ⋅=⋅△△∴2h =（2）分别以OA ，OB ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则P ，()C -，()1,0,0A ，()1,0,0D -设PE PC λ=，则(2)E λ-，(2)AE λ=--- ∵OP ⊥平面ABC ，D 平面AB 的法向量1(0,0,1)n =130cos ,10AE n =13λ=，∴2,33E ⎛- ⎝ ∴平面ADE 的法向量2(0,2,1)n =-∴平面ADE 与平面ABCD 夹角的余弦值为125cos ,5n n =20．（1）①设事件A =“摸出的两个球中恰好有一个红球”11352815()28C C P A C ==（2）X 可取0，1，2，23528()k kC C P X k C -==，k =0，1，2 ∴X 的分布列为33()284E X =⨯=（2）设事件B =“丁丁取到红球”，事件C =“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”211234444433388832112344444433338888432()77744()5432()497777C C C C C P BC C C C P C B C C C C C C P B C C C C ⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯∣ 21．（1）22143y x +=（2）22341201y x x my +-==+⎧⎨⎩，()2234880m y my ++-=122843m y y m -+=+，122843y y m -=+，1212y y my y += 若存在常数t ，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x 轴上，设该定点为(),0D s ，则1A ，B ，D 共线，A ，1B ，D 共线 设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,A t y ，则()1221,A B x t y y =--，()11,A D s t y =--，则()()1221()y x t y y s t --=--()1212121221212121(1)2y y y ty my y y ty t y y s y y y y y y -+-+--+--===---则t -1=2，t =3，s =2同理，A ，1B ，D 共线，t =3，s =2∴存在常数t =3，使得四边形11AA B B 的对角线交于一定点，该定点为()2,0 22．（1）当a =0时，()1ln xg x xe x x =---． 方法一：()g x 定义域(0,)+∞，1()(1)x g x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭令1()xh x e x =-，21()0xh x e x'=+>，∴()h x 在(0,)+∞上递增 ∵(1)10h e =->，1202h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，∴()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点0x即()00010x h x ex =-= 在()00,x 上，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 递减 在()0,x +∞上，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,x +∞上递增 ∵01x ex =，∴00ln x x =- ∴()0min 000000ln ()1110xg x g x x e x x x x ==---=+--= 方法二：先证：1xe x ≥+，当x =0时，取“=”ln ln 1x x x xe e x x +=≥++（存在0x 使00ln 0x x +=）∴ln 10xxe x x ---≥成立 （2）1()21f x ax x'=-+，依题意，(1)0f '=∴a =1 即2()ln 1f x x x x =-++，(21)(1)()x x f x x-+-'=∴()f x 在()0,1递增，(1,)+∞递减．∴max ()(1)1f x f == ∴在(1,)+∞上，2ln 11x x x -++<，即ln (1)x x x <-，ln 1xx x <-取11x n =+，则1ln 1111n n n⎛⎫+ ⎪⎝⎭<+，即11ln 11n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭∴()11111ln 112ln 1ln 11223n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++<+++⋅⋅⋅++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而11111231n +++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+1<+++⋅⋅⋅+11)2=+++⋅⋅⋅+1=∴21111ln 1ln(11)2ln 1ln 111)22knk n n k n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++⋅⋅⋅++<-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}222M y y x x ==--∣，N x y ⎧==⎨⎩，则M N = （）A ．[3,1)-B ．[1,1)-C ．(1,3)D ．[1，4]2．已知向量a ，b 满足2a b a b -=+ ，其中b 是单位向量，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．bB ．34bC ．14bD ．12b- 3．已知函数()22()log 2,f x x ax a =-∈R ，则“1a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若πcos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1tan sin αα-=（）A ．125-B ．65C ．125D ．5125．已知圆221:(3)81C y x ++=和222:(3)1C y x -+=，若动圆P 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M ，则M 的方程为（）A ．221167y x +=B ．221259y x +=C ．2212516y x +=D ．221169x y +=6．如图，三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，平面11EFC B 将三棱柱分成体积为12,V V （左为1V ，右为2V ）两部分，则21:V V =（）A ．5:6B ．3:4C ．1:2D ．5:77．专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min 才有一台到达施工现场投入工作，要在24h 内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（）A ．25台B ．24台C ．23台D ．22台8．已知函数2()(2)ln 1()f x ax a x x a =-+++∈R ，若12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(,1)∞--B ．(,1]-∞-C ．(0,8]D ．[0,8]二、多选题9．设12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（）A ．125,3PF PF ==B ．离心率为12C ．12PF F 的面积为6D ．12PF F 的面积为1210．已知函数π()sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭满足ππ43f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间π,2t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恰有3个零点，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()7,π24x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R C ．t 的最小值为37π24D ．t 的最大值为49π2411．在ABC V 中，5,6,AB AC BC P ===为ABC V 内的一点，AP xAB yAC =+，则下列说法正确的是（）A ．若P 为ABC V 的重心，则12x y +=B ．若P 为ABC V 的外心，则18PB BC ⋅=-C ．若P 为ABC V 的垂心，则716x y +=D ．若P 为ABC V 的内心，则58x y +=三、填空题12．已知i 为虚数单位，若复数z 满足|4i |2z -=，则|1i |z +-的最大值是.13．边长为1的正三角形ABC 的内心为O ，过O 的直线与边AB ，AC 交于P 、Q ，则2211||||OP OQ +的最大值为.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =-∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意R x ∈都有1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(2)3f =，则()21013f a 的值为.四、解答题15．记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a C C b c =+.(1)求A ；(2)求b ca+的取值范围.16．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.表一：编号12345学习时间x 3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y 与变量x 之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）；(2)求y 关于x 的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22⨯列联表（表二）．依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六不在校自主学习253055合计60160220（参考数据：551122820,435,i ii i i i x y y x ====∑∑的方差为200,i y 的方差为230.81074≈）附：()()()()()121ˆˆˆ,nniiiii nii x x y y x x y y r b a y bx x x ==----===--∑∑∑，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001αχ 2.7063.8416.6357.87910.82817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，满足1122331,4,7a b a b a b ==+=+=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n S ；(3)在（2）的条件下，设数列11n n n S a a +⎧⎫-⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意的*N n ∈时，141n T n λ>++恒成立，求实数λ的取值范围．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥底面1111,3,A B C AA AB AC ==，2,BC D =为BC 的中点，点F 在棱1BB 上，且2,BF E =为线段A 上的动点.(1)证明：1C F EF ⊥；(2)若直线1C D 与EF 所成角的余弦值为156，求二面角1E FC D --的正弦值.19．设()y f x =是定义在区间D 上的连续函数，若存在区间0[,],(,)a b D x a b ⊆∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“含峰函数”，0x 为“峰点”，[,]a b 称为()y f x =的一个“含峰区间”.(1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由：（i ）1y x x=+；（ii ）sin y x x =-.(2)已知*2,()ln(1)2t f x t x x x ∈=--+N 是“含峰函数”，且[]2,3是它的一个“含峰区间”，求t 的最大值；(3)设()()432,,324m n g x x mx nx m n x ∈=--++-R 是“含峰函数”，[],a b 是它的一个“含峰区间”，并记b a -的最大值为(),M m n .若()()12g g ≥，且()10g ≥，求的(),M m n 最小值.。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期第二次阶段性考试数学试题一、单选题1．已知向量a =r（k ，6），b =r（﹣2，3），且a r⊥b r，则k 的值是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3C ．4D ．9【答案】D【解析】根据a b ⊥r r 时0a b =r r g ，列方程求出k 的值．【详解】解：向量(,6)a k =r，(2,3)b =-r ，当a b ⊥r r时，0a b =r r g ，即2630k -+⨯=， 解得9k =． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题． 2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D【解析】由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，代入各个选项检验，只有D 正确，从而得出结论. 【详解】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =-，11b =-，11a b∴>，故A 不正确. 可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确. 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.3．设α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，下列选项正确的是（ ） ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ②若a ⊂α，α∥β，则a ∥β ③若α∥β，a ∥β，则a α⊂④若a ∥α，则a 与平面α内的无数条直线平行 ⑤若a ∥b ，则a 平行于经过b 的所有平面 A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．②⑤【答案】C【解析】在①中，a 与b 相交、平行或异面；在②中，由线面平行的判定理得//a β；在③中，a α⊂或//a α；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，从而a 与平面α内的无数条直线平行；在⑤中，若//a b ，则a 包含于由a ，b 确定的平面． 【详解】解：由α，β为两个不同平面，a ，b 为两条不同直线，知： 在①中，若//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若a α⊂，//αβ，则由线面平行的判定理得//a β，故②正确； 在③中，若//αβ，//a β，则a α⊂或//a α，故③错误；在④中，若//a α，则a 与平面α内直线平行或异面，故a 与平面α内的无数条直线平行，故④正确； 在⑤中，若//a b ，则a 可能含于由a ，b 确定的平面，故⑤错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．若a ，b ∈R ，①（a +b ）2≥a 2+b 2；②若|a |＞b ，则a 2＞b 2；③a +b ab ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【解析】根据不等式的性质及举反例的方法可判断. 【详解】 解：222()2a b a b ab +=++，0ab <时，得出222()a b a b +<+，∴判断①错误；||a b >，且||||a b <时，得出22a b <，∴判断②错误；只有0a >，0b >时，2a b ab +…∴判断③错误． 故选：A ． 【点睛】考查完全平方式的展开式，不等式的性质，基本不等式成立的条件，属于基础题． 5．在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若sin 2sin =B b A ，则(a = )A 2B 2C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知利用正弦定理化简即可求解． 【详解】解：sin 2sin B b A =Q ，∴由正弦定理可得：2b ab =， ∴解得2a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x 吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．45【答案】D【解析】根据题意列出总费用之和等于81004x x+，然后利用基本不等式求出最小值即可． 【详解】解：由题知一年总运费为90081009x x⨯=； ∴一年的总运费与总存储费用之和为81008100424360x x x x +⨯=…，当且仅当81004x x =即45x =时，等号成立，∴当45x =时一年的总费用与总存储费用之和最小．故选：D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式、函数模型及其应用，属于基础题． 7．已知数列{}n a 为等比数列，若2588a a a =，则191559a a a a a a ++ A ．有最小值12 B ．有最大值12 C ．有最小值4 D ．有最大值4【答案】A【解析】3258558,2a a a a a ===,所以()22221915595519551955224812a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++≥+⋅=+=+=,故选A.8．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为（ ） A ．22π B ．23π C ．223π D ．2π【答案】C【解析】根据题意求出圆锥的母线长和底面圆的半径，计算底面圆的面积和圆锥的高，从而求出圆锥的体积． 【详解】解：圆锥侧面展开图是圆心角为23π，半径为3的扇形； 则圆锥的母线长为3l =，底面周长即扇形的弧长为2323ππ⨯=， 所以底面圆的半径为1r =， 所以底面圆的面积为2r ππ⨯=， 圆锥的高为223122h =-=；所以圆锥的体积为122223V ππ=⨯⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查了弧长公式及圆锥的体积计算问题，也考查了空间想象能力和运算能力，属于基础题． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24+8πB ．18+8πC ．24+4πD ．18+4π【答案】A【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果． 【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体由一个直三棱柱和一个半圆柱构成，如图所示所以2114342424822V ππ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+．故选：A ． 【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是侧面ADD 1A 1内的动点，且B 1E ∥平面BDC 1，则点E 在侧面ADD 1A 1内的轨迹长度为（ ）A 2B ．1C 2D 5【答案】C【解析】连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，11//D B DB ，由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ，则点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ． 【详解】解：连接1AD ，11B D ，1AB ，则在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD BC ，又1AD ⊂/平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以1//AD 平面1BDC ， 同理可证11//D B 平面1BDC ，又1AD 和11D B 为平面11AB D 内的两条相交直线， 所以由面面平行的判定定理得平面11//AB D 平面1BDC ， 因为1//B E 平面1BDC ，所以点E 在直线1AD 上，所以点E 在侧面11ADD A 内的轨迹为线段1AD ，故轨迹长度为12AD =，故选：C ．【点睛】本题考查了面面平行的判定定理及轨迹知识点，属于中档题．11．对于任意实数x ，符号[x ]表示不超x 的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{a n }满足a n ＝[log 2n ]，其前n 项和为S n ，若n 0是满足S n ＞2018的最小整数，则n 0的值为（ ） A ．305 B ．306C ．315D ．316【答案】D【解析】由题意，求解2[log ]n a n =的通项，即可求解前n 项和为n S ，即可求解满足2018n S >的最小整数0n 的值． 【详解】解：由题意，2[log ]n a n =，当1n =时，可得10a =．(1项） 当1222n <„时，即231a a ==．(2项）当2322n <„时，即4572a a a ==⋯⋯==．(4项） 当3422n <„时，即89153a a a ==⋯⋯==．(8项） 当4522n <„时，即1617314a a a ==⋯⋯=．(16项）⋯⋯当122n n n +<„时，即122121n n n a a a n ++-==⋯⋯=，(2n 项）前n 项和为：1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯．⋯⋯① 231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯+⨯．⋯⋯② 由①-②可得：23122222n n n S n +-=+++⋯⋯+-g 即1112222(1)22018n n n n S n n +++=-+=-+>g此时：8n …． 对应的项为83162a a =． 即0316n …． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”、递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题.12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ） A ．8 B ．3C ．3D ．3【答案】B【解析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【详解】解：a Q ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 22243ab ab cd ab cd ab cd ++=++g … 423423abcd +=+…，当且仅当a b =，c d =，3ab cd =，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为423+．故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、填空题13．等差数列{a n }中，a 1+a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为_____. 【答案】2.【解析】由等差数列的性质，结合1510a a +=求出3a ，由等差数列的定义求得公差．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由1510a a +=，得3210a =，35a ∴=．又47a =，∴数列{}n a 的公差d 为43752a a -=-=． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项的概念，是基础题．14．在△ABC 中，已知A ＝90°，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝6，则△ABC 的周长的最大值为_____【答案】2【解析】直接利用勾股定理和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：在ABC ∆中，已知90A =︒，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，所以22236b c a +==，故222()2()b c b c ++„，所以62c b +„， 利用三角形的周长662a b c +++„， 故答案为：62+ 【点睛】本题考查的知识要点：勾股定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为72，则这个球的表面积为_____ 【答案】36π【解析】首先求出正方体的棱长，进一步求出球体的外接球半径，最后求出求出球体的表面积． 【详解】解：设正方体的棱长为a ， 因为正方体的表面积为72， 所以2672a =， 所以212a =，设球的半径为r ，则2222(2)36r a a a =++=， 则29r =，即3r =， 所以4936S ππ=⋅=球， 故答案为36π 【点睛】本题考查的知识要点：正方体的表面积公式和球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．在数列{a n }中，a 125=，a n +1＝a n 2+a n ，n ∈N ，b n 11n a =+，P n ＝b 1b 2b 3…b n ，S n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ，则5P n +2S n＝_____ 【答案】5【解析】根据n P 与n S 的表达式，分别将n b 表示为1n n n a b a +=，以及111n n n b a a +=-，求出n P 与n S 即可．【详解】解：Q 21(1)n nn n n a a a a a +=+=+； ∴111n n n n a b a a +==+； ∴1211232311n n n n n a a a aP b b b b a a a a ++=⋯=⋯=g ； Q 21(1)n n n n n a a a a a +=+=+；∴11111n n n a a a +=-+，即111n n n b a a +=-； ∴12122311111111111n n n n n S b b b a a a a a a a a ++=++⋯+=-+-+⋯+-=-； ∴1121155252525n n n n P S a a ++⎛⎫⎪+=⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案为：5． 【点睛】本题考查了数列递推式的灵活变形，以及数列的求和、求积，属中档题．三、解答题17．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，E ，G ，H 分别为棱CD ，BD ，AD 的中点，F 为ED 的中点.（1）求异面直线AE 和BC 所成角的余弦值； （2）求证：PF ∥平面ABE. 【答案】（13（2）证明见解析 【解析】（1）先作出异面直线AE 和BC 所成角，再求出即可，（2）先证明面//GFH 面ABE ，又PF ⊂面GFH ，故可证//PF 面ABE ，得解． 【详解】解：（1）连接EG ，AG ， 因为//EG BC ，则AEG ∠（或其补角）为异面直线AE 和BC 所成角， 设2AB =，则1EG =，3AE AG == 所以1322cos 3EG AEG AE ∠===，故异面直线AE 和BC 所成角的余弦值为36；（2）连接GF ，GH ，HF ， 由题意有：//GF BE ，//GH AB ，GF ⊂面GFH ，GH ⊂面GFH ，GF GH G =I ，BE ⊂面ABE ，AB Ì面ABE ，BE AB B =I即面//GFH 面ABE ， 又PF ⊂面GFH ， 故//PF 面ABE ．【点睛】本题考查了异面直线所成角及线面平行的判定，属中档题．18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，CC 1，AD 的中点.（1）求异面直线EG 与B 1C 所成角的大小；（2）棱CD 上是否存在点T ，使AT ∥平面B 1EF ？若存在，求出DTDC的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）60°；（2）存在，14DT DC = 【解析】（1）连接BD ，1B D ，1CD ．推导出//EG BD ，11//B D BD ．从而11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角．由此能求出异面直线EG 与1B C 所成角的大小．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ，推导出四边形AEKT为平行四边形，由此推导出//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =． 【详解】解：（1）连接BD ，1B D ，1CD ．因为E ，G 分别是AB ，AD 的中点，所以//EG BD ．又因为11//B D BD ．所以11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角． 在△11CB D 中，因为1111CB B D CD ==，所以异面直线EG 与1B C 所成角的大小为1160CB D ∠=︒．（2）在棱CD 上取点T ，使得14DT DC =，则//AT 平面1B EF ． 证明如下：延长BC ，1B F 交于H ，连EH 交DC 于K ． 因为11//CC BB ，F 为1CC 中点，所以C 为BH 中点． 因为//CD AB ，所以//KC AB ，且1124KC EB CD ==． 因为14DT DC =，E 为AB 中点，所以//AE TK ，且TK AE =， 即四边形AEKT 为平行四边形， 所以//EK AT ，即//EH AT ． 又EH ⊂平面1B EF ，AT ⊂/平面1B EF ， 所以//AT 平面1B EF ．此时14DT DC =．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题． 19．（1）若a ＞0，b ＞0，且1149a b +=，求a +b 的最小值； （2）若k 为（1）中a +b 的最小值，且a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2＝k ，求证：22211131235a b c ++≥+++. 【答案】（1）9；（2）证明见解析【解析】（1）根据条件可得911()()4a b a b a b+=++，然后利用基本不等式可求出+a b 的最小值；（2）由（1）可得9k =，从而得到222(1)(2)(3)15a b c +++++=，然后可由2222222221111111[(1)(2)(3)]()12315123a b c a b c a b c ++=+++++++++++++，利用基本不等式求出222111123a b c +++++的最小值，从而证明结论． 【详解】解：（1）0a >Q ，0b >，且1149a b +=， 91199()()(2)(22)9444b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=+++=g …，当且仅当b aa b =，即92a b ==时取等号， a b ∴+的最小值为9；（2）证明：由（1）可得9k =，则2229a b c k ++==，222(1)(2)(3)15a b c ∴+++++=，∴222111123a b c +++++ 2222221111[(1)(2)(3)]()15123a b c a b c =++++++++++ 2222222222221213132(3)15121323b ac a c b a b a c b c ++++++=++++++++++++ 2222222222221213132[322]15121323b a c a c b a b a c b c ++++++++++++++g g g (3)5=，当且仅当24a =，23b =，22c =时取等号， ∴22211131235a b c +++++…． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．20．已知数列{a n }和{b n }满足，a 1＝2，b 1＝1，且对任意正整数n 恒满足2a n +1＝4a n +2b n +1，2b n +1＝2a n +4b n ﹣1.（1）求证：{a n +b n }为等比数列，{a n ﹣b n }为等差列；（2）求证2111111122334567n nn n a b -++++++-+L ＜＜（n ＞1）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+．又113a b +=，111a b -=，化简即可证明结论．（2）由（1）可得：3n n n a b +=．利用数学归纳法，通过放缩即可证明结论．【详解】证明：（1）12421n n n a a b +=++，12241n n n b a b +=+-．两式相加相减分别可得：112()6()n n n n a b a b +++=+，112()2()2n n n n a b a b ++-=-+． 113n n n na b a b +++=+，11()()1n n n n a b a b ++---=．又113a b +=，111a b -=，{}n n a b ∴+为等比数列，首项为3，公比为3． {}n n a b -为等差列，首项为1，公差为1．（2）由（1）可得：3n n n a b +=． 利用数学归纳法先证明：21111133453n n -<+++⋯⋯+． ()2i n =时，21111161345339+++⋯⋯+>+=，成立．()ii 假设2n k =…时成立，即11112134533k k -+++⋯⋯+>．1n k =+时，11111111345331323kk k k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 121111331323k k k k +->+++⋯⋯+++ 1121332122(1)133333k k k k k k ++---+->+=+=，因此左边不等式成立．利用数学归纳法先证明：1111223453n n +++⋯⋯+<-．()2i n =时，21111162222345334+++⋯⋯+<+<=⨯-，成立．()ii 假设2n k =…时，1111223453k k +++⋯⋯+<-．则1n k =+时，11111111345331323k kk k ++++⋯⋯++++⋯⋯+++ 11112231323k k k k +<-+++⋯⋯+++ 1332322222(1)2313k k kk k k k k +-⨯<-+<-+=+-+，∴右边不等式成立．综上可得：2111111122(1)334567n nn n n a b -<+++++⋯+<->+ 【点睛】本题考查了数列递推关系、数学归纳法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

哈三中2022—2023学年度上学期高三阶段性测试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上．2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}1)1(log |,21|2<-=<<-=x x B x x A ，则=B A A ．{}21|<<-x x B ．{}|02x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|12x x <<2．已知向量=a (,2)m ，=b (2,1)，若()+⊥a b b ，则m =A ．8-B ．7-C ．72-D ．43．已知5s 6in 3)(πα+=，则)sin(256απ+=A ．725-B ．725C ．35D ．24254．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为A ．172B ．183C ．191D ．2115．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 中点，过1,,A D E 的截面α与平面11AA B B 的交线为l ，则异面直线l 与1B C 所成角的余弦值为A．10B．5C．5D．56．若函数12log ()4,20()(01)1,2x x x f x a a a x -+-≤<⎧⎪=>≠⎨⎪-<-⎩且的值域是[3,)+∞，则实数a 的取值范围是A ．1(0,2B ．1[,1)2C ．(1,2]D ．[2,)+∞7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若i sin1s n ,2A Cb a A b +==，则ABC ∆面积的最大值为A ．2B ．4C ．6D ．128．已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2()f x f x +=-，(23)f x -为偶函数，若(0)0f =，1()123nk f k ==∑，则n 的值为A ．117B ．118C ．122D ．123（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．已知n m ,是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是A ．若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥B ．若γβγα⊥⊥，，则βα//C ．若,m αβα⊥⊥，则//m βD ．若γβα，，两两相交，则交线互相平行10．已知函数2c s )2(o 1f x x x ωω+=-的最小正周期为π，则下列说法正确的是A ．3x π=-为()f x 的极小值点B ．()f x 的图象关于(,0)2π-中心对称C ．()f x 在[,]ππ-上有且仅有5个零点D ．lg ()y f x =的定义域为,3{}x k Z x k k πππ<<+∈11．如图，在平行四边形ABCD 中，︒=∠==60,2,1A AD AB ,F E ,分别为AD AB ,的中点，沿EF 将AEF ∆折起到A EF '∆的位置（A '不在平面ABCD 上），在折起过程中，下列说法不正确的是A ．若M 是D A '的中点，则//BM 平面EF A 'B ．存在某位置，使CA BD '⊥C ．当二面角B EF A --'为直二面角时，三棱锥BDE A -'外接球的表面积为72πD ．直线C A '和平面ABCD 所成的角的最大值为6π12．已知函数()ln f x x ax =-，则下列说法正确的是A ．若()0f x ≤恒成立，则1a ≥B ．当0a <时，()y f x =的零点只有1个FME'A DCB AC ．若函数()y f x =有两个不同的零点12,x x ，则212x x e>D ．当1a =时，若不等式2ln ()xme m f x +≥恒成立，则正数m 的取值范围是1[,)e+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在等比数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=．14．已知0,0a b >>，且2a b ab +=，则1912a b +--的最小值是．15．在ABC ∆中，13,34A C D AB A AE ==，BE 与DC 交于点F ，若AF AB AC λμ=+，则λμ+的值为．16．在三棱锥P ABC -中，二面角,P AB C P AC B P BC A------和的大小都为3π，5AB =，12BC =，13AC =，则三棱锥P ABC -的外接球与内切球的表面积的比值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin tan b A c C =．（1）求222a b c +；（2）求角C 的最大值．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是梯形，//,90CD AB ABC ∠=︒，4=AB ，2==CD BC ，侧面⊥P AD 底面ABCD ，2==PD P A ，E 为P A 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求直线BD 和平面PBC 所成角的正弦值．DCBAEP19．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =+，11n n n n a d c c ++=，求数列{}n d 的前n 项和n S ．20．（本题满分12分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60︒的公路AB ，AC ，根据规划，在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N （异于村庄A ），要求1PM PN MN ===（单位：km ）．（1）当30AMN ∠=︒时，求线段AP 的长度；（2）设AMN θ∠=，当θ取何值时，工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）PNM CBA21．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB C ∆为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =．（1）求证：11AB A C ⊥；（2）线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数()e 1xf x ax =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；E 1C 1B 1A CBA（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）()0,x ∀∈+∞，关于x 的不等式12ln 2x e x tx x x -+≥+恒成立，求正实数t 的取值范围．哈三中2022—2023学年度上学期高三学年期中考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案DCBCAABCBCDACDABDBC二、填空题：13.1614.15.7916.1394三、解答题：17.（1）222222222cos ,,2a b ab C c a b c c c+=+-==（2）222222144co 2s 2a b c a b ab a C a b ab b +-=≥==+max (0,),,33C C C πππ≤=∈18.（1）取PB 中点F ，连接CF EF ,，因为E 为P A 中点，所以EF AB EF ,//又AB CD AB CD 21,//=，所以CD EF CD EF =,//，所以CDEF 为平行四边形，所以DE //又PBC CF PBC DE 平面平面⊂⊄,所以PBCDE 平面//（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴建立空间直角坐标系，则0DB = ），平面PBC 的法向量(1,1,3)=--n ，所以BD 和平面PBC 所成角的正弦值为111119.（1）由23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，可得()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即324410a a a =⎧⎨+=⎩，即4410q q +=，解得2q =或12q =，又因为1q >，所以2q =，又由3121a a q==，所以1112n n n a a q --==，因为数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，当1n =时，111122a b =⨯=，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式，所以1(1)2n n n a b n -=+⋅，所以11(1)212n n n n b n --+⋅==+.（2）112,n n n n c a b n -=+=++11111n n n n n n a d c c c c +++==-，111111322n nn S c c n +=-=-++.20.（1）30,602,3,31AMN MAN MN AM ∠=︒∠=︒==22271,90,,33PM AMP AP AM PM AP =∠=︒=+==（2）2,,)23sinsin()33MN AM AMN AM πθππθ∆==--在中在PAM ∆中，222422sin )21(n()cos )3333(AP πππθθθ--⨯-+=+54sin(2)336πθ=+-当262θππ-=，3πθ=时，max AP =∴当3πθ=时，工厂生产的噪音对居民的影响最小21.（1）连接1A B ，1111,AA B B AB A B∴⊥ 菱形11,,BC BC AC B C AB B B=== 1ABC B BC ∴∆≅∆，190B CB ACB ∴∠=∠=︒11,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥= ，111,AC AB C B C AB C ⊂⊂平面平面1BC AB C∴⊥平面111,AB AB C AB BC⊂∴⊥ 平面又111111,,,AB A B A B BC B A B A BC BC A BC⊥=⊂⊂ 平面平面DzxE1C 1B 1A CBA11AB A BC ∴⊥平面，又1111,A C A BC AB A C⊂∴⊥ 平面（2）取AC 中点D ，连接1B D11,,BC AB C BC ABC AB C ABC⊥⊂∴⊥ 平面平面平面平面又11111,,,AB C B D AC B D AB C AB C ABC AC∆⊥⊂= 在等边中平面平面平面1B D ABC ∴⊥平面，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,2,0),(0,0,(3,2,0),(0,2,0)A B B C -，设11,[0,1],(3,22,)CE CC BB E λλλλλ==∈--则，设平面1AB E 的法向量1(,,)n x y z =，11(0,2,(3,2(1),))AB EB λλλ==--，11110AB n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则1,3)n λλ=-- ，显然，平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =，121cos ,4n n <>=14=，解得1222(),55CE CC λ=-∴= 或舍22.（1）'()x f x e a =-，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增（2）当0a ≤时，(0)0f =，()f x 在R 上单调递增，()f x 有一个零点0当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，,(),,()x f x x f x →-∞→+∞→+∞→+∞时时，(ln )ln 10,1f a a a a a ∴=--=∴=，综上，01a a ≤=或（3）1ln 1ln 2ln ln 13x x x e t x x x x e x---≥+--=---+，0x ∀>恒成立，令ln 10m x x =--≥，则ln 3mt m e ≥-+，0m ∀≥恒成立，令()3mg m m e =-+，'()1m g m e =-，()g m 在(0,)+∞上单调递减，()(0)2g m g ∴≤=，ln 2t ∴≥，2t e ≥。

哈三中2018-2019学年度下学期高一第一次阶段性测试物理试卷一、选择题（本题共10小题；每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～10题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。

）1.关于曲线运动，下列说法中正确的是：A ．物体所受合外力是变力B ．物体在恒力作用下不可能做曲线运动C ．物体所受合外力方向与加速度方向不在同一直线上D ．物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上2.关于平抛运动的叙述，下列说法正确的是：A ．平抛运动是一种在变力作用下的曲线运动B ．平抛运动的速度是时刻变化的C ．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角保持不变D ．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越大3.如图所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，重力加速度为g ，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为：A ．t ＝v 0tan θB ．g v t θtan 20=C ．θtan 0g v t =D ．θtan 20g v t = 4.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r 1、r 2、r 3。

若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为：A ．r 1ω1r 3 B ．r 3ω1r 1C ．r 3ω1r 2D ．r 1ω1r 25.一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。

在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，则竖直杆运动的速度为：A． B． C． D．6.有甲、乙两只船(可视为质点)，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向对岸开去，已知甲船用最短时间渡河，乙船用最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比为：A． B． C． D．7.下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是：A．线速度恒定 B．角速度恒定C．加速度恒定 D．周期恒定8.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别, 则A．B．C．D．【答案】C【解析】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性【详解】简单随机抽样和系统抽样都是反映概率的,具有等效性,故选C.【点睛】本题考查了简单随机抽样和系统随机抽样,注意这两种抽样所得结果是一致的.2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根据互斥事件的概念和对立事件的定义，可知事件甲与事件乙互斥而不对立，故选B．【考点】互斥事件与对立事件的定义．3．设随机变量～，且，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】本道题考查了正态分布曲线图,概率相等,说明端点值的平均数等于随机变量的平均数,建立等式.【详解】该曲线符合正态分布,两个概率值相等,说明,解得,故选D.本题考查了正态分布图,注意到平均数距离相等的两个点的端点概率是相等的.4．总体由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【答案】B【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【详解】从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为16，08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为07．故选：B．【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A．110B．310C．35D．910【答案】D【解析】试题分析：从装有3个红球，2个白球的袋中任取3个球，共有基本事件3 510C=种，则全取红球的基本事件只有一种，所以所取3个球中至少有1个白球的概率为1911010-=，故选D.【考点】古典概型及其概率的计算.6．总体的样本数据的频率分布直方图如图所示.总体中的数据不超过, 总体中的数据不超过. 则的估计值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．【详解】由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，则a＝18+4，由于0.08+0.32+0.36＝0.76，则b＝22+4，故选：D．【点睛】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．7．的展开式中常数项的二项式系数为A．B．C．D．【答案】B【详解】第r项为常数项即为，代入上式子中，得系数为，故选B。