2014-2015年辽宁省实验中学分校高二(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）A．{0}B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜3}D．{1，2}2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）5．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．78．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．29．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）第Ⅱ卷非选择题（共90分）注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是．14．（5分）如图水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，主视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．15．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=sin，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；④函数y=f（x）•g（x）的最大值为．其中真命题为．三、解答题：本大题共6个小题，总分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，求a和c的值．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；（Ⅱ）求四面体F﹣BCN的体积．19．（12分）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={0，1，2，3}，N={x|x2﹣3x＜0}，则M∩N=（）A．{0}B．{x|x＜0}C．{x|0＜x＜3}D．{1，2}【解答】解：由N中的不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即N=（0，3），∵M={0，1，2，3}，∴M∩N=[1，2}．故选：D．2．（5分）已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：z=，故z的虚部为，故选：D．3．（5分）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：a=＜log=0，b=∈（0，1），c=＞1，∴c＞b＞a，故选：A．4．（5分）函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．故选：C．5．（5分）下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【解答】解：A原命题为“若p则q，“，则它的逆否命题为“若﹣p则﹣q“．故正确；B当p，q中至少有一个为真命题时，则p∨q为真命题．故错误．C正确．D 由x2一3x+2＞0解得x＜1或x＞2显然x＞2⇒x＜1或x＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选：B．6．（5分）要得到函数f（x）=sin（2x+）的图象，只需将函数g（x）=sin（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数g（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得有y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）的图象，故选：C．7．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．8．（5分）已知tanα=2，则sin2α﹣sinαcosα的值是（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：因为sin2α﹣sinαcosα====．故选：A．9．（5分）已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①正确，课本例题的结论；②正确，同垂直与一条直线的两个平面平行；③正确，由m⊥α，m∥n得，n⊥α，又因n⊂β，所以α⊥β．④不对，由线面平行的性质定理得，当m⊂β时成立；否则不一定成立．即正确的有①②③．故选：D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵当x＞0时，有＞0成立，∴当x＞0时，为增函数，又∵f（1）=0，∴当x＞1时，＞0，f（x）＞0，当0＜x＜1时，＜0，f（x）＜0，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，故当x＜﹣1时，＞0，f（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，＜0，f（x）＞0，故f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1×1×4×6=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：B．第Ⅱ卷非选择题（共90分）注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．13．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是[﹣1，4] ．【解答】解：∵已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，则f（x）的定义域为[﹣1，4]，故答案为[﹣1，4]．14．（5分）如图水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，主视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为．【解答】解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是1的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是．故答案为：．15．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为12π．【解答】解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA==，即球的半径R为，∴球O的表面积为S=4πR2=12π．故答案为：12π．16．（5分）已知函数f（x）=sin，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；④函数y=f（x）•g（x）的最大值为．其中真命题为③．【解答】解：∵函数f（x）=sin，x∈R，∴将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐不变），函数g （x）=sinx．∴f（x）•g（x）=sinx•sin．记h（x）=sinx•sin．（1）h（﹣x）=sin（﹣x）•sin（﹣）=（﹣sinx）•（﹣sin）=sinx•sin．∴h（﹣x）=h（x）．∴h（x）是偶函数．假设h（x）是奇函数，则h（x）=0恒成立，与h（x）=sinx•sin矛盾．故假设不成立．∴h（x）不是奇函数．即①不成立．（2）∵==h（x），∴h（x）是周期函数．故②不成立．（3）设P（x，y）是函数y=h（x）图象上任意一点，则y=sinx•sin．点P（x，y）关于点（π，0）的对称点是P′（2π﹣x，﹣y），∵∴点是P′（2π﹣x，﹣y）也在函数y=sinx•sin的图象上．∴函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称．∴③成立．（4）h（x）=sinx•sin=．令，则．H（x）=2（1﹣t2）t=﹣2t3+2t，（﹣1≤t≤1）．当时，H′（x）＜0，H（x）单调递减；当时，H′（x）＞0，H（x）单调递增；当时，H′（x）＜0，H（x）单调递减．∵H（﹣1）=2﹣2=0，，∴H（x）的最大值为．∴④不成立．故答案为③．三、解答题：本大题共6个小题，总分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，求a和c的值．【解答】解：（1）∵cos=，∴sin=sin（﹣）=，∴cosB=1﹣2sin2=．（2）由•=2可得a•c•cosB=2，又cosB=，故ac=6，由b2=a2+c2﹣2accosB 可得a2+c2=12，∴（a﹣c）2=0，故a=c，∴a=c=．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；（Ⅱ）求四面体F﹣BCN的体积．【解答】证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥AB，BC⊥AB，又B1B∩BC=B，∴AB⊥平面BB1C1C．又N、F分别为A1 C1、B1 C1的中点∴AB∥A1B1∥NF．∴NF⊥平面BB1C1C．∵FC⊂平面BB1C1C．∴NF⊥FC．∵BB1=B1F=C1F=a，∴BF=CF=a，BC=2a，∴BF2+CF2=BC2．∴BF⊥FC，又NF∩FB=F，∴FC⊥平面NFB．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC1B1，，=．19．（12分）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=．20．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）g（x）=ax﹣，g（x）的定义域为（0，+∞），﹣=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，∴ax2﹣5x+a≥0，∴a（x2+1）≥5x，即，∴．∵，当且仅当x=1时取等号，所以a．（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，所以有，∴，∴，解得m≥8﹣5ln2，所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞4．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=．（2分）令f'（x）=0，解得x=2．∴f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．（3分）∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=．（4分）（2）证明：，，∴F'（x）=．（6分）当x＞2时，2﹣x＜0，2x＞4，从而e4﹣e2x＜0，∴F'（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．∴．（8分）（3）证明：∵f（x）在（﹣∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．∴当x1≠x2，且f（x1）=f（x2），x1、x2不可能在同一单调区间内．不妨设x1＜2＜x2，由（2）可知f（x2）＞g（x2），又g（x2）=f（4﹣x2），∴f（x2）＞f（4﹣x2）．∵f（x1）=f（x2），∴f（x1）＞f（4﹣x2）．∵x2＞2，4﹣x2＜2，x1＜2，且f（x）在区间（﹣∞，2）内为增函数，∴x1＞4﹣x2，即x1+x2＞4．（12分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC（2分）∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2（2分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【解答】解：（1）由得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y ﹣4=0．由得C：．（2）在C：上任取一点，则点P到直线l的距离为d==≤=3．∴当=﹣1，即+2kπ，k∈z 时，d max=3．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【解答】解：函数的定义域满足|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0，即|x﹣1|+|x﹣5|＞a，（1）当a=2时，f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣2）设g （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣5|，则．（3分）g （x ）min =4，f （x ）min =log 2（4﹣2）=1．（5分）（2）由（I ）知，g （x ）=|x ﹣1|+|x ﹣5|的最小值为4，7分|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣a ＞0， ∴a ＜4∴a 的取值范围是（﹣∞，4）．（10分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==><〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2012•惠州模拟）复数（1﹣i）2的虚部为（）A．﹣2 B． 2 C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．解答：解：因为复数（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i．所以复数的虚部为：﹣2．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知i是虚数单位，若，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义进行化简求解．解答：解：由，得z===1+2i．对应的坐标为（1，2），位于第一象限，故选：A点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算先进行化简是解决本题的关键．3．（5分）（2012•黑龙江）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn 不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C． D． 1考点：相关系数．专题：规律型．分析：所有样本点（xi ，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．解答：解：由题设知，所有样本点（xi ，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．点评：本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）（2015春•辽宁校级期中）下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义；其中正确的类比是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：由复数的知识和类比推理逐个选项验证可得．解答：解：由复数的知识和类比推理可得：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则，正确；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小，错误；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确；故选：C点评：本题考查类比推理，涉及复数的知识，属基础题．5．（5分）（2015春•辽宁校级期中）方程表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线考点：抛物线的参数方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程，消去t，可得结论．解答：解：由方程，消去t，可得y=x2+1，∴表示的曲线是抛物线，故选：D．点评：本题考查抛物线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知x、y的取值如下表：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5已知y与x线性相关，且回归方程为，则a=（）A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．解答：解：由题意，=（3+4+5+6）=4.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，将（4.5，3.5）代入线性回归直线方程是y=0.7x+a，可得3.5=3.15+a，所以a=0.35．故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．7．（5分）（2012春•沙坪坝区校级期末）用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）A．三角形中有两个内角是钝角B．三角形中有三个内角是钝角C．三角形中至少有两个内角是钝角D．三角形中没有一个内角是钝角考点：反证法与放缩法．专题：应用题．分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论．解答：解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．故选C．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．8．（5分）（2015春•辽宁校级期中）如果：在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103，那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为（）A．29 B．254 C．602 D．2004考点：类比推理．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是类比推理，由10进制的转换方法类比推理出5进制的转换方法，5进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进行转换，即可得到答案．=2×53+4=254．解答：解：（2004）5故选B．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．9．（5分）（2014•奎文区校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可归纳猜想出Sn的表达式为（）A．B． C．D．考点：数列的求和；归纳推理．专题：计算题．分析：数列{an }中，前n项和为Sn，由a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可得s1；由s2可得a2的值，从而得s2；同理可得s3，s4；可以猜想：sn=，本题不需要证明．．解答：解：在数列{an }中，前n项和为Sn，且a1=1，Sn =n2an（n∈N*），∴s1=a1=1=；s2=1+a2=4a2，∴a2=，s2==；s3=1++a3=9a3，∴a3=，s3==；s4=1+++a4=16a4，∴a4=，s4==；…于是猜想：sn=．故选A．点评：本题考查了用递推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为Sn，需要有一定的计算能力和归纳猜想能力．10．（5分）（2015•桐城市一模）对任意复数z=x+yi （x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2 C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：根据|z﹣|=|2yi|=2|y|，可得 A、C不正确，根据z2 =x2﹣y2﹣2xyi，可得B不正确，由|z|=可得D正确．解答：解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2 =x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，准确理解复数的模的定义，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）（2015春•辽宁校级期中）设an =logn+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34…log67•log78==3；则当a1•a2…ak=2015时，正整数k为（）A．22015﹣2 B．22015 C．22015+2 D．22015﹣4考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知a1•a2•…•ak=••••=2015，解方程即可得到结论．解答：解：a1•a2••ak=••••==log2（k+2），由当a1•a2…ak=2015，即log2（k+2）=2015，解得k+2=22015，即k=22015﹣2．故选：A点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数的换底公式将条件进行化简是解决本题的关键．解题时要注意公式的灵活运用．12．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|的解集包含[2，3]，则a 的取值范围为（）A．[﹣3，﹣2] B．[﹣2，0] C．[﹣3，0] D．[﹣2，1]考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，x=2和 x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，于是把x=2和 x=3分别代入不等式，求得a的范围，再取交集，即得所求．解答：解：由题意可得，x=2和x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，故有|2+a|+|2﹣3|≤|2﹣4|，即|2+a|≤1，﹣1≤2+a≤1，﹣3≤a≤﹣1．|3+a|+|3﹣3|≤|3﹣4|，即|3+a|≤1，﹣1≤3+a≤1﹣4≤a≤﹣2．综合可得﹣3≤a≤﹣2，故选：A．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）（2015春•辽宁校级期中）不等式x2﹣2≤x的解集为{x|﹣1≤x≤2}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求出方程x2﹣x﹣2=0的实数根，进而得出不等式的解集解答：解：∵x2﹣x﹣2=0，分解因式为（x﹣2）（x+1）=0，解得x=﹣1或2，∴不等式 x2﹣2≤x的解集是{x|﹣1≤x≤2}．故答案为{x|﹣1≤x≤2}．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．14．（5分）（2015春•辽宁校级期中）椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，所得曲线的参数方程为（θ为参数）．考点：椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把椭圆的普通方程化为参数方程，再把它的各点横坐标缩短为原来的即可．解答：解：∵椭圆的参数方程为，当椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，所得曲线的参数方程为（θ为参数）．故答案为：（θ为参数）．点评：本题考查了椭圆的普通方程化为参数方程的应用问题，是基础题目．15．（5分）（2014•金州区校级模拟）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长满足关系：AB2+AC2=BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积满足的关系为SBCD 2=SABC2+SACD2+SADB2．考点：归纳推理．专题：常规题型．分析：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得SBCD 2=SABC2+SACD2+SADB2．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．16．（5分）（2015春•辽宁校级期中）设a＞0，b ＞0，且a+b=1，则的最小值为8 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：a＞0，b＞0，且a+b=1，可得=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则==8，当且仅当a=b=时取等号．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2014秋•秦安县校级期末）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：（1）（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，再由复数除法知识，分子分母同乘以2+i，化简整理即可．（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，整理成x+yi 形式，由复数相等知识实部、虚部分别相等，列方程组求解．解答：解：（1），（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，即（1+i）2+a （1+i）+b=1﹣i，得a+b+（2+a）i=1﹣i．所以解得a=﹣3；b=4所以实数a，b的值分别为﹣3，4点评：本题考查复数的基本运算和复数相等等知识，属基本运算的考查．18．（12分）（2015春•辽宁校级期中）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中有男生60名，调查发现，男、女生中分别有40人和20人爱好运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：男女总计爱好不爱好总计110（Ⅱ）判断爱好该项运动与性别是否有关？参考公式：K2=其中n=a+b+c+d 附表：p（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意得到列2×2列联表；（Ⅱ）代入公式计算K2的值，和临界值表比对后即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110…（6分）（Ⅱ）由K2=≈7.8＞6.635…（10分）∴判断有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”…（12分）点评：本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．19．（12分）（2015春•辽宁校级期中）用适当方法证明下列不等式：（Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（）≥4；（Ⅱ）用分析法证明：．考点：综合法与分析法(选修）；不等式的证明．专题：综合题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即得所证．（Ⅱ）寻找使成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．解答：证明：（Ⅰ）∵，…（2分）∴，…（4分）∴（a+b）（）≥4．…（6分）（Ⅱ）要证．成立只需证，…（8分）即证，只需证，即证42＞40显然为真，故原式成立．…（12分）点评：本题主要考查用综合法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（12分）（2015•南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）考点：参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；直线与圆．分析：（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．解答：解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t 为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．21．（12分）（2015•嘉峪关校级三模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得M到C3的距离=|sin（θ+α）﹣|，从而求得d取得最小值．解答：解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．22．（12分）（2015•辽宁校级模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g （x），求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g （x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。

辽宁省实验中学分校2014----2015学年度下学期期中测试 数学（理）学科 高二年级 命题人:解祎美 校对人:谭健一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 (为虚数单位)的共轭复数为A. B. C. D.2.已知,则的值为A. B. C. D.3.在三棱锥中, , , ,为棱的中点,则等于A. B.C. D.4.已知不共线向量,且,则一定共线的三点是A. B. C. D.5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种6．已知＝(－3,2,5)，＝(1，x ，－1)，且·＝2，则x 的值是A ．6B ．5C ．4D ．37.用反证法证明命题：“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，正确的假设是A ．三角形中有两个内角是钝角B ．三角形中至少有两个内角是钝角C ．三角形中有三个内角是钝角D ．三角形中没有一个内角是钝角8．设的方向向量为＝(1,2，－2)，的方向向量为＝(－2,3，m )，若，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．1 D.129.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有A ．54 种B ．36种C ．18种D ．12种10.等于A. B. C. D.11．已知＝(x,2,0)，＝(3,2－x ，x 2)，且与的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0 12．设，观察下列运算：； ;37lg 8lg 6lg 7lg 3lg 4lg 2lg 3lg 8log 7log 4log 3log 7632654321=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ a a a a a a 则当时，正整数为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.用0,1,2组成不同的三位数,一共有__________种方法.14.已知,若,则的最大值为__________.15．观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第个等式为 .16.设非零向量在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④空间任意一个向量总可以唯一表示为，其中不正确的命题为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）已知复数，若，(Ⅰ)求；(Ⅱ)求实数的值.18. （本小题满分12分）如果我们现在手里有6本书，按下列要求各有多少种不同的排法：（1）6本书有1---6的编号，排成一排，1号和2号必须相邻；（2）6本书有1---6的编号，排成一排，1号和2号不能相邻；（3）6本书厚度各不相同，取出3本排成一排，从左到右厚度依次降低.19. （本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(1)证明A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．20（本小题满分12分）证明下列不等式：(1)用综合法证明：若，，求证：；(2)用分析法证明：21. （本小题满分12分）(1)计算, ,的值,并猜测的值;(2)用数学归纳法对以上猜测进行证明.22．（本小题满分12分）正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．(1)证明：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.姓名第I卷（选择题共60分）第Ⅱ卷（非选择题共90分）辽宁省实验中学分校2014----2015学年度下学期期中数学（理）学科高二年级数学试题参考答案和评分标准一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.B7.B8.B9.C 10.C 11.B 12.A二、填空题13.414.15.16.○1○3○4三、解答题17.解:（1）----------5分（2），得解得----------10分18.解：（1）----------4分（2）----------8分(3) ----------12分19.（1）证明：,又.----------6分(2)解：由（1）知，平面的法向量为设，----------12分20.（1）证明----------6分（2）证明：要证成立只需证即证只需证即证显然为真故原式成立 ----------12分21.（1）解：，，猜测----------4分（2）证明：当时，左=右=1，成立；假设当时等式成立，即，当时，左=右=左=右综上所述，原式成立.----------12分22.（1）证明：设，，设，，又，平面平面----------6分(2)解：设，则平面,----------12分。

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知()ln f x x =，则()f e '的值为 （ ） A ．1 B ．-1 C ．e D ．1e2.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S = （ ） A ．55B ．81C ．90D ．1003. 与椭圆222211312x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为 （ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ． 222211312x y -=4. 设a ，b ，c 都是实数．已知命题:p 若a b >，则a c b c +>+；命题:q 若0a b >>，则ac bc >．则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ． ()()p q ⌝∨⌝5.已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和等于 （ ） A ．130B ．120C ．55D ．506.已知变量y x ,满足，⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0311y x y x 目标函数是y x z +=2，则有 （ ） A ．3,5min max ==z zB ．5max =z ，z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值 7. 若120()d 0x mx x +=⎰,则实数m 的值为 （ ） A ．13-B ．23-C ．1-D ．2-高二数学（理科） 第1页 共4页8. 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．49. 若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则b a -的值是 （ ）A.－10B.－14C. 10D. 1410. “a ＞b ＞0”是“ab ＜222b a +”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 （ ）A ．B ．6C ．D ． 1212. 设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， ( )A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数32()32f x x x =-+在区间[1,1]- 上的最大值是_________．14．双曲线()2210x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为 .15．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且134a a ⋅=,48a =,则1a q +的值为 .16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点；高二数学（理科） 第2页 共4页③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=．其中真命题的序号为 _______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知的最小值求且y x yx y x +=+>>,191,0,0。

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0 D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 2．“0,0>>b a ”是“方程122=+by ax 表示椭圆”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．若0,>>>dc b a ，则下列不等式成立的是（ ）A ．bd ac >B ．db c a < C ．c b da +>+ D ．cb d a ->-4．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=,则101a 的值为（ ） A ． 52 B ．51 C ．50 D ．495．()()()10222221221211+++++++++++= S 的值是（ ）A ．11211- B ．13211- C ．13212- D ．11213-6．设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ． 3-D ．2-7.下列说法中正确的是 ( ) A.平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆 B. 不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞的充要条件是 ：b a =C. “若 220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0，则220a b +≠” D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为21，它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A ．1121622=+y x B ．13422=+y x C ．141622=+y x D ． 1422=+y x9．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（ ） A.15 B.17 C. 19 D.2110. 等差数列{}n a 的公差0d <，且2212014a a =，若数列{}n a 的前n 项和n S 最大，0m S = 则m n -的值为（ ）A ．1007B ．1006C ． 1005D ． 100411.已知,,a b c 为互不相等的正数，且222ac bc +=,则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ． a c b >>D ．b a c>>12.已知函数()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若对一切实数,()x f x 与()g x 至少有一个为负数，则实数m 的取值范围（ ）A ． (4,1)--B ．(4,0)-C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知1,,4x --成等比数列，则x 的值为( )A ．2 B. 52-C. 2 或2- D ．2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是 ( )A. 1a <1b B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c | 3.已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ ( ) A 100 B 210 C 380 D 4004．等比数列中，a 5a 14＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11＝ ( )A ．10B ．25C ．50D ．755．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)那么a n ＋1－a n 等于 ( )A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋26．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为 ( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N7．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13(4n －1)8．已知221(2),2(0)2b m a a n b a -=+>=≠-，则,m n 的大小关系是 （ ） A m n > B m n < C m n = D 不确定9．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．1810．在数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，如果数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，那么a 11等于 ( )A.13B.12C.23D ．111.若{}n a 是等差数列，首项110071008100710080,0,0a a a a a >+>< ，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 （ ） A.2012 B.2013 C.2014 D ．201512.设{}n a 是由正数组成的等差数列，{}n b 是由正数组成的等比数列，且11a b =，20032003a b =，则必有（ ）A.10021002a b >B.10021002a b =C.10021002a b ≥D.10021002a b ≤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知22ππαβ-≤<≤，则2βα-的范围为 。

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二下学期期中考试（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2012•惠州模拟）复数（1﹣i）2的虚部为（）A．﹣2 B．2C．﹣2i D．2i考点：复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：按照平方差公式展开，求出复数的实部与虚部即可．解答：解：因为复数（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i．所以复数的虚部为：﹣2．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知i是虚数单位，若，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义进行化简求解．解答：解：由，得z===1+2i．对应的坐标为（1，2），位于第一象限，故选：A点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算先进行化简是解决本题的关键．3．（5分）（2012•黑龙江）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0C．D．1考点：相关系数．专题：规律型．分析：所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．解答：解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．点评：本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）（2015春•辽宁校级期中）下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义；其中正确的类比是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：由复数的知识和类比推理逐个选项验证可得．解答：解：由复数的知识和类比推理可得：①复数的加减法运算法则可以类比多项式的加减法运算法则，正确；②由实数可以比较大小类比得到复数也可以比较大小，错误；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，正确；故选：C点评：本题考查类比推理，涉及复数的知识，属基础题．5．（5分）（2015春•辽宁校级期中）方程表示的曲线是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线考点：抛物线的参数方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程，消去t，可得结论．解答：解：由方程，消去t，可得y=x2+1，∴表示的曲线是抛物线，故选：D．点评：本题考查抛物线的参数方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知x、y的取值如下表：x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5已知y与x线性相关，且回归方程为，则a=（）A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．解答：解：由题意，=（3+4+5+6）=4.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，将（4.5，3.5）代入线性回归直线方程是y=0.7x+a，可得3.5=3.15+a，所以a=0.35．故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目，并且题目所用的原理不复杂，是一个好题．7．（5分）（2012春•沙坪坝区校级期末）用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（）A．三角形中有两个内角是钝角B．三角形中有三个内角是钝角C．三角形中至少有两个内角是钝角D．三角形中没有一个内角是钝角考点：反证法与放缩法．专题：应用题．分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论．解答：解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．故选C．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．8．（5分）（2015春•辽宁校级期中）如果：在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103，那么类比：在5进制中数码2004折合成十进制为（）A．29 B．254 C．602 D．2004考点：类比推理．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是类比推理，由10进制的转换方法类比推理出5进制的转换方法，5进制与十进制数之间的转换，只要我们根据10进制转换方法逐位进行转换，即可得到答案．解答：解：（2004）5=2×53+4=254．故选B．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．9．（5分）（2014•奎文区校级模拟）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*），可归纳猜想出S n的表达式为（）A．B．C．D．考点：数列的求和；归纳推理．专题：计算题．分析：数列{a n}中，前n项和为S n，由a1=1，S n=n2a n（n∈N*），可得s1；由s2可得a2的值，从而得s2；同理可得s3，s4；可以猜想：s n=，本题不需要证明．．解答：解：在数列{a n}中，前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*），∴s1=a1=1=；s2=1+a2=4a2，∴a2=，s2==；s3=1++a3=9a3，∴a3=，s3==；s4=1+++a4=16a4，∴a4=，s4==；…于是猜想：s n=．故选A．点评：本题考查了用递推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为S n，需要有一定的计算能力和归纳猜想能力．10．（5分）（2015•桐城市一模）对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：根据|z﹣|=|2yi|=2|y|，可得A、C不正确，根据z2 =x2﹣y2﹣2xyi，可得B不正确，由|z|=可得D正确．解答：解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2 =x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，准确理解复数的模的定义，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）（2015春•辽宁校级期中）设a n=log n+1（n+2）（n∈N*），观察下列运算：a1•a2=log23•log34==2；a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34…log67•log78==3；则当a1•a2…a k=2015时，正整数k为（）A．22015﹣2 B．22015C．22015+2 D．22015﹣4考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意知a1•a2•…•a k=••••=2015，解方程即可得到结论．解答：解：a1•a2••a k=••••==log2（k+2），由当a1•a2…a k=2015，即log2（k+2）=2015，解得k+2=22015，即k=22015﹣2．故选：A点评：本题主要考查对数的基本运算，利用对数的换底公式将条件进行化简是解决本题的关键．解题时要注意公式的灵活运用．12．（5分）（2015春•辽宁校级期中）已知不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|的解集包含[2，3]，则a 的取值范围为（）A．[﹣3，﹣2]B．[﹣2，0]C．[﹣3，0]D．[﹣2，1]考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，x=2和x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，于是把x=2和x=3分别代入不等式，求得a的范围，再取交集，即得所求．解答：解：由题意可得，x=2和x=3满足不等式|x+a|+|x﹣3|≤|x﹣4|，故有|2+a|+|2﹣3|≤|2﹣4|，即|2+a|≤1，﹣1≤2+a≤1，﹣3≤a≤﹣1．|3+a|+|3﹣3|≤|3﹣4|，即|3+a|≤1，﹣1≤3+a≤1﹣4≤a≤﹣2．综合可得﹣3≤a≤﹣2，故选：A．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）13．（5分）（2015春•辽宁校级期中）不等式x2﹣2≤x的解集为{x|﹣1≤x≤2}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先求出方程x2﹣x﹣2=0的实数根，进而得出不等式的解集解答：解：∵x2﹣x﹣2=0，分解因式为（x﹣2）（x+1）=0，解得x=﹣1或2，∴不等式x2﹣2≤x的解集是{x|﹣1≤x≤2}．故答案为{x|﹣1≤x≤2}．点评：熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．14．（5分）（2015春•辽宁校级期中）椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，所得曲线的参数方程为（θ为参数）．考点：椭圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把椭圆的普通方程化为参数方程，再把它的各点横坐标缩短为原来的即可．解答：解：∵椭圆的参数方程为，当椭圆上的各点横坐标缩短为原来的，所得曲线的参数方程为（θ为参数）．故答案为：（θ为参数）．点评：本题考查了椭圆的普通方程化为参数方程的应用问题，是基础题目．15．（5分）（2014•金州区校级模拟）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长满足关系：AB2+AC2=BC2．若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积满足的关系为S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2．考点：归纳推理．专题：常规题型．分析：斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得S BCD2=S ABC2+S ACD2+S ADB2．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．16．（5分）（2015春•辽宁校级期中）设a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：a＞0，b＞0，且a+b=1，可得=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则==8，当且仅当a=b=时取等号．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2014秋•秦安县校级期末）已知复数，若z2+az+b=1﹣i，（1）求z；（2）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：（1）（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，再由复数除法知识，分子分母同乘以2+i，化简整理即可．（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，整理成x+yi形式，由复数相等知识实部、虚部分别相等，列方程组求解．解答：解：（1），（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1﹣i，即（1+i）2+a（1+i）+b=1﹣i，得a+b+（2+a）i=1﹣i．所以解得a=﹣3；b=4所以实数a，b的值分别为﹣3，4点评：本题考查复数的基本运算和复数相等等知识，属基本运算的考查．18．（12分）（2015春•辽宁校级期中）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中有男生60名，调查发现，男、女生中分别有40人和20人爱好运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：男女总计爱好不爱好总计110（Ⅱ）判断爱好该项运动与性别是否有关？参考公式：K2=其中n=a+b+c+d附表：p（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意得到列2×2列联表；（Ⅱ）代入公式计算K2的值，和临界值表比对后即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110…（6分）（Ⅱ）由K2=≈7.8＞6.635…（10分）∴判断有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”…（12分）点评：本题是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．19．（12分）（2015春•辽宁校级期中）用适当方法证明下列不等式：（Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（）≥4；（Ⅱ）用分析法证明：．考点：综合法与分析法(选修）；不等式的证明．专题：综合题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即得所证．（Ⅱ）寻找使成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．解答：证明：（Ⅰ）∵，…（2分）∴，…（4分）∴（a+b）（）≥4．…（6分）（Ⅱ）要证．成立只需证，…（8分）即证，只需证，即证42＞40显然为真，故原式成立．…（12分）点评：本题主要考查用综合法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（12分）（2015•南昌校级二模）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）考点：参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：压轴题；直线与圆．分析：（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．解答：解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．21．（12分）（2015•嘉峪关校级三模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得M到C3的距离=|sin （θ+α）﹣|，从而求得d取得最小值．解答：解：（Ⅰ）把C1，C2的参数方程消去参数，化为普通方程分别为，C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆；C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，P（﹣4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故，C3为直线x﹣2y﹣7=0，求得M到C3的距离=|cosθ﹣sinθ﹣|=|sin（θ+α）﹣|，其中，sinα=，cosα=﹣．从而当sin（θ+α）=1，即当时，d取得最小值为．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．22．（12分）（2015•辽宁校级模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜02．（5分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若a＞b，c＞d＞0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．＜C．a+d＞b+c D．a﹣d＞b﹣c4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．52 B．51 C．50 D．495．（5分）S=1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+210）的值是（）A．211﹣11 B．211﹣13 C．212﹣13 D．213﹣116．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）下列说法中正确的是（）A．平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆B．不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=bC．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（）A．15 B．21 C．19 D．1710．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a20142，若数列{a n}的前n项和S n 最大，S m=0，则m﹣n的值为（）A．1007 B．1006 C．1005 D．100411．（5分）a，b，c为互不相等的正数，a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=．14．（5分）若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是．16．（5分）已知p：a﹣4＜x＜a+4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．18．（12分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．20．（12分）已知a＜1，解关于x的不等式．21．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若2是方程f（x）=x的一个根，a n=（n∈N*），求数列{a n}的前n项和S n（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）﹣x＜0的解集为（x1，x2）其中x1，x2满足0＜x1＜x2＜（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．故选：C．2．（5分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）若a＞b，c＞d＞0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．＜C．a+d＞b+c D．a﹣d＞b﹣c【解答】解：∵c＞d＞0，∴﹣c＜﹣d，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c．故选：D．4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，则a101的值为（）A．52 B．51 C．50 D．49【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=2，2a n+1﹣2a n=1，∴a n﹣a n=，故数列{a n}为首项为2公差为的等差数列，+1∴a101=2+100×=52故选：A．5．（5分）S=1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+210）的值是（）A．211﹣11 B．211﹣13 C．212﹣13 D．213﹣11【解答】解：∵1+2+22+…+210==211﹣1．∴S=1+（1+2）+（1+2+22）+...+（1+2+22+ (210)=21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+211﹣1=﹣11=212﹣13．故选：C．6．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：由题意，构成一个三角形区域，三个顶点的坐标为（0，0），（k，k），（﹣2k，k）∵z=x+y的几何意义是直线y=﹣x+z的纵截距∴在（﹣2k，k）处函数取得最小值，在（k，k）处函数取得最大值∵z的最大值为6，∴k+k=6，解得k=3∴z的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣37．（5分）下列说法中正确的是（）A．平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆B．不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=bC．“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真【解答】解：对于A，平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆，不满足椭圆的定义，椭圆的定义中，常数必须大于两个定点的距离，所以A不正确；对于B，不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞）的充要条件是：a=b，不正确，利用a=b=﹣1，不等式的解集是（﹣∞，1）．所以B不正确；对于C，“若a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，不是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”，所以C不正确；对于D，一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，满足四种命题的逆否关系以及真假关系，所以D正确．故选：D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．9．（5分）已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（）A．15 B．21 C．19 D．17【解答】解：由题意可得=1，∴a1=，故前八项之和等于=（28﹣1）=17，故选：D．10．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a20142，若数列{a n}的前n项和S n 最大，S m=0，则m﹣n的值为（）A．1007 B．1006 C．1005 D．1004【解答】解：∵d＜0，且a12=a20142，∴a1＞0，a2013＜0∴a1=﹣a2014整理可得，a1+a2014=0∴S2014=0=0，即m=2014由a1=﹣a2014可得，a1+a2014=0由等差数列的性质可得，a1007+a1008=a1+a2014=0∵d＜0∴a1008＜0，a1007＞0∴s1007最大，即n=1007则m﹣n=1007故选：A．11．（5分）a，b，c为互不相等的正数，a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解答】解：若a＞b，则a2+c2＞b2+c2≥2bc，不符合条件，排除A，C；又由a2﹣c2=2c（b﹣c），故a﹣c与b﹣c同号，排除D；且当b＞a＞c时，a2+c2=2bc有可能成立，例如取（a，b，c）=（3，5，1），故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，0）C．（0，）D．（﹣4，）【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）与g（x）至少有一个为负数，即f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，即，解得﹣4＜m＜0；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．14．（5分）若△ABC中，C=30°，a+b=1，则△ABC面积S的最大值是．【解答】解：在△ABC中，∵C=30°，a+b=1，∴△ABC的面积S=ab•sinC=ab•sin30°=ab≤×（）2=×（）2=．当且仅当a=b=时取等号，故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足，则的取值范围是（，3）．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：设z=，则z的几何意义是区域内的点与原点的斜率，则由图象可知，OA的斜率最大，OB的斜率最小，由，解得，即A（，），此时OA的斜率k=，由，解得，即B（，12），此时OB的斜率k=，则＜z＜3，即的取值范围是（，3），故答案为：（，3）16．（5分）已知p：a﹣4＜x＜a+4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为[﹣1，6] ．【解答】解：由（x﹣2）（3﹣x）＞0，解得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即，则，解得﹣1≤a≤6，故答案为：[﹣1，6]．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．【解答】解：（1）∵x＜，∴4x﹣5＜0．∴y=4x﹣5++3=﹣[（5﹣4x）+]+3≤﹣2+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴y max=1．（2）∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．18．（12分）设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4（1﹣S n+1）（n∈N*），T n=++…+，求使T n≥成立的最小的正整数n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由S1+a1=1⇒a1=，当n≥2时，S n+a n=1①，S n﹣1+a n﹣1=1②，①﹣②，得=0，即a n=a n﹣1，∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故a n==3（n∈N*）；（Ⅱ）由（1）知1﹣S n==，+1b n=log4（1﹣S n+1）==﹣（n+1），=，T n=++…+=（）+（）+…+（）=，≥⇒n≥2014，故使T n≥成立的最小的正整数n的值n=2014．20．（12分）已知a＜1，解关于x的不等式．【解答】解：不等式＞1可化为＞0．∵a＜1，∴a﹣1＜0，则原不等式可化为＜0，___________（5分当0＜a＜1时，0＜1﹣a＜1，＞2，∴原不等式的解集为{x|2＜x＜}；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＜0时，同理可求原不等式的解集为{x|＜x＜2}．___________（10分）21．（12分）已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若2是方程f（x）=x的一个根，a n=（n∈N*），求数列{a n}的前n项和S n（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意2是方程f（x）=x的一个根，可得4m﹣2m﹣1=1，解得m=1，∵a n=（n∈N*），∴，∴（6分）（2）∵f（x）＜﹣m+5⇔m（x2﹣x+1）＜6，∵x2﹣x+1＞0，∴m＜，对于x∈[1，3]恒成立，记g（x）=，x∈[1，3]，记h（x）=x2﹣x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数．则g（x）在[1，3]上为减函数，∴[g（x）]min=g（3）=，∴m＜．所以m的取值范围为．（12分）22．（12分）设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）﹣x＜0的解集为（x1，x2）其中x1，x2满足0＜x1＜x2＜（1）当x∈（x1，x2）时，求证x1＜f（x）＜x；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜．【解答】解：（1）令F（x）=f（x）﹣x，因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2），且a＞0，当x∈（x1，x2）时，由x1＜x＜x2得（x﹣x1）（x﹣x2）＜0，又a＞0，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＜0，即f（x）＜x．而x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]．因为，所以x1﹣x＜0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0得x﹣f（x）＜0，由此得x1＜f（x）＜x．（2）由（1）知f（x）=F（x）+x=x+a（x﹣x1）（x﹣x2）=ax2+[1﹣a（x1+x2）]x+ax1x2 x0=﹣==，因为ax2＜1，所以，即．。

辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“x ∃∈R ，2210x x -+<”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+> C ．x ∀∈R ，221x x -+≥0 D ．x ∀∈R ，2210x x -+< 2．“0,0>>b a ”是“方程122=+by ax 表示椭圆”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．若0,>>>dc b a ，则下列不等式成立的是（ ）A ．bd ac >B ．db c a < C ．c b da +>+ D ．cb d a ->-4．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=,则101a 的值为（ ） A ． 52 B ．51 C ．50 D ．495．()()()10222221221211+++++++++++= S 的值是（ ）A ．11211- B ．13211- C ．13212- D ．11213-6．设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A ．5-B ．4-C ． 3-D ．2-7.下列说法中正确的是 ( ) A.平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆 B. 不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞的充要条件是 ：b a =C. “若 220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0，则220a b +≠” D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为它的长轴长等于圆222150x y x +--=的半径，则椭圆的标准方程是（ ）A C ．9．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（ ） A.15 B.17 C. 19 D.2110. 等差数列{}n a 的公差0d <，且2212014a a =，若数列{}n a 的前n 项和n S 最大，0m S = 则m n -的值为（ ）A ．1007B ．1006C ． 1005D ． 100411.已知,,a b c 为互不相等的正数，且222ac bc +=,则下列关系中可能成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ． a c b >>D ．b a c>>12.已知函数()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若对一切实数,()x f x 与()g x 至少有一个为负数，则实数m 的取值范围（ ）A ． (4,1)--B ．(4,0)-C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。