荆州市十年中考---第25题(压轴题)

一、2010年中考第25题专练25题第2、3问分析：一、构题形式：①线（抛物线）的平移、旋转；②特殊三角形、四边形；③面积问题；④线段的关系；⑤角的关系（三角函数）二、解题思路：①构造全等三角形解题；②构造相似三角形解题；③构造圆解题；例题：已知抛物线y=－x2＋4x－3的顶点M（2，1），交x轴于A、B（A在B的左侧），交y轴负半轴于C。

（1）平移直线CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使DP/CM=1/2,求P点的坐标；利用平移构造相似三角形解题。

（2）T为第四象限抛物线上一动点，连接TM，过A作AN//TM交对称轴于N，是否存在使TM=1/2AN的点T？若存在，求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由。

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

再根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

（3）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PAC是以P为顶点的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

利用等腰三角形性质构造相似三角形解题。

（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PAC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

利用直角三角形性质构造相似三角形解题。

（5）将线段AC绕平面内一点顺时针旋转90°得到线段PQ，且P、Q两点落在抛物线上（P点在Q点左侧），求点P、Q两点坐标。

利用旋转变换构造全等三角形解题。

因为P、Q在抛物线上，可以设出其中一点坐标，根据这两点的坐标关系表示出另一点坐标，再将另一点坐标代入抛物线解析式中求解。

2021年中考数学复习《二次函数》压轴题必做题型25道（难度较大）（无答案）1.如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？2. 如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)求顶点D的坐标与对称轴l；4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(6,6),(6,0),抛物线y=-(x-m)2+n的顶点P在折线OA—AB上运动.(1)当点P在线段OA上运动时,抛物线y=-(x-m)2+n与y轴交点坐标为(0,c).用含m的代数式表示n.(2)当抛物线y=-(x-m)2+n经过点B时,求抛物线所对应的函数解析式.y A 45︒O B 2x5. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，求实数k 的取值范围．6. 如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.7. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2),水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的解析式是y=-x2+4x+(x>0),求圆形水池的半径至少为多少米时,才能使喷出的水流不至于落在池外.8. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.9. 已知某款熊猫纪念品成本为30元/件,当售价为45元/件时,每天销售250件,售价每上涨1元,销量下降10件.(1)求每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数解析式.(2)若每天该熊猫纪念品的销量不低于240件的情况下,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?(3)小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后这款纪念品每天剩余的利润不低于3 600元,试确定该熊猫纪念品销售单价的范围.10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝12x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小？若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；11. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-1.(1)b= ;(用含a的代数式表示)(2)当a=-1时,若关于x的方程ax2+bx+c=0在-4<x<1的范围内有解,求c的取值范围;(3)若抛物线过点(-1,-1),当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,求a的值.12. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．13. 如图 12-1，抛物线y=ax2＋bx＋3 交x 轴于点A（-1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 12-2，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．求四边形ACFD 的面积；14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点．当以PQ为直角边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；15. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．16. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；＝2？若存在，求出点G的坐标，若不(2)在抛物线上是否存在一点G，使得S△ACG存在，请说明理由；17. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(-3,0).(1)填空:b= ,c= .(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的点N的坐标.18. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；(2)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM ＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；19. 已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式.(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.20. 平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上．以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由；以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．22. 如图，抛物线215322y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点 P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，求DQB △面积S 和m 的函数关系式，并求出DQB △面积的最大值；（3）当DQB △面积最大时，在x 轴上找一点E ，使55QE EB +的值最小，求E 的坐标和最小值．23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A、B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.25.如图1,抛物线y=-35[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

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1、2024年荆州市初中学业水平考试数学(本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟)祝考试顺利注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回._一、选择题(共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中2、，只有一项符合题目要求)1. -15的相反数为 A. 15 B. -15 C. 5 D. -52. 据统计,2024 年国内全年出游人次为48.9亿,则数据4 890 000 000用科学记数法表示为 A.4.8910 B.48.910 C. 4.8910 D. 48.9103.某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是4.下列计算正确的是 A. 2a-a=1 B.aa=a C.a-1=a-1 D.a=a5.如图，将一块含60角的直角三角板斜边的两个顶点分别放在直尺的两条边上.若1=140,则2的度数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 35数学第1页(共6页)6.下列调查中，最适合3、采用全面调查(普查)方式的是A.调查某市初中学生每天课外锻炼的时间B.调查春节期间全国居民的花销情况C.调查某批次新能源汽车的续航能力D.调查乘坐飞机的乘客随身携带物品的安全性7. 如图,O是ABC的外接圆,ABC 的平分线交O于点D,连接AD,CD,若ADC=120,则tanACD= A. 33 B. 1 C. 3 D. 138.某同学在物理实验课上做“小孔成像”实验时，将一支长约3cm的蜡烛(包括火焰高度)立在小孔前，蜡烛所立位置离小孔的水平距离为6cm，此时蜡烛火焰通过小孔刚好在小孔另一侧距小孔2cm处的投影屏上形成了一个“像”，若以小孔为坐标原点，构建如图所示的平面直角坐标系xOy，记蜡4、烛火焰顶端A点处的坐标为(-6，3)，则A点对应的“像”的坐标为 A. (3,-1) B. (2,-1) C. (2,-2) D. (3,-2)9. 如图,在菱形ABCD中,B=60,E,F分别是边AB,BC的中点,连接EF,DF,若 EF=2,则DF 的长为A. 2 2B. 23C. 2 5D.2 710. 如图1,在矩形ABCD中(AD2AB),P,Q分别为边AB,BC上的动点,点 P 沿折线B-A-D-C以每秒2个单位长度的速度运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点 B沿着 BC运动，当点Q到达点C时，点P随之停止运动.连接PQ，若BPQ的面积与运动时间t之间的函数图象如图2所示.下列结论中：AB边的长度为4；四边形ABCD的面积为20;当t=3时,点P与点D的距离为4;当t=4时,PQAB.正确的序号为 A. B. C. D. 数学第2页(共6页)二、填空题(共5题，每题3分，共15分)11. 计算: 3-8+|-3|=_.12.藤球是一项古老而独特的体育运动项目，有着悠久的历史，又叫“脚踢的排球”.下表是学校藤球队中三名学生五次传踢球成绩的平均数及方差统计表，若要从这三名学生中选择一名成绩好且稳定的学生作为校藤球队的队长，则应选择学生 . 甲乙丙平均数方差1.20.50.513.端午节是中国首个入选世界非物质文化遗产的节文档加载中……请稍候！如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－812．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 3．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．234．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1005．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．36．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．27．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19258．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．019．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．1210．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题25 三角形聚焦考点☆温习理解一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

二、全等三角形1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

中考第二轮复习“中考压轴题”专题讲解一、内容简述中考压轴题，也就是第25题，很多同学都认为是非常难的，在平时的训练中就有很多学生放弃了.但是实际上这道问题也是有方法可寻的，在本期复习中对于25题进行了归类和给出了相应的解题策略，希望能够帮助同学们一起来克服对于压轴题的恐惧心理，并帮助同学们找到解决此题的方式方法，从而来提高同学们的自信心.二、真题再现下面是近几年上海中考卷中的第25题.我们先一起来分析一下.例1 （2010年上海中考第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，联结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，联结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若tan∠BPD=13，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图1 图2（备用）图3（备用）分析：（1）当∠B=30°时，∠A=60°，此时△ADE是等边三角形，则∠PEC=∠AED=60°，由此可证得∠P=∠B=30°；若△AEP与△BDP相似，那么∠EAP=∠EPA=∠B=∠P=30°，此时EP=EA=1，即可在Rt△PEC中求得CE的长；（2）若BD=BC，可在Rt△ABC中，由勾股定理求得BD、BC的长；过C作CF∥DP交AB于F，易证得△ADE∽△AFC，根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证△BCF∽△BPD，根据相似三角形的对应边成比例求得BP、BC的比例关系，进而求出BP、CP的长；在Rt△CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到∠BPD的正切值；（3）过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到y、x的函数关系式．解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°.∵AD=AE，∴∠AED＝60°=∠CEP，∴∠EPC＝30°.∴△BDP为等腰三角形.∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，∴AE=EP=1.∴在Rt △ECP 中，EC=12EP=12; （2）如图4，过点D 作D Q ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x.∵AE=1，EC=2，∴QC=3-a.∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ 与△ABC 相似. ∴AD AQ AB AC =，即113a x =+，∴31a x =+. ∵在Rt △ADQ 中，2222328111x x DQ AD AQ x x +-⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭. ∵DQ AD BC AB=，∴228111x x x x x +-+=+， 解得x=4，即BC=4.过点C 作CF//DP ，∴△ADE 与△AFC 相似， ∴AE AD AC AF=，即AF=AC ，∴DF=EC=2，∴BF=DF=2. ∵△BFC 与△BDP 相似，∴2142BF BC BD BP ===，即BC=CP=4. ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==；图4（3）∵D Q ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似，设AQ=a ，则QE=1-a. ∴QE DQ EC CP =且tan ∠BPD=13，∴DQ=3（1-a ）. ∵在Rt △ADQ 中，根据勾股定理，得AD 2=AQ 2+DQ 2， 即12=a 2+［3（1-a ）］2，解得a=1（舍去）或a=45. ∵△ADQ 与△ABC 相似,∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++， ∴5533,44x x AB BC ++==. ∴三角形ABC 的周长y=AB+BC +AC=553344x x ++++1+x=3+3x. 即y=3+3x ，其中x>0注：2011年上海中考第25题，在12期“分类讨论”专题讲解中已经讲过，这里我们不在重复.（2012年中考25题）如图5，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB 上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．图5分析：（1）由OD⊥BC，根据垂径定理，可得出BD=12BC=12，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；（2）联结AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=12AB=；（3）由BD=x，可知OD=.由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°.过D 作DF⊥OE，则DF=OF=，EF=x，即可求得y关于x的函数关系式.解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图6，存在，DE是不变的．联结AB，则AB==2.∵D和E是中点，∴DE=AB=；图6（3）如图7，∵BD=x，∴OD=.∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°.过D作DF⊥OE．∴DF=，EF=x，∴y=DF•OE=（0＜x＜）．图7大家看了上面这些问题后，可能会觉得压轴题确实是比较有难度的，那么接下来就请同学们看看后面的解题策略吧，希望对同学们解压轴题有所帮助.三、解题策略一般来说，中考压轴题都是几何的动态问题，而动态问题比较经典的三个问题：（1）求解一个不变的量（线段相等、角相等、线段之间的数量关系等等）；（2）建立函数关系（某两条线段之间的函数关系、涉及到图形面积周长的函数关系、某些角之间的函数关系等等）；（3）点在移动过程中产生了一种特殊的情况（相似三角形、等腰三角形、圆与直线相切、圆与圆相切等等.），然后去求解某条线段长度或者某个量.要想解决压轴题，首先我们要学会如何去对待动态问题.在这里，我给出了一定的思考方向.动态问题的解题策略：第一：读题（结合图形）并在图上标记已知条件及简单可推出的结论.第二：动态问题中肯定有动点，所以一定要先找到动点及由已知动点产生的其他动点并要注意的是这些动点的移动范围（比如说直线AB、射线OP、线段CD、边AB等），可以在图中把一些涉及到直线的线段补成直线（两头延长一点），同样射线也可以补出一段.不要小看这一点，这一点是决定了函数解析式的定义域哦.第三：画图.一般题目中给你的图是一种特殊情况，也是同学们比较能够接受的一种情况，但是由于题目中动点移动的范围可能导致另外一种或者多种情况，所以你必须要把动点移动的过程中其他的情况也要画出来，不然最后小问的多解情况你就遗漏哦.在你画图的过程中，你会发现不同的图之间会有一种特殊情况（两种情况同时成立），而这种情况下的x 的值就是两种情况的定义域的分界值，这一点你也要注意，要把这个分界值求出来.当你完成了上面这三步工作后，你大致地对题目已经做到心中有数了，接下来就是如何去做题了，一般动态问题中第一小问的难度不会很难，我们主要来讲讲下面两个小问吧.第二小问一般是建立函数关系式（就是在几何背景下找等量关系），此题是关键性问题，因为本题如果没有解决，直接会影响到第三问的解答.所以在下面的复习中专门有建立函数关系这个内容来帮助大家解决这个困难.第三小问主要是在动点移动过程中所产生的某一种特殊情况，我们主要以相似三角形为例来谈解题的具体方法.首先我们来研究压轴题中的建立函数关系问题.例1 如图1，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC =4，∠BOD =∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA =x ，CD =y ．（3）求BD 长；（4）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（5）当CE ⊥OD 时，求AO 的长．分析：（1）利用相似三角形的性质可以建立等量关系求出BD ；（2）利用已求的相似三角形得到对应角相等，再得到另外一对相似三角形，利用相似三角形的相似比来建立函数关系式；（3）通过垂直三线合一得到等角，通过等角对等边建立等量关系.解：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OAC =∠ODB ．∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴AC OD OC BD =， ∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9； （2）∵△OBD ∽△AOC ，∴∠AOC =∠B ．又∵∠A =∠A ，∴△ACO ∽△AOB ．∴ACAO AO AB =. ∵AB=AC+CD+BD=y+13，∴413x x y =+， O A C DB E 图1∴y关于x的函数解析式为y=14x2-13，定义域为213<x<10；（3）∵OC=OE，CE⊥OD，∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO．∴AD=AO，∴y+4=x，∴14x2-13+4=x．∴x=2+210（负值不符合题意，舍去）．∴AO =2+210．例2 已知：如图2，半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上的一点，过线段OP的中点B作垂线交⊙O于点C，射线PC交⊙O于点D，联结OD．（1）若=AC CD，求弦CD的长；（2）若点C在AD上时，设PA=x，CD =y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF =1时，请直接写出tan ∠P的值．分析：（1）通过等弦得到圆心角相等，再得到相似三角形建立等量关系；（2）通过相似三角形的相似比来建立等量关系；（3）D的位置需要分类讨论.解：（1）联结OC，当AC=CD时，有∠DOC=∠POC.∵BC垂直平分OP，∴PC=OC=4，∴∠P=∠POC=∠DOC，∴△DOC∽△DPO，∴DO DC DP DO=.设CD=y，则16=（y+4）y，解得y=2-25. 即CD 的长为252-；（2）作OE⊥CD，垂足为E.可得CE=DE=12 y.∵∠P=∠P，∠PBC=∠PEO=90°，∴△PBC∽△PEO，∴PB PCPE PO=，∴442442xy x+=++，∴28164x xy+-=（42-4<x<4）；（3）若点D 在AC外时，tan∠P=155 OEPE=；若点D在AC上时，tan∠P=153 OEPE=.C A OP D B E图2 图3例3 如图3，已知在△ABC 中，AB=4，BC=2，以点B 为圆心，线段BC 长为半径的弧交边AC 于点D ，且∠DBC=∠BAC ，P 是边BC 延长线上一点，过点P 作PQ ⊥BP ，交线段BD 的延长线于点Q ．设CP=x ，DQ=y ．（1）求CD 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当∠DAQ =2∠BAC 时，求CP 的值．分析：（1）通过相似三角形的相似比来建立等量关系；（2）构造平行线得到比例式建立等量关系；（需要添设辅助线，难度稍微有些大）（3）通过角与角之间的转化，最后利用解斜三角形的方法来求解.解：（1）∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴△BDC ∽△ABC ．∴ABBC BD CD =．∵AB=4，BC=BD=2，∴CD=1； （2）∵BC =BD ，∴∠BCD =∠BDC ．∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴∠ABC =∠BDC ．∴∠ABC =∠ACB ．∴AC =AB =4．作AH ⊥BC 于H ．∴BH =CH =1．作DE ⊥BC 于E ，则DE ∥AH ． ∴CACD CH CE =，即411=CE ． ∴CE=14，47=BE ． 又∵DE ∥PQ ，∴BE EP BD DQ =，即47412+=x y ．整理，得7278+=x y ，定义域为x >0； （3）∵∠DBC +∠DCB =∠DAQ +∠DQA ，∠DCB =∠ABD +∠DBC ，∴2∠DBC +∠ABD =∠DAQ +∠DQA ．∵∠DAQ =2∠BAC ，∠BAC =∠DBC ，∴∠ABD =∠DQA ．∴AQ =AB =4．作AF ⊥BQ 于点F ，可得QF=22y +，DF=22y -．∴2222)22(4)22(3+-=--y y ．解得y=72． ∴277278=+x ．解得x=4516，即CP=4516.最后我们来研究压轴题中的相似三角形的问题.例1 如图1，△ABC 中，AB=BC=5，AC=6，过点A 作AD ∥BC ，点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且AP=BQ ，过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于点O ，联结PQ ，设△POQ 的面积为y ，AP=x ．（1）用x 的代数式表示PO ；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出定义域；（3）联接QE ，若△PQE 与△POQ 相似，求AP 的长．图1分析：（1）通过平行四边形的对边平行得到比例式，建立等量关系；（2）由相似三角形的相似比建立函数关系式；（3）通过对问题的分析，可以知道相似的情况只有一种，利用相似比得到数量关系从而求解.解：（1） ∵AD ∥BC ，PE ∥AC ，∴四边形APEC 是平行四边形.∴A C ∥EC ，AC =PE =6 ，AP =EC =x ∴PA PO BE OE =，即556PO x PO=--，解得PO=65x ； （2）∵AB =BC =5，∴∠BAC =∠BCA .又∠APE =∠BCA ，∠AOP =∠BCA ，∴∠APE =∠AOP ，∴AP =AO =x.∴当0<x<52时，OQ=5-2x. 如图2，作BF ⊥AC ，QH ⊥PE ，垂足分别为点F 、H ， BPD QC A O E则易得AF =CF =3，A B=5，BF =4.由∠OHQ =∠AFB =90°，∠QOH =∠BAF ，得△OHQ ∽△AFB . ∴QH OQ BF AB =，∴5245QH x -=， ∴()4528455x QH x -==-+. 所以y 与x 的函数关系式是22412255y x x =-+（0<x<52）；图2（3） 当0<x<52时，可得OH=3-65x . 于是得PH=3，QH=4-85x ，∴PQ=228345x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 由于∠QPO =∠EPQ ，∴若△PQE 与△POQ 相似，只有△PQE ∽△POQ ，∴PQ 2=PO ·PE ， 即32+（4-85x ）2=65x ×6， 解得x 1=2516，x 1=254（不合题意，舍去）. ∴若△PQE 与△POQ 相似，AP 的长为2516.例2 如图2，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB =90º，点C 是AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC =x ，BD =y ．（1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2） 如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD =31OB 时，求⊙O 1的半径；（3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要BP DQ C A O E F HB DC A O 图3说明理由分析：（1）通过相似三角形的相似比建立函数关系式；（2）O 1的位置需要分类讨论；（3）首先需要从相似入手得到C 为AB 的中点时，再通过证明两角相等得到相似. 解：（1）过⊙O 的圆心作OE ⊥AC ，垂足为E .∴AE =x AC 2121=， OE =2224125x AE AO -=-． ∵∠DEO =∠AOB =90º，∴∠D =90º–∠EOD =∠AOE ，∴△ODE ∽△AOE . ∴AE AO OE OD =.∵OD =y+5， ∴25412552x x y =-+． ∴y 关于x 的函数解析式为xx x y 510052--=， 定义域为0<x<52；（2）当BD =31OB 时，y=53， ∴xx x 51005352--=，解得x=6． ∴AE =12x =3，OE =2253-=4． 当点O 1在线段OE 上时，O 1E=OE-OO 1=2， O 1A=222212313O E AE +=+=．当点O 1在线段EO 的延长线上时，O 1E=OE+OO 1=6.O 1A=222216335O E AE +=+=．∴⊙O 1的半径为13或53；（3）存在.当点C 为AB 的中点时，△DCB ∽△DOC ． 证明如下：∵当点C 为AB 的中点时，∠BOC=∠AOC=21∠AOB=45º. 又∵OA=OC=OB ，∴∠OCA=∠OCB =︒=︒-5.67245180， ∴∠DCB =180º–∠OCA –∠OCB=45º．∴∠DCB =∠BOC ．又∵∠D =∠D ，∴△DCB ∽△DOC ． ∴存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ．同步训练:1．如图1，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．联结MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处，直线M B 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ．． （1）当∠CMF =120°时，求BM 的长；（2）设BM=x ，CMF y ANF ∆=∆的周长的周长，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）联结NO ，与AC 边交于点E ，当△FMC ∽△AEO 时，求BM 的长．图12．梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =α（0°<α<90°），AB =DC =3，BC =5．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且∠APE =α．记∠P AB =∠1，∠EPC =∠2，BP =x ，CE =y ．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．图2OA BCMD NB 1 F备用图3．如图3，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，AC =4，AD 是BC 边上的高，点E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值； （2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由．4．如图4，正方形ABCD 的边长是4，M 是AD 的中点．动点E 在线段AB 上运动．联结EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，联结EG 、FG ． （1）求证：△GEF 是等腰三角形；（2）设AE=x 时，△EGF 的面积为y ．求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在点E 运动过程中△GEF 是否可以成为等边三角形？请说明理由．错误！未找到引用源。