吉大15春学期《概率论与数理统计》在线作业二答案

概1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。

解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=⨯===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=⨯+⨯=⋃==P X P363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=⨯+⨯+⨯=⋃⋃==P X P ……2P （X 2=1）=P （"1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃）=36112求X 的分布律。

解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P 3、进行重复独立试验。

设每次试验成功的概率为)10(<<p p（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X 表示所需试验的次数，此时称X 服从参数为p 的几何分布。

求X 的分布律。

（2） 将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需试验的次数，此时称Y 服从参数为r 、p 的巴斯卡分布。

求Y 的分布律。

解：（1）{},......2,1,)1(1=-==-k p p k X P k （k-1次未成功，最后一次成功）（2）{},......1,,)1(11+=-==---r r k p p C k X P rk r r k解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为15、（1）设随机变量X 的分布律为{}N k Nak X P .....,2,1,===试确定常数a（2）设随机变量X 的分布律为{}.....2,1,32=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==k b k X P k试确定常数b（3）设随机变量X 的分布律为{}0......2,1,0,!>=⋅==λλk k c k X P k为常数，试确定常数c 解：（1）{}111====∑∑==a Nak X P Nk Nk ， 1=∴a （2）{}1231323211==-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅==∑∑∞=∞=b b b k X P k kk ， 21=∴b（3）{}1!==⋅==∑∑∞=∞=λλe c k c k X P k kk ， λ-=∴e c6、设随机变量X 的分布律为{}5,4,3,2,1,15===k kk X P 其分布函数为)(x F ，试求：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P ， （2）{}21≤≤X P ， （3）⎪⎭⎫⎝⎛51F 解：（1）{}{}212521=+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<X P X P X P 51152151=+=（2）{}21≤≤X P {}{}21=+==X P X P 51152151=+= （3）⎪⎭⎫⎝⎛51F051=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=X P7、一大楼装有5个同类型的供水设备。

习题2.1解答1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。

从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X 、Y 如下：⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第11,0;,1X ⎩⎨⎧=。

次抽到次品第次抽到正品第22,0;,1Y试就下面两种情况求),(Y X 的联合概率分布和边缘概率分布。

（1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。

解 （1）依题知),(Y X 所有可能的取值为)1,1(),0,1(),1,0(),0,0(. 因为； 254104104)0|0()0()0,0(1101411014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256106104)0|1()0()1,0(1101611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 256104106)1|0()1()0,1(1101411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 259106106)1|1()1()1,1(1101611016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：（2）类似于（1），可求得； 15293104)0|0()0()0,0(191311014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15496104)0|1()0()1,0(191611014=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15494106)1|0()1()0,1(191411016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P ； 15595106)1|1()1()1,1(191511016=⨯=⋅===⋅====C C C C X Y P X P Y X P 所以),(Y X 的联合概率分布及关于X 、Y 边缘概率分布如下表为：2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。

概率论与数理统计答案
1. 概率论中，事件的概率是什么？
事件的概率是指该事件发生的可能性大小。

通常用0到1之间的数值表示，0表示不可能发生，1表示一定会发生。

2. 如何计算联合概率和条件概率？
联合概率指两个事件同时发生的概率，可以用乘法原理计算。

条件概率是指已知一个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率，可以用条件概率公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)来计算。

3. 如何计算期望和方差？
期望是指随机变量取值的平均值，可以用加权平均数来计算。

方差是指随机变量的取值与其期望之差的平方的平均数，可以用期望和平方的期望之差来计算。

4. 什么是正态分布？
正态分布是一种常见的连续概率分布，也称为高斯分布。

其具有对称、单峰、钟形曲线的特点，通过平均数和标准差来描述。

5. 如何进行假设检验？
假设检验是一种基于样本数据推断总体参数的方法。

通常先提出一个假设（原假设或备择假设），根据样本数据计算出一个统计量，然后根据这个统计量的概率分布来判断原假设是否成立。

吉林大学网络教育大作业1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解：设A 表示事件“仪器发生故障”，i=1,2,3 P(A)=)/()(31B B ii iA P P ∑=,P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)=)()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.35732．设连续型随机变量X 的分布函数为0,,()arcsin ,,(0)1,,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的概率．（3）X 的概率密度函数．解：（1）F （a+0）=A-2πB=0，F （a-0） =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π1 (2)P{-2a <X 2a }=F （2a ）-F(-2a -0)=31(3)f （x ）=F ，（X)={a | x |,,x^2-a^2π1<其他3．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.（1）求系数k ；（2）判断X 和Y 是否相互独立；（3）计算概率{}21P X Y <<；（4）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z . 解：（1）.由.2k ,1),(∞∞∞∞==⎰⎰+-+-得dxdy y x f（ 2）.相互独立。

概率论与数理统计试卷（C ）答案一. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共 5小题，每小题 3分，总计 15分 ） 1、B 2、A 3、C 4、A 5、D二. 填空题（将正确答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题 3分，总计15 分 ）6、0.4 7. 0 8、9 9、10、三. 计算题 （本大题每小题5分,共 25 分 ）11解：（1）设B=“取得的一件是不合格品”，A 1=.“取得的一件产品是甲厂生产的”， A 2=.“取得的一件产品是乙厂生产的”， A 3=.“取得的一件产品是丙厂生产的” 3厂的不合格品率分别为0.01，0.12，0.05，即 P(B| A 1)= 0.01，P(B| A 2)= 0.12，P(B| A 3)= 0.05 而P(A 1)=3/6，P(A 2)=1/6，P(A 3)=2/6。

由全概率公式得 313()()(|)...0.066612100101200541724i i i P B P PB A A ===⨯+⨯+⨯=≈∑ (2) 依题意，已知结果B 已发生，求第三个原因发生的概率，则利用Bayes 公式：2933602920161)B (P )|B (P )(P )B (P )B (P )B |(P A A A A 3333=⨯=== 12．解: (1)))))()))))())[))]]))]()122122222222E(Z E(X+Y E(X E(Y E(Z E(X-Y E(X E(Y D(Z E (X+Y E(X+Y E[(X-)+(Y-)E(X-E(Y-2E[(X-)(Y-)αβαβαβμαβαβαβμαβαβαμβμαμβμαβμμαβσ==+=+==-=-=-==++=+同理可得)())]]))[)()][)()]()()cov )))()()()()1222221222222222222222221212122222222222Z ZD(Z E(Z Z E[(X+Y)(X-Y)E[X Y E(X E(Y D(X E X D(Y E Y (Z ,Z E(Z Z E(Z )E(Z αβσαβαβαβαβαβαβσμαβσμαβμαβσρ=+==-=-=+-+=-+=-=-+--=-=()()()()2222222222αβσαβαβσαβ--==++(2)212120,,||||||||,1Z 220Z Z Z Z Z ραβαβαβ=-===当时不相关,即从而，故当时，不相关13．解：（1）据概率密度的性质知:(2)2(,)11()()1002221x y x y f x y dxdy Ae dxdyA e e A A +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞-∞-∞--==+∞+∞=⋅-⋅-=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰故（2）11(2)1122211,11)211()()()()11P(-1x y xyX Y e dxdyee e e e e -+------<<-<<==-⋅-=-⋅---⎰⎰(3)11(2)011122(1)00211)(,)212()2(1)021P(x y x y x y x x X Y f x y dxdy e dydxxe e dx e e dxe e -++≤-------+≤==-=-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)(2)0222,(,)2()()(1)(1)00(1)(1),0,0(,)0,.F()xyxyx y x y x y f d d e d d x ye e e e e e x y F x y μνμνμνμνμν-+-∞-∞------===-⋅-=--⎧-->>=⎨⎩⎰⎰⎰⎰故其它14．解：由题设，每一位乘客在第i 站下车的概率均为)9,...2,1i (91=。

2015-16（二）概率论与数理统计作业本答案第一章 随机事件及其概率§1.1频率与概率1.（1）ABC （2）)(C B A +（3）C B A ++（4）C B A C B A C B A ++ （5）ABC ABC ABC ABC +++（6）C B A C B A C B A C B A +++2.（1）{}15.0≤≤x x （2）{}5.11≤<x x （3）{}{}10 1.52x x x x -≤<<≤§1.2频率与概率1.0.82.(1)0.9(2)0.53.512 §1.3古典概型与几何概型1.310 2．（1）521（2）1021（3）1121 3．13214．34 5．（1）68.0（2）10.75ln 22-§1.4条件概率1．0.2，14 2．0.18 3．516 4．215 5．11105 6．196199 7．（1）79（2）45§1.5事件的独立性与伯努利概型1．（1）59（2）1663（3）16352．34 3．0.328 4．881 5．104.0第一章 练习题一、 填空题1．0.2 2．1936 3．25 4．35 5．3764一、 选择题1.C2.A3.A4.A5.B 二、 解答题1．（1）0.48（2）0.216（3）0.096（4）0.488 2．2930 3．154．（1）0.24（2）0.424 5．（1）4.0（2）1421690第二章 随机变量及其分布§2.2离散型随机变量及其概率分布1．1225，1219 2． 11273．4．6§2.3随机变量的分布函数1．（1） 0,11,112()5,1261,2x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2）12，0，122．（1）（2）0.9（3）673．（1） 12A =，1B π= （2）712§2.4连续性随机变量及其概率密度1．(1)0,12()24,121,2x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩（2）13 2．123．(1)1A =，1B =- (2)22,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩(3)21e --4．(1) 0.5328，0.6977，0.6826 (2)3（3）0.46 5．()5211e ---6．0.37127．更正：(),02,230,ax x f x b x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他，且53124P x ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭（1）14a =，3b =（2）220,01,028()713,23221,3x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤≤⎪⎪>⎩§2.5随机变量的函数的分布1．(1)(2)2. ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,010,21)(y y y f Y 3.1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他第二章 练习题一、填空题1．0.25 2．更正：()0,10.3,110.8,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 8.03．31e -- 4．0.5 5．1 6．80243二、选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A三、解答题1．2．(1) 112.935(2)56.943．{}11344k P X k -⎛⎫== ⎪⎝⎭(1,2,3,)k = ， 154．(1)16a =，56b =（2）5．（1）12（2）()0,211sin ,2221,2x F x x x x πππ⎧<-⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪>⎪⎩（36．(1)727（2）7．22,0()0,0yY y f y y -≥=<⎩8．（1）12A =，1B π=（2）22()0,x f x -<<=⎩其他（3）23第三章 多维随机变量及其分布§3.1 二维随机变量1.21,,22A B C πππ===3.(1)5k =(2) {}13P X Y +≤= (3) {}310P Y X >=§3.2 边缘分布1.(1)(2)0.4 （3）58（4）0.62. 21,0()0,x X e x F x -⎧->=⎨⎩其他，1,0,()0,y Y e y F y -⎧->=⎨⎩其他3.(1)⎩⎨⎧∈=其他,0),(,6),(Gy x y x f(2)26(),01()0,X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他, ),01()0,Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(3)213.3 随机变量的独立性1. 143,2525a b == X 与Y 不是相互独立的。

2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(二) 试卷本试卷共4页。

满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸. 2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑. 3．第二部分为非选择题必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。

4．合理安排答题空间。

超出答题区域无效。

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。

请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。

未涂、错涂或多涂均无分。

1．设事件4与B互不相容，且P(A)=0．4，P(B)=0．2，则P(A∪B)=A．0 B．O．2 C．O．4 D．O．62．设随机变量X～B(3，0.3)，则P{X=2}=A．0．1 89 B．0．2l C．0．441 D．0．7A．0．2 B．0．4 C．0．6 D．0．85．设二维随机变量(X,Y)的分布律为6．设随机变量X～N(3，22)，则E(2X+3)=A．3 B．6 C．9 D．157．设随机变量X，Y，相互独立，且，Y在区间上服从均匀分布，则第二部分非选择题二、填空题(本大题共l5小题。

每小题2分，共30分)请在答题卡上作答。

11．袋中有编号为0，l，2，3，4的5个球．今从袋中任取一球，取后放回；再从袋中任取一球，则取到两个0号球的概率为_______．12．设A,B为随机事件，则事件“A,B至少有一个发生”可由A，B表示为_______．13．设事件A,B相互独立，且P(A)=0．3，P(B)=0．4．则= _______．14．设X表示某射手在一次射击中命中目标的次数，该射手的命中率为0．9，则P{X=0}= _______．15．设随机变量X服从参数为单科自考包过：qq:18606240单科自考包过：qq:186062401的指数分布，则= _______．16．设二维随机变量(X，Y)的分布律为则c= _______．17．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(0，0;1，l；0)，则(X,Y)的概率密度F(x,y)= _______.18．设二维随机变量(X,Y)服从区域D：-l≤x≤2，0≤y≤2上的均匀分布，则(X,Y) 的概率密度f(x,y)在D上的表达式为_______．19．设X在区间上服从均匀分布，则E(X)= _______．20．设的= _______．21．设随机变量x与y的协方差= _______．22．在贝努利试验中，若事件A发生的概率为P(0<p<1)，今独立重复观察n次，记三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共l6分)请在答题卡上作答。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。

《概率论与数理统计》习题⼆答案《概率论与数理统计》习题及答案习题⼆1.⼀袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】故所求分布律为2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表⽰取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3)3.射⼿向⽬标独⽴地进⾏了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中⽬标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中⾄少击中2次的概率.【解】设X 表⽰击中⽬标的次数.则X =0，1，2，3.故X 的分布律为分布函数4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为试确定常数a .【解】（1）由分布律的性质知故 e a λ-= (2) 由分布律的性质知即 1a =.5.甲、⼄两⼈投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求：（1）两⼈投中次数相等的概率;（2）甲⽐⼄投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表⽰甲、⼄投中次数，则X~b （3，）,Y~b (3,(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+=6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任⼀飞机在某⼀时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独⽴的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某⼀时刻飞机需⽴即降落⽽没有空闲跑道的概率⼩于(每条跑道只能允许⼀架飞机降落)【解】设X 为某⼀时刻需⽴即降落的飞机数，则X ~b (200,，设机场需配备N 条跑道，则有即 2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利⽤泊松近似查表得N ≥9.故机场⾄少应配备9条跑道.7.有⼀繁忙的汽车站，每天有⼤量汽车通过，设每辆车在⼀天的某时段出事故的概率为,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不⼩于2的概率是多少（利⽤泊松定理）【解】设X 表⽰出事故的次数，则X ~b （1000，）8.已知在五重贝努⾥试验中成功的次数X 满⾜P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 13p =所以 4451210(4)C ()33243. 9.设事件A 在每⼀次试验中发⽣的概率为，当A 发⽣不少于3次时，指⽰灯发出信号，（1）进⾏了5次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率；（2）进⾏了7次独⽴试验，试求指⽰灯发出信号的概率.【解】（1）设X 表⽰5次独⽴试验中A 发⽣的次数，则X ~6（5，）(2) 令Y 表⽰7次独⽴试验中A 发⽣的次数，则Y~b （7，）10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，⽽与时间间隔起点⽆关（时间以⼩时计）.（1）求某⼀天中午12时⾄下午3时没收到呼救的概率；（2）求某⼀天中午12时⾄下午5时⾄少收到1次呼救的概率.【解】（1）32(0)e P X -== (2) 52(1)1(0)1e P X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=k kkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=.⽽ 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从⽽ 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,.利⽤泊松近似计算,得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 13.进⾏某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表⽰试验⾸次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =L L14.有2500名同⼀年龄和同社会阶层的⼈参加了保险公司的⼈寿保险.在⼀年中每个⼈死亡的概率为，每个参加保险的⼈在1⽉1⽇须交12元保险费，⽽在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿⾦.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1⽉1⽇，保险公司总收⼊为2500×12=30000元. 设1年中死亡⼈数为X ，则X~b (2500,，则所求概率为由于n 很⼤，p 很⼩，λ=np =5，故⽤泊松近似，有 (2) P (保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤ 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e ?|x |, ?∞求：（1）A 值；（2）P {0-∞=?得故 12A =.(2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==?当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x xx F x x x x ---∞-∞==+故 1e ,02()11e 02xx x F x x -?f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150⼩时内没有电⼦管损坏的概率；（2）在这段时间内有⼀只电⼦管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==?(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=?故 1001,100()0,0x F x xx ?-≥?=??在［0，a ］中任意⼩区间内的概率与这⼩区间长度成正⽐例，试求X 的分布函数.【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为故当x <0时F （x ）=0当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxx xF x f t t f t t t a a-∞====当x >a 时，F （x ）=1 即分布函数18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进⾏三次独⽴观测，求⾄少有两次的观测值⼤于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即19.设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗⼝等待服务，若超过10分钟他就离开.他⼀个⽉要到银⾏5次，以Y 表⽰⼀个⽉内他未等到服务⽽离开窗⼝的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}.【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为该顾客未等到服务⽽离开的概率为2~(5,e )Y b -,即其分布律为20.某⼈乘汽车去⽕车站乘⽕车，有两条路可⾛.第⼀条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第⼆条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）.（1）若动⾝时离⽕车开车只有1⼩时，问应⾛哪条路能乘上⽕车的把握⼤些（2）⼜若离⽕车开车时间只有45分钟，问应⾛哪条路赶上⽕车把握⼤些【解】（1）若⾛第⼀条路，X~N （40，102），则若⾛第⼆条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??<=<==++ 故⾛第⼆条路乘上⽕车的把握⼤些. （2）若X~N （40，102），则若X~N （50，42），则故⾛第⼀条路乘上⽕车的把握⼤些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2（2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---??<≤=<≤(2) c=322.由某机器⽣产的螺栓长度（cm ）X ~N （,）,规定长度在±内为合格品,求⼀螺栓为不合格品的概率.【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>23.⼀⼯⼚⽣产的电⼦管寿命X （⼩时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200＝≥，允许σ最⼤不超过多少【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??<≤=<≤故 4031.251.29F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d x xF x f t t f t t f t t -∞-∞==+ 当1≤x<2时()()d x F x f t t -∞=?当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==?故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x=??-+-≤26.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=a e ??|x |,λ>0;(2) f (x )=?,10,2其他x x x bx 试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=?知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-?>??=??≤??当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===??当x >0时0()()d e d e d 22x xxx F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+??2201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+得 b =1 即X 的密度函数为当x ≤0时F （x ）=0当00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+ 当1≤x <2时012011()()d 0d d d xx F x f x x x x x x x-∞-∞==++当x ≥2时F （x ）=1故其分布函数为27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=，求z α;（2）α=，求z α，/2z α. 【解】（1） ()0.01P X z α>=即 1()0.01z αΦ-= 即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2）由()0.003P X z α>=得即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得即 /2()0.9985z αΦ= 查表得 /2 2.96z α=求Y =X 2的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，9故Y 的分布律为29.设P {X =k }=(, k =1,2,…,令求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+L L30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤故 d ()()d Y Y XX f y F y f f y ?==+? ???(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ 故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =?2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e)1X P Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1即分布函数故Y 的密度函数为（2）由P （0当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤ 即分布函数故Z 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ?<试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当033.设随机变量X 的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项. 【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。

试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。

解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。

试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。

解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。

解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++；（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。