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第7章 参数估计7.6 (0-1)分布参数的区间估计

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概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件

概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

第七章 参数估计

第七章 参数估计

第七章 参数估计
1、正态总体、方差已知或非正态总体，大样本 当总体服从正态分布且方差已知时，或者总体不是正态分布但是大样本时，样本 均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值u，方差为Ϭ2/n。而样本均 值经过标准化以后的随机变量则服从标准正态分布，即 Z=(x-u)/(Ϭ/n0.5)~N(0,1) 根据上式和正态分布的性质可以得出总体均值u在1-α置信水平下的置信区间为： xα+是(-)事Z(α先/2)所(Ϭ确/n定0.5的)。而其一中个，概x率+Z值(α/2，) (Ϭ也/n称0.为5)为风置险信值上，限是，总x体-Z均(α/2值) (Ϭ不/包n0.含5)为在置置信信下区限间，的 概是率估；计1总- 体α称均为值置时信的水估平计，误Z差(α/。2) 是标准正态分布右侧面积为α/2的z值；Z(α/2) (Ϭ/n0.5) 也即是说，总体均值的置信区间由两个部分构成：点估计值和描述估计量精度的 +(-)值，这个+(-)值称为估计误差。
第七章 参数估计
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
其中，区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。
由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名 为置信区间。原因是：如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据 每一个样本构造了一个置信区间，这样，由100个样本构造的总体参数的100个置 信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没有包含，则95%这个值 称为置信水平。一般，如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总 体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。
自然使用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算一个好的估计量呢？ 统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要包括以下几个：

概率第7章 参数估计

概率第7章 参数估计
然而，这个方法常归功于 英国统 计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了 这一方 法，并首先研究了这 种方法的一些质 .
Gauss
Fisher
基本思想
甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中, 可以认为:甲射击技术优于乙射击技术. 事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了, 可以认为:事件A发生的概率为0.9. 实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量 检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在 获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观 察结果出现的可能性最大. 最大似然估计就是通过样本值 x1 , , x n 等数求得总体的 分布参数,使得 X1 ,, X n 取值为 x1 , , x n 的概率最大.
i
L( ) L( x1 , , x n ; ) f ( x i ; ),
i 1
n
的最大值，这里 ( )称为样本的似然函数 L .
ˆ 若 L( x 1 , , x n ; ) max L( x 1 , , x n ; )

ˆ 则称 ( x1 , , xn )为 的极大似然估计值 .
i
xi
在得到观测值 x1 ， x 2 ， ， x n 的前提下，自然 应当选取使得 n
f ( x ; )dx
i i 1
i
达到最大的 值作为未知参数 的估计值．
因为当未知参数 等于这个值时，出现给 定的那个 样本观测值的可能性最 大．
但 dxi 不随 而变，故只需考虑：
3.期望和方差的点估计 在实际中,常常以样本均值作为总体均值的 点估计,以样本方差作为总体方差的点估计. 期望的点估计: (1)无偏性 1 n 选择估计量 X X i n i 1 (2)样本容量越大,估计值 越有效 方差的点估计:

统计学第五版课后练答案(7-8章)

统计学第五版课后练答案(7-8章)

第七章 参数估计7.1 (1)x σ==(2)2x z α∆= 1.96=1.54957.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。

在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

x σ==(2)在95％的置信水平下，求估计误差。

x x t σ∆=⋅，由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度t=2z α 因此，x x t σ∆=⋅2x z ασ=⋅0.025x z σ=⋅=1.96×2.143=4.2 (3)如果样本均值为120元，求总体均值 的95％的置信区间。

置信区间为：2x z x z αα⎛-+ ⎝=()120 4.2,120 4.2-+=（115.8，124.2）7.322x z x z αα⎛-+ ⎝=104560±（87818.856,121301.144） 7.4 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x =81，s=12。

要求：大样本，样本均值服从正态分布：2,x N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 或2,s x N n μ⎛⎫⎪⎝⎭置信区间为：22x z x z αα⎛-+ ⎝=1.2 (1)构建μ的90％的置信区间。

2z α=0.05z =1.645，置信区间为：()81 1.645 1.2,81 1.645 1.2-⨯+⨯=（79.03，82.97）(2)构建μ的95％的置信区间。

2z α=0.025z =1.96，置信区间为：()81 1.96 1.2,81 1.96 1.2-⨯+⨯=（78.65，83.35）(3)构建μ的99％的置信区间。

2z α=0.005z =2.576，置信区间为：()81 2.576 1.2,81 2.576 1.2-⨯+⨯=（77.91，84.09）7.5 （1）2x z α±=25 1.96±=（24.114，25.886）（2）2x z α±119.6 2.326±=（113.184，126.016）（3）2x z α± 3.419 1.645±（3.136，3.702）7.6 （1）2x z α±=8900 1.96±=（8646.965，9153.035）（2）2x z α±8900 1.96±=（8734.35，9065.65）（3）2x z α±8900 1.645±=（8761.395，9038.605）（4）2x z α±8900 2.58±=（8681.95，9118.05）7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7 500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调解：（1）样本均值x =3.32，样本标准差s=1.611α-=0.9，t=2z α=0.05z =1.645，x z α± 3.32 1.645±=（2.88，3.76）1α-=0.95，t=z α=0.025z =1.96，x z α± 3.32 1.96±（2.79，3.85）1α-=0.99，t=z α=0.005z =2.576，2x z α± 3.32 2.76±（2.63，4.01）7.82x t α±=10 2.365±7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：10 3 14 86 9 12 117 5 1015 9 16 13 2假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95％的置信区间。

参数估计在数理统计学中总体的分布是未知的包括两种情形

参数估计在数理统计学中总体的分布是未知的包括两种情形
第12页
第七章 参数估计
1、 矩估计法原理： 以样本矩作为相应地总体矩的估计量; 以样本矩的连续函数作为相应地总体矩的连续函数 的估计量.
设总体 X的 l阶矩 : l E ( X )(l 1,2, , k )存在时 ,
l
由辛钦大数定理知:
1 n l Al X i n i 1
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的体重 估计废品率 估计湖中鱼数 在参数估计问题 中，假定总体分 估计降雨量 布形式已知，未 … 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
第 2页
第七章 参数估计
参数估计方法:
(1)根据抽自总体的样本 X 1 , X 2 , , X n 去确定参数 空间 中的一点作为 的值
l x p( x;1 ,, k ), l 1,2,, k.
第14页
第七章 参数估计
这是包含 k个未知参数 1， ， k 的联立方程组，
1 1 1 ， 2 ， ， k ， ， ， 2 2 1 2 k k k 1 ， 2 ， ， k
其中 1 , , k 是待估参数 , X 1 , , X n为来自 X的样本 .
1) 求总体 X 的 l 阶矩 :
l E ( X ) x f ( x;1 ,, k )dx, l 1,2,, k .
l l

或 l E ( X l )
xR X
------点估计
(2)确定中的某一小部分作为 的取值的范围
------区间估计
第 3页
第七章 参数估计 §1 点估计 §3 估计量的评选标准 §4 区间估计 §5 正态总体均值与方差的区间估计 §6 (0-1)分布参数的区间估计 §7 单侧置信区间

(完整版)(0-1)分布参数的区间估计

(完整版)(0-1)分布参数的区间估计

对给定的置信水平1 ，确定分位数t (n 1)
使
P{ X S


n

t (n 1)}
1
即
P{ X t (n 1)
S }1
n
于是得到 的置信水平为 1 的单侧置
信区间为
[ X t (n 1)
S , ] n
即 的置信水平为 1 的单侧置信下限为
第六节 （0-1）分布参数的区间估计
设总体X~B(1,p), X1,X2,…,Xn 为一组简单样本，
n
由中心极限定理得
Xi np
i 1
近似服从
N (0, 1)
np(1 p)
φ(x)
α/2
α/2
-zα/2
zα/2
X
1-α
n
Xi np
故
P{ Z / 2

i 1
np(1
p)
P{ ˆ1} 1
则称区间 [ˆ1, )是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间. ˆ1 称为单侧置信下限.
又若统计量 ˆ2 ˆ2( X1, X2, , Xn) 满足
P{ ˆ2 } 1
则称区间(,ˆ2 ]是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间. ˆ2 称为单侧置信上限.
解 一级品率p是（0-1）分布的参数.
n 100, x 0.6, z /2 1.96
p的1-α置信区间: (0.5, 0.69)
第七节 单侧置信区间
设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量
ˆ1 ˆ1( X1, X2, , Xn) 满足
X t (n 1)
S n
将样本值代入得

统计学原理：第7章 参数估计

7 - 25
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差

心理及教育统计学第7章参数估计

第七章 参数估计
章节内容
第一节 点估计、区间估计及标准误 第二节 总体平均数的估计 第三节 标准差与方差的区间估计 第四节 相关系数的区间估计 第五节 比率及比率差异的区间估计
总体参数估计：在研究中从样本获得一组数 据后，通过这组信息，对总体特征进行估计， 即从局部结果推论总体的情况。
总体参数估计分点估计和区间估计两种。
7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7 7 8 2 . 2 6 2 2 . 6 7
71.9684.04
当n2=36时，df2=35，t0.05/2=2.042
7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2 7 9 2 . 0 4 2 1 . 5 2
75.982.1
【例7-4】
根据n2=36的样本估计总体参数μ：
0.95的置信区间 7 8 1 . 9 6 1 . 1 8 7 9 1 . 9 6 1 . 1 8
76.781.3
0.99的置信区间
7 9 2 . 5 8 1 . 1 8 7 9 2 . 5 8 1 . 1 8
75.782.04
83.686.4
总体方差σ2未知，对总体平均数的估计
总体方差未知，用样本的无偏方差(
s
2 n 1
)作为总体
方差的估计值，实现对总体平均数μ的估计。因为在总
体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，故应查t值
表，确定t/2或t(1－)/2。
有两种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n之大小。
（2）总体分布为非正态时，只有n＞30，才能用概率对 其抽样分布进行解释，否则不能推论。
0.05水平和0.01水平是人们习惯上常用的两个显著性 水平。
区间估计的原理是抽样分布理论。在计算区间估计值， 解释估计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分 布规律及抽样分布的标准误(SE)。

概率论与数理统计教学日历

临沂大学
教学日历
2016—2017学年度第一学期
课程概率论与数理统计
理学院电子信息工程技术专业2017级专科1、2班
任课教师职称副教授
辅导教师职称
周数16周学时3
讲课48课时实习课时
实验0课时复习考试课时
其他课时总时数课时
采用教材《概率论与数理统计》，盛骤,谢式千等
考核方法考试
制定时间：2016年8月27日
第十七周
第十七周
第十八周
本 日 历 完 成
情 况
（7）
承 担 的 教 学
工 作 量 总 计
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
从 事 的 科 研 、
编 写 教 材 、实
验 室 建 设 工 作
（9）
其他（进修、外出
兼课、讲学、病修
等情况）
（10）
教研室检查
鉴定意见
（11）
系（院）检查
鉴 定 意 见
（12）
备注
附注：1、本日历一式两份，一份存系（院）办公室，一份由讲授者保存。
6.2 直方图和箱线图
6.3 抽样分布
重点：总体，统计量，卡方分布、t分布和F分布，正态分布的常用抽样定理
难点：卡方分布、t分布和F分布
第十二周
第七章 参数估计
7.1 点估计
重点：点估计的概念，矩估计法和最大似然估计法
难点：最大似然估计法
第十三周
7.2 基于截尾样本的最大似然估计
7.3 估计量的评选标准
重点：两个随机变量和的分布,
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布，数学期望定义和计算公式
难点：两个连续型随机变量和的分布，M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布

统计学 第七章 参数估计


[
]
2 χα (n) （n）的α 分位数，记为k≜ n k≜
抽样分布
（3）性质 • 若X服从χ2 （n），则均值E（X）=n ，方差 D（X） =2n 。 • χ2分布具有可加性。若 X1，X2相互独立，
X1～ χ2（n1） ，X2～χ２（n2）
则（X1＋X2）～χ２（ｎ１＋n２） • 当ｎ→∞时，χ２分布渐进于正态分布
σ
2
~ χ (n −1)
2
第三节两个总体参数的区 间估计（112页）
• • • • • • • 一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于ｔ分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等， 但样本容量相等，近似于ｔ分布 • （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不 等，近似于ｔ分布，自由度为V
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x ＝1000小时
σ＝50 （小时）
µ x＝
σ
n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据∆x＝t×µx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x − ∆ x＝1000－9.8＝990.（小时） 2 • 下限 x ＋∆ x＝1000＋9.8＝1009 .（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。
f (x;θ ) 其中 θ
或概率密度为
是未知参数。 是未知参数。
如何求极大似然估 计量呢？ 计量呢？
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∑ X i − np i =1
=
n
由中心极限定理知 中心极限定理知
nX − np = np(1 − p ) np(1 − p )
近似地服从 N ( 0,1) 分布, 于是有
nX − np P − zα / 2 < < zα / 2 ≈ 1 − α , np(1 − p )
而不等式
− zα / 2
nX − np < < zα / 2 np(1 − p )
2 2 (n + zα / 2 ) p2 − (2nX + zα / 2 ) p + nX 2 < 0, 等价于 Nhomakorabea记
− b − b − 4ac , p1 = 2a 2a
2
2
− b + b2 − 4ac , p2 = 2a 2a
2
的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69). 故p 的置信水平为 的置信区间为
补充例题
2 a = n + zα / 2 = 103.84,
则
2 2 b = − ( 2nX + zα / 2 ) = − ( 2nx + zα / 2 ) = − 123.84,
c = nX 2= nx 2= 36,
于是
− b − b 2 − 4ac = 0.50, p1 = 2a − b + b 2 − 4ac = 0.69, p2 = 2a
第六节 ( 0 − 1 )分布参数的区 间估计
一、置信区间公式 二、典型例题
一、置信区间公式
设有一容量 n > 50的大样本 , 它来自(0 − 1) 分 的大样本
布的总体 X , X 的分布律为 f ( x; p) = p x (1 − p )1− x ,
x = 0, 1, 其中 p 为未知参数 , 现在来求 p 的置信水
c = nX 2 . 其中 a = n + zα / 2 , b = − ( 2nX + zα / 2 ),
于是 p 的近似置信水平为 1 − α 的置信区间是
( p1, p2 ).
二、典型例题
例1 设从一大批产品的 设从一大批产品的100个样品中 得一级品 个样品中, 个样品中 60个, 求这批产品的一级品率 p 的置信水平为 个 的置信水平为0.95 的置信区间. 的置信区间 解 一级品率p是(0-1)分布的参数, (0-1)分布的参数 分布的参数, 60 = 0. 6, n = 100, x= 100 zα / 2 = z 0.025 = 1.96, 1 − α = 0.95,
平为1 − α 的置信区间.
− b − b2 − 4ac − b + b2 − 4ac , , 2a 2a
2 2 其中 a = n + zα / 2 , b = −( 2nX + zα / 2 ), c = nX 2 .
推导过程 因为(0–1)分布的均值和方差分别为 分布的均值和方差分别为 因为 µ = p, σ 2 = p(1 − p), 因为容量n较大 较大, 设 X 1 , X 2 ,L, X n 是一个样本 , 因为容量 较大