第三讲距离与排序

2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )．A． B．C． D．2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )．A．4 B．2 C．1 D．3．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为__________．4．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.5．设a＋b＝1，则a2＋b2≥__________.6．已知a＞b＞c，求证：.7．设a，b，c＞0，且a cos2θ＋b sin2θ＜c.求证：.8．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：.参考答案1.答案：B解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；当，时，.2.答案：A解析：222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．3.答案：解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z. 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数，使b＝k a时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2，∴|x－2z|≤.∴≤x－2z≤，即≤a ·b ≤.∴a ·b 的最大值为.4. 答案：－18 (4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a ||b |， ∴|a ·b |≤18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．5. 答案：解析：(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ×1＋b ×1)2＝1，∴a 2＋b 2≥，当且仅当a ＝b ＝时，等号成立．6. 证明：＝[(a －b )＋(b －c )]2222]＝24≥＝，即a －b ＝b －c 时，等号成立．∴原不等式成立．7. 证明：由柯西不等式及题设，得2cos sin )θθθθ2222))](cos sin )θθθθ≤＋＋＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c.sin sin θθθθ，即a ＝b 时，等号成立．∴.8. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)2222]＝2≥＝(a 1＋a 2)2，当且仅当，即b 1＝b 2时，等号成立．∴原不等式成立．9. 证明：设，n ＝(cos θ，sin θ)． 则||cos sin cos sin a b a b θθθθ＋＝＋ ＝|m·n |≤|m ||n |，∴.。

按距离排序规则(详细版)概述在许多情况下，需要根据地理位置的距离来进行排序。

本文档详细介绍了按距离排序的规则和步骤。

步骤按距离排序可以分为以下步骤：1. 确定参考地点：首先，要确定一个参考地点，将其他地点与该地点进行比较。

这可以是一个具体的地址、城市或者坐标点。

2. 收集地理位置数据：获取需要排序的地点的地理位置数据。

这可以通过不同的途径实现，比如使用GPS定位或者地理位置数据的API。

3. 计算距离：使用收集到的地理位置数据，计算每个地点与参考地点之间的距离。

常用的方法包括欧式距离、曼哈顿距离或者哈弗斯特距离等。

4. 排序地点：根据计算得到的距离，对地点进行排序。

可以按照距离的升序或者降序进行排序。

示例以下是一个按距离排序的示例：1. 参考地点：某城市的市中心广场。

2. 地点数据：- 地点A：某餐馆，坐标(39.92, 116.46)。

- 地点B：某博物馆，坐标(39.91, 116.37)。

- 地点C：某公园，坐标(39.95, 116.42)。

3. 计算距离：使用欧式距离公式，计算每个地点与市中心广场之间的距离。

- 距离A = sqrt((39.92 - 39.91)^2 + (116.46 - 116.37)^2)- 距离B = sqrt((39.91 - 39.91)^2 + (116.37 - 116.37)^2)- 距离C = sqrt((39.95 - 39.91)^2 + (116.42 - 116.37)^2)4. 排序地点：根据计算得到的距离，对地点进行排序。

- 距离最近的地点是A。

- 距离次近的地点是C。

- 距离最远的地点是B。

这样，按距离排序的结果就得出了。

结论按距离排序是一种常用的排序规则，能够基于地理位置的距离对数据进行排序。

本文档提供了详细的排序步骤和示例，以帮助实现按距离排序的功能。

——教学资料参考参考范本——高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第3节排序不等式创新应用教学案新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门[核心必知]1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋…＋anbn)2，当且仅当bi ＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．[问题思考]1．在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ai·bi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以，ai·bi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致．2．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1，2，3，…，n)，可以吗？提示：不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋>.[精讲详析] 本题考查三维形式的柯西不等式的应用．解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决．构造两组数，，c＋a；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因题设，a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋>.——————————————————柯西不等式的结构特征可以记为(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2，其中ai，bi∈R＋(i＝1，2，…，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键．1．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋b2c ＋c2a ()a＋b＋c＝·[()2＋()2＋()2]≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ·b ＋b c ·c ＋c a ·a 2＝(a ＋b ＋c)2，即(a ＋b ＋c)≥(a＋b ＋c)2， 又a ，b ，c∈R＋， ∴a ＋b ＋c>0，∴＋＋≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋a n b n为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：b3c3＋c3a3＋a3b3≥a＋b＋c.分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．∵a≥b>0，∴1a ≤1b.又c>0，从而1bc ≥1 ca.同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5 b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3⎝⎛⎭⎪⎫∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n. 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤…≤x n.由排序原理，得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n.①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n的一个排列， 由排序原理，得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋xn －1·x ＋x n·1，得x ＋x 3＋…＋x2n －1＋x n≥(n ＋1)x n.②将①②相加，得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n≥(2n ＋1)x n.在△ABC 中，试证：3≤a ＋b ＋c.可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≥n .证明：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a1≥1a2≥…≥1an. 因为1c1，1c2，…，1cn 是1a1，1a2，…，1an 的一个排列，由排序原理，得a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ≤a 1·1c1＋a 2·1c2＋…＋a n ·1cn ，即a1c1＋a2c2＋…＋an cn≥n .4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a1a2＋a2a3＋…＋an －1an.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c1>1c2>…>1cn －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an －1an ≥b1c1＋b2c2＋…＋bn －1cn －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 2＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >BB ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 2＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________元．( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28. 答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB≥aB＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a4＋b4＋c4abc .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc . 根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .① 又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x＋y 2·1y＋z 2·1z≤x 2·1y＋y 2·1z＋z 2·1x，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x2＋y2z ＋y2＋z2x ＋z2＋x2y ，于是x ＋y ＋z ≤x2＋y22z ＋y2＋z22x ＋z2＋x22y.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验(陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤3＋4－t＋t＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t)max ＝4.1122n n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观，对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.由柯西不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2⎝ ⎛ 1b2＋1c2＋⎭⎪⎫1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2， 于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad ⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da.关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简便．设a ，b ，c 为实数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c，再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a .② 由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ≥⎝⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时，等号成立．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1的最小值．不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x1≥1x2≥…≥1xn>0，且0<x 21≤x 2≤…≤x 2n . ∵1x2，1x3，…，1xn ，1x1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1xn 的一个排列， 根据排序不等式，得F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2nx1≥x 21·1x1＋x 2·1x2＋…＋x 2n ·1xn＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时，等号成立．即F ＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n －1xn ＋x2n x1的最小值为P .。

第三讲柯西不等式与排序不等式学习目标：1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系．2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用．重点：柯西不等式及排序不等式的应用.难点：利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略：这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。

学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。

知识要点梳理一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则（当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。

（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）②若a、b、c、d都是正实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）③若a、b、c、d都是实数，则（当且仅当ad=bc时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。

2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。

二：排序不等式（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则≤≤即：反序和≤乱序和≤顺序和．当且仅当时，反序和等于顺序和。

注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大．反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列．方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。

第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法．1．二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x21＋y21＋x22＋y22≥错误!. 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 3．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n .类型一 利用柯西不等式证明不等式例1 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da .证明 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2＋1c2＋1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da .①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad⇔a ＝b ＝c ＝d . 又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da . 反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 2＋…＋a 2n )·(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．跟踪训练1 若n 是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.证明 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞错误!＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜错误! ＜n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22.综上，47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.类型二 利用排序不等式证明不等式例2 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3. 证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.引申探究若本例条件不变，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ， 有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择．(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．跟踪训练2 设a ，b ，c 为正数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明 由a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .①又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c ，再次由排序不等式，得a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a . ②由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.类型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值例3 (1)求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． (1)解 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56.(2)设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是互不相同的正整数，求M ＝a 1＋a222＋a332＋a442＋a552的最小值．解 设b 1，b 2，b 3，b 4，b 5是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的一个排列，且b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 因此b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，b 4≥4，b 5≥5. 又1≥122≥132≥142≥152.由排序不等式，得a 1＋a222＋a332＋a442＋a552≥b 1＋b222＋b332＋b442＋b552≥1×1＋2×122＋3×132＋4×142＋5×152＝1＋12＋13＋14＋15＝13760.即M 的最小值为13760.反思与感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． 跟踪训练3 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12错误!12＝错误!. 故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－3 D ．3答案 D解析 y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x)2＋(2x ＋1)2] ＝3×3＝9.∴y ≤3，y 的最大值为3.2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. ∴5－a 2≥(3－a )2. 解得1≤a ≤2.验证：当a ＝2时，等号成立．3．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B解析 由柯西不等式得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，等号成立，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.4．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则1a ≤1b ≤1c，ab ≥ac ≥bc ， ∵bc a ＋ac b ＋ab c ≥bc c ＋ac a ＋abb ＝a ＋b ＋c ， ∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式． 2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．4．数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系．一、选择题1．已知a ，b 是给定的正数，则4a2sin2α＋b2cos2α的最小值为( )A ．2a 2＋b 2B ．2abC ．(2a ＋b )2D ．4ab答案 C 解析4a2sin2α＋b2cos2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a2sin2α＋b2cos2α≥⎝⎛⎭⎪⎫sin α·2a sin α＋cos α·b cos α2＝(2a ＋b )2， 当且仅当sin α·b cos α＝cos α·2asin α时，等号成立．故4a2sin2α＋b2cos2α的最小值为(2a ＋b )2.2．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2的最小值为( )A ．4B ．42C ．6D ．6 2 答案 C解析 ∵a ，b ，c 为正数，∴2a2＋b2＝1＋1a2＋b2≥a ＋b .同理2b2＋c2≥b ＋c ，2c2＋a2≥c ＋a ， 相加得2(a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2) ≥2(b ＋c ＋a )＝62，即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号．3．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18 D ．28答案 A解析 根据柯西不等式，得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2， ∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 4．已知x ，y ，z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 答案 A解析 ∵(3x ＋6y ＋5z )2≤[12＋(3)2＋(5)2]·[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]＝9(9x 2＋12y 2＋5z 2)＝81，当且仅当3x ＝2y ＝z 时，等号成立． 故u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值为9.5．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值为( )A ．5B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥(1＋1＋1)2＝9，因为1x ＋2y ＋3z ＝1，所以x ＋y 2＋z3≥9.即x ＋y 2＋z3的最小值为9.6．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a1c1＋a2c2＋…＋ancn 的最小值是( ) A ．n B.1n C.nD ．2n答案 A解析 不妨设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0， 则1a1≤1a2≤…≤1an ， 由排序不等式知，a1c1＋a2c2＋…＋an cn ≥a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ＝n . 二、填空题7．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________． 答案 P ≤Q解析 由柯西不等式得P ＝am·b m ＋nc·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ，当且仅当am·dn ＝nc·bm时，等号成立，∴P ≤Q .8．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________． 答案 －6解析 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2， 故(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36.当且仅当x 1＝y －2＝z 2＝k ，k ＝±23时，上式取得等号，当k ＝－23时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.9．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．答案 x ＋y ＋z ＝3 3解析 利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3.由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9， 得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号．10．若a ，b ，c ∈R ，设x ＝a 3＋b 3＋c 3，y ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则x ，y 的大小关系为________． 答案 x ≥y解析 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和，a 2b ＋b 2c ＋c 2a 都是乱序和，a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 三、解答题11．(2018·江苏)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4， 当且仅当x 1＝y 2＝z2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.12．已知a ，b ，c 为正数，求证：b2c2＋c2a2＋a2b2a ＋b ＋c ≥abc .证明 考虑到正数a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ， 由排序不等式知，顺序和≥乱序和， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ab b ＋bc c ＋ca a ， 即b2c2＋c2a2＋a2b2abc≥a ＋b ＋c .∵a，b，c为正数，∴两边同乘以abca＋b＋c，得b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc.13．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，令S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c，求证：1＜S ＜2.证明 首先证明b a ＜b ＋m a ＋m(a ＞b ＞0，m ＞0)． 因为b a －b ＋m a ＋m＝错误! ＝错误!＜0，所以S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c＜错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝2，所以S ＜2.又S ＞a a ＋b ＋d ＋c ＋b b ＋c ＋a ＋d ＋c c ＋d ＋b ＋a＋ d d ＋a ＋c ＋b ＝a ＋b ＋c ＋d a ＋b ＋c ＋d＝1， 所以1＜S ＜2.四、探究与拓展14．已知5a 2＋3b 2＝158，则a 2＋2ab ＋b 2的最大值为________． 答案 1解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， 当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时取等号． ∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.15．已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0.(1)求证：a 2＋14b 2＋19c 2≥错误!； (2)求实数m 的取值范围．(1)证明 由柯西不等式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，当且仅当a ＝14b ＝19c 时，等号成立， 即⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2＋19c2×14≥(a ＋b ＋c )2， ∴a 2＋14b 2＋19c 2≥错误!. (2)解 由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ，∴由(1)可知，14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，解得－52≤m ≤1. 又∵a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ≥0，∴m ≤1， ∴－52≤m ≤1. 即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，1.。

数学距离问题知识点总结一、基本概念1.1 距离的定义在数学中，距离通常定义为一个非负实数，用来度量两个点之间的距离。

具体来说，设X是一个集合，d是定义在X×X上的函数，如果对于任意的x，y，z∈X，满足以下条件：1）非负性：d(x, y) ≥ 0，且d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)。

那么d称为X上的一个距离。

这里的X称为度量空间，d称为度量，(X, d)则称为距离空间。

1.2 距离的性质距离具有许多重要的性质，其中一些是基本的，一些则是从距离的定义可以推出的。

一般来说，距离具有以下性质：1）恒等性：d(x, y) = 0当且仅当x = y；2）对称性：d(x, y) = d(y, x)；3）三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)；4）三点共线定理：如果三个点在一条直线上，那么它们之间的两两距离之和等于它们之间最远的距离。

1.3 距离空间的例子距离空间是一个非常广泛的概念，它包括了很多不同的数学结构。

以下是一些常见的距离空间的例子：1）欧几里得空间：最常见的距离空间是欧几里得空间，它是一个n维实数向量空间R^n，其中的距离定义为：d(x, y) = √((x1 - y1)^2 + (x2 - y2)^2 + ... + (xn - yn)^2)。

2）离散度量空间：X上的一个距离d称为离散度量，如果对于任意的x，y∈X，有d(x, y) = 1当且仅当x ≠ y。

这种距离空间又称为离散空间。

3）度量的子空间：如果(X, d)是一个距离空间，Y是X的一个子集，那么(Y, d|Y×Y)也是一个距离空间，其中d|Y×Y表示距离d在Y×Y上的限制。

1.4 距离的扩展在一些情况下，我们可以把距离的定义扩展到更一般的情况。

三 排序不等式学习目标 1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点 排序不等式思考1 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案 (1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案． (2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多； 5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少． 思考 2 如图，∠POQ ＝60°，比较112233A OB A OB A OB S SS++与132231A OB A OB A OB SSS++的大小．答案 112233132231.A OB A OB A OB A OB A OB A OB SSSSSS++>++梳理 (1)顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组：a 1≤a 2≤…≤a n ；b 1≤b 2≤…≤b n ，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任意一个排列．①乱序和：S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n . ②反序和：S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1. ③顺序和：S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . (2)排序不等式(排序原理)设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．类型一 利用排序不等式证明不等式 命题角度1 字母已定序问题例1 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c.证明 ∵a ≥b ＞0，于是1a ≤1b，又c ＞0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝ ⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b3 ＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c.∴原不等式成立．反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． 跟踪训练1 已知0＜a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明 因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c＞0， 又0＜a 2≤b 2≤c 2， 所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．命题角度2 字母大小顺序不定问题 例2 已知a ，b ，c 均为正数，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．证明 由不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 所以a 2≥b 2≥c 2，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由顺序和≥乱序和得到两个不等式：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b， 注意到b 2＋c 2b ＋c ≥12(b ＋c )，c 2＋a 2c ＋a ≥12(c ＋a )，a 2＋b 2a ＋b ≥12(a ＋b )， 所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(b ＋c )＋12(c ＋a )＋12(a ＋b ) ＝a ＋b ＋c . 故a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥12(a ＋b ＋c )．反思与感悟 对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2 设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明：a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ， 则a 5≤b 5≤c 5，1c 2≤1b 2≤1a2，所以由排序不等式可得a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5c 2＋b 5a 2＋c 5b2，a 3＋b 3＋c 3＝a 5a 2＋b 5b 2＋c 5c 2≤a 5b 2＋b 5c 2＋c 5a2，所以a 3＋b 3＋c 3≤b 5＋c 52a 2＋c 5＋a 52b 2＋a 5＋b 52c2.类型二 利用排序不等式求最值 例3 设a ，b ，c 为任意正数，求ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b的最小值．解 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ， 1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ， 由排序不等式，得a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b ， ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b ≥cb ＋c ＋ac ＋a ＋ba ＋b，上述两式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 取最小值32.反思与感悟 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值． 跟踪训练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加，得2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a ，b ，c 均为正数，且P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ≥Q C ．P ＜Q D ．P ≤Q 答案 B解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2＞0.由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，所以P ≥Q .2．已知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11.将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值是( ) A ．324 B ．314 C ．304 D ．212答案 C解析 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5≤a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋a 4b 4＋a 5b 5 ＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n 个正数与这n 个正数的倒数的乘积的和的最小值为________． 答案 n解析 设0＜a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ， 则0＜a －1n ≤a －1n －1≤…≤a －11，则由排序不等式得，反序和≤乱序和≤顺序和． 故最小值为反序和a 1·a －11＋a 2·a －12＋…＋a n ·a －1n ＝n .4．设a ，b 都是正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.证明 由题意不妨设a ≥b ＞0. 则a 2≥b 2，1b ≥1a ，所以a 2b ≥b2a.根据排序不等式知，a 2b ·1b ＋b 2a ·1a≥a 2b ·1a ＋b 2a ·1b， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥a b ＋b a.1．对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常理”的顺序了． 2．排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小． 3．排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列，即a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝b 3＝…＝b n . 4．排序原理的思想在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．一、选择题1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 根据排序原理，反序和最小，即az ＋by ＋cx 最小．2．已知a ，b ，c ＞0，则a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )的正负情况是( ) A ．大于零B ．大于零或等于零C ．小于零D ．小于零或等于零答案 B解析 当a ＝b ＝c ＝1时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝0，当a ＝1，b ＝2，c ＝3时，a 2(a 2－bc )＋b 2(b 2－ac )＋c 2(c 2－ab )＝62.3．设a ，b ，c 都是正数，则式子M ＝a 5＋b 5＋c 5－a 3bc －b 3ac －c 3ab 与0的大小关系是( ) A ．M ≥0 B ．M ≤0C ．M 与0的大小关系与a ，b ，c 的大小有关D ．不能确定 答案 A解析 不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则a 3≥b 3≥c 3，且a 4≥b 4≥c 4， 则a 5＋b 5＋c 5＝a ·a 4＋b ·b 4＋c ·c 4≥a ·c 4＋b ·a 4＋c ·b 4. ∵a 3≥b 3≥c 3， 且ab ≥ac ≥bc ，∴a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3·ab ＋b 3·bc ＋c 3·ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .∴a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab . ∴M ≥0.4．在锐角三角形ABC 中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定答案 C解析 不妨设A ≥B ≥C ， 则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ， 则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥b cos A ＋c cos B ＋a cos C＝R (2sin B cos A ＋2sin C cos B ＋2sin A cos C )， 上面两式相加，得Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥12R (2sin A cos B ＋2sin B cos A ＋2sin B cos C ＋2sin C cos B ＋2sin C cos A ＋2sin A cos C ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.5．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E ＜F B ．E ≥F C ．E ＝F D ．E ≤F 答案 B解析 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0， 则1a 1≤1a 2≤1a 3且a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，∴a 1a 2a 3＋a 1a 3a 2＋a 2a 3a 1≥1a 1·a 1a 2＋1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1 ＝a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F .6．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋xy 3，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N 答案 B 解析 ∵x ≥y ， ∴x 3≥y 3.∴M ＝x ·x 3＋y ·y 3≥x 3·y ＋y 3·x ＝x 3y ＋y 3x ＝N . 二、填空题7．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________． 答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.8．5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4min,8min,6min ，10min ，5min ，统筹安排这5个人接水的顺序，则他们等待的总时间最少为________min. 答案 84解析 5个人按接水时间为4 min,5 min,6 min,8 min ，10 min 的顺序进行接水时等待的总时间最少，为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．9．在Rt△ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________． 答案 aA ＋bB ≥π4(a ＋b )解析 不妨设a ≥b ＞0， 则A ≥B ＞0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B )＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．10．设a 1，a 2，…，a n 为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝5，则a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1的最小值为________． 答案 5解析 由所求代数式的对称性， 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ， 所以a 21≤a 22≤…≤a 2n ， 1a 1≥1a 2≥…≥1a n，而1a 2，1a 3，…，1a n ，1a 1为1a 1，1a 2，1a 3，…，1a n 的一个排列，由乱序和≥反序和，得a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n ＝5.三、解答题11．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a 2a b 2b c 2c≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， 所以a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，所以2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c ≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， 所以lg(a 2a·b 2b·c 2c)≥lg(ab ＋c·ba ＋c·ca ＋b)，故a 2a b 2b c 2c ≥ab ＋c b c ＋a c a ＋b.12．设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数，求证： 1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2. 证明 设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排列，且满足b 1＜b 2＜…＜b n . 因为b 1，b 2，…，b n 是互不相等的正整数， 故b 1≥1，b 2≥2，…，b n ≥n . 又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，故由排序不等式，得a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2≥b 1＋b 222＋b 332＋…＋b nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n.13．已知0＜α＜β＜γ＜π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明 ∵0＜α＜β＜γ＜π2，且y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0＜sin α＜sin β＜sin γ，cos α＞cos β＞cos γ＞0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α＞sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)． 四、探究与拓展14．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.证明 由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0＜x ≤y ≤z ， 于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x，由反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x， 将上面两式相加得 2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y， 于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 15．设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .证明 (1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n .由排序原理知，1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥x n ·1＋xn －1·x ＋…＋1·x n ， 所以1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .① 又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排序，于是由排序原理得1·x ＋x ·x2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·xn －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1， 所以x ＋x 3＋…＋x2n －1≥nx n .② ①＋②，得 1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .(2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n ，同理可得结论．综合(1)与(2)可知，当x ＞0时，1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。