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数学（C3）目录第一章函数Functions1.1函数的定义域及值域Domain and range of a function1.2 映射Mappings1.3 模函数Modulus function1.4 复合函数Composite functions1.5 反函数Inverse functions1.6 反三角函数Inverse trigonometric functions复习练习1第二章微分Differentiation2.1 求复合函数的微分Function of a function2.2 求复合函数的积分Inverse function of a function2.3 乘积法则Product rule2.4 除法法则Quotient rule2.5 x关于y 的函数x as a function of y2.6 应用Applications复习练习2第三章三角函数Trigonometric functions3.1函数cosecθ，secθ和cotθThe functions cosecθ，secθand cotθ3.2 三角方程Trigonometric equations3.3 标准三角恒等式Standard trigonometric identities3.4 三角恒等式的证明Proving trigonometric identities3.5 对sinx, cosx, tanx 求微分Differentiation of sinx, cosx, and tanx3.6 乘积法则与商法则Products and quotients3.7 应用Applications复习练习3第四章指数函数与对数函数Exponentials and logarithms4.1 指数函数的微分与积分Differentiating and intergrating exponential functions 4.2 自然对数Natural Logarithms4.3 乘积法则与商法则products and quotients4.4 应用Applications复习练习4第五章积分Integration5.1 换元积分法Integration by substitution5.2.定积分Definite integrals5.3 分部积分法Integration by parts5.4 标准积分Standard integrals5.5 应用applications5.6 综合题Mixed problem复习练习5第六章.数值方法 Numerical methods 6.1 方程的数值解Numerical solution of equations6.2 迭代法Iterative methods6.3 数值积分Numerical integration复习练习6 Revision exercise 7综合练习第一章 函数 Chapter 1 Functions本章内容包括：1.1函数的定义域及值域 Domain and range of a function 1.2 映射 Mappings1.3 模函数 Modulus function1.4 复合函数 Composite functions 1.5 反函数 Inverse functions1.6 反三角函数 Inverse trigonometric functions学完本章后你应该掌握：1. 会判断函数的定义域及值域2. 识别和应用模函数3. 求复合函数和反函数4. 理解并会应用反三角函数1.1 函数的定义域及值域 Domain and range of a function一个曲线方程可以表达成: y=‘x 的表达式’或者使用函数符号(functional notation): y=f(x)例1： 可以把2y x =写成2()f x x =。
中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。
接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。
一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。
这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。
1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。
一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。
2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。
可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。
这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。
二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。
1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。
平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。
中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。
2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。
这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。
3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。
通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
