43初中数学八年级上册 十字相乘法及分组分解法(基础)巩固练习

分组分解法练习题及答案精品文档分组分解法练习题及答案1.分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.22例如:把x-y+ax+ay分解因式.此多项式各项之间没有公因式，又不能统一用某个公式分解.我们把前两项分为一组，2222后两项分为一组，得到:x-y+ax+ay=+=+a=，最终达到分解因式的目的.2.分组分解法的根据分组的原则是分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.注意:1.分组时需进行尝试，找到合理的分组方法.2.有时，分组方法并不唯一.3.对于四项式在分解时，若分组后有公因式，则往往用“二二”分组;若分组后公式法22分解才行时，往往用“一三”分组，例如多项式2ab-a-b+1，在分解时，222222ab-a-b+1=1-=1-=1.重点难点分析1 / 19精品文档重点:掌握分组分解法，理解分组分解法的分组原则:分组后可继续分解.难点:是把多项式合理的分组，处理方法是在分组时要预先考虑到分组后能否继续进行因式分解.同时强调:分组无固定的形式.2.典型例题解析32例1 分解因式2a+a-6a-3分析这是四项式，可以“二二”分组，由于一、二两项的系数之比是2?1，三、四两项的系数之比也是2?1，因此，将一、二两项为一组，三、四两项为一组进行分组分解，有成功的希望.也可以一、三两项，二、四两项进行分组.32解 a+a-6a-33=-=a-3=222例分解因式4x-4xy+y-16z分析这是四项式，“二二”分组无法进行下去，采用“一三”分组，也就是前三项合为一组，满足完全平方公式，第四项单独作为一组，而且是某数或某整式的平方形式，这样便可运用平方差公式继续分解.222解 x-4xy+y-16z2 / 19精品文档222=-16z22=-=22例分解因式ax-ay-x+2xy-y分析这是五项式，采有“二三”分组，也就是前两项为一组，后三项为一组，能用完全平方公式，关键在分组后且间仍有公因式可提.解 ax-ay-x+2xy-y22=-2=a-=22222例把-4xy分解因式22222解 -4xy2222=-2222=[+2xy][-2xy]2222=[-1][-1]2=[-1][-1]=例分解因式x-6分析考虑去掉括号，重新分组.解 x-632=x-3x+2x-63 / 19精品文档32=+2=x+22=4例分解因式a+44分析这是一个四次二项式，无法直接运用某种方法分解因式.如果在a+4中项添上一22422项o,再把o拆成绝对值相等、符号相反的两项4a和-4a,则原多项式就变为a+4a+4-4a四项式了，再进行3-1分组，利用公式就能分解了.4解 a+4422=a+4a+4-4a422=-4a22=-22=点评本例是添拆项的典型例题，目的性很强，原来是二项式，通过添拆项变为四项式，再利用分组、公式进行分解.22322例已知x+10xy+25y-1=0，化简x+5xy+x.分析由已知条件，通过因式分解，可得到的值.从而可以化简所求代数式.22解由x+10xy+25y-1=0可得4 / 19精品文档-1=0 即=0当x+5y+1=0时32x+5x2y+x=x=0当x+5y-1=0时，即x+5y=1322x+5x2y+x=x=2x熟练掌握并能灵活运用分组分解法.考查分组分解法常与提公因式、公式法相结合，命题以对四项式的多项式因式分解为主.232例把2x+x-6x-3分解因式.32解 x+x-6x-33=-2=x-32=2222例把abx-aby-axy+bxy分解因式.2222解 abx-aby-axy+bxy2222=+=a+by=点评本题中前两项虽有公因式ab，后两项虽有公因5 / 19精品文档式xy，但分别提出公因式后，两组中却无公因式可提，无法继续分解.因此分组时，必须把眼光放远一点.本题解法是把一、三两项作为一组，二、四两项作为一组;也可把一、四两项作为一组，二、三两项作为一组.请读者试一试.2例10 把多项式分解因式xy-ax+bx+ay-a+ab.2解法一 xy-ax+bx+ay-a+ab2=+=x+a=2解法二 xy-ax+bx+ay-a+ab2=-+=y-a+b=点评本题共有六项，解法一分为两组:前三项为一组，后三项为一组;解法二分为三组:一、四两项作为一组，二、五两项作为一组，三、六两项作为一组.一般地，类似例8这样的六项式都可用以上两种方法分组.一、填空题221.x+2y-y+2x=.22.因式分解x+xy-3x-3y= .223.因式分解1-a+2ab-b= .6 / 19精品文档54324.因式分解x+x+x+x= .25.分解因式ax-ay+a+bx-by+ab= .6.分解因式ab-3ac+2ay-bx+3cx-2xy= .7.分解因式2x-2y+4xy-1= .8.分解因式ab-ab+ab-ab= .229.若a-b=2,a-c=4,则b-2bc+c+3= .2210.分解因式a-b+4a+2b+3= .二、分解因式32211.ab+bc-cd-da 12.x-xyz+xy-xz22213.y-x+6x-914.x-+2xy+y-ax-ay2215.6x-2m+2n 16.4x-4y+4y-1423324参考答案:22一、1. . . .x5.26. . .) .10 10.二、11.原式= 12.原式=x 13.原式=14.原式= 15.原式=2 16.原式=因式分解之分组分解法1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2,ab，ac,bc2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad7 / 19精品文档3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y2224.按公式特点分组a,2ab，b,c a2?4b2?12bc?9c2四(总结规律1.合理分组;2.组内分解3.组间再分解4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。

十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】【十字相乘法及分组分解法 知识要点】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x b x c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）； （2）21016x x -+； （3）2310x x -- 【答案与解析】 解：（1）因为78x x x -=-所以：原式＝()()78x x +-（2）因为2810x x x --=-所以：原式＝()()28x x --（3）()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+- 【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【 十字相乘法及分组分解法 例1】【变式1】分解因式：（1）1072++x x ； （2）822--x x ； （3）2718x x --+【答案】解：（1）()()271025x x x x ++=++ （2） ()()22842x x x x --=-+ （3） ()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+ 【变式2】（优质试题春•苏州期末）因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.【答案】解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6）=n （m ﹣2）（m ﹣3）.【十字相乘法及分组分解法 例1】2、将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++ （3）22616x xy y --； （4）. 【思路点拨】（3）题216y -可看成常数项，21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-.（4）题可将()2x +看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .【答案】解： （1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--； （4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为 91019y y y +=所以：原式＝()()2335y y ++（2）因为21183x x x -=所以：原式＝()()2379x x +-【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；【答案】解：（1）()()22314341311x x x x x x +-=-+=--；（2）()()223444432123x x x x x x --+=--=+-；（3）()()263110521537x x x x +-=+-.类型二、分组分解法4、（优质试题春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2]=5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）。

十字相乘法因式分解练习题 1、=++232x x2、=+-672x x3、=--2142x x4、=-+1522x x 5、=++8624x x6、=++-+3)(4)(2b a b a7、=+-2223y xy x9、=++342x x10、=++1072a a11、=+-1272y y12=+-862q q13、=-+202x x14=-+1872m m15、=--3652p p16、=--822t t17、=--2024x x18、=-+8722ax x a 19、=+-22149b ab a20、=++221811y xy x21、=--222265x y x y x22、=+--a a a 1242323、=++101132x x 24、=+-3722x x 25、=--5762x x26、=-+22865y xy x27、=++71522x x 28、=+-4832a a29、=-+6752x x30、=-+1023522ab b a 31、=+-222210173y x abxy b a32、=--22224954y y x y x33、=-+15442n n34、=-+3562l l35、=+-2222110y xy x36、=+-2215228n mn m一元二次方程的解法1、()()513+=-x x x x2、x x 5322=-3、2260x y -+=4、01072=+-x x5、()()623=+-x x 6、()()03342=-+-x x x7、()02152=--x8、432=-yy9、3072=--xx10、()()412=-+yy11、()()1314-=-xxx12、()025122=-+x反思：1.解一元二次方程时,如果方程能直接开平方,就采用直接开平方.其次考虑因式分解,因为这种方法最快接,再次考虑求根公式法,这种方法是万能的,能求所有的一元二次方程,当然大前提是有解.最后考虑用配方法,因为它较复杂,但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零。

分组分解法知识点及习题优秀版第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二；例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：====因式分解专项练习题一定要记住的公式大全：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a^2±2ab ＋b^2＝(a±b ）^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b ＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．*（可不记）十字相乘法通用公式：如果有k=ac ，n=bd ，且有ad+bc=m 时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）： 方法一：分组分解法步骤类型一 分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。

十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法 分类 分组方法特点 分组分解法 四项 二项、二项①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项各组之间有公因式 六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）； （2）21016x x -+； （3）2310x x -- 【答案与解析】 解：（1）因为78x x x -=-所以：原式＝()()78x x +-（2）因为2810x x x --=-所以：原式＝()()28x x --（3）()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+- 【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式1】分解因式：（1）1072++x x ； （2）822--x x ； （3）2718x x --+【答案】解：（1）()()271025x x x x ++=++ （2） ()()22842x x x x --=-+ （3） ()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+ 【变式2】（秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x xx x +-++. 【答案】解：()()222812x x x x +-++=()()2226x x x x +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.2、将下列各式分解因式：（1）22355x x +-； （2）25166x x ++ （3）22616x xy y --； （4）.【思路点拨】（3）题216y -可看成常数项，21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-.（4）题可将()2x +看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭； （2）251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）()()2261682x xy y x y x y --=-+；（4）因为()()()25242292x x x -+-+=-+所以：原式()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）21136x x -+； （2）251124a a --； （3）10722+-xy y x ； （4）()()342++-+b a b a .【答案】解： （1）22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()2271025x y xy xy xy -+=--； （4）()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-.3、将下列各式分解因式：（1）；（2） 【答案与解析】解：（1）因为 91019y y y +=所以：原式＝()()2335y y ++（2）因为21183x x x -=所以：原式＝()()2379x x +-【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）2314x x +-；（2）2344x x --+；（3）2631105x x +-；【答案】解：（1）()()22314341311x x x x x x +-=-+=--；（2）()()223444432123x x x x x x --+=--=+-；（3）()()263110521537x x x x +-=+-.类型二、分组分解法4、（春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2]=5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：22244a b ab c +--【答案】解：原式()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--.【巩固练习】一.选择题1. 将21016a a ++因式分解，结果是( )A.()()28a a -+B.()()28a a +-C.()()28a a ++D.()()28a a --2.（秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（ ）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+- 3. 如果()()2x px q x a x b -+=++，那么p 等于( )A.abB.a b +C.ab -D.a b --4. 若()()236123x kx x x +-=-+，则k 的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把2222a b c bc --+进行分组，其结果正确的是（ ）A. 222()(2)a c b bc ---B. 222()2a b c bc --+C. 222()(2)a b c bc ---D. 222(2)a b bc c --+二.填空题7. 若()()21336m m m a m b -+=++，则a b -＝ .8. 因式分解22a b ac bc -++___________．9．（·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：ax bx cx ay by cy +++++＝_______________；11. 因式分解()2064x x -+＝ .12.分解因式：321a a a +--＝________.三.解答题13.若多项式236x px ++可以分解成两个一次因式()()x a x b ++的积，其中a 、b 均为整数，请你至少写出2个p 的值．14. （宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）268x x -+；（2）21024x x +-；（3）215238a a -+；（4）22568x xy y -++；（5）225533a b a b --+.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确.3. 【答案】D ；【解析】()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，所以a b p +=-.4. 【答案】A ；【解析】()()2123936x x x x -+=--.5. 【答案】B ；【解析】由题意5306b b =-=-，.6. 【答案】D ；【解析】原式＝()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+.二.填空题7. 【答案】±5；【解析】()()2133649m m m m -+=--，所以9,4a b =-=-或者4,9a b =-=-.8. 【答案】()()a b a b c +-+；【解析】22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+. 9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-． 10.【答案】()()a b c x y +++；【解析】原式()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++.11.【答案】()()164x x --；【解析】()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--. 12.【答案】()()211a a +-； 【解析】321a a a +--()()()()221111aa a a a =+-+=+-. 三.解答题13.【解析】 解： 由题意得236()()x px x a x b ++=++，则2236()x px x a b x ab ++=+++，36a b p ab +==，由a 、b 均为整数，可写出满足要求的a 、b ，进而求得p ，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12) ＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以p 可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个p 值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）()()26824x x x x -+=--；（2）()()21024122x x x x +-=+-；（3）()()2152381581a a a a -+=-- （4）()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+- （5）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-.。

专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。

知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。

【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。

板块 考试要求A 级要求B 级要求C 级要求因式分解 了解因式分解，熟悉因式分解掌握因式分解的基本方法，并且能熟练运用因式分解解决题目更深层次的掌握因式分解的其他方法基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.重、难点知识点睛中考要求第五讲拆、添项法和 十字相乘法板块一、拆项与添项Ⅰ：利用配方思想拆项与添项【例1】 分解因式：43221x x x x ++++【解析】43221x x x x ++++423(21)()x x x x =++++222(1)(1)x x x =+++22(1)(1)x x x =+++ 如果分组分得不恰当，因式分解无法进行下去，那么就应当回到分组前的状况，从零开始，考虑新的分组．【巩固】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=【巩固】 (第十五届“希望杯”第二试第12题)分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______.【解析】 4322342222222222232()2()()a a b a b ab b a b ab a b a b a b ab ++++=++++=++【例2】 分解因式：⑴4231x x -+；⑵42231x x -+；⑶4224a a b b ++【解析】 ⑴42422222223121(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x -+=-+-=--=---+⑵42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++- ⑶42244224222a a b b a a b b a b ++=++-2222()()a b ab =+-2222()()a ab b a ab b =++-+【巩固】 分解因式： 12631x x -+【解析】12631x x -+1266636321(1)(1)x x x x x x x =-+-=-+--【巩固】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=+++-+-【巩固】 分解因式： 4224781x x y y -+重点：理解和掌握因式分解的概念，能说出因式分解的意义，并了解因式分解与整式乘法的区别和联系，了解因式分解的一般步骤，掌握提公因式法（字母的指数是数字）、运用公式法（直接用公式不超过两次）、分组分解法（分组后能直接提公因式或运用公式，无需拆项或添项）这三种分解因式的基本方法，会用这些方法分解不超过四项的多项式．难点：掌握因式分解的其他方法，主要是拆添项法、十字相乘法、换元法等较高层次的方法例题精讲【解析】 42244224222222781188125(95)(95)x x y y x x y y x y x y xy x y xy -+=++-=+-++【例3】 (希望杯试题)已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【解析】 原式422222222010036(10)(6)(610)(610)n n n n n n n n n =++-=+-=-+++.又因为4216100n n -+是质数，且n 是正整数，且26101n n ++≠，故26101n n -+=，3n =.【例4】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++-【解析】 ()()()222241211y x y x y +-++-()()()222242212114y x y x y x y =+--+--()()22211(2)(1)(1)(1)(1)y x y xy x x x xy y x xy y ⎡⎤=+---=+-------⎣⎦【巩固】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++-【解析】 42222224222222222()()2()()4x a b x a b x a b x a b b x -++-=--+-- 222222222222()4(2)(2)x b a b x x b a bx x b a bx =+--=+--+-+()()()()x a b x a b x a b x a b =++--+--+【巩固】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++【解析】 33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++33(1)()[(1)(1)](1)x a xy x y a b y b =+--+-+++322322(1)()(1)()a x x y xy b y x y xy =+-++++-2222(1)()(1)()x a x xy y b x xy y =+-+++-+22()()x xy y ax by x y =-++++【例5】 (杭州学军中学)把444x y +分解因式．【解析】 4422224()(2)x y x y +=+使用平方差公式显然是不行的．44422422422422x y x x y y x y +=+⋅⋅+-⋅⋅2222(2)(2)x y xy =+-2222(22)(22)x xy y x xy y =++-+【巩固】 分解因式：464x +【解析】464x +42222222166416(8)(4)(48)(48)x x x x x x x x x =++-=+-=++-+ 【巩固】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数．【解析】444m n +422422444m m n n m n =++-2222(2)(2)m n mn =+-2222(22)(22).m n mn m n mn =+++- 由于在m n 、都大于1时，两个因数中较小的那一个2222222()1m n mn m n n n +-=-+≥>即两个因数都是444m n +的真因数，所以444m n +是合数．Ⅱ：拆项与添项【例6】 分解因式：343a a -+ 【解析】 原式32()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a =---=+---=-+-或原式32222()()(33)(1)(1)3(1)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a =-+---=-+---=-+-.【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【解析】 解法(一)32322265266(21)6(1)x x x x x x x x x x x +--=++--=++-+(1)(2)(3)x x x =+-+解法(二)拆二次项222242x x x =-解法(三)拆常数项651-=--及2222x x x =+ 解法(四)22223x x x =-及523x x x -=--【巩固】 分解因式：3234x x +- 【解析】 ⑴把4-拆成13--；⑵添四次项4x ，再减去4x ；⑶添一次项4x ，再减去4x⑷拆22234x x x =-；⑸拆三次项33343x x x =-；2(1)(2)x x -+【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：267x x +- 【解析】 2267()(77)(7)(1)x x x x x x x +-=-+-=+-【巩固】 分解因式：243x x -+ 【解析】 2243()(33)(3)(1)x x x x x x x -+=---=--【巩固】 分解因式：398x x -+ 【解析】 332298199(1)(1)9(1)(1)(8)x x x x x x x x x x x -+=--+=-++--=-+-【巩固】(第十四届“希望杯”第1试第2题)若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3【解析】 43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++4322342233224642x x y x y xy y x y xy xy x y x y =+++++++++42()()()1x y xy x y xy x y =+++++=【巩固】分解因式：323233332a a a b b b ++++++【解析】 前三项比完全立方公式少l ，四、五、六项的和也比立方公式少l ．如果把2拆为两个l ，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜．于是323233332a a a b b b ++++++3232(331)(331)a a a b b b =++-++++33(1)(1)a b =+++22(2)[(1)(1)(1)(1)]a b a a b b =+++-++++22(2)(1)a b a ab b a b =++-++++【巩固】分解因式：51x x ++ 【解析】 法1：此题既无公因式可提，又无法分组分解，更无法使用什么公式，于是我们想到要添项.不妨试试4x ，55444411(1)(1)x x x x x x x x x ++=+++-=++-无法进行下去. 那么试试4x -，554411x x x x x x ++=-+++显然也无法进行下去. 开始尝试3x ，如下：55333343311(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x ++=-+++=+-+++=+-++，无法分解下去.这样尝试下去，可分解如下：552211x x x x x x ++=-+++222(1)(1)1x x x x x x =-+++++232(1)(1)x x x x =++-+.法2：也可以这样解：5543243211x x x x x x x x x x ++=+++++---32(1)(1)x x x =+++-22(x x + 3221)(1)(1)x x x x x +=-+++.只要我们能够用心地思考，大胆地尝试，我们会发现很多非常巧妙的想法！【巩固】 分解因式：541a a ++ 【解析】 原式5433322321(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a =++-+=++--++=-+++【巩固】 分解因式：3333a b c abc ++-.【解析】3333a b c abc ++- 332232233333a b a b ab c a b ab abc =++++--- 33()3()a b c ab a b c =++-++222()(2)3()a b c a b ab c ac bc ab a b c =+++++---++222()()a b c a b c ab bc ca =++++---.也可添加23b c ，23bc 或者23c a ，23ca .板块二、十字相乘法十字相乘法： 一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解【例7】 分解因式： ⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++ 【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +- 【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例8】 分解因式：2376a a -- 【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x -- 【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +- 【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】2273320(94)(35)x x x x --=+-【例9】 分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+- 【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例10】 分解因式：2214425x y xy +- 【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+ 【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y -- 【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例11】 分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+- 【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+ 【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【巩固】 分解因式：633619216x x y y --【解析】 6336333319216(27)(8)x x y y x y x y --=-+2222(2)(3)(24)(39)x y x y x xy y x xy y =+--+++【巩固】 分解因式：2222(4)8(4)15x x x x x x ++++++ 【解析】 22(64)(2)x x x +++【巩固】 分解因式：2222222(61)5(61)(1)2(1)x x x x x x ++++++++ 【解析】 229(1)(41)x x x +++【巩固】 分解因式：222()14()24x x x x +-++【解析】(2)(1)(3)(4)x x x x +--+板块三：双十字相乘双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。

用十字相乘法因式分解详解附同步练习及答案【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)．（3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解． 例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x)1033)(522(2++-+=xx x x x )3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x 6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-=)()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--= ])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式． 点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值． 参考答案 【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C 7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn212．－2，3x ＋1或x ＋2 13．17 14．（1） 原式)6)(1(22--=x x)6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x)4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --=)4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-=))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a)43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---=)1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x )32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x)1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x)5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a 16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a （2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x)2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x )2)(43(-++-=y x y x11 / 11 （4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x)3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x 120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x)3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。

专题4.12分组分解法（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．把2222a a b b +--分解因式的结果是（）．A ．()()()22a b a b -++B ．()()2a b a b -++C ．()()2a b a b -++D ．()()2222a b b a --2．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．33．下列因式分解中错误的是（）A ．()2228164x xy y x y -+=-B ．()()111xy x y x y -+-=+-C ．()()24515x x x x --=-+D ．()()()42161412121x x x x -=++-4．下列多项式不能分解因式的是（）A ．()()22ab cd bc ad++-B ．2269x y x -++C ．2223485x xy y x y --++-D ．224x x ++5．若a 、b 为有理数，且a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0，则a ＋3b ＝（）A ．8B ．4C ．－4－D ．－86．把x 2-y2-2y -1分解因式结果正确的是（）A ．(x +y +1)(x -y -1)B ．(x +y -1)(x -y -1)C ．(x +y -1)(x +y +1)D ．(x -y +1)(x +y +1)7．将多项式x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1分解因式，正确的是（）A ．（x+y ）2B ．（x+y ﹣1）2C ．（x+y+1）2D ．（x ﹣y ﹣1）28．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)9．已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形10．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021二、填空题11．分解因式：1x xy y -+-=___________12．分解因式：321x x x +--=_____13．因式分解：22x y ax ay +-+=______．14．分解因式：2224a ab b -+-=________________．15．若224613x x y y -++=-，则x y +=______．16．若代数式22512986x xy y x -+++有最小值，则最小值是_______．17．因式分解：226517712x xy y x y -++-+=_______．18．分解因式：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-=______．三、解答题19．将下列各式因式分解：（1）421x x ++；（2）22268x x y y +-+-．20．因式分解：(1)2224129a b bc c -+-；(2)2215x x --；(3)22465x y x y -+--．21．已知a ，b ，c 三个数两两不等，且有222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，试求m 的值．22．因式分解：(1)241616a a -+；(2)()()216ax y y x -+-；(3)22962x x y y ---；(4)()()2222223m m m m ----．23．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“22+”分法、“31+”分法、“32+”分法及“33+”分法等．如“22+”分法：()()()()()()ax ay bx by ax ay bx by a x y b x y x y a b +++=+++=+++=++仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：22x y x y ---；(2)分解因式：222944m x xy y -+-；(3)分解因式：2222244441a a a b b ab +---+．24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．例如：()2222222424()2(2)(2)-+-=-+-=--=---+x xy y x xy y x y x y x y ．②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：2222()(2321412121)23()()()1x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）22441x x y +-+；②（拆项法）268x x -+；(2)已知a 、b 、c 为ABC 的三条边，且满足222446170a b c a b c ++---+=，求ABC 的周长；(3)已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足20a ab ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．参考答案1．B【分析】此题可用分组分解法进行分解，分别将一、三项和二、四项分为一组，然后再用提取公因式法进行因式分解．解：a 2+2a-b 2-2b ，=（a 2-b 2）+（2a-2b ），=（a+b ）（a-b ）+2（a-b ），=（a-b ）（a+b+2）．故选：B ．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．应针对各式的特点选用合适的分组方法．2．A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．解：a 2b +ab 2-a -b =（a 2b -a ）+（ab 2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a +b ）将a +b =3，ab =1代入，得：原式=0．故选：A ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．3．C【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可解：A.()2228164x xy y x y -+=-，故该选项正确，不符合题意；B.()()111xy x y x y -+-=+-，故该选项正确，不符合题意；C.()()24515x x x x --=+-，故该选项不正确，符合题意；D.()()()42161412121x x x x -=++-，故该选项正确，不符合题意；故选C【点拨】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．4．D【分析】A 、原式展开后，利用分组分解法提公因式分解即可；B 、利用分组分解法，再运用公式法分解即可；C 、先对前三项利用“十字相乘法”分解因式，再次利用“十字相乘法”分解因式即可；D 、不能分解.解：A.()()22ab cd bc ad ++-2222222222222222222222222222()()()()()()a b abcd c d b c abcd a d a b a d c d b c a b d c d b b d a c =+++-+=+++=+++=++能分解，本选项不合题意；B.2269x y x -++=2269x x y ++-()223x y =+-()()33x y x y =++-+能分解，本选项不合题意；C.2223485x xy y x y --++-()()3485x y x y x y =-+++-且()()()31548x y x y x y-⨯-++⨯=+∴原式()()351x y x y =-++-能分解，本选项不合题意；D.224x x ++，不能提公因式，不能用公式，不能用十字相乘法，不能分解，符合题意.故选：D.【点拨】本题考查了对学习过的几种分解因式的方法的记忆和理解，熟练掌握公式结构特征以及各种分解方法是解本题的关键．5．D【分析】根据已知，将其a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝0变形为22()(2)0a b b -++=，利用非负数的性质，求出a 和b ，最后代入即可.解： a 2－2ab ＋2b 2＋4b ＋4＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2＋4b ＋4＝22()(2)0a b b -++=∴a-b=0b+2=0a b 2∴==-a+3b=8-故选择D【点拨】本题考查了利用公式进行变形，其次是平分的非负性，利用这个性质求得a,b 的值是关键.6．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=22(21)x y y -++=22(+1)x y -=1)(1)x y x y ++--（故选A ．【点拨】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．7．B【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法．解：x 2+2xy+y 2﹣2x ﹣2y+1=（x 2+2xy+y 2）﹣（2x+2y ）+1=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1=（x+y ﹣1）2．故选：B 8．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．9．D【分析】将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2=0，再利用非负数的性质求解即可．解：∵a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，∴a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，∴2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2+a 2-2ac+c 2=0，即（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形．故选D ．【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．10．C【分析】先将x 2-2x-1=0变形为x 2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x 2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．解：∵x 2-2x-1=0，∴x 2-2x=1，∵2x 3-7x 2+4x-2019=2x 3-4x 2-3x 2+4x-2019，=2x （x 2-2x ）-3x 2+4x-2019，=6x-3x 2-2019，=-3（x 2-2x ）-2019=-3-2019=-2022，故选：C ．【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．11．()()11x y --【分析】先分组，再根据提取公因式法进行分解即可．解：1x xy y -+-()11x y y =-+-()()11x y y =---()()11x y =--故答案为：()()11x y --．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握提取公因式法．12．()()211x x -+【分析】采用分组分解法分解因式即可．解：321x x x +--()()321x x x =+-+()()211x x x =+-+()()211x x =-+()()211x x =-+，故答案为：()()211x x -+.【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，熟记平方差公式，正确地分组是解题的关键．13．（x ＋y ）（x －y ＋a ）【分析】根据因式分解-分组分解法分解因式即可．解：原式=()()()x y x y a x y +-++=)()x y x y a (＋－＋故答案为：)()x y x y a (＋－＋【点拨】本题考查了分解因式-分组分解法，熟记平方差公式是解题的关键．14．(2)(2)a b a b -+--【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--故答案为：(2)(2)a b a b -+--．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式．15．-1【分析】先分组，再化为完全平方公式，进而求出x 、y 的值即可.解：由x 2−4x+y 2+6y=−13，得x 2−4x+y 2+6y+13=0，故x 2−4x+4+y 2+6y+9=0，(x-2)2+(y+3)2=0，所以x-2=0，y+3=0，所以x=2，y=-3，所以x+y=2-3=-1.故答案为：-1【点拨】此题考查了分组法分解因式，掌握完全平方公式是解答此题的关键.16．-10【分析】将原式变形为222412981610x xy y x x -++++-，然后分组进行变形进一步即可得出答案.解：22512986x xy y x -+++=222412981610x xy y x x -++++-=()()2223410x y x -++-.∴当230x y -=，40x +=时原代数式有最小值，并且最小值为10-.所以答案为10-.【点拨】本题主要考查了完全平方式的实际运用，熟练掌握相关公式是解题关键.17．(23)(34)x y x y -+-+【分析】将原式进行拆解变形为2265849312x xy y x y x y -++-+-+后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.解：226517712x xy y x y -++-+=2265849312x xy y x y x y -++-+-+=()()()2342x y x y x y --+-+()3312x y -+=()()()234334x y x y x y --++-+=()()2334x y x y -+-+.所以答案为()()2334x y x y -+-+.【点拨】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键.18．()()2211x y --【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++，再进行分组得到完全平方公式，所以原式()()2[1]x y xy =+-+，然后再把括号内分组分解即可．解：原式()()()()2222421x y x y xy x y xy xy xy =+-+-+++-+()()()()222221x y x y xy x y xy xy =+-+-++++()()()()22211x y x y xy xy =+-++++()()21x y xy ⎡⎤=+-+⎣⎦()21x y xy =+--()()211x y ⎡⎤=--⎣⎦()()2211x y =--．故答案为：()()2211x y --．【点拨】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．19．（1）()()2211x x x x ++-+；（2）(2)(4)x y x y +--+．【分析】（1）先将原式变形为42221x x x ++-，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（2）先将原式变形为222169x x y y ++-+-，再利用完全平方公式和平方差公式分解．解：（1）原式42221x x x =++-()2221x x =+-()()2211x x x x =++-+；（2）原式222169x x y y =++-+-()()222169x x y y =++--+()()2213x y =+--()()1313x y x y =++-+-+()()24x y x y =+--+．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，正确变形、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．20．(1)(23)(23)a b c a b c +--+(2)(5)(3)x x -+(3)(5)(1)x y x y +--+【分析】（1）利用分组法变形为222)4129a b bc c +--(后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（2）利用十字相乘法35x x ⨯-分解因式即可．（3）变形为()()224469x x y y -+--+后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．（1）解：原式()2224129a b bc c =--+2223)a b c =--((23)(23)a b c a b c =+--+；（2）解：原式(5)(3)x x =-+；（3）解：原式()()224469x x y y =-+--+22(23)()x y -=--(5)(1)x y x y =+--+．【点拨】本题考查了常见的几种因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分组分解法，十字相乘法，熟练掌握以上分解因式的方法是解题的关键．21．2-或1【分析】222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，得2222a b mab b c mbc ++=++，移项后因式分解得到()()0a c a c mb -++=，由a ，b ，c 三个数两两不等，则0a c -≠，得到0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，分0a b c ++≠和0a b c ++=两种情况求解即可．解：∵222222a b mab b c mbc c a mca ++=++=++，∴2222a b mab b c mbc ++=++，即22220a b mab b c mbc ++---=，∴220a c mab mbc -+-=，∴()()()0a c a c mb a c +-+-=，∴()()0a c a c mb -++=，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴0a c -≠，∴0a c mb ++=①，同理可得0a b mc ++=②，0b c ma ++=③，当0a b c ++≠时，①＋②＋③得，()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m a b c +++++=，∴()()20a b c m +++=，∴20m +=，解得2m =-，当0a b c ++=时，∵a ，b ，c 三个数两两不等，∴a ，b ，c 三个数中至少一个不是0，设0b ≠，∴0a c b +=-≠,∵0a c mb ++=，∴0b mb -+=，∴()10b m -=，∴10m -=，解得1m =，综上可知，m 的值为2-或1．【点拨】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是基础，分类讨论是解题的关键．22．(1)()242a -；(2)()()()44x y a a -+-；(3)()()332x y x y +--；(4)()()()212321m m m m +--+．【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为()()216ax y x y ---，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；（3）先将原式分组为()()22962x y x y --+再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；（4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解．（1）解：241616a a -+=()2444a a -+()242a =-；（2）解：()()216a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-；（3）解：22962x x y y---()()22962x y x y =--+()()()3323x y x y x y =+--+()()332x y x y =+--（4）()()2222223m m m m ----()()222321m m m m =---+()()()212321m m m m =+--+．【点拨】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。