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第五节 函数的极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点1=x 和2=x 就是具有这样性质的点，易见，对1=x 的某个邻域内的任一点x )1(≠x ，恒有 )1()(f x f <，即曲线在点))1(,1(f 处达到“峰顶”；同样，对2=x 的某个邻域内的任一点x )2(≠x ，恒有 )2()(f x f >，即曲线在点))2(,2(f 处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★ 函数极值的定义 ★ 函数极值的求法★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 第二充分条件★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 最大值最小值的求法★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 例12★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-5内容要点：一、 极值的概念 二、极值的必要条件三、 第一充分条件与第二充分条件 四、 求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f ';（2）解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点;（3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;（4）求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.五、 求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[b a 上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(x f 在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(a f )(b f 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲：求函数的极值例1（E01）求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值.解 )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下：所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f例2（E02）求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;13)1(5)(3+-='x x x f)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f例3 求函数3/223)(x x x f -=的单调增减区间和极值. 解 求导数,1)(3/1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,21)1(-=f 如图.例4（E03）求出函数20243)(23--+=x x x x f 的极值.解 ),2)(4(32463)(2-+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断..2函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5（E04）求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x处也没有极值 .如图所示.例6 求出函数3/2)2(1)(--=x x f 的极值.解 ).2()2(32)(31≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点.当2<x 时, ;0)(>'x f 当2>x 时, .0)(<'x f 1)2(=∴f 为)(x f 的极大值.求函数的最大值最小值例7（E05）求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值. 解 ),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值;7)1(=f例8 求函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值及最小值. 解 函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f 令,0='y 得.6π±=x,22ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,22ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛f ,6236ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .6236ππ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f 故y 在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π-例9（E06）设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B . 铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C , 如图3-5-4. 现在要在铁路BC 中间某处D 修建一个原料中转车站, 再由车站D 向工厂修一条公路. 如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D 应选在何处, 才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?解 x BD =(km), x CD -=100(km), .2022x AD +=铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式:CD k AD k y ⋅+⋅=35即 ).1000()100(340052≤≤-++⋅=x x k x k y问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小. 求导得,340052⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+='x xk y 令0='y 得15=x (km). 由于.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y === 从而当15=BD (km)时，总运费最省.例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解 设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭⎫⎝⎛--1018050x 套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x x x R,570101)20(1068)(x x x x R -=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 10890)350(=R (元).例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1千米/分钟的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击,速度为2千米/分钟,问我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好)?解 (1) 建立敌我相距函数关系设t 为我军从B 处发起追击至射击的时间(分). 敌我相距函数)(t s22)24()5.0()(t t t s -++=(2) 求)(t s s =的最小值点.)24()5.0(5.75)(22t t t t s -++-='令,0)(='t s 得唯一驻点.5.1=t故得我军从B 处发起追击后1.5分钟射击最好. 实际问题求最值应注意:(1) 建立目标函数; (2) 求最值;若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最(或最小)值.例12 求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解 设),(y x M 为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22a x x a x aby x x S ≤≤-=⋅= 且.0)()0(==a S S22222222244)(x a x a a b x a x x x a a b x S --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=' 由,0)(='x S 求得驻点20a x =为唯一的极值可疑点.依题意, )(x S 存在最大值,故20a x =是)(x S 的最大值,最大值ab a a aa b S 222422max =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅= 对应的y 值为,2b即当矩形的边长分别为,2a b 2时面积最大.课堂练习1. 下列命题正确吗?若0x 为)(x f 的极小值点, 则必存在0x 的某邻域, 在此邻域内, )(x f 在0x 的左侧下降,而在0x 的右侧上升.2. 若)(a f 是)(x f 在[a , b ]上的最大值或最小值, 且)(a f '存在, 是否一定有0)(='a f ?。
