2020年九年级数学下册 27.2.1 相似三角形的判定(第2课时)导学案3 新人教版.doc

人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3一. 教材分析本节课的主题是《相似三角形的判定》，是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容。

相似三角形是几何中的一个重要概念，它是学习更复杂几何知识的基础。

本节课的内容包括相似三角形的定义、性质和判定方法。

通过本节课的学习，学生将对相似三角形有更深入的理解，并能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，他们对相似三角形的理解和应用还比较模糊，需要通过本节课的学习来进一步明确相似三角形的概念和判定方法。

此外，学生可能对一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师在教学过程中进行耐心引导和解释。

三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。

2.学会使用相似三角形的判定方法判断两个三角形是否相似。

3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。

2.相似三角形的判定方法。

3.运用相似三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法本节课采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题、展示案例、引导学生进行小组讨论和合作，激发学生的思考和探究欲望，培养学生的动手操作能力和团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备教学课件和板书设计。

3.准备练习题和作业题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾三角形的基本性质和角的度量知识。

激发学生对相似三角形的兴趣和好奇心。

2.呈现（10分钟）展示一些相似三角形的案例，让学生观察和分析，引导学生发现相似三角形的特征。

引导学生通过小组讨论，总结出相似三角形的定义和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，使用尺子和直尺来画出相似三角形。

引导学生通过小组合作，探索并验证相似三角形的判定方法。

4.巩固（10分钟）让学生解答一些相似三角形的练习题，巩固他们对相似三角形的理解和应用。

人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2.1 相似三角形的判定导学案1、教学目标1.理解相似三角形的概念.2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.3.掌握判定三角形相似的预备定理.2、预习反馈阅读教材P29～31，弄懂相似三角形的概念，理解平行线分线段成比例定理和相似三角形判定的预备定理.并完成下面的预习内容.①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与DE 对应，BC 与EF 对应，DF 与AC 对应；AB BC ＝（DE ）（EF ），AB（AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【点拨】 找准对应线段是关键.3、例题及讲解例1 如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是(B)A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A)A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF例2 如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形(C)A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？解：共有3对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，△AEF ∽△ABC.4、巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为(C)A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是(C)A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ，即3AB ＝26. ∴AB ＝9.∴BD ＝AB －AD ＝9－3＝6.5、课堂小结1.本节课我们学习了哪些内容？2.当平行线与三角形两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？第2课时 相似三角形的判定定理1，21、教学目标掌握三边成比例的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定三角形相似的定理.2、预习反馈阅读教材P32～34，理解相似三角形判定定理1与判定定理2.完成下列预习内容. ①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. ③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，AC IJ ≠AB HJ ≠BC HI ，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.【点拨】 判断三角形相似要注意对应关系，找对应边和对应角时可类比全等三角形中找对应边和对应角的方法.3、例题及讲解例1 (根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A′B′＝12 cm ，B′C′＝18 cm ，A′C′＝24 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝412＝13，BC B′C′＝618＝13， AC A′C′＝824＝13， ∴AB A′B′＝BC B′C′＝ACA′C′. ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝40，AC ＝20，在△ADE 中，AE ＝12，AD ＝15，DE ＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.解：相似.理由：∵AC AE ＝2012＝53，AB AD ＝2515＝53，BC DE ＝4024＝53，∴AC AE ＝AB AD ＝BC DE . ∴△ABC ∽△ADE.例2 根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由： ∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm. 【解答】 ∵AB A′B′＝73，AC A′C′＝146＝73，∴AB A′B′＝ACA′C′. 又∠A ＝∠A′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.【跟踪训练2】 如图，四边形ABCD ，CDEF ，EFGH 都是正方形. (1)△ACF 与△ACG 相似吗？说说你的理由； (2)求∠1＋∠2的度数.解：(1)相似.理由：设正方形的边长为a ，则AC ＝a 2＋a 2＝2a ， ∵AC CF ＝2a a ＝2，CG AC ＝2a 2a ＝2， ∴AC CF ＝CG AC. 又∵∠ACF ＝∠GCA ， ∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ， ∴∠1＝∠CAF. ∵∠CAF ＋∠2＝45°， ∴∠1＋∠2＝45°.4、巩固训练1.在△ABC 和△A′B′C′中，AB ＝9 cm ，BC ＝8 cm ，CA ＝5 cm ，A′B′＝4.5 cm ，B′C′＝2.5 cm ，C′A′＝4 cm ，则下列说法错误的是(D) A.△ABC 与△A′B′C′相似 B.AB 与B′A′是对应边 C.两个三角形的相似比是2∶1 D.BC 与B′C′是对应边2.在△ABC 与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC ∽△A′B′C′，还应增加的条件是(C)A.AC ＝A′C′B.∠A ＝∠A′C.∠B ＝∠B′D.∠C ＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？解：∵AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ， ∴AE AC ＝AD AB ＝23. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AE AC . 又∵DE ＝43 cm ，∴43BC ＝23.∴BC＝2 cm.【点拨】运用相似三角形的判定和性质可以进行边的计算.5、课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理对相似三角形的判定定理有什么借鉴作用？第3课时相似三角形的判定定理301教学目标1.掌握相似三角形的判定定理3.2.了解两个直角三角形相似的判定方法.3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题.02预习反馈阅读教材P35～36，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法.完成下列预习内容.①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE＝∠B，则△AED∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似.⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？解：相似，理由：根据三角形内角和，顶点对应相等的两个等腰三角形其底角也对应相等.再根据“两角分别相等的两个三角形相似”这个判定定理即可判断这两个等腰三角形相似.【点拨】要根据已知条件选择适当的方法判定三角形相似.03名校讲坛例1(教材P35例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【解答】 ∵ED ⊥AB ， ∴∠EDA ＝90°.又∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC. ∴AD AC ＝AE AB. ∴AD ＝AC·AE AB ＝8×510＝4.【跟踪训练1】 如图，∠1＝∠3，∠B ＝∠D ，AB ＝DE ＝5，BC ＝4. (1)△ABC ∽△ADE 吗？说明理由； (2)求AD 的长.解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下： ∵∠1＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2， ∴∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ， ∴△ABC ∽△ADE. (2)由(1)，知AB AD ＝BCDE.∴5AD ＝45. 解得AD ＝254.例2 (教材补充例题) 已知：如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【解答】 ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，(1)当BC BD ＝AB CD时，△ABC ∽△CDB ， 此时BC BD ＝AB CD ＝AC BC ，即a b ＝b BD. ∴BD ＝b 2a. 即当BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB. (2)当AB BD ＝BC CD时，△ABC ∽△BDC ， 此时AB BD ＝BC CD ＝AC BC ，即AB BD ＝AC BC. ∴a 2－b 2BD ＝a b ，BD ＝b aa 2－b 2. ∴当BD ＝b aa 2－b 2时，△ABC ∽△BDC. 综上所述，即当BD ＝b 2a 或BD ＝b aa 2－b 2时，这两个三角形相似. 【点拨】 本题要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情况.【跟踪训练2】(《名校课堂》27.2.1第3课时习题)在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)A.∠B＝∠B1B.ABA1B1＝AC A1C1C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C104巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是(C)A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.证明：∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠EDB＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝36°.∴∠A＝∠CBD.又∵∠C＝∠ABC，∴△ABC∽△BCD.05课堂小结1.本节课我们学习了什么内容？2.全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理有何区别？。

课题：27.2.1相似三角形的判定(2)姓名：___________ 班级:___________ 时间:__________一．学习目标：(一)理解相似三角形的两个判定定理。

(二)会运用相似三角形的两个判定解决简单问题。

二．学习过程：(一)创设学习情境,明确学习目标(2') (二)指导独立学习,初步达成目标(13')1.自学指导：结合教材助读，自学课本P 32-34，8分钟后完成自学检测。

教材助读：(1)看课本P 32探究，思考这两个三角形满足相似三角形的定义吗？ (2)看课本P 32判定定理的证明过程，理解△A ,DE 是证明的中介。

(3)看课本P 33，思考能不能通过两边和一角来判定两个三角形相似吗？2.自学检测 同桌互评:_______ （1）如图,△ABC 和△A ’B ’C ’,若_____=_______=_______=K,则△ABC ∽△A ’B ’C ’. （2）若AB AD =AC AE =BCDE，则△_____∽△_____，所以∠DAE=______． （3）在△ABC 和△A ’B ’C ’中,∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm, ∠A ’=1200,A ’B ’=3cm,A ’C ’=6cm, 则这个两三角形相似吗?______. (三)引导小组学习,落实学习目标(20') 探究一：三边成比例的两个三角形相似如图，△ABC 和△A ’B ’C ’,其中△A ’B ’C ’的各边长都是△ABC 的k 倍（k 值自己确定）。

【思考】（1）量一量，它们的对应角相等吗？这两个三角形相似吗？由此你能猜测出怎样的结论?（2）如何证明这个命题的成立?学以致用：有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,2,5,乙三角形木框的三边分别为5,5,10,则甲、乙两个三角形( )A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 无法判断 探究二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图△ABC 和△A ’B ’C ’,其中∠A=∠A ’,''B A AB 和''C A AC 都等于k. 【思考】1.△ABC 和△A ’B ’C ’相似吗？怎样证明?2.如果将题中∠A=∠A ，换为∠B=∠B ，或∠C=∠C ，，这两个三角形还相似吗？如果不相似，试举出反例。

教学设计内容及流程教师与学生活动备注实施目标二、自主预习梳理新知1、三角形相似的判定方法2：2、三角形相似的判定方法3：三、合作探究生成能力目标导学一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似提出问题：利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。

延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。

）归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

例1：已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB ＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE －BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．内容及流程教师与学生活动备注实施目标目标导学二：两角分别相等的两个三角形相似例2：如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD 和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．目标导学三：应用判定定理解决简单的问题例3：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M 点在线段CA上，从C向A运动，速度为1m/s；同时N点在线段AB 上，从A向B运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t为何值时，△AMN的面积为6m2?(2)当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，根据△AMN的面积为6m2，得到关于t 的方程求得t值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t的二次函数求最值即可．四、课堂总结利用三角形相似的判定来解决生活中的实际问题的应用非常广泛，我们要做一个有心人，把数学与生活联系起来。

27.2．1相似三角形的判定（二）学习目标：1.了解三边对应成比例的相似三角形判定；2.认识对应边成比例+对应夹角相等的相似三角形判定；（一）基础我梳理1、类似于判定三角形全等的SSS 方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？如图A 所示，在△AB C 和△A ’B ’C ’中，，求证：△ABC∽△A ’B ’C ’探究：在A ’ B ’上截取 A ’D=AB ，过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E ，则△A ’DE ∽； ∵==；又∵，A ’D=AB ∴DE=，A ’E=；∴≌；∴△ABC ∽△A ’B ’C ’归纳：如果两个三角形的三组相等，那么这两个三角形相似；（即：三边的两个三角形相似。

）几何语言：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∵，∴△ABC∽△A ’B ’ C ’ 点拨：该证明是找到一个中介三角形，证明与要求证的两个三角形中的一个全等，另一个相似；E D A'A 2. 如图B 所示，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，，∠A=∠A ’， 求证：△ABC ∽△A ’B ’C ’探究：在A ’B 上截取 A ’D=AB ，过点D 作DE ∥B ’C ’交A ’C ’于点E∴△A ’DE ∽；∴_ E _ D_ A '_ A 图B 图A又∵，A ’D=AB ；∴∴A ’E=AC ；∵∠A=∠A ’；∴△A ’DE ≌；∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ 归纳：如果两个三角形的相等，并且对应的相等，那么这两个三角形相似；（即：两边且相等的两个三角形相似。

） 几何语言：∵，∠A=∠A ’∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ 点拨：两组边的比相等，其中一组边的对角对应相等的两个三角形不一定相似；（二）新知我尝试1、根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由。

（1）∠A = 120°，AB = 7cm ，AC = 14 cm∠A ′=120°，A ′B ′=3 cm ，A ′C ′=6 cm(2)AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cmA ′B ′=12 cm ，B ′C ′=18 cm ，A ′C ′=21 cm解：2、如图4所示，求AB 的长； ．（三）达标我能行1.三角形的三边之比为3：5：7，与它相似的三角形最长边是21，则最短边是（ ） A.6 B.9 C.12 D.152.可以判定△ABC ∽△A ’B ’C ’的条件是（ ） A. B.，且∠A=∠C ’ C. ，且∠A=∠A ’ D.以上条件都不正确 3.已知△ABC 如图所示，则下列4个三角形中与△ABC 相似的是（ ）4.如图2所示，∠1=∠2，添加条件，可使得△ADE ∽△ACB ；5.如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是A B 、BC 、CA 的中点， 求证：△ABC ∽△DEF ．6．如图，AB •AE=AD •AC ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ． 7．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD•AD ，求证：△ADC ∽△CDP ． 2530364554图4CB A E F 21图2A B C。

27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定(2)——相似三角形的判定1和判定2一、新课导入1.课题导入问题1：请叙述三角形全等的SSS和SAS定理.问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”，那么这两个三角形是什么关系呢？问题3：把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”，那么这两个三角形又是什么关系呢？由此导入新课.（板书课题）2.学习目标（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.3.学习重、难点重点：三角形相似的判定1和判定2.难点：两判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：△ABC①探究1:任意画△ABC和△A′B′C′，使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k 倍，△ABC∽△A′B′C′吗？a.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例.b.猜想：在△ABC 和△A′B′C′中，如果AB BC CA A B B C C A ==''''''，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.c.证明：如图，在线段A′B′上截取A′D =AB ，过点D 作DE ∥B′C′，交A′C′于点E,则△A′DE ∽△A ′B ′C ′.∴A D A B '''=A E A C '''=DE B C ''， 又∵AB BC CA A B B C C A ==''''''，A′D =AB ， ∴A E CA A C C A '=''''， ∴A′E=AC .同理，DE BC B C B C =''''， ∴DE =BC . ∴△A ′DE ≌△ABC . ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.d.归纳：三边成比例的两个三角形相似.e.推理格式：∵AB BC CA A B B C C A ==''''''，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. ②探究2:利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A′B′C′，使∠A=∠A′，AB AC k A B A C ==''''.△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ a.操作：量出BC 和B′C′，它们的比值等于k 吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？ b.改变∠A 的大小，结果怎样？改变k 的值呢？c.猜想：在△ABC 和△A′B′C′中，如果AB AC k A B A C ==''''，∠A=∠A′，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.d.证明：在A′B′上截取A′D =AB ,作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′.∴A D A E A B A C ''=''''. 又∵AB AC A B A C ='''',A′D =AB , ∴A′E =AC .∴△ABC ≌△A ′DE .∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.f.推理格式：∵AB ACA B A C='''',∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.③在△ABC与△A′B′C′中，如果AB ACkA B A C==''''，∠B=∠B′，那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图).2.自学：参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化1.自学指导（1）自学内容：课本P33思考~P34.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.（4）探究提纲：①教材P33例1的第（1）题中，三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？②例1的第（2）题中，∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗？符合哪个判定定理的条件？③小结运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.④练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.a.AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.（相似，三边对应成比例）b.∠A=40°, AB＝8 cm，AC＝15 cm，∠A′=40°, A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm.（相似，两边成比例且夹角相等）c.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似，两边成比例且夹角相等；图2不相似，三边不成比例）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.②差异指导：根据学情进行针对性指导.（2）生助生：小组交流、研讨.4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.一、基础巩固（70分）1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B ）2.(10分)下列条件能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是（C ）3.(20分)根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由.（1）AB ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，AC ＝15 cm ，A′B′＝150 cm ，B′C′＝180 cm ，A′C′＝225 cm ；(2)∠A ＝87°，AB ＝8 cm ，AC ＝7 cm ，∠A′＝87°，A′B′＝16 cm ，A′C′＝12 cm. 解：（1）△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：∵AB BC AC A B B C A C =='''''',∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（2）△ABC 与△A′B′C′不相似.理由：AB AC A B A C ≠''''. 4.(20分)(1)判断图1中两个三角形是否相似；(2)求图2中x 和y 的值.解：（1）相似.理由：设小方格边长为1，则AB =2，EF=2. 通过勾股定理易求得BC 2,AC 5,DE 2,DF =10.∴22DE EF DF AB BC AC ===,∴△DE F ∽△ABC . (2)∵ 1.5AC BC EC DC==，∠AC B=∠ECD, ∴△AC B ∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,1.527x =,∴x=40.5,y=98.5.(10分)如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE=92，DB=7，BC=485，EC=6310,那么△A DE∽△ABC吗？为什么？解：△A DE∽△ABC.理由：∵512AD AE DEAB AC BC===,∴△A DE∽△ABC.二、综合应用（20分）6.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边应当是多少？解：两个形状相同的三角形框架，它们是相似的.如果边长2与边长4是对应边，则另外两边为2.5和3.如果边长2与边长5是对应边，则另外两边为1.6和2.4.如果边长2与边长6是对应边，则另外两边为43和53.7.(10分)如图，已知△AB D∽△AC E．求证：△ABC∽△A DE.证明：∵△AB D∽△AC E,∴∠BAD=∠CAE,AB AD AC AE=.∴∠BAD+∠D AC=∠CAE+∠D AC,即∠B AC=∠DAE.又∵AB AC AD AE=,∴△ABC∽△A DE.三、拓展延伸（10分）8.(10分)在△ABC中,∠B=30°，AB=5 cm，AC=4 cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10 cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.解：不一定.理由：虽然12AB ACA B A C=='''',∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角，∴这两个三角形不一定相似.。

27.2.1 相似三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】1．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．2．掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．【重点难点】1．相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．运用三角形相似的条件解决简单的问题．知识概览图定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等新课导引【生活链接】小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形状的花束，三边长分别是35 cm，40 cm，50 cm，小丽也想制作一个这样形状的花束，但她手中只有一根长100 cm的木条，她应该怎么制作呢?【问题探究】如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗? 教材精华知识点1 相似三角形相似三角形是形状相同的三角形，它们的对应角都相等，对应边的比都相等．如图27—10所示，△ABC与△DEF的形状相同，大小不同，这两个三角形相似，所以∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB BC ACDE EF DF==·拓展相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最重要的性质．知识点2 相似三角形的表示方法△ABC与△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作“△ABC 相似于△DEF”或“△DEF相似于△ABC”．拓展用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上，如图27－10所示，表示△ABC与△DEF相似，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角是∠E，∠C 的对应角是∠F，即△ABC∽△DEF，而不要写成△ABC∽△EFD，如果把△ABC写成△BAC，那么就应该记作△BAC∽△EDF，这样做的目的是为了指明对应角、对应边．相似三角形相似三角形的判定知识点3 三角形的相似比两个三角形相似，对应边的比叫做相似比． 例如:若△ABC ∽△DEF ，则AB BC CA DE EF FD ==．设比值为k ，于是AB BC CA DE EF FD===k ，即△ABC 与△DEF 的相似比为k ．拓展 这时△DEF 与△ABC 的相似比为1k ．若BC ＝6，EF ＝8，则△ABC 与△DEF 的相似比为6384=，△DEF 与△ABC 的相似比为43. 探究交流 如果两个三角形的相似比k ＝1，那么这两个三角形有怎样的关系?点拨 当两个三角形相似，且相似比为1时，这两个三角形全等，也就是说，这两个三角形的对应角都相等，对应边都相等，这两个三角形能够重合．三角形全等是三角形相似的特例．知识点4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．把这个定理应用到三角形中，可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比相等． 知识点5 相似三角形的判定定理判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．如图27—11所示，在△ABC 中，过AB 上一点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，求证△ADE ∽△ABC ．证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ．连接DC ，BE ，∵S △EBC ＝S △DBC ，∴S △ABE ＝S △ACD ．∵同高的两个三角形面积的比等于底边的比，∴,ADE ADE ABE ACD S S AD AE S AB S AC ==△△△△. ∵,ADE ADE ABE ACD S S AD AE S S AB AC=∴=△△△△. 如图27－12所示，过点D 作DF ∥AC 交BC 于点F ．易证.BD BF AB BC= 又∵BD ＝AB －AD ，BF ＝BC －F C ＝BC －DE ，∴AB AD BC DE AB BC --=，即AD DE AB BC=． ∴AD AE DE AB AC BC==. 又∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．如图27－13所示，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB BC AC A B B C A C ==''''''，求证△ABC ∽△A ′B ′C ′．证明：在线段A ′B ′(或它的延长线)上截取A ′D ＝AB ，过点D 作DE ∥B ′C ′交A ′C ′于点E ，∴△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∴A D DE A E A B B C A C ''==''''''. 又∵AB BC AC A B B C A C ==''''''，A ′D =AB ， ∴A E AC A C A C '=''''.∴A ′E =AC ，同理DE =BC ， ∴△A ′DE ≌△ABC (SSS)，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．例如：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，A ′B ′＝12 cm ，B ′C ′＝18 cm ，A ′C ′＝24 cm ，此时41123AB A B ==''，61183BC B C ==''，81243AC A C ==''，∴AB BC AC A B B C A C ==''''''，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵AB BC AC A B B C A C==''''''，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′． 判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．如图27－14所示．书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵AB AC A B A C =''''，∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．判定定理4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．如图27—15所示，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，求证△ABC ～△A ′B ′C ′．证明：在△ABC 的边AB 上截取AD ＝A ′B ′，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′，且△ADE ～△ABC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．书写格式：在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∵∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴△ABC ～△A ′B ′C ′．规律方法小结 判定三角形相似的方法主要有以下几种：(1)定义；(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(3)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(4)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(5)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似(此知识常用，但有时需要证明)；(7)若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．知识点6 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边的比相等．拓展 相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段的计算以及三角形的周长和面积的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等．规律方法小结 运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系，即由未知向已知转化．当两个三角形相似，但又没有指明对应的情况时，应进行分类讨论．课堂检测基本概念题1、所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰直角三角形呢?为什么?2、根据下列条件判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm；(2)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝21 cm．基础知识应用题3、如图27－17所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ABC∽△ADE，其中∠ADE＝∠B.4、如图27－18所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是 ( )A．AD BCDF CE= B．BC DFCE AD=C．CD BCEF BE= D．CD ADEF AF=5、如图27－19所示，△ABD∽△ACE，求证△ABC∽△ADE．6、如图27－20所示，在不等边三角形ABC中，P是AB边上一点，过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，则满足条件的直线一共有多少条?请画出图形．7、如图27—22所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ABC中有一个内接正方形DEF C，连接AF交DE于G，AC＝15，BC＝10，求GE的长．综合应用题8、如图27－23所示，从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和C F，垂足分别为E，F，求证AB·AE+AD·AF＝AC2．9、如图27－24所示，小明为了测量一楼房MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点，若AC＝1.5 m，小明的眼睛离地面的高度为1．6 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度．(结果保留小数点后一位)探索与创新题10、如图27—25所示，在直角梯形ABCD中，∠D＝90°，AD＝7，AB＝2，DC＝3，P为AD上一点，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P 一共有多少个?为什么?体验中考1、如图27－28所示，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题．(1)当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；(2)设△BPQ的面积为S cm2，求S与t的函数关系式；(3)作QR∥BA交AC于点P，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ?2、如图27－29所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC＝1:2，则BF:BE= . 学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由相似三角形的定义可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似．解：所有的直角三角形不都相似．如图27—16所示的两个直角三角形中的两个锐角显然不相等，因此这两个直角三角形不相似．所有的等腰直角三角形都相似．因为任意一个等腰直角三角形的三个内角分别为45°，45°，90°，三条边的比为1：1：2，因此所有的等腰直角三角形都相似．【解题策略】 所有的直角三角形中不满足对应角都相等，因此所有的直角三角形不都相似．2、分析 根据判断两个三角形相似的判定定理3与判定定理2来判定．解：(1)∵73AB A B ='',14763AC A C ==''，∴AB AC A B A C =''''． 又∵∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′．(2) 41123AB A B =='', 61183BC B C =='',821AC A C ='',∴AB BC AC A B B C A C =≠''''''. 即△ABC 与△A ′B ′C ′的三组对应边的比不相等，所以它们不相似．【解题策略】 此类题主要考查相似三角形的判定定理．3、分析 要写出比例式，关键应明确哪些边是对应边，而要找到对应边，比较好的方法是找到对应角(或对应的顶点)．以(2)为例，由于A ′B ′∥AB ，∴∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠A ′OB ′＝∠AOB ，因此点A 与点A ′是对应点，点B 与点B ′是对应点，另一个公共点O 是两个三角形的对应点．解：(1) .AD AE DE AB AC BC== (2)AO BO AB A O B O A B ==''''. (3) .AD AE DE AB AC BC == 【解题策略】 两个三角形相似，在找对应角和对应边时应按照对应字母来找．4、分析 如图27－18所示，把直线AD 向右平移，且使点A 与点B 重合．容易证明：AD ＝BD ′，DF ＝D ′F ′，由比例线段的特点知BC BD AD CE D F DF'==''．故选A ．5、分析 由于△ABD ∽△ACE ，所以∠BAD ＝∠CAE ，所以∠BAC＝∠DAE．又AB ACAD AE=，所以问题得证．证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．又∵△ABD∽△ACE，∴AB AD AC AE=，即AB ACAD AE=，∴△ABC∽△ADE．【解题策略】解决此类问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6、分析可利用“如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”来画直线，故过点P分别作BC，AC的平行线，或过点P作与∠C相等的角，从而得到相似三角形．解：满足条件的直线一共有四条，如图27－21所示．【解题策略】本题考查相似三角形的识别方法，通过构造“两角对应相等”使两个三角形相似．7、分析根据相似三角形的判定方法和性质列出比例式，从而求得GE的长．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEF C为其内接正方形，∴△ADE∽△ACB，△AGE∽△AF B，∴AD DE AE AC CB AB==.设正方形DEF C的边长为x，则151510x x-=，∴x=6．∵△AGE∽△AFB，∴AE GEAB FB=.又∵1569315155AE ADAB AC-====,∴35GEFB=，即31065GE=-，∴GE=125.【解题策略】利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法，主要是根据相似的关系列出比例式，再由比例式列出方程，从而通过解方程求得线段的长．8、分析等式左边的两项均为两条线段之积，而右边为AC2，故应设法将AC2拆成两条线段乘积的形式，由图中可知AC2＝AC(AG+GC)＝AC·AG+AC·GC，从而只需证AC·AG和AC·GC 与所证等式的左端两项分别相等即可．证明：过B作BG⊥AC于G，∵∠BGA＝∠CE A＝90°，∠3＝∠3，∴△ABG ∽△ACE ，∴AG AB AE AC=， ∴AC ·AG ＝AB ·AE ．①又∵BC ∥AD ，C F ⊥AF ，∴∠1＝∠2，∠CG B ＝∠AF C ＝90°，∴△CBG ∽△ACF ，∴CB CG AC AF=， ∴AC ·CG ＝CB ·AF ．②由①+②得AC (AG +CG )＝AB ·AE +CB ·AF ．又∵CB ＝AD ，∴AB ·AE +AD ·AF ＝AC 2．【解题策略】 一般地，要证形如ab ＝cd +ef 的线段关系，常常在a (或b )上取一点P ，使ab 转化为两项．9、分析 根据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角，即∠BAP ＝∠MAP ，从而∠BAC ＝∠M A N ，这样就可以得到△MNA ∽△BCA ，再利用相似三角形的性质即可求出MN ． 解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ，∴∠BCA ＝∠MNA ＝90°，又∵∠BAP ＝∠MAP ，∴∠BAC ＝∠M A N ，∴△BCA ∽△MN A ，∴MN :BC ＝A N :AC ，即MN ：1.6=20:1.5，∴MN =1.6201.5⨯≈21．3(m)， ∴楼房的高度约为21．3 m ．【解题策略】 利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求线段的长是常用的方法．10、分析 △PAB 与△PDC 中各有一个直角，两边对应成比例，所以应分两种情况进行讨论，即∠APB ＝∠DPC 和∠APB ＝∠PCD ，分别求解即可．解：设AP ＝x ，则PD ＝7－x ．①当△PAB ∽△PDC ，即∠A ＝∠D ＝90°，∠APB ＝∠DPC 时， 273x x =-,∴x ＝145. ②当△PAB ∽△CDP ，即∠A ＝∠D =90°，∠APB ＝∠DCP 时， 237x x=-，∴x 1=1，x 2=6． 因此AP 的值有三个，也就是这样的点P 一共有三个．【解题策略】 本题中△PAB 与△PDC 相似，由于没有指明两个三角形的对应点(除点A 和点D 外)，所以要分类讨论．体验中考1、分析 (1)∠B ＝60°，只要判断出BQ 与BP 的关系即可．(2)用含t 的代数式分别表示BP 和BP 边上的高，因此需过点Q 作BP 边上的高；(3)找出使△APR ∽△PRQ 成立的条件即可．解：(1)△BPQ 是等边三角形，理由如下：当t ＝2时，AP ＝2×1＝2，BQ ＝2×2＝4，∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4 ．∴BQ ＝BP ．又∵∠B ＝60°，∴△BPQ 是等边三角形．(2)过点Q 作QE ⊥AB ，垂足为点E ．由QB ＝2t ，得QE ＝2t ·sin 60．由AP ＝t ，得PB ＝6－t ．∴S △BPQ ＝12BP ·QE ＝12(6－t )t 2． (3)∵QR ∥BA ，∴∠QR C ＝∠A ＝60°，∠RQC ＝∠B ＝60°．又∵∠C ＝60°，∴△QRC 是等边三角形，∴QR ＝RC ＝QC ＝6－2t .∵BE ＝BQ ·cos 60°＝2t ×12＝t ， ∴EP ＝AB －AP －BE ＝6－t －t ＝6－2t .∴EP ＝QR ，又∵EP ∥QR ，∴四边形EPRQ 是平行四边形，∴PR ＝EQ ．又∵∠PEQ ＝90°，∴∠APR ＝∠PRQ ＝90°．∵△APR ∽△PRQ ，∴∠QPR ＝∠A ＝60°．∴tan 60°=QRPR t =65． ∴当t ＝65s 时，△APR ∽△PRQ . 【解题策略】 分析动点问题时，要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、距离等要素．2、分析 ∵DE :EC ＝1:2，∴设DE ＝x ，则EC ＝2x ，∴AB ＝3x ．由△ABF ∽△CEF ，得3,2BF AB FE CE ==∴BF :BE ＝3:5．故填3:5．。