高考数学总复习教案1几何证明选讲第2课时圆的进一步认识

2021年高考数学一轮复习几何证明选讲第2讲圆周角定理与圆的切线教案理新人教版选修4-1【xx年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用．【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CPA ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________.解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°.答案 50°3．(xx·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ，因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1，所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(xx·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(xx·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为PA 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(xx·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CDsin ∠DAC＝ADsin ∠ACD＝ADsin ∠ABD＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝232.又sin ∠APB ＝sin (90°＋∠DAP )＝cos ∠DAP ＝23 2.答案232 解决本题的关键是寻找∠APB 与∠DAP 的关系以及AD 与AB 的关系．【训练1】 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于________．解析 连接AO ，OB .因为∠ACB ＝30°，所以∠AOB ＝60°，△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝OA ＝AB ＝4，圆O 的面积S ＝πr 2＝16π. 答案 16π考向二 弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，则EF 的长为________．[审题视点] 先证明△EAB ∽△ABC ，再由AE ∥BC 及AB ＝CD 等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．解析 ∵BE 切⊙O 于B ，∴∠ABE ＝∠ACB . 又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC. 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EFAF.又AD ∥BC ，∴AB ＝CD ， ∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF6，∴EF ＝308＝154.答案154(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】 (xx·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ×CD .证明 (1)因为AC ＝BD ， 所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ×CD .高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】► (xx·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．。

选修４—１几何证明选讲第２课时圆的进一步认识（对应学生用书（理）１8２～１8５页）考情分析考点新知掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题．.１理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.２能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题１．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝２，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D 点，求PC和CD的长．解：由切割线定理得PC２＝PB·PA＝１２，∴PC＝２错误!，连结OC，则OC＝错误!OP，∴∠P＝３0°，∴CD＝错误!PC＝错误!.２．如图，AC为圆O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝２，PA＝8，求tan∠ACD的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP２＝PC·PA＝１6，BP＝４．∵ ∠ACD＝∠ABP，∴tan∠ACD＝tan ∠ABP＝错误!＝错误!＝２．３．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝４，∠ACB＝４５°，求圆O的面积．解：（解法１）连结OA、OB，则∠AOB＝90°.∵AB＝４，OA＝OB，∴OA＝２错误!，则S圆＝π×（２错误!）２＝8π.（解法２）２R＝错误!＝４错误!R＝２错误!，则S圆＝π×（２错误!）２＝8π.４．如图，点B在圆O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交圆O于N，∠BNA＝４５°，若圆O的半径为２错误!，OA＝错误!OM，求MN的长．解：∵ ∠BNA＝４５°，∴∠BOA＝90°.∵OM＝２，BO＝２错误!，∴BM＝４．∵ BM·MN＝CM·MA ＝（２错误!＋２）（２错误!—２）＝8，∴MN＝２．５．如图，已知P是圆O外一点，PD为圆O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝１２，PD＝４错误!，求圆O的半径长和∠EFD的大小．解：由切割线定理，得PD２＝PE·PF PE＝错误!＝错误!＝４EF＝8，OD＝４．∵ OD⊥PD，OD ＝错误!PO，∴∠P＝３0°，∠POD＝60°，∴∠PDE＝∠EFD＝３0°.１．圆周角定理（１）圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．（２）推论１：同弧（或等弧）上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（３）半圆（或直径）上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径．２．圆的切线（１）圆的切线的性质与判定１切线的定义：当直线与圆有２个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有１个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．２切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．３切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．４切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．（２）弦切角１弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．２弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．３推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等．３．相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．４．切割线定理（１）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．（２）切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．５．圆内接四边形（１）圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．（２）圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型１探求角的关系例１如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFＡ．证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFＡ．错误!（２0１１·南通三模）如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POＣ．证明：因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC ＋∠OAE＝∠EAＣ．又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POＣ．题型２求线段长度例２如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O 于点G.（１）求证：△DEF∽△EFA；（２）如果FG＝１，求EF的长．（１）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FEＤ．又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FEＤ．又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFＡ．（２）解：由（１）得错误!＝错误!，即EF２＝FA·FＤ．因为FG是切线，所以FG２＝FD·FA，所以EF＝FG＝１．错误!如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连结AD交圆O 于点E，连结BE与AC交于点F.（１）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（２）若AE＝6，BE＝8，求EF的长．解：（１）BE平分∠ABＣ．∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAＤ．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACＢ．∵∠EBC＝∠CAD，∴∠EBC＝∠D＝∠CAＤ．∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABＣ．（２）由（１）知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE.∵∠AFE＝∠ABE，∴△AEF∽△BEＡ．∴错误!＝错误!.∵AE＝6，BE＝8，∴EF＝错误!＝错误!＝错误!.题型３证明线段相等例３如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N.若AC＝错误! AB，求证：BN＝２AM.证明：在△ABC中，因为CM是∠ACB的角平分线，所以错误!＝错误!.又已知AC＝错误!AB，所以错误!＝错误!.１又BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM·BA＝BN·BC，即错误!＝错误!.２由１２可知，错误!＝错误!，所以BN＝２AM.错误!如图，圆O的直径AB＝２错误!，C是圆O外一点，AC交圆O于点E，BC交圆O于点D，已知AC＝AB，BC＝４，求△ADE的周长．解：∵ AB是圆O的直径，∴AD⊥BＣ．又AC＝AB，∴AD是△ABC的中线．又BC＝４，∴BD＝DC＝２，∴AD＝错误!＝４．由CE·CA＝CD·CB，得CE＝错误!.∴AE＝２错误!—错误!＝错误!错误!.由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE＝DC＝２．则△ADE的周长为6＋错误!.题型４证明线段成比例例４如图，在△ABC中，∠B＝90°，以AB为直径的圆O交AC于D，过点D作圆O的切线交BC 于E，AE交圆O于点F.求证：（１）E是BC的中点；（２）AD·AC＝AE·AF.证明：（１）连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AＣ．又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE ＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．（２）连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有错误!＝错误!，即AB２＝AE·AF，同理可得AB２＝AD·AC，所以AD·AC＝AE·AF.错误!如图，PA切圆O于点A，割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：（１）AD＝AE；（２）AD２＝DB·EＣ．证明：（１）∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAＢ．因为PE是∠APC的角平分线，所以∠EPC ＝∠APＤ．又PA是圆O的切线，故∠C＝∠PAＢ．所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.（２）错误!△PCE∽△PAD错误!＝错误!.错误!△PAE∽△PBD错误!＝错误!.又PA是切线，PBC是割线PA２＝PB·PC错误!＝错误!.故错误!＝错误!.又AD＝AE，所以AD２＝DB·EＣ．１．（２0１３·广东）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C 作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝２，求BC的值．解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以错误!＝错误!，又BC＝CD，所以BC２＝AB·DE＝１２，从而BC ＝２错误!.２．（２0１３·重庆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝２0，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，求DE的长．解：延长BA交切线CD于M.因为∠C＝90°，所以AB为直径，所以半径为１0．连结OC，则OC⊥CD，且OC∥BＤ．因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，即BE＝OB＝１0且∠M＝３0°.所以OM＝２OC＝２0，所以AM＝１0．所以BD＝错误!（AM＋AB）＝错误!＝１５，即DE＝BD—BE＝１５—１0＝５．３．（２0１３·江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC＝２O Ｃ．求证：AC＝２AＤ．证明：连结OD，∵AB、BC分别与圆O相切于点D、C，∴∠ADO＝∠ACB＝90°.∵∠A＝∠A，∴Rt△ADO∽Rt△ACＢ．∴错误!＝错误!.∵BC＝２OC＝２OD，∴AC＝２AＤ．４．（２0１３·新课标Ⅰ）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于Ｄ．（１）证明：DB＝DC；（２）设圆的半径为１，BC＝错误!，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．（１）证明：连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.∵DB⊥BE，∴DE是直径，∠DCE＝90°.由勾股定理可得DB＝DＣ．（２）解：由（１）知，∠CDE＝∠BDE，BD＝DC，故DG是BC的中垂线，∴BG＝错误!.设DE中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°，∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝３0°，∴CF⊥BF，∴Rt△BCF的外接圆半径等于错误!.１．如图，圆O与圆O′内切于点T，点P为外圆O上任意一点，PM与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R，内圆半径为r，作两圆的公切线TQ.设PT交内圆于C，连结OP，O′C，则PM２＝PC·PT，所以错误!＝错误!＝错误!.由弦切角定理知∠POT＝２∠PTQ，∠CO′T＝２∠PTQ，则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，所以错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，为定值．２．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝２DA＝２, 求PE.解：∵ BC//PE∴ ∠BCD＝∠PEＤ．且在圆中∠BCD＝∠BAD∠PED＝∠BAＤ．△EPD∽△APE错误!＝错误!PE２＝PA·PD＝３·２＝6．所以PE＝错误!.３．如图，正三角形ABC外接圆的半径为１，点M、N分别是边AB、AC的中点，延长MN与△ABC 的外接圆交于点P，求线段NP的长．解：设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得错误!＝２，所以x＝错误!.延长PN交圆于Q，则NA·NC＝NP·NQ.设NP＝t，则t·错误!＝错误!错误!.所以t＝错误!，即NP＝错误!.４．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，圆O是△BDE的外接圆．（１）求证：AC是圆O的切线；（２）如果AD＝6，AE＝6错误!，求BC的长．（１）证明：连OE，∵BE⊥DE，∴O点为BD的中点．∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE.∵∠OEC＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB＋∠CBE＝90°，即OE⊥AＣ．又E是AC与圆O的公共点，∴AC是圆O的切线．（２）解：∵AE是圆的切线，∴∠AED＝∠ABE.又∠A共用，∴△ADE∽△AEB，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得AB＝１２，∴圆O的半径为３．又∵OE∥BC，∴错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得BC＝４．几个重要定理的符号语言及图形（１）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵ 在圆O中，弦AB、CD相交于点P，∴PA·PB＝PC·PＤ．（图１）图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∴CE２＝AE·BE.（图２）（２）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵ 在圆O中，PB、PE是割线，∴PC·PB＝PD·PE.（图３）（３）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，PA是切线，PB是割线，∴PA２＝PC·PＢ．（图３）错误![备课札记]。

一、自我诊断 知己知彼1. 以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（ ） A .25)4()5(22=-++y x B .16)4()5(22=++-y x C .16)4()5(22=-++y x D .25)4()5(22=++-y x 【答案】C【解析】圆的标准方程为：()()222r b y a x =-+-，圆心为()b a ,，半径为r ，所以方程为：()()16445222==-++y x ，故选C .2．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______． 【答案】(x －2)2＋y 2＝10【解析】设圆心坐标为C (a,0)，∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9，解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C【解析】由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是 ( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B .5．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 【答案】2 2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.二、温故知新 夯实基础1．圆的定义与方程2(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.3．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).三、典例剖析 思维拓展考点一 圆的方程例1 已知点(3,2)A -，(5,4)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ． 【答案】22(1)(1)25x y ++-=【解析】根据中点坐标公式知以线段AB 为直径的圆的圆心为（-1，1），半径为152AB =,所以所求圆的方程为22(1)(1)25x y ++-=. 【易错点】中点公式易出错【方法点拨】求圆的标准方程，关键是求出圆心和半径.利用中点坐标公式求出圆心,再用两点间距离公式求出半径.考点二 直线与圆位置关系例1 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________． 【答案】(x －3)2＋y 2＝2【解析】方法一 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.方法二 设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，因为点A (4,1)，B (2,1)都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.【易错点】利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x .(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．【方法点拨】 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．考点三 两圆位置关系例1已知点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是__________． 【答案】35－5【解析】两圆的圆心和半径分别为C 1（4,2），r 1＝3，C 2（－2，－1），r 2＝2，∴|PQ |min ＝|C 1C 2|－r 1－r 2＝(4＋2)2＋(2＋1)2－3－2＝35－5.【易错点】(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．【方法点拨】利用几何性质处理圆中的最值问题.考点四 圆的综合问题例1已知圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0．（1）求过点M （﹣6，﹣5）的圆C 的切线方程；（2）过点N （1，3）作直线与圆C 交于A 、B 两点，求△ABC 的最大面积及此时直线AB 的斜率．【答案】（1）6x =-或3420x y --=；（2）8，±．【解析】(1)圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3=0，即（x +2）2+（y ﹣3）2=16,表示以（﹣2，3）为圆心,半径等于4的圆．由于点M （﹣6，﹣5大于半径4,故点M在圆的外部．当切线的斜率不存在时，切线方程为x =﹣6符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为y +5=k （x +6），即kx ﹣y +6k ﹣5=0，，解得k =34,此时，切线为3x ﹣4y ﹣2=0．综上可得，圆的切线方程为x =﹣6，或3x ﹣4y ﹣2=0．（2）当直线AB的斜率不存在时，x =1，y△ABC 的面积S AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ﹣3=k （x ﹣1），即kx ﹣y +3﹣k =0， 圆心（﹣2，3）到直线AB 的距离d，线段AB 的长度|AB∴△ABC 的面积S =12|AB|d ()22162d d +-=8当且仅当d2=8k =±所以，△OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±【易错点】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．【方法点拨】本题主要考查了圆的切线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，其中涉及到点到直线的距离公式、基本不等式的应用、三角形的面积等知识的应用，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，解答中当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程，利用圆心(2,3)-到直线AB 的距离和线段AB 的长度表示出三角形的面积是解答的关键．属于中档试题．四、举一反三 成果巩固考点一 圆的方程1、圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线:3440l x y ++=的距离d = .【答案】3【解析】由已知圆心为(1,2)，由点到直线的距离公式得，2、若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4【答案】A【解析】∵点(1,1)在圆内，∴(1－a )2＋(a ＋1)2<4，即－1<a <1. 3、若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求： （1）圆的方程 （2）圆的圆心和半径【答案】（1）086622=+--+y x y x ；（2）圆心为（3,3），半径10=r .【解析】（1）设圆的一般式为022=++++F Ey Dx y x 将已知点代入方程得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++024*******F E F E F D 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=866F E D ,所以圆的方程为086622=+--+y x y x (2)3232=-=-ED ，，所以圆心为（3,3）2422FE D r -+==10考点二 直线与圆的位置关系1、直线:360l x y --=被圆22:240C x y x y +--=截得弦AB 的长为． 【解析】将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5x y -+-=，利用点到直线的距离可以求2=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为=．2、以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为 .【答案】9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x 【解析】试题分析：因为3r ==所以，所求圆的方程为：9)3()1(22=-+-y x ，化为一般方程为：016222=+--+y x y x 所以答案应填：9)3()1(22=-+-y x 或016222=+--+y x y x .考点三 两圆的位置关系1、圆2240x y +-=与圆22450x y x +--=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．内含 【答案】B【解析】因)0,2(),0,0(,3,22121C C r r ==,则5||121<<C C ,故两圆相交,应选B .2.、若圆2522=+y x 与圆08622=++-+m y x y x 的公共弦的长为8，则=m ___________．【答案】55-或5.【解析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程即02586=---m y x ，根据弦长与半径5=r 以及弦心距1025862522m m d --=+--=之间的关系即可得到8222=-d r ，即可得到92=d ，从而解得55-或5. 考点四 圆的综合问题1、圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 【答案】4【解析】先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。

《对圆的进一步认识》复习导学案（2014.12）复习目标：知识与技能:掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，掌握切线的判定定理和性质定理。

过程与方法:能够运用所学的知识解决与圆有关的题目，提高学生运用所学知识解决问题的能力. 情感态度价值观:感受用运动的观点看待问题的辨证方法，感受数形结合等思想的应用。

课前延伸自主复习本章内容，完成知识树，或绘制知识框架图。

课内探究一根据课前的知识回顾，完成下列基础知识填空。

1. 圆是轴对称图形，_____________________________________是它的对称轴，由此我们得到垂径定理__________________________________________________________;2. 圆是______对称图形，__________是它的对称中心，由此我们得到又一个定理_____________________________________3. 圆周角定理：________________________________________________________________: 圆周角定理推论1_____________________________________________________________； 圆周角定理推论2____________________________________________________________； 圆周角定理推论3____________________________________________________________； 圆周角定理推论4____________________________________________________________。

4．直线与圆的位置关系有_________ _________ _______________三种。

最新整理高三数学20 高考数学备考几何证明复习教案选考部分第一讲：几何证明选讲1．在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则 .类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________解析： PA、PB、PC两两互相垂直, PA⊥平面PBC. 由已知有:PD= , 即2．如图，点是圆上的点,且 ,则对应的劣弧长为．答案：3．如图，AB为的直径，C为上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交于Q，若，AB=4，则 .答案：34．如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．解析:解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则5．如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . .c.o.m图3解析：连结AO,OB,因为 ,所以 , 为等边三角形,故圆O的半径 ,圆O的面积 .6．如图, 是两圆的交点, 是小圆的直径, 和分别是和的延长线与大圆的交点,已知 ,且 ,则 =______ _____.7．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB、DE、OC。

若AD＝2，AE ＝1，则CD的长为 3 。

8．如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点,且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则△ABD的面积是_____ ______．9．如图，已知与相交于A，B两点，直线PQ切于P，与交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN=2， PQ=12，则PM=__4__。

10．如图，平分，，，如果，则的长为．11．如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，若CD=4，BD=8，用圆O 的半径等于 5 ．12．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是______.解析分别连结OB、OC、AC.∴OB⊥EB，OC⊥EF，∵∠E=46°，∴∠BOC=134°，∴∠BAC=67°，∵∠DCF=32°，∴∠CAD=32°，∴∠BAD=67°+32°=99°.答案：99°13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC且DE把△ABC 周长分为相等的两部分，则DE=_____.解析∵∠BAC=90°,∴BC=5 cm.设AD=x cm,AE=y cm,则x+y=6 ①②14．四边形ABCD为圆的内接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，则CE 的长为_____.。

高三数学理科复习教案：几何证明总复习教学案
【摘要】欢迎来到高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。

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本文题目：高三数学理科复习教案：几何证明总复习教学案
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1.了解平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角形射影定理.
3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.
4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.
5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影;会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).。

江苏省南京市东山外国语学校2015届高考数学一轮复习 圆的综合导学案1.掌握圆的标准方程及一般式方程，理解圆的参数方程，能根据圆的方程熟练地求出圆的圆心和半径；能熟练地对圆的方程的各种形式进行相互转化2.掌握直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程等及有关直线与圆的问题3.渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程 三、教学重点难点圆的标准方程及一般式方程，直线与圆的位置关系，圆的切线方程，选择合适方程形式来处理与圆有关的问题，利用圆的几何性质合理的进行数学语言之间的转换，认真挖掘问题中的隐含条件，优化解题过程 四、知识导学1.圆的标准方程： 圆的一般方程： 圆的参数方程：2.直线与圆的位置关系判断的两种方法：代数方法： ；几何方法： ___3.弦长的计算方法：代数方法： _______几何方法： ________ 五、课前自学1.过点(1,4)A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有___________条2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是______________ 3.过点(2,0)P -作直线l 交圆221x y +=于,A B 两点，则PA PB ⋅= ______4.直线y x m =-+与圆221x y +=在第一象限内有两个不同交点，则m 的取值范围是______________ 5.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是_____________________ 6.已知直线l 过点(4,3)P --，且被圆22(1)(2)25x y +++=截得的弦长为8，则l 的方程是____________________7.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，则M 点到直线3420x y +-=的最短距离是 ____8.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有__________个9.过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为10.若曲线1y =(22)x -≤≤与直线(2)4y k x =-+有两个交点时，则实数k 的取值范围是_____________________六、合作、探究、展示例1.点P在直线0x y +-=上，过P 作圆x 2+y 2=1的切线，求切线长最短时P 点的坐标，并求出此时切线长例2.已知直线:2830L mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=； （1）m R ∈时，证明L 与C 总相交;（2）m 取何值时，L 被C 截得弦长最短，求此弦长例 3.已知圆221:2280C x y x y +++-=与222:210240C x y x y +-+-=相交于,A B 两点，（1）求公共弦AB 所在的直线方程；（2）求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程； （3）求经过,A B 两点且面积最小的圆的方程例4.如图，在四边形ABCO 中，2OA CB =，其中O 为坐标原点，A （4，0），C （0，2）．若M 是线段OA 上的一个动点（不含端点），设点M 的坐标为（a ，0），记△ABM 的外接圆为⊙P ． （Ⅰ）求⊙P 的方程；（Ⅱ）过点C 作⊙P 的切线CT （T 为切点），求CT 的取值范围七、当堂检测1.若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为=a ____ _ 2.已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋m ＝0与x ＋2y －5＝0交于A ，B 两点，O 为坐标原点， 若OA OB ＝0， 则实数m 的值为_______________3.若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点),(b a P 与圆122=+y x 的位置关系是4.能够使得圆014222=++-+y x y x 上恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的值为_________________5.若直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则此三角形的面积为6.实数a 、b 满足x 2+y 2-6x+4y+9=0=______________7.在圆)23,25(,522过点内x y x =+有n 条弦长的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为数列的第n 项a n ，若公差]31,61(∈d ，则n 的取值的集合为_______________8.已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切. （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交与Q P ,两点，M 是圆O 上异于Q P ,的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q .求证：以''Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标.9.在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且 OC=1，OA=a+1(a>1)，点D 在边OA 上，满足OD=a. 分别以OD 、OC 为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l ：y=－x+b 与椭圆弧相切，与OA 交于点E. （1）求证：221b a -=；（2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程；（3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部，且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的 方程．10.如图，l 1、l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一段圆弧，若点M 在点O 正北方向，且MO ＝3km ，点N 到直线l 1、l 2的距离分别是4km和5km.(1)建立适当坐标系，求铁路所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正北方向选址建校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离(注:校址视为一点).八、学习小结l2 l1OMN。

圆的认识教案及二次备课教案一，以圆的认识。

一、教学目标。

1. 知识目标，学生能够认识圆的形状，了解圆的性质和相关概念。

2. 能力目标，培养学生观察、分析和推理的能力。

3. 情感目标，激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和创造力。

二、教学重点和难点。

1. 重点，圆的定义、性质和相关概念。

2. 难点，圆的相关定理的理解和应用。

三、教学过程。

1. 导入新课，通过展示圆形物体，引导学生观察并讨论圆的形状和特点。

2. 讲解圆的定义和性质，介绍圆的定义、直径、半径、圆心等概念，并讲解圆的性质和相关定理。

3. 练习，让学生进行相关练习，巩固所学知识。

4. 拓展，引导学生观察周围的环境，找出其中的圆形物体，并讨论它们的特点和应用。

5. 总结，对本节课所学内容进行总结，并布置相关作业。

四、教学手段。

1. 多媒体教学，通过图片、视频等多媒体展示圆的形状和性质。

2. 实物展示，准备一些圆形物体，让学生观察并讨论。

3. 互动讨论，引导学生参与课堂讨论，激发学生的思维和兴趣。

五、教学反思。

通过本节课的教学，学生对圆的形状和性质有了更深入的认识，同时也培养了学生的观察和分析能力。

但是在教学过程中，也发现一些学生对圆的相关定理理解不够深入，需要在后续的教学中加强相关练习和讲解。

教案二，以圆的认识为主题的备课。

一、备课目标。

1. 确定学生的学习目标，明确本节课的重点和难点。

2. 确定教学内容和教学方法，为教学过程做好准备。

二、备课内容。

1. 学习目标，让学生能够认识圆的形状和性质，掌握圆的相关概念和定理。

2. 教学内容，圆的定义、直径、半径、圆心等概念，圆的性质和相关定理。

3. 教学方法，多媒体教学、实物展示、互动讨论等。

三、备课过程。

1. 确定学习目标，明确学生需要掌握的知识和能力，确定本节课的教学目标。

2. 教学内容准备，准备相关教学材料，包括多媒体课件、实物展示等。

3. 教学方法选择，根据学生的特点和教学内容的要求，确定本节课的教学方法和手段。