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线性时不变系统的稳定性分析稳定性是控制系统理论中的重要概念，对于线性时不变系统来说尤其重要。
稳定性分析可以帮助我们确定系统的输出是否会在输入变化或干扰的情况下产生不受控制的波动或发散。
本文将探讨线性时不变系统的稳定性分析方法。
一、线性时不变系统的定义线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，LTI系统）是指满足叠加性和时移不变性两个性质的系统。
叠加性指系统对输入的响应是可加的，时移不变性指系统对延时输入的响应是不变的。
线性时不变系统可以用微分方程或差分方程来描述。
二、稳定性的定义在系统稳定性分析中，我们关注的是系统的零输入响应或者零状态响应。
稳定性可以分为BIBO稳定性和渐近稳定性两种类型。
1. BIBO稳定性BIBO稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability）是指当输入有界时，系统的输出也是有界的。
如果对于任意有界的输入信号，系统的输出都有界，则系统是BIBO稳定的。
2. 渐近稳定性渐近稳定性是指当输入信号趋于稳定时，系统的输出也趋于稳定。
如果对于任意渐近稳定的输入信号，系统的输出也渐近稳定，则系统是渐近稳定的。
三、稳定性分析方法稳定性分析的常用方法包括传输函数法、状态空间法和频域法。
下面将分别介绍这三种方法。
1. 传输函数法传输函数法是用传输函数来描述系统的稳定性。
传输函数是输入和输出的关系，它是Laplace变换或Z变换的比值。
对于连续时间系统，传输函数可以表示为H(s)；对于离散时间系统，传输函数可以表示为H(z)。
通过分析传输函数的极点（Pole）可以判断系统的稳定性。
对于连续时间系统，如果传输函数的极点都位于左半平面，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于右半平面的，则系统是不稳定的。
对于离散时间系统，如果传输函数的极点都位于单位圆内部，则系统是BIBO稳定的；如果传输函数的极点有位于单位圆外部的，则系统是不稳定的。
时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析时滞微分方程是一类具有历史信息的微分方程，在许多实际问题中都有广泛的应用。
由于它们具有与常微分方程不同的特性，因此对它们的稳定性和分岔现象的研究具有重要意义。
本文将介绍时滞微分方程的稳定性和Hopf分岔分析。
首先，我们来看一般形式的时滞微分方程：$$\frac{dx}{dt} = f(x(t),x(t-\tau)),$$其中$x(t)$表示未知函数，$f(x(t),x(t-\tau))$表示给定的函数。
这种方程中的时滞项$x(t-\tau)$表示历史信息，它反映了系统过去的状态对当前状态的影响。
因此，时滞微分方程的稳定性与时延参数$\tau$密切相关。
稳定性是研究时滞微分方程解的一个重要问题。
通常，我们关注的是解在$t\rightarrow \infty$时的行为。
当方程的解趋于有限值或周期解时，我们称之为稳定解。
反之，如果解在$t\rightarrow \infty$时发散或趋向于无穷大，我们称之为不稳定解。
稳定性的判断方法主要有两种：线性稳定性和非线性稳定性。
线性稳定性是通过线性化时滞微分方程来判断原方程解的稳定性。
首先，我们要找到系统的平衡点$x^*$，即满足$f(x^*,x^*-\tau)=0$的点。
然后，我们将方程在$x^*$附近展开成泰勒级数，保留一阶项，即$$\frac{dx}{dt} = f(x^*,x^*-\tau) +\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}(x-x^*),$$其中$\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*}$表示$f$对$x$的偏导数在$x=x^*$处的值。
线性稳定性的判断依据是线性化方程的特征值。
如果所有特征值的实部都小于零，则认为解是稳定的。
反之，如果存在特征值的实部大于零，则解是不稳定的。
非线性稳定性是通过对解的特性方程进行分析来判断的。
特性方程的形式为$$\lambda + \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x^*} = 0.$$我们将其写成复数形式$\lambda = \alpha + i\omega$，其中$\alpha$表示实部，$\omega$表示虚部。
Closed-loop control systems 闭环控制系统Open-loop control systems开环控制系统Process 过程Linear system线性系统Nonlinear system非线性系统Continuous system 连续系统Discrete system离散系统Stability 稳定性Steady-state performance 稳态性能Transient performance 暂态特性mathematical model 数学模型differential equations 微分方程Transfer function传递函数zeros and poles of transfer function传递函数的零极点Inverse proportion part 比例环节Inertia part惯性环节Integral part 积分环节Derivative part 微分环节Vibrate part震荡环节Delay part 滞后环节Block diagram (Equivalent transformation)方框图(Unit) negative (positive) feedback loop 负（正）反馈回路Mason formula 梅逊公式disturbance 干扰Step signal 阶跃信号Ramp signal(speed function signal) 斜波信号Parabola signal(acceleration signal) 加速度信号pulse signal脉冲信号Sinusoidal signal 正弦信号Delay time延迟时间Rise time 上升时间Peak time峰值时间Settling time 稳定时间Percent overshoot超调量Steady-state error稳态误差position error coefficient Kp speed error coefficient Kv acceleration error coefficient Kafirst-order system一阶系统S econd-order system 二阶系统high-order system 高阶系统Dominant pole主导极点Underdamped欠阻尼Critically Damped临界阻尼Overdamped 过阻尼Undamped无阻尼的Routh-Hurwitz stability criterion劳斯稳定性判据R outh array 劳斯表Character equation 特征方程root locus 根轨迹open-loop zeros and poles 开环零极点Magnitude and angle requirements of root locus幅值与相角frequency character 频率特征(inverse) Laplace transformation 拉普拉斯（反）变换Nyquist plot奈奎斯特图Bode diagram波德图Logarithmic magnitude frequency character对数幅值频率特性Logarithmic phase frequency character对数相频特征Nyquist stability criterion奈奎斯特稳定判据cutoff frequency 剪切频率Phase margin 相位裕量Gain margin 增益裕量Cutoff frequencyCascade phase-lead compensation串联超前矫正Cascade phase-lag compensation 串联滞后校正Cascade phase-lag and -lead compensation串联滞后-超前矫正sample control system 采样控制系统digital control system 数控系统discrete control system离散控制系统Shannon sampling theorem 香农采样定理Zero-order hold 零阶保持sampling period 采样周期Sampling frequency 采样频率Z-transform z变换Z-inverse transform z逆变换pulse transfer function脉冲传递函数bilinear transform双线性变换。
时变时滞随机非线性系统的自适应神经网络跟踪控制余昭旭;杜红彬【摘要】This paper focuses on the adaptive neural control for a class of uncertain stochastic nonlinear strict-feedback systems with time-varying delay. Based on the Razumikhin function approach, a novel adaptive neural controller is de- veloped by using the backstepping technique. The proposed adaptive controller guarantees that all the error variables are 4-moment semi-globally uniformly ultimately bounded in a compact set while the tracking error remains in a neighborhood of the origin. The effectiveness of the proposed design is validated by simulation results.%针对一类具有时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统的自适应跟踪问题,利用Razumikhin引理和backstepping方法,提出一种新的自适应神经网络跟踪控制器.该控制器可保证闭环系统的所有误差变量皆四阶矩半全局一致最终有界,并且跟踪误差可以稳定在原点附近的邻域内.仿真例子表明所提出控制方案的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2011(028)012【总页数】5页(P1808-1812)【关键词】自适应跟踪控制;神经网络（NNs）;Razumikhin引理;随机系统;时变时滞【作者】余昭旭;杜红彬【作者单位】华东理工大学自动化系,上海200237;华东理工大学自动化系,上海200237【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言(Introduction)随机干扰广泛地存在于各类实际系统中,因此随机非线性系统的稳定性分析及控制器设计受到越来越多的关注[1～6].特别地,对于严格反馈型随机非线性系统,采用backstepping方法提出了许多控制策略[3～6].然而这些控制策略往往要求系统函数已知或满足匹配条件.如果不能获得系统函数的这些先验知识,那么这些方法显然不适用.由于神经网络和模糊系统对未知非线性函数具有良好的逼近性能,采用自适应神经网络控制和自适应模糊控制能较好地避免前面的限制.然而对具有未知系统函数的随机系统的神经网络控制问题和模糊控制问题的研究结果还比较少[6～10]. 时滞现象大量存在于如计算机网络、核反应器等实际系统中,并且往往会导致系统的不稳定,因此时滞系统一直是研究的热点问题[11].Lyapunov-Krasovskii方法和Lyapunov-Razumikhin方法也广泛地应用于时滞随机非线性系统的稳定性分析和控制器设计.文献[12,13]已将Lyapunov-Razumikhin方法应用到时滞不确定随机非线性系统的稳定性分析.对时滞随机非线性系统的镇定与跟踪问题,大多采用Lyapunov-Krasovskii方法[9,14～16]. 相比Lyapunov-Razumikhin方法,Lyapunov-Krasovskii函数则不易构造,且Lyapunov-Krasovskii函数的复杂性使得稳定性分析与控制器设计也更为复杂.此外Lyapunov-Krasovskii对时滞常常不仅要求有界,而且须满足(t)＜ς＜1(ς为常数),而Lyapunov-Razumikhin方法仅要求时滞有界.因此针对时变时滞随机非线性系统的跟踪控制问题,采用Lyapunov-Razumikhin方法提出一种新的自适应神经网络控制器设计方法具有重要意义.本文利用Razumikhin引理和backstepping方法,针对一类具有时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统,提出一种新的自适应神经网络跟踪控制策略.所提出的控制器可保证跟踪误差四阶矩半全局一致最终有界.同时由于神经网络参数化[10]的应用,使得自适应控制器中所估计的参数大量减少.2 问题描述及准备(Problem formulation and preliminary results)2.1 预备知识(Preliminary results)考虑以下随机非线性系统:其中:x∈Rn为状态,ω为定义完备概率空间(Ω,F,P)上的r维的标准布朗运动,其中:Ω为采样空间,F为σ域以及P为概率测度;f和h为合适维数的向量值函数或矩阵值函数.针对C2函数V(t,x)定义如下算子L:其中tr(A)为A的迹.Razumikhin引理:考虑时滞随机泛函微分方程(retarded stochastic functional differential equation,RSFDE):dx=f(t,xτ)dt+h(t,xτ)dω,令p ＞ 1,如果存在函数V(t,x)∈ C1,2([−τ,∞]× Rn)和常数ci＞0(i=1,2),q＞1,满足以下不等式:对所有的t≥0,满足那么RSFDE的具有初值ξ的解x(t,ξ)概率意义下一致最终有界,并且满足其中:|ξ(s)|p,γ=µ1∧.由文献[17]中定理4.1.4取κ =0,ψ(t)=e−t,µ = µ1和ζ(t)= µ2可容易得到以上Razumikhin引理,证明略.本文中考虑p=4.引理1 对于ε＞0和任意实数η∈R,存在不等式[18]其中k为常数且满足k=e−(k+1),即k=0.2785.引理2 考虑不等式其中λ为正常数,如果初始条件(0)≥0成立,则对所有t≥0有(t)≥0.本文中,高斯径向基函数(RBF)神经网络用来逼近任意的连续函数g(·):Rn→R,也即=TΦ(Z),其中输入向量Z∈ΩNN⊂Rn,权向量=(w1,···,wl)T ∈ Rl以及核向量Φ(Z)=(s1(Z),s2(Z),···,sl(Z))T;激励函数si(Z)采用高斯函数,即其中:µi=(µi1,···,µin)T为接受域的中心,νi为高斯函数的宽度.通过选择足够多的节点,神经网络在紧集ΩNN⊂Rn上可以逼近任意的连续函数,即“理想”的权向量W∗是为了分析而设想的量,定义为W∗:=arg|g(Z)−Z)|}.假设1 ∀Z∈ΩNN,存在“理想”的常数权向量W∗,使得‖W∗‖∞ ≤ wmax和|δ|≤ δmax,其中上界wmax,δmax ＞ 0.由式(7)容易得到其中:β(Z)==max{δmax,wmax}.2.2 问题描述(Problem formulation)考虑由以下方程描述的时滞随机非线性系统:其中:xi∈R(i=1,···,n)为系统的状态,定义i=[x1···xi]T,x=n;u∈R为控制输入;y∈R为系统的输出;Borel可测函数τ(t):R+→ [0,τ]表示未知的时变时滞;ω与系统(1)定义相同;f(·),g(·),q(·):Rn→ R和h(·):Rn→ Rr皆为未知的非线性光滑函数.本文的主要目的是设计一种自适应状态反馈控制率u(x,θ),=Φ(x,),使得对于某紧集内的初始条件x(0),(0),闭环系统的所有误差变量皆四阶矩半全局一致最终有界,且跟踪误差可以稳定在原点附近的邻域内.假设2 未知非线性函数g(x)的符号已知,且存在正常数bm和bM,满足0＜bm≤|g(x)|≤bM＜∞,∀x∈Rn.不失一般性,可进一步假设0＜bm≤g(x)≤bM＜∞.假设3 存在未知k∞类函数Q(·)满足以下不等式:|q(x(t− τ(t)))|≤ Q(‖x(t− τ(t))‖).假设 4 未知非线性函数h(x,x(t−τ(t)))满足以下不等式:‖h(x,x(t− τ(t)))‖2 ≤H1(‖x‖)+H2(‖x(t− τ(t))‖),其中:H1(·)为未知非负光滑函数,H2(·)为未知k∞类函数.(t)皆为连续且有界的.进一步,假定存在常数d,假设 5 参考信号yd(t)及其微分(t),···,使得‖[yd···]T‖ ≤ d.3 控制器设计及稳定性分析(Controller design and stability analysis)这一节,针对系统(9),利用backstepping方法及Razumikhin引理设计一种新的自适应神经网络跟踪控制器.首先,需引入以下误差变量:其中:为待定的虚拟控制函数,.对于1≤i≤n−1,选取Lyapunov函数选取虚拟控制函数为其中:Lαi−1=,ki为待定设计常数.则容易得到以下关系式:其中:p1=k1−3/4＞0,pi=ki−1＞0(2≤i≤n−1).将式(11)可改写为如下形式:系数di,j为常数.另外,α0(yd)=yd.基于以上的介绍,容易得到下面引理3.引理3 存在正常数ρ,υ,使得其中:Z=[z1···zn:=−θ/bm,表示未知常数θ/bm的估计.下面继续控制器的设计.当i=n时,由Itˆo公式可得其中Lαn−1:=.定义Lyapunov函数由式(2)可得由假设3可得由于Q(·)为k∞类函数,利用引理3及Razumikhin引理可得由引理1,||Fn,其中Fn=Q(2ρq‖Z(t)‖)+Q(2υ),可通过以下不等式进行处理: 由假设4,可得以下不等式:其中:Gn=H2(2ρq‖Z‖)+H2(2υ),ϑ1和ϑ2为任意的正常数.定义一个新的函数在紧集ΩZ中可通过RBF神经网络逼近:其中:Zn=[x[n]]∈ ΩZ,W∗TS(Zn)表示的“理想”神经网络近似,而δ(Zn)表示逼近误差.利用神经网络参数化式(8),可得其中: β(·)==max{δmax,wmax}.构造实际控制器及参数调整算法如下:其中kn,σ与λ为待定的正设计参数.利用不等式θ≥,在控制器(20)(21)的作用下,由式(14)～(19)可得其中pn:=knbm−＞0.式(22)可改写为其中: µ :=min{4p1,4p2,···,4pn−1,4pn,λ},ν :=θ2+k(θσ + ε)+由式(23)及Razumikhin引理可知,闭环系统的解四阶矩半全局一致最终有界,且对于足够小的ς＞0,存在时间T:=,其中:E|Z(s)|4,γ=µ∧,c1 ≤min{},使得∀t≥T,有E|(y(t)−yd)4|≤ (1+ς)基于以上分析,主要结论可由以下定理描述:定理1 对于满足假设(2)～假设(5)的时变时滞不确定随机非线性系统(9),在控制器(20)和参数自适应率(21)作用下,闭环系统的所有误差信号四阶矩半全局一致最终有界,且跟踪误差稳定在以下集合Ω所定义的区域内:注 1 定义如下紧集:初始值集合Ω0、有界紧集ΩZ、稳态紧集Ωs和神经网络逼近的有效集合ΩNN.在控制器设计过程中为了∀t≥0神经网络逼近皆有效,需保证ΩZ⊆ΩNN.为了阐述方便,由式(23)及Razumikhin引理,可将有界紧集ΩZ和稳态紧集Ωs定义如下:这些集合之间的关系如图1所示.在控制器设计的初始阶段首先定义ΩNN,并且ΩNN与控制器的参数和初始集合Ω0均无关.由式(24)(25)可知:i)初始集合Ω0通过‖ξ‖0影响ΩZ,但与Ωs和ΩNN无关;ii)可通过调整参数ki,λ,σ,ε,ϑ1和ϑ2,使得ΩZ和Ωs足够小.图1 各紧集之间的关系Fig.1 The relationship among compact sets由集合ΩZ和Ωs的界可知,对于给定足够大的ΩNN,存在合适的‖ξ‖0,γ和ν使得ΩZ ⊆ ΩNN和Ωs ⊆ ΩNN. 而由γ和ν的定义可知,γ和ν的值依赖于控制参数ki,λ,σ,ε,ϑ1和ϑ2的选择.因此对于给定足够大的ΩNN和‖ξ‖0=ξmax＞0,存在合适的控制参数使得ΩZ⊆ΩNN.定义xi(0),zi(0)和(0)的初始值集合Ω0使得‖ξ‖0＜ξmax.这时对于属于Ω0的所有xi(0),zi(0)和(0),∀t＞0均有ΩZ⊆ΩNN.4 仿真研究(Simulation example)考虑以下时变时滞不确定随机非线性系统:其中:τ(t)=1+sint,初始条件为x1(0)=0.2和x2(0)=0.1,参考输入信号yd=0.5(sint+sin 0.5t).仿真过程中,采用RBF神经网络来逼近未知函数,W∗TS(Z2)包含729个节点,中心分布在[−5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[0,5],宽度为1;其他仿真参数给出如下:k1=4.74,k2=15,λ=5,σ=1.采用定理1中的控制器(20)和参数自适应率(21),其中z1=x1−yd,z2=x2− α1,β = β(Z2).仿真结果由图2～4给出,图2表明所提出的自适应跟踪控制器具有良好的跟踪性能,输出响应y能比较快地跟踪参考输入yd;控制输入如图3所示;图4描述了自适应参数曲线.图2 输出响应y(t)和参考输入yd(t)Fig 2 Output responsey(t)and reference inputyd(t)图3 控制输入u(t)Fig 3 Control inputu(t)图4 自适应参数Fig 4 Adaptive parameter5 结论(Conclusion)本文针对一类具有未知时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统,利用Razumikhin引理和backstepping方法,提出了一种新的神经网络自适应控制器,可以保证跟踪误差四阶矩半全局一致最终有界.所给出的控制器结构简单,易于实现.将该方法推广到更一般的严格反馈型随机非线性系统是下一步工作的方向.参考文献(References):【相关文献】[1]FLORCHINGER P.Lyapunov-like techniques for stochastic stability[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1995,33(4):1151–1169.[2]FLORCHINGER P.Feedback stabilization of affine in the control stochastic differential systems by the control Lyapunov function method[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1997,35(2):500–511.[3]PAN Z G,BASAR T.Adaptive controller design for tracking and disturbance attenuation in parameter-feedback nonlinear systems[J].IEEE Transactions on AutomaticControl,1998,43(8):1066–1083.[4]DENG H,KRISTIC M.Stochastic nonlinear stabilization:part 1:a 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自动控制原理专业词汇中英文对照中文 英文自动控制 automatic control；cybernation 自动控制系统 automatic control system自动控制理论 automatic control theory经典控制理论 classical control theory现代控制理论 modern control theory智能控制理论 intelligent control theory 开环控制 open-loop control闭环控制 closed-loop control输入量 input输出量 output给定环节 given unit/element比较环节 comparing unit/element放大环节 amplifying unit/element执行环节 actuating unit/element控制环节 controlling unit/element被控对象 (controlled) plant反馈环节 feedback unit/element控制器 controller扰动/干扰 perturbance/disturbance前向通道 forward channel反馈通道 feedback channel 恒值控制系统 constant control system随动控制系统 servo/drive control system 程序控制系统 programmed control system 连续控制系统 continuous control system离散控制系统 discrete control system线性控制系统 linear control system非线性控制系统 nonlinear control system定常/时不变控制系统 time-invariant control system 时变控制系统 time-variant control system 稳定性 stability快速性 rapidity准确性 accuracy数学模型 mathematical model微分方程 differential equation非线性特性 nonlinear characteristic线性化处理 linearization processing泰勒级数 Taylor series传递函数 transfer function比例环节 proportional element积分环节 integrating element一阶惯性环节 first order inertial element二阶惯性环节 second order inertial element二阶震荡环节 second order oscillation element 微分环节 differentiation element一阶微分环节 first order differentiation element二阶微分环节 second order differentiation element 延迟环节 delay element动态结构图 dynamic structure block串联环节 serial unit并联环节 parallel unit信号流图 signal flow graph梅逊增益公式 Mason’s gain formula时域分析法 time domain analysis method性能指标 performance index阶跃函数 step function斜坡函数 ramp function抛物线函数 parabolic function /acceleration function 冲击函数 impulse function正弦函数 sinusoidal function动态/暂态响应 transient response静态/稳态响应 steady-state response 延迟时间 delay time上升时间 rise time峰值时间 peak time调节时间 settling time最大超调量 maximum overshoot稳态误差 steady-state error无阻尼 undamping欠阻尼 underdamping过阻尼 overdamping特征根 eigen root极点 pole零点 zero实轴 real axis虚轴 imaginary axis 稳态/静态分量 steady-state component瞬态/暂态/动态分量 transient component 运动模态 motion mode衰减 attenuation系数 coefficient初相角 initial phase angle响应曲线 response curve主导极点 dominant pole 劳斯稳定判据 Routh stability criterion S平面 S plane胡尔维茨稳定判据 Hurwitz stability criterion 测量误差 measurement error扰动误差 agitation error结构性误差 structural error偏差 deviation根轨迹 root locus 常规根轨迹 routine root locus根轨迹方程 root locus equation 幅值 magnitude幅角 argument对称性 symmetry分离点 separation/break away point会合点 meeting/break-in point渐近线 asymptote出射角 emergence angle/angle of departure入射角 incidence angle/angle of arrival 广义根轨迹 generalized root locus零度根轨迹 zero degree root locus 偶极子 dipole/zero-pole pair 频域分析法 frequency-domain analysis method 频率特性 frequency characteristic极坐标系 polar coordinate system直角坐标系 rectangular coordinate system幅频特性 magnitude-frequency characteristic相频特性 phase-frequency characteristic 幅相频率特性 magnitude-phase frequency characteristic 最小相位系统 minimum phase system非最小相位系统 nonminimum phase system奈奎斯特稳定判据 Nyquist stability criterion 伯德定理 Bode theorem稳定裕度 stability margin幅值裕度 magnitude margin 相位/相角裕度 phase margin对数幅频特性 log magnitude-frequency characteristic 无阻尼自然震荡角频率 undamped oscillation angular frequency 阻尼震荡角频率 damped oscillation angular frequency 阻尼角 damping angle带宽频率 bandwidth frequency 穿越/截止频率 crossover/cutoff frequency 谐振峰值 resonance peak系统校正 system compensation超前校正 lead compensation滞后校正 lag compensation自激震荡 self-excited oscillation死区特性 dead zone characteristic饱和特性 saturation characteristic间隙特性 backlash characteristic描述函数法 describing function method相平面法 phase plane method 采样控制系统 sampling control system数字控制系统 digital control system频谱 frequency spectrum 采样定理 sampling theorem信号重现 signal recurrence拉氏变换 Laplace transformZ变换 Z transform终值定理 final-value theorem差分方程 difference equation迭代法 iterative method 脉冲传递函数 pulse transfer function零阶保持器 zero-order holder映射 mapping方框图 block diagram伯德图 Bode diagram特征方程 characteristic equation可控性 controllability临界阻尼 critical damping阻尼常数 damping constant阻尼比 damping ratio初始状态 initial state初值定理 initial-value theorem反Z变换 inverse Z-transformation负反馈 negative feedback正反馈 positive feedback 尼科尔斯图 Nichols chart部分分式展开 partial fraction expansion 幅角原理 argument principle相对稳定性 relative stability共振频率 resonant frequency劳斯表 Routh tabulation/array奇点 singularity渐进稳定性 asymptotic stability控制精度 control accuracy临界稳定性 critical stability耦合 coupling解耦 decoupling比例积分微分调节器 proportional integral derivative regulator(PID) 串联校正 series/cascade compensation 单输入单输出 single input single output(SISO)多输入多输出 multi input multi output(MIMO)低通滤波器 low pass filter非线性系统 nonlinear system复合控制 compound control衰减振荡 damped oscillation主反馈 monitoring feedback 转折(交接)频率 break frequency稳定焦点/节点 stable focus/node。
An electrical circuit or network is composed of elements such as resistors , inductors ，and capacitors connected together in some manner .If the network contains no energy sources , such as batteries or electrical generators,it is known as a passive network.On the other hand, if one or more energy sources are present ，the resultant combination is an active network。
In studying the behavior of an electrical network，we are interested in determining the voltages and currents that exist within the circuit. Since a network is composed of passive circuit elements，we must first define the electrical characteristics of these elements.电路或电网络由以某种方式连接的电阻器、电感器和电容器等元件组成.如果网络不包含能源,如电池或发电机，那么就被称作无源网络。
换句话说，如果存在一个或多个能源，那么组合的结果为有源网络。
在研究电网络的特性时，我们感兴趣的是确定电路中的电压和电流。
因为网络由无源电路元件组成,所以必须首先定义这些元件的电特性。
In the case of a resistor, the voltage-current relationship is given by Ohm’s law，which ststes that the voltage across the resistor is equal to the current through the resistor multiplied by the value of the resistance. Mathematically, this is expressed as u=iR where u=voltage , V; i=current，A; R=resistance Ω。
双线性时间离散系统(Bilinear Time-Delay Systems, BTDS)是指一类特殊的时变离散系统，在现代控制理论中有着广泛的应用。
BTDS在实际工程问题中具有重要的意义，例如，车辆控制、机器人控制、通信系统、图像处理等领域都可以应用到BTDS。
1. BTDS的定义BTDS是一种特殊形式的非线性时变离散系统。
通俗的说，这类系统是由于其控制输入(即控制变量)与状态量(即被控对象)之间的双线性关系而得名。
一个经典的BTDS可以表示为：x(k+1) = A(k)x(k) + B(k)u(k) + D(k)x(k)u(k)其中，x(k)表示系统的状态变量，u(k)表示系统的控制输入，A(k)、B(k)、D(k)分别是状态矩阵、控制矩阵和交叉矩阵(即双线性系数矩阵)。
注意到在控制输入u(k)和状态量x(k)之间有一个乘积项D(k)x(k)u(k)，这就是BTDS的双线性关系。
2. BTDS的性质BTDS具有一些特殊的性质，例如，时滞稳定、自适应控制、非线性控制等特点，这也是BTDS在实际控制应用中得到广泛应用的原因之一。
时滞稳定是指系统能够稳定地工作在具有一定时间延迟的环境中。
例如，在车辆控制中，系统需要能够稳定地响应与驾驶者反应时间相对应的信号，这就需要时滞稳定的控制系统。
自适应控制是指系统能够自动地学习、调整和改进控制算法。
例如，在机器人控制中，系统需要能够适应不同物体的形状、尺寸和质量特征，这就需要具有自适应控制特性的机器人控制器。
非线性控制是指将非线性系统控制问题转化为线性问题，并利用线性控制理论来解决问题。
例如，图像处理中通常会对图像进行非线性变换，然后利用线性控制理论来对其进行控制。
3. BTDS的控制方法BTDS的控制方法有很多种，其中比较常用的方法包括：滑模控制、自适应控制、时滞控制、基于单位根的控制等。
滑模控制是指通过引入一个滑动模式来实现系统控制。
这种控制方法可以使控制系统具有较强的稳定性和鲁棒性。
sylvester 方程Sylvester 方程是指一个关于矩阵和向量的方程，它由英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）于1851年提出。
这个方程的形式如下：AX - XB = C其中，A、B和C分别代表已知矩阵，X代表未知矩阵。
Sylvester 方程是一种特殊的线性方程，它在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
Sylvester方程的研究对象是矩阵的乘法和加法操作。
通过研究这个方程，我们可以解决许多与矩阵运算相关的问题。
Sylvester方程在控制论、信号处理、图像处理、最优化等领域中都有重要的应用。
在控制论中，Sylvester方程可以用来研究线性时不变系统的稳定性。
通过求解Sylvester方程，我们可以得到系统的传递函数，并分析系统的稳定性和响应特性。
这对于设计控制器和优化系统性能非常重要。
在信号处理和图像处理领域，Sylvester方程可以用来恢复缺失或损坏的信号或图像。
通过求解Sylvester方程，可以从已知的信号或图像中推断出丢失的信息，实现信号或图像的恢复和重建。
在最优化问题中，Sylvester方程被广泛应用于求解特定的优化模型。
例如，在线性规划中，通过求解Sylvester方程可以得到一组最优解，从而找到使目标函数取得最小值或最大值的变量值。
除了上述应用外，Sylvester方程还可以用于研究矩阵的特征值问题、线性代数方程组的解等。
它在数学研究和工程实践中有着重要的地位和作用。
虽然Sylvester方程是一个复杂的数学方程，但通过使用适当的数值算法和计算工具，我们可以求解它并得到准确的结果。
研究Sylvester方程的发展也推动了数值线性代数和数值优化等领域的发展。
Sylvester方程作为一个重要的数学方程，在控制论、信号处理、图像处理、最优化等领域都有广泛的应用。
通过研究和求解Sylvester 方程，我们可以解决许多与矩阵运算相关的问题，并在科学研究和工程实践中取得重要的成果。
《自动控制原理》部分中英文词汇对照表（英文解释）《自动控制原理》部分中英文词汇对照表AAcceleration 加速度Angle of departure分离角Asymptotic stability渐近稳定性Automation自动化Auxiliary equation辅助方程BBacklash间隙Bandwidth带宽Block diagram方框图Bode diagram波特图CCauchy’s theorem高斯定理Characteristic equation特征方程Closed-loop control system闭环控制系统Constant常数Control system控制系统Controllability可控性Critical damping临界阻尼DDamping constant阻尼常数Damping ratio阻尼比DC control system直流控制系统Dead zone死区Delay time延迟时间Derivative control 微分控制Differential equations微分方程Digital computer compensator数字补偿器Dominant poles主导极点Dynamic equations动态方程Error coefficients误差系数Error transfer function误差传递函数FFeedback反馈Feedback compensation反馈补偿Feedback control systems反馈控制系统Feedback signal反馈信号Final-value theorem终值定理Frequency-domain analysis频域分析Frequency-domain design频域设计Friction摩擦GGain增益Generalized error coefficients广义误差系数IImpulse response脉冲响应Initial state初始状态Initial-value theorem初值定理Input vector输入向量Integral control积分控制Inverse z-transformation反Z变换JJordan block约当块Jordan canonical form约当标准形LLag-lead controller滞后-超前控制器Lag-lead network 滞后-超前网络Laplace transform拉氏变换Lead-lag controller超前-滞后控制器Linearization线性化Linear systems线性系统Mass质量Mathematical models数学模型Matrix矩阵Mechanical systems机械系统NNatural undamped frequency自然无阻尼频率Negative feedback负反馈Nichols chart尼科尔斯图Nonlinear control systems非线性控制系统Nyquist criterion柰奎斯特判据OObservability可观性Observer观测器Open-loop control system开环控制系统Output equations输出方程Output vector输出向量PParabolic input抛物线输入Partial fraction expansion部分分式展开PD controller比例微分控制器Peak time峰值时间Phase-lag controller相位滞后控制器Phase-lead controller相位超前控制器Phase margin相角裕度PID controller比例、积分微分控制器Polar plot极坐标图Poles definition极点定义Positive feedback正反馈Prefilter 前置滤波器Principle of the argument幅角原理RRamp error constant斜坡误差常数Ramp input斜坡输入Relative stability相对稳定性Resonant frequency共振频率Rise time上升时间调节时间 accommodation timeRobust system鲁棒系统Root loci根轨迹Routh tabulation（array）劳斯表SSampling frequency采样频率Sampling period采样周期Second-order system二阶系统Sensitivity灵敏度Series compensation串联补偿Settling time调节时间Signal flow graphs信号流图Similarity transformation相似变换Singularity奇点Spring弹簧Stability稳定性State diagram状态图State equations状态方程State feedback状态反馈State space状态空间State transition equation状态转移方程State transition matrix 状态转移矩阵State variables状态变量State vector状态向量Steady-state error稳态误差Steady-state response稳态响应Step error constant阶跃误差常数Step input阶跃输入TTime delay时间延迟Time-domain analysis时域分析Time-domain design时域设计Time-invariant systems时不变系统Time-varying systems时变系统Type number型数Torque constant扭矩常数Transfer function转换方程Transient response暂态响应Transition matrix转移矩阵UUnit step response单位阶跃响应VVandermonde matrix范德蒙矩阵Velocity control system速度控制系统Velocity error constant 速度误差常数ZZero-order hold零阶保持z-transfer function Z变换函数z-transform Z变换。
