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广东仲元中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．9282．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3B ．2 C ． 33D ． 223．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则sin cos A A -的值为（ ） A 15B ．15-3 C ．53D ．5-34．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度5．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．626．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．157．已知命题p :直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q :直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m .下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <9．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 10．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>11．设复数121,1z i z i =+=-，则1211z z +=（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
概率与统计统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48 【答案】C【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7， 则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.2．（2020·上海松江区·高三其他模拟）已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A ．12B ．37C ．47D ．821【答案】B【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2019·上海杨浦区·高三一模）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== ，故选：B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4．（2019·上海黄浦区·高三二模）在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．12PPB ．121PP -C ．12(1)P P -D ．12(1)(1)P P -- 【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为1P ，乙地不下雨的概率为2P ，且在这段时间内两地下雨相互独立， 所以这段时间内两地都下雨的概率为()()1211P P P =--.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题5．（2020·上海奉贤区·高三一模）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率. 【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：11176．（2019·上海市建平中学高三月考）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=7．（2020·上海黄浦区·高三二模）某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有14028080500++=户.利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户，故答案为：56 【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.8．（2020·上海高三其他模拟）某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得 40034020x=，解得17x =，故答案为：17 【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.9．（2016·上海杨浦区·复旦附中高三月考）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.10．（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．【答案】5.【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a+=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．11．（2020·上海浦东新区·高三一模）在7(2)x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）【答案】12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率. 【详解】7(2)x +展开式的通项为()77217722rr rr rr r T C x C x --+==，07,r r N ≤≤∈， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12．（2020·上海松江区·高三一模）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数801200n C =， 学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取a 、{}1,2,3,4,5b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________. 【答案】825【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C 表示焦距等于2的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±， 则满足条件的有：()1,2、()2,3、()3,4、()4,5、()5,4、()4,3、()3,2、()2,1，共8组， 所以概率为：825P =.故答案为：825. 【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用.14．（2020·上海徐汇区·高三一模）小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 【答案】1115【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111515．（2020·上海高三一模）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】310【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________【答案】0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=,故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.17．（2020·上海长宁区·高三三模）2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为________ 【答案】14【分析】甲同学从物理、历史二选一，其中选历史的概率为12，从化学、生物、政治、地理四选二，有6种选法，其中选化学的有3种，从而可得四选二，选化学的概率为12，然后由分步原理可得同时选择历史和化学的概率.【详解】解：由甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，所以甲同学从物理、历史二选一选历史的概率为12，甲同学从化学、生物、政治、地理四选二有：化学与生物，化学与政治，化学与地理，生物与政治，生物与地理，政治与地理共6种不同的选法，其中选化学的有3种，所以四选二中有化学的概率为12， 所以由分步原理可知甲同学同时选择历史和化学的概率为111=224⨯， 故答案为：14 【点睛】此题考查古典概型概率以及独立事件概率乘法公式的求法，考查理解运算能力，属于基础题. 18．（2019·上海市七宝中学高三三模）一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 19．（2019·上海金山区·高三二模）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】0.9702【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p ＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题20．（2019·上海普陀区·）某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第n 年的人口数量为n a （2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数0.6544450()2000 4.48781x P x e -=++拟合该城市的人口数量，其中x 的单位是年.假设2014年初对应0x =，()P x 的单位是万.设()P x 的反函数为()T x ，求(2440)T 的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1）201520142135208253f f -=-=，201620152203213568f f -=-=，201720162276220373f f -=-=，201820172339227663f f -=-=，201920182385233946f f -=-=，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为0.65444.48781x e -+为单调递减函数，则()P x 为单调递增函数，则0(2440)T x =0()2440P x ⇒=， 代入000.6544450()200024404.48781x P x e -=+=+，解得08.1x =，即(2440)8.1T =， 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.。
一、选择题1．在OMN 中，1OM =，3ON =，2MN =，在OMN 内任取一点，该点到点M 的距离大于1的概率为（ ）A ．39π B ．31π-C ．3π D ．31π-2．第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的一个锐角为θ，且πsin 2sin 52θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为（ ）.A ．14B ．15C ．25D ．353．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．710 4．从单词“book ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．345．已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A ．712B ．23C ．34 D ．566．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．827B ．56C ．23D ．137．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（ ）A ．518B ．13C ．718D ．498．设向量()()1,,a x y x y R =-∈，若1a ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．14B ．1142π- C ．114π-D ．3142π+ 9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B 33πC 23D ．9π 10．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A 3B ．31-C ．3πD ．31π-11．圆周率π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法.下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数然后请他们各自检查一下，所得的两数与1是否能构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值.假设有n 个人说“能”，而有m 个人说“不能”，那么应用你学过的知识可算得圆周率π的近似值为（） A ．mm n+ B ．nm n+ C ．4mm n+ D ．4nm n+ 12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ()3323π-B ()323π-C ()323π+D ()23323ππ-+二、填空题13．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,若个体a 前两次未被抽到,则第三次被抽到的概率为_____.14．某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.15．在高一某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一盒子内装有6张大小和形状完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河，从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为________.16．某学校高三年级有A 、B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.17．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.18．若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.19．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是________ .20．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.三、解答题21．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差()°C x10 11 13 12 8 6就诊人数y （人）2225 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？22．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率．求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.23．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.24．从广安市某中学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160165,，...，第八组[)190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.（1）求第七组的频率；（2）估计该校800名男生的身高的中位数。
广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(统计)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．某地区有300家商店，其中大型商店30家，中型商店75家，小型商店175家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽到的中型商店数是( )A ．2B ．3C ．5D ．13解析：根据分层抽样按比例抽取，抽取的比例为20300＝115，抽取的中型商店数为75×115＝5.答案：C2．采用简单随机抽样从个体数为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a 前两次未被抽到，第三次恰好被抽到的概率为( )A.16B.14C.13D.12解析：解法1：对于从6个个体中抽取1个，每个个体被抽到的概率均为16.解法2：P ＝C 15·C 14C 16·C 15·C 14＝16.答案：A3．将容量为100的样本数据，按照从小到大的顺序分为8个组，如下表：已知第1小组的频数是第3和第5小组的频数之和，第3小组的频率是第5小组的频率的三倍，则第3小组的频率为( )A ．0.10B ．0.05C ．0.15D ．0.20解析：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100－60＝40x ＝y ＋zy ＝3z解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝15，z ＝5，所以第3组的频率为15100＝0.15.答案：C4．在样本的频率分布直方图中，一共有m (m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是( )A ．0.2B ．25C ．20D ．以上都不正确解析：第3组的频率是15，样本容量为100，故第3组的频数是100×15＝20.选C.答案：C5．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图1中，各小长方形的高比为AE ∶BF ∶CG ∶DH ＝2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为( )图1 A ．0.4,12 B ．0.6,16 C ．0.4,16D ．0.6,12解析：频数n 2＝30×42＋4＋3＋1＝12，频率f ＝1230＝0.4.答案：A6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和方差分别是( )A.x ，s 2B ．3x ＋5,9s 2C ．3x ＋5，s 2D ．3x ＋5,9s 2＋30s ＋25解析：代入公式易得为B. 答案：B7．已知正数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的平均数是x 2，将这些数据都减去x 后得到的新数据的平均数是6，则x 的值是( )A ．2B ．3C ．4 D.52解析：∵x 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 55，6＝(a 1－x )＋(a 2－x )＋(a 3－x )＋(a 4－x )＋(a 5－x )5＝x 2－x ，∴x ＝－2(舍)或x ＝3. 答案：B8．已知一组数据的方差为m ，如果将这组数据中的每个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差为( )A ．4mB ．2mC ．m D.m2解析：设这组数据为x 1，x 2，…，x n ，则m ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，而新数据的平均数x ′＝1n (2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＝2x ，s ′2＝1n[(2x 1－2x )2＋(2x 2－2x )2＋…＋(2x n －2x )2]＝4·1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4m . 答案：A9．甲、乙两名射手各打5发子弹，命中环数如下： 甲：6 8 9 9 8 乙：10 7 7 7 9 则两人的射击成绩( )A ．甲比乙稳定B ．乙比甲稳定C ．甲、乙稳定程度相同D ．无法比较解析：由样本平均数和样本方差的计算公式可得x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙.答案：A10．期中考试以后，班长算出了全班40个同学数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A.4041 B ．1 C.4140D ．2 解析：设40位同学的成绩为x i (i ＝1,2，…，40)，则M ＝x 1＋x 2＋…＋x 4040，N ＝x 1＋x 2＋…＋x 40＋M 41＝40M ＋M 41＝M .故M ∶N ＝1. 答案：B11．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000户居民拥有冰箱情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )A.1.6万户 B ．4.4C ．1.76万户 D ．0.24万户解析：根据题目条件可知，本地农村住户共6万户，无冰箱的概率为160600＝415，所以该地区农村住户中无冰箱的总户数约为6×415＝2415＝1.6 万户．答案：A12．将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8个组如下表：第三组的频率和累积频率分别为( )A ．0.14和0.37 B.114和137C ．0.03和0.06 D.314和637。
概率大题练习题及讲解高中概率论是高中数学中的一个重要分支，它涉及到随机事件及其发生的可能性。
以下是一些概率大题的练习题及简要讲解，供高中生参考和练习。
练习题1：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机从袋子中取出一个球，观察其颜色。
求取出红球的概率。
解答：总共有8个球，其中5个是红球。
取出红球的概率为红球数除以总球数，即：\[ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \]练习题2：一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
现在随机抽取3名学生，求至少有1名女生的概率。
解答：首先计算没有女生的概率，即抽取的3名学生都是男生的概率。
从30名男生中抽取3名，总共有\[ C_{30}^{3} \]种组合，而从50名学生中抽取3名，总共有\[ C_{50}^{3} \]种组合。
因此，没有女生的概率为：\[ P(\text{无女生}) = \frac{C_{30}^{3}}{C_{50}^{3}} \]至少有1名女生的概率为1减去没有女生的概率：\[ P(\text{至少1名女生}) = 1 - P(\text{无女生}) \]练习题3：一个工厂生产的零件中，有2%是次品。
现在随机抽取10个零件进行检查，求至少有1个次品的概率。
解答：这是一个二项分布问题。
次品的概率为0.02，非次品的概率为0.98。
使用二项分布公式计算至少有1个次品的概率：\[ P(\text{至少1个次品}) = 1 - P(\text{0个次品}) - P(\text{1个次品}) \]其中，\( P(\text{0个次品}) \)和\( P(\text{1个次品}) \)分别使用二项分布公式计算。
练习题4：一个骰子有6个面，每个面上的数字是1到6。
投掷骰子两次，求两次投掷结果之和为7的概率。
解答：两次投掷结果之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)六种。
每次投掷有6种可能，所以总共有\[ 6 \times 6 \]种可能的组合。
广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(概率与统计)时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1．设ξ的概率分布如下，则p 等于( )A.0B.16C.13D ．非负数解析：∵12＋13＋p ＝1，∴p ＝16.答案：B 2．(2010·湖北联考)某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：∵乳类商品品牌总数为40＋10＋30＋20＝100种，∴用分层抽样方法抽取一个容量为20的样本，则应抽取酸奶和成人奶粉：20×(10100＋20100)＝6种，故选C.答案：C 3．(2009·成都二诊)在某学校组织的一次数学模拟考试成绩统计中，工作人员采用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为50的样本进行统计．若每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1，则可知这个学校参加这次数学考试的人数是( )A ．100B ．500C ．225D ．600解析：设这个学校参加这次数学考试的人数为x ，由每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1得P ＝50x ＝0.1，∴x ＝500，故选B.答案：B4．采用简单随机抽样从个体数为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a 前两次未被抽到，第三次恰好被抽到的概率为( )A.16B.14C.13D.12解析：解法1：对于从6个个体中抽取1个，每个个体被抽到的概率均为16，故选A.解法2：P ＝C 15·C 14C 16·C 15·C 14＝16.答案：A5．某服务部门有n 个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天平均需服务的对象个数是( )A ．np (1－p )B ．npC ．nD ．p (1－p )解析：一天需服务的对象个数服从二项分布，其期望是np ，故选B. 答案：B 6．(2010·湖北八校联考)在样本的频率分布直方图中，一共有m (m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m －1个小矩形面积和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是( )图1 A ．0.2 B ．25C ．20D ．以上都不正确解析：第3组的频率是15，样本容量为100，故第3组的频数是100×15＝20.选C.答案：C7．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，如图1，各小长方形的高比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别为( )A ．0.4,12B ．0.6,16C ．0.4,16D ．0.6,12解析：频率：42＋4＋3＋1＝0.4，频数：30×0.4＝12.答案：A8．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1－1,2a 2－1，…，2a n －1的方差为( )A.σ22B ．2σ2－1C ．4σ2D ．4σ2－1 解析：由方差公式D (aξ＋b )＝a 2Dξ知应选择C. 答案：C 9．(2009·湖北宜昌)一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：试根据以上统计数据估算该选手射击两发子弹取得不低于19环成绩的概率为( )A ．0.14B ．0.18C ．0.04D ．0.11解析：得20环的概率为0.2×0.2＝0.04，得19环的概率为2×0.2×0.35＝0.14，故不低于19环成绩的概率为0.04＋0.14＝0.18，故选B.答案：B 10．(2009·东北三校二模)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.9解析：依题意P (0<ξ<2)＝0.4，P (0<ξ<2)＝Φ(2－2σ)－Φ(0－2σ)＝0.5－Φ(－2σ)＝Φ(2σ)－0.5＝0.4，所以Φ(2σ)＝0.9，所以P (ξ<4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.9，选D.答案：D11．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )，则D 2(ξ)(Eξ)2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．npD ．p 2(1－p ) 解析：∵ξ～B (n ，p )，D 2(ξ)＝[np (1－p )]2，(Eξ)2＝(np )2∴D 2(ξ)(Eξ)2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2. 答案：B 12．(2010·湖北联考)由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^ ＝x ＋2，x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y nn，则下列命题中真命题的个数为( )①直线y ^＝x ＋2必经过点(x ，y )；②若x 增加一个单位，则y 的估计值增加一个单位； ③当相关系数r >r 0.05时，y 与x 之间具有相关关系． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：∵回归直线方程y ^＝bx ＋a 中的a 、b 是由x 、y 计算出来的，①对；线性回归直线y ^＝x ＋2中的x 的系数是1，故x 每增加一个单位，y 的估计值相应地增加一个单位，②对；易知③对，故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)13．把一个容量为20的样本，按某种要求将其数据分为A 、B 、C 、D 、E 五组，其扇形统计图如图2所示，则落到A 组的样本频数是________．图2解析：由扇形统计图可知落到A 组的样本频数是205＝4.答案：414．某校期中考试数学成绩按“优、良、不及格”分层的人数比例为，抽样调查发现此次考试“优、良、不及格”三层的人平均分分别为121,104,78，则该校这次期中考试数学的平均分应为________分，若已知“优秀成绩”的共有180人，则所有“不及格成绩”的同学考试总分为________分．解析：依题意，设成绩为“优”的人数为3x 人，则成绩为“良”、“不及格”的人数分别为5x 人、2x 人，因此该校参加这次期中考试的人数学平均分应为121×3x ＋104×5x ＋78×2x3x ＋5x ＋2x＝103.9分．当已知“优秀成绩”的共有180人时，“不及格”的人数为180×23＝120人，“不及格”的考试总分应为120×78＝9360.答案：103.9 9360 15．(2010·湖北联考)某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有__________人．解析：∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图，可以看出，图象关于直线x＝100对称；显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)，又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≥120)＝12×13＝16； ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．答案：100 16．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：ξ的取值有0,1,2，P (ξ＝0)＝2×29＝49，P (ξ＝1)＝C 12C 129＝49，P (ξ＝2)＝19，所以Eξ＝0×49＋1×49＋2×19＝23.答案：23三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)设A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6，x 、y ∈N *}． (1)求从A 中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A 中任取一个元素，求x ＋y ≥10的概率； (3)设η为随机变量，η＝x ＋y ，求Eη.解：(1)设从A 中任取一个元素是(1,2)的事件为B ，则P (B )＝136，所以从A 中任取一个元素是(1,2)的概率为136.(2)设从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的事件为C ，则有(4,6)(6,4)(5,5)(5,6)(6,5)(6,6)共6种情况，于是P (C )＝16，所以从A 中任取一个元素，x ＋y ≥10的概率为16.(3)η可能取的值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.p (η＝2)＝136，p (η＝3)＝236，p (η＝4)＝336，p (η＝5)＝436，p (η＝6)＝536，p (η＝7)＝636，p (η＝8)＝5，p (η＝9)＝4，p (η＝10)＝3，p (η＝11)＝2，p (η＝12)＝1，Eη＝2×136＋3×236＋4×336＋5×436＋6×536＋7×636＋8×536＋9×436＋10×336＋11×236＋12×136＝7.18．(12分)(2010·湖北宜昌模拟)一个盒子里装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布和数学期望．解：(1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的新函数是奇函数”，由题意知P (A )＝C 23C 26＝15.(2)ξ可取1,2,3,4.P (ξ＝1)＝C 13C 16＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P (ξ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120.故ξ的分布列为：Eξ＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.19．(12分)正态总体为μ＝0，σ＝1时的概率密度函数f (x )＝12πe －x 22，x ∈R .(1)求证：f (x )是偶函数； (2)求f (x )的最大值；(3)利用指数函数的性质说明f (x )的增减性． 解：(1)对任意x ∈R .∵f (－x )＝12πe －(－x )22＝12πe －x 22＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)令z ＝－x 22，当x ＝0时，z 取得最大值0.∵e z是关于z 的增函数，∴e z 的最大值为1.∴f (x )的最大值为12π.(3)设x 1＜x 2≤0，则有x 212＞x 222.∴－x 212＜－x 222.∴e －x 212＜e －x 222.∴f (x )在(－∞，0]上是增函数．同理在(0，＋∞)上f (x )是减函数． 20．(12分)(2009·南昌一调)一个正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1、x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解：(1)掷出的点数x 的可能取值为：1,2,3,4.则x －3的可能取值分别为：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有可能取值分别为：0,1,4. 因此ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8，此时，P (ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0，此时，P (ξ＝0)＝14×14＝116.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8.P (ξ＝0)＝P (ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)，即P (ξ＝1)＝416；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)，即P (ξ＝2)＝416；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,3)、(3,1)，即P (ξ＝4)＝216；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,2)、(2,1)、(1,4)、(4,1)，即P (ξ＝5)＝416.所以ξ即ξ的期望Eξ＝0×116＋1×14＋2×14＋4×18＋5×14＋8×116＝3.21．(12分)有一个容量为100的某校毕业生起始月薪(单位：百元)的样本，数据的分组及各组的频数如下：(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)如果该校毕业生2000人，试估计该校毕业生起始月薪低于2000元的人数； (4)估计该校毕业生起始月薪的平均水平． 解：(1)(2)图3(3)起始月薪低于2000元频率为1－0.06＝0.94. 故起始月薪低于2000元的人数大约是 2000×0.94＝1880(人)．(4)x ＝1100×(13.5×7＋14.5×11＋…＋20.5×6)＝16.48(百元)所以，起始月薪平均水平约为1648元． 22．(14分)(2009·宜昌二调)设b 、c ∈{1,2,3,4,5,6}，用随机变量ξ表示方程2x 2＋cx ＋b ＝0的实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程2x 2＋cx ＋b ＝0有实根的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．解：(1)记“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有两个相异实根”为事件A .c ，b 分别取1到6，基本事件总数为6×6＝36种．事件B 需要满足c 2－8b ＝0，按序穷举可得，c ＝4时b ＝2符合，其概率为P (B )＝136.事件A 需要满足c 2－8b >0，按序穷举可得，c ＝3时b ＝1；c ＝4时b ＝1；c ＝5时b ＝1,2,3；c ＝6时b ＝1,2,3,4.共计9种．其概率为P (A )＝936＝14.又因为B ，A 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (A )＝136＋936＝1036＝518.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝1)＝136，P (ξ＝2)＝936，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝1－136－936＝2636.故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望Eξ＝0×2636＋1×136＋2×936＝1936.。
