高中数学 数列 版块三 等比数列 等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

等比数列的通项与求和等比数列是数学中的一种常见的数列形式，它的每一项与前一项的比值都相等。

在等比数列中，我们常常需要求解它的通项公式和求和公式，以便求得数列的任意项和总和。

本文将介绍等比数列的通项公式和求和公式，并提供一些例题进行说明。

1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，其中n为自然数。

根据等比数列的定义，可得到以下递推关系式：an = a * r^(n-1)这就是等比数列的通项公式。

根据这个公式，我们可以通过给定首项和公比，求解任意项的值。

2. 等比数列的求和公式求等比数列的总和是通过将数列各项相加得到的。

设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn。

根据等比数列的通项公式，可得到以下关系式：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将等式两边乘以公比r，并记作（1）r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将（1）式两边相减，可得：Sn - r * Sn = a - ar^n化简后可以得到求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)根据这个公式，我们可以通过给定首项、公比和项数，求解等比数列的总和。

3. 实例分析现在我们通过几个例题来详细说明等比数列的通项和求和公式的应用。

例1：求等比数列2，4，8，16中的第10项和前10项和。

解：由题可知，首项a=2，公比r=4/2=2，项数n=10。

代入通项公式可得：a10 = 2 * 2^(10-1) = 2 * 2^9 = 2 * 512 = 1024代入求和公式可得：S10 = 2 * (1 - 2^10) / (1 - 2) = 2 * (1 - 1024) / (-1) = -2046例2：已知等比数列的第3项为9，总和为567，公比为多少？解：设首项a，公比r，项数n。

由题可得到以下方程组：a * r^2 = 9 （第3项为9）a * (1 - r^n) / (1 - r) = 567 （总和为567）解方程组可得：a = 3，r = 3所以，等比数列的公比为3。

等比数列求和公式及通项公式等比数列这玩意儿，在咱们数学学习里可算是个重要角色。

从小学到高中，它就像个“常驻嘉宾”，时不时出来考验咱们的智慧。

先来说说等比数列的通项公式吧。

它就像是等比数列的“身份证号码”，能让咱们一眼看穿这个数列的规律。

通项公式是 an = a1×q^(n -1) ，这里的 a1 是首项，q 是公比，n 是项数。

给您举个例子啊，就说有个等比数列，首项 a1 是 2 ，公比 q 是 3 。

那第二项 a2 就是 2×3^(2 - 1) = 6 ，第三项 a3 就是 2×3^(3 - 1) = 18 ，依此类推，是不是一下子就清晰了？再讲讲等比数列求和公式。

这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开等比数列求和的谜题。

当公比 q 不等于 1 时，求和公式是 Sn =a1×(1 - q^n) / (1 - q) ；当公比 q 等于 1 时，Sn = na1 。

我记得有一次给学生讲这个知识点，有个小家伙怎么都理解不了。

我就给他举了个特别好玩的例子，说假如你每天都能得到前一天两倍的糖果，第一天给你 1 颗，那到第 5 天一共能得到多少糖果呢？咱们就用求和公式来算，a1 是 1 ，q 是 2 ，n 是 5 ，算出来就是 31 颗。

这小家伙一下子眼睛就亮了，好像突然开窍了一样。

等比数列的这两个公式，在解决很多数学问题的时候都特别有用。

比如说在计算银行利息的时候，如果利息是按照等比的方式增长，那咱们就能用这两个公式算出最终能拿到多少钱。

在实际生活中，等比数列的应用也不少呢。

像一些生物种群的增长、计算机技术里数据的传输速度变化，很多都能和等比数列挂上钩。

总之，等比数列的通项公式和求和公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨、多练习，就能像掌握游戏秘籍一样轻松应对各种相关的问题。

相信您只要用心，也能把它们玩儿得转！。

3D ．3L S ，则 10等于．【例6】 等比数列 {a }中， a = 512 ，公比 q = - ，用 ∏ 表示它前 n 项的积： ∏ = a a ...a ，2【例7】已知数列{a }的前 n 项和为 S ， S = (a - 1)(n ∈ N * ) ．3n高中数学讲义等比数列的通项公式与求和典例分析【例1】 在等比数列 {a }中， a = 2 ， a = 128 ，则它的公比 q = _______，前 n 项和 S = _______．n2 5 n【例2】 等差数列 {a }的前 n 项和为 S ，且 6S - 5S = 5 ，则 a =．nn 5 3 4【例3】 设等比数列 {a }的前 n 项和为 S ，若 n n SS 6 = 3 ，则 3S S9 = （ ）6A ． 2B ．73C ．8【例4】 设 {a }是公比为 q 的等比数列， q > 1 ，令 b = a + 1(n = 1，2 ， ) ，若数列 {b }有连续四项nnnn在集合 {-53，- 23，19 ，37 ，82}中，则 6q =．【例5】 等比数列 {a }的首项 a = -1 ，前 n 项和为 S ，公比 q ≠ 1 ，若 S 10 ＝ n1n531 32a a 51 n1nn1 2n则 ∏ ， ∏ ，…， ∏ 中最大的是_______．12n1nnn⑴求 a ， a ， a 的值； 123⑵求 a 的通项公式及 S ．n10思维的发掘 能力的飞跃 1【例11】在等比数列 {a }中， a = 2 ， a + a = ．若数列 {a }的公比大于1 ，且 b = log n ，求数3 93 2 【例13】等比数列{a } 中，已知对任意自然数 n ， a + a + a + ⋯ + a = 2n - 1 ，高中数学讲义【例8】 在等比数列 {a }中， a ⋅ a ⋅ a = 27 ， a + a = 30n1 2 3 2 4试求：⑴ a 和公比 q ；⑵前 6 项的和 S .16【例9】 在等比数列 {a }中，已知对任意正整数 n ，有 S = 2n - 1 ，则 a 2 + a 2 + L + a 2 = ________．nn 1 2 n【例10】求和： (a - 1) + (a 2 - 2) + L + (a n - n ),( a ≠ 0) ．20 a n 4 3 5 n n列 {b }的前 n 项和 S ．nn【例12】在各项均为正数的等比数列 {b }中，若 b ⋅ b = 3 ，则 log b + log b + …… + log b 等于（n783 13 23 14）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8n123n则 a 2 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a 2 = (12n)2思维的发掘 能力的飞跃2 【例15】在等比数列 {a }中， a = 2 ， a + a = ．若数列 {a }的公比大于1 ，且 b = log n ，求数3 93 2 是方程 x 2 - c x + ( )n = 0 的两根，且a = 2 ，求数列{c } 的前 n 项和3A ． (2n - 1)B ． 高中数学讲义1 (2n - 1) C ． 4n - 1 D ． 1 (4n - 1) 3 3【例14】若 lg x + lg x 2 +⋯+ lg x 10 = 110 ，求 lg x + lg 2 x +⋯+ lg 10 x 的值.20 an 4 3 5 n n列 {b }的前 n 项和 S ．nn【例16】在等比数列 {a }的前 n 项中， a 最小，且 a + a = 66, a a n11n2 n -1和公比 q ．= 128 ，前 n 项和 S = 126 ，求 nn【例17】设等比数列 {an}前 n 项和为 S n，若 S + S = 2S ，求数列的公比 q ． 3 6 9【例18】 {a } 的相邻两项 a ，a n n n +1S .n思维的发掘 能力的飞跃3【例19】已知数列 {a }：1 ， 2(- ) ， 3(- )2 ，…， n (- )n -1，求它的前 n 项和．2 2 2【例20】已知：数列{a } 满足 a + 3a + 32 a + L + 3n -1 a = , a ∈ N .3 ⑵设 b = , 求数列 {b } 的前 n 项和 S a⑵求数列 {T }的通项公式．高中数学讲义1 1 1 nn n 1 2 3 n +⑴求数列 {a } 的通项；nnn n nn【例21】已知数列 {a }的通项公式为 a = n ⋅ 5n ，求其前 n 项和公式．nn【例22】求数列 a ， 2a 2 ， 3a 3，…， na n ，…，（ a 为常数）的前 n 项的和．【例23】已知等差数列 {a }，公差为 d ，求 S = a x + a x 3 + a x 5 + L a x 2n -1 ( x ≠ 1且x ≠ 0)nn 1 2 3 n【例24】设 {a }为等比数列， T = na + (n - 1)a + ⋅⋅⋅ 2a nn12n -1⑴求数列 {a }的首项和公比; nn+ a ，已知 T = 1 ， T = 4 ．n1 24思维的发掘 能力的飞跃⑵ 设 b= 2n ，求数列 {a b }的前 n 项和 S ． 2高中数学讲义【例25】已知 a ≠ 1，数列 {a } 是首项为 a ，公比为 a 的等比数列，令 b = a lg a n (a > 0, n ∈ N * ) ，nn n⑴当 a = 2 时，求数列 {b } 的前 n 项和 S ；nn⑵若数列 {b } 中的每一项总小于它后面的项时，求 a 的取值范围．n【例26】已知函数 f (x ) 是一次函数，且 f (8) = 15 ， f (2)， f (5) ， f (14) 成等比数列，设 a = f (n )，n(n ∈ N *)．⑴ 求 T ；nnn nn【例27】设等比数列 {a }的公比为 q ，前 n 项和 S > 0 (n ∈ N nn⑴求 q 的取值范围；+) ．⑵设 b = a n n +2 3- a 2 n +1，记 {b }的前 n 项和为 T ，试比较 S 与 T 的大小．n n n n【例28】设 {a }是由正数组成的等比数列， S 是前 n 项和，证明 log 0.5 S n + log 0.5 Sn +2 > log n n0.5 Sn +1思维的发掘 能力的飞跃5⑵是否存在常数 C > 0 使得 = lg (S 高中数学讲义【例29】设 {a n }是由正数组成的等比数列， S n 是前 n 项和．⑴证明： lg S + lg Sn2n +2 < lg S n +1 ； lg (S - C ) + lg (S - C )n n +22n +1- C )成立？并证明你的结论．【例30】用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150 元，购买当天先付150 元，以后每月这一天都交付 50 元，并加付欠款的利息，月利率为1 ％，若交付150 元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家 电实际花了多少钱？【例31】从盛满 a 升 (a > 1)纯酒精的溶液里倒出1 升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第 n 次操作后溶液的浓度是多少?【例32】某企业年初有资金1000 万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50 %，但每年年底都要扣除消费基金 x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到2000 万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？6思维的发掘 能力的飞跃高中数学讲义【例33】小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例34】用n个不同的实数a,a,L,a可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的12n数阵。

等比数列与等比数列的求和与通项公式等比数列（Geometric Progression）是一种特殊的数列，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。

等比数列在数学和实际生活中都有广泛的应用，研究等比数列的求和与通项公式能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。

一、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。

假设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列可以表示为：a，ar，ar^2，...等比数列具有以下性质：1. n阶等比数列的前n项和可以通过通项公式直接求解；2. 等比数列的首项、公比和前n项和之间存在着一定的关系；3. 等比数列的前n项和可以通过求通项公式的差分形式来推导。

二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是指可以通过公式计算出等比数列中第n项的值的公式。

通项公式可以通过观察等比数列的特点进行推导得出。

假设等比数列的首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中an表示等比数列中的第n项。

三、等比数列的求和公式等比数列的求和公式是指可以通过公式计算出等比数列的前n项和的值的公式。

求和公式可以通过特定方法进行推导，其中最常用的方法是利用等比数列的差分性质。

假设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn。

通过等比数列的差分性质可以得到：r * Sn = a * (r^n - 1)。

整理得到等比数列的求和公式：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)。

四、等比数列的应用举例等比数列的求和与通项公式在实际生活中有着广泛的应用。

以下是几个具体的应用示例：1. 财务投资：假设某人每年将资金以一定的利率投资，且每年投资额是前一年的固定倍数。

如果我们要计算在10年内该人累计投资的总金额，可以利用等比数列的前n项和公式进行计算。

2. 电子工程：在电子工程领域中，电阻、电容和电感等元器件的阻抗或容抗通常以等比数列的形式变化。

研究等比数列的规律可以帮助工程师更好地设计和优化电路。

数列求解通项的方法总结方法一、公式法当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。

1、等差数列通项公式： dn a a n )1(1-+=2、等比数列通项公式：例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．11-=n n q a a方法二、利用前n 项和与通项的关系已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝{)1()2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。

例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n+3．求{a n }的通项公式；（2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n 项和为T n ，求T n ．方法三、利用递推关系式与通项的关系类型1、累加法 形如)(1n f a a n n +=+例3、（2014·全国卷）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.变式3、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。