中考数学复习讲义方案课件：第15课时二次函数的图像与性质

03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数

第15讲 二次函数 的性质及其图象
• 1.根据具体情境分析和建立两个变量之 间的二次函数关系，能用表格、表达式、 图象表示变量之间的二次函数关系，并 能根据具体问题，选取适当的方法表示 变量之间的函数关系.
• 2.能根据二次函数的表达式确定二次函 数的开口方向、对称轴和顶点坐标;会作 二次函数的图象，并能根据图象对二次 函数的性质进行分析，逐步积累研究函 数性质的经验.
a>0
a<0
a>0
a<0
性 质
抛物线=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A.（3,﹣4） Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（3,4） C.（﹣3,﹣4） D.（﹣3,4）
点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象 上两点，则y1与y2的大小关系为y1 ＜ y2（填“＞”、“ ＜”、“=”）． 解析：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对 称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2 ）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，1＜2＜3，∴y1＜ y2。
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点
3、二次函数图像的画法(五点法)：（1）先根据函数解析 式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用 虚线画出对称轴。
（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： ①当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B
2、二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）中， a、b 、c的含义：
a决定开口方向：a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛 物线bc开表与口示对向抛称下物轴线有与关y：轴对的称交轴点为坐x标 ： 2b（a 0，c） 3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是 其对应的二次函数的图像与x轴的交点的横坐标。 因此一元二次方程中的判别式 △ =b2-4ac，决定了二次函 数的图像与x轴是否有交点： 当 △>0时，图像与x轴有两个交点； 当 △=0时，图像与x轴有一个交点； 当 △<0时，图像与x轴没有交点；

考点聚焦 归类探究 回归教材
图15－4
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
解 析
(1)将点A的坐标代入抛物线的函数表
达式，求出a的值，即可确定抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的函数表达式中，令x＝0求出y的 值，即求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝ 0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可 求出梯形COBD的面积．
探究四
二次函数的图象与性质的综合运用
命题角度： 二次函数的图象与性质的综合运用．
例4 [2013· 温州] 如图15－4，抛物 线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y 轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线 的对称轴于点D，连接BD，已知点A的 坐标为(－1，0)． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求梯形COBD的面积．
项目 字母 a 字母的符号 a>0 a<0 b＝ 0 b 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 b2－4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦
归类探究

知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念

A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)

同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：

甲状腺功能检查
3. 血清总T3、T4均增高。
少数病员仅T3增高，T4正常，称为T3型甲亢
如单有T4轻中度增高，则要排除甲状腺结合 球蛋白（TBG）增高的各种疾病(妊娠，激素， 避孕药，病毒性肝炎)所致的非甲亢性T4增高。
甲状腺功能检查
4. 游离T4 、游离T3增高最可靠，其浓 度不受血清TBG浓度变化影响。
2. 适当使用镇静剂(如安定)和β肾上腺素 能阻滞剂(如普奈洛尔等)。
药物治疗
3. 抗甲状腺药物，抑制甲状腺激素合成。
常用制剂有丙基硫氧嘧啶（PTU）或甲基硫氧 嘧啶（MTU），甲硫咪唑（Tapazole）和卡 比马唑（Carbimazole）等。
可按病情选用其中一种药物治疗。初用剂量前 二种每日300～400mg，后两种为每日30~ 40mg，分3次口服。
结节性甲状腺肿伴甲亢 碘甲亢 其它类型均属罕见
Graves病病因
遗传 精神神经因素 自身免疫因素
Graves病发病机制
伴TH分泌增多的器官特异性自身 免疫疾病
TH受体自身抗体（TRAb: TSAb, TBAb）
TSAb的免疫学来源和本质 TSH受体自身抗体 TSH自身抗体的抗独特型抗体
临床表现
4. 局部皮肤粘液性水肿
少数病员可见,多在胫前。
5. 性功能改变
女性月经紊乱，男性阳萎、不育等
6. 淡漠型甲亢
症状隐匿，多见于老年病号,表现为精神 淡漠、胃纳减退，显著消瘦，常仅有心血 管系统症状。
甲状腺功能检查
1.基础代谢高于正常、其增高程度与病 情轻重相符。
2.甲状腺摄 I131率增高，峰值提前，且 不受外源性甲状腺激素抑制。
第15课时 │ 归类示例
·北师大版

二次函数与其他数学知识的综合应用
与三角函数的结合
在解决一些复杂的数学问题时，二次函数与三角函数经常需要结合使用，如振 动和波动的问题。
与解析几何的结合
二次函数图像与直线、圆等几何图形结合时，可以形成一些有趣的几何问题， 如切线、相交弦等。
05
习题与解答
基础习题
01
02
03
题目1
请画出二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图像。
题目6
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$(1,3)$上有零 点，求该零点的近似值。
答案与解析
题目1答案与解析：答案略，
解析略。
01
题目2答案与解析：答案略，
解析略。
02
题目3答案与解析：答案略，
解析略。
03
题目4答案与解析：答案略，
解析略。
04
题目5答案与解析：答案略，
解析略。
详细描述
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，可以通过公式x=-b/2a求得顶点的 横坐标，进而求得最小值；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处，同样可
以通过公式x=-b/2a求得顶点的横坐标，进而求得最大值。
二次函数的增减性
总结词
由二次函数的开口方向和对称轴决定，对称轴左边函数值随x增大而减小，对称轴右边函数值随x增大而增大。
05
题目6答案与解析：答案略，
解析略。
06
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二次函数的图像和性质ppt课 件
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CONTENCT
录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 习题与解答

一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。

顶点形式
二次函数的顶点形式是f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数图像的性质
对称轴
二次函数的对称轴是x = -最大值。
开口方向
二次函数开口向上当且仅当a > 0，开口向下当且仅当a < 0。
二次函数的变换
导数
二次函数的导数是一条直线，表示了函数的变化率。
凹性质
二次函数的凹性质取决于a的值，a > 0时函数向上凹，a < 0时函数向下凹。
凸性质
二次函数的凸性质取决于a的值，a > 0时函数向上凸，a < 0时函数向下凸。
二次函数的非负和非正性质
1 非负性质
2 非正性质
当a > 0时，二次函数的图像位于x轴以上。
建筑
物理
二次函数的图像和性质可应用 于建筑设计，优化结构和形状。
P物理实验中，二次函数可以 用于描述运动曲线和力学模型。
总结和展望
通过本课程，我们深入了解了二次函数的图像和性质，掌握了解析和图像求 解的方法，并应用于实际领域。希望你喜欢这次学习！继续思考和探索，创 造性地应用二次函数。
1
平移
平移变换可通过改变顶点来实现，横向平移表示为f(x ± h)，纵向平移表示为f(x) ± k。
2
缩放
缩放变换可通过改变a的值来实现，a > 1时函数变窄，0 < a < 1时函数变宽。
3
反转
反转变换可通过改变a的符号来实现，a > 0时函数朝上，a < 0时函数朝下。
二次函数的导数和凹凸性质
二次函数的图像和性质
欢迎来到二次函数的图像和性质课程！通过本课程，您将学习二次函数的定 义和表达形式，并探索其图像的性质和变换。让我们开始吧！