第1讲-整式的相关概念

幂的运算法则
在整式的混合运算中，幂的运算法则也是重要的运算方法。例如，幂的乘法法则为 (a^m)^n = a^(mn)，幂的除法法则为a^m / a^n = a^(m-n)等。掌握这些法则可以帮 助我们处理复杂的整式计算。
运算结果的处理
化简结果
在进行整式的混合运算后，应对结果进行化简，以得到最 简形式。化简的方法包括约分、分子的因式分解、分母的 有理化等。
详细描述
单项式乘以单项式时，只需将它们的系数相乘，字母部分（包括字母和指数）分别相乘。例如，$2x^3y^4 times 3x^2y^3 = 6x^{3+2}y^{4+3} = 6x^5y^7$。
单项式乘以多项式
总结词
逐步相乘，保持代数式整洁
详细描述
将单项式中的每一个项分别与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。例如，$(2x - 3y) times (x^2 + y) = 2x times x^2 + 2x times y - 3y times x^2 - 3y times y = 2x^3 + 2xy - 3x^2y - 3y^2$。
04 整式的除法运算
单项式除以单项式
定义
单项式除以单项式是指将一个单项式 除以另一个单项式，得到一个新的单 项式。
规则
举例
$(2x^3) div (3x^2) = frac{2}{3}x^{3-2} = frac{2}{3}x^1 = frac{2}{3}x$。
单项式相除时，系数相除，字母部分 按字母的指数依次相减。
整式的表示方法
总结词
整式通常用字母和数字的积来表 示，也可以用括号括起来的形式 表示。
详细描述
整式通常用字母和数字的积来表 示，如单项式2x，3a等。也可以 用括号括起来的形式表示，如(2x + 3y)。

整式的概念。

-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。

在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。

而这些式子往往可以被统一地称为整式。

整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。

整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。

在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。

整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。

整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。

通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。

在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。

整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。

整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。

化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。

而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。

化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。

总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。

整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。

通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。

整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。

02
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整式的加减运算
同类项的合并
01
02
03
同类项的定义
在整式中，所含字母相同 ，并且相同字母的指数也 分别相同的项称为同类项 。
同类项合并的规则
同类项可以合并，合并时 将它们的系数相加或相减 ，字母和字母的指数保持 不变。
合并同类项的意义
通过合并同类项，可以简 化整式的形式，便于整式 的加减运算。
整式中，除数不能含 有字母，否则不满足 整式的定义。
整式的分类
按照变量的个数，整式可以分为单项式和多项式两类。
单项式是只含有一个项的整式，多项式则是由多个单项式按照加法运算组合而成的 整式。
另外，根据项的次数不同，单项式和多项式还可以进一步细分为一次式、二次式、 三次式等。
整式的性质
01
02
03
《整式的概念》ppt课件
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目 录
• 整式的基本概念 • 整式的加减运算 • 整式的乘除运算 • 整式的混合运算 • 整式的应用
01
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整式的基本概念
整式的定义
整式是由常数、变量 、加、减、乘、乘方 等基本运算组成的代 数式。
整式可以看作是最简 单的代数式，它是代 数式的一种特殊形式 。
单项式与多项式的乘法
总结词
逐项相乘，合并同类项。
详细描述
单项式与多项式的乘法需要将单项式逐个与多项式的每一项相乘，然后合并同类 项。例如，$(2x+3y)$与$3x^2$相乘得到$6x^3+9xy^2$。
多项式与多项式的乘法
总结词
逐项相乘，合并同类项。
详细描述
多项式与多项式的乘法需要将两个多项式的每一项都相乘，然后合并同类项。例如，$(x+y)$与$(x-y)$相乘得到 $x^2-y^2$。

《有理数》与《整式的加减》【知识框架】第一章有理数第二章整式的加减【知识概念】第一章有理数1．正数与负数①表示大小②在实际中表示意义相反的量③带“-”号的数并不都是负数2．数轴（规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴)①三要素：原点、正方向、单位长度②如何画数轴③数轴上的点与有理数④在数轴上可以根据正方向比较大小3．相反数①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．数轴上表示相反数的两点关于原点对称．⎧⎨⎩⎧⎪②a 的相反数—a ；0的相反数是0． ③a 与b 互为相反数：a +b =0④多重符号化简：结果是由“-”决定的．“-”个数是奇数个,则结果为“-"， “-”个数是偶数个，则结果为“+”．4．绝对值①一般地，数轴上表示数a 的点与原点距离，表示成|a |． ②离原点越远，绝对值越大，离原点越近，绝对值越小．③一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

a （a ≥0）｜a |=-a （a ≤0）④正数大于0，0大于负数，正数大于负数． 两个负数,绝对值大的反而小． 5．倒数①乘积是1的两个数叫作互为倒数．(求一个数的倒数时，正负不变） ②a 的倒数是1a(a ≠0） ③a 与b 互为倒数:ab =1 6⑤相反数是它本身的数是0 ⑥绝对值最小的数是0. 7．乘方①求几个相同因数的积的运算叫做乘方．（表示乘方时,底数是负数或分数时，需要加上括号)a ·a ·…·a =a n②8．科学记数法①把一个绝对值大于10的数表示成a ×n 10（其中1≤|a ｜＜10，n 为正整数）． a 的整数位必须只有一位数．负数表示成科学记数法,不能忘了“-”． ②指数n 与原数的整数位数之间的关系：n—1 9．近似数与有效数字①准确数、近似数、精确度(3种求近似值的形式）精确到万位⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩精确度 精确到0.001保留三个有效数字②近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位． 求一个科学记数法的精确值必须将数还原回来；③有效数字(求一个科学记数法的有效数字跟它的乘方部分无关） ④如何求较大数的近似数，不要忘记用科学记数法10⑤任何除0以外的数的0次幂是1 ⑥1的任何次幂都是1 二、有理数的分类1．按整数与分数分 2、按正负有理数分正整数 正整数整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 （π不是有理数,但是3.14是有理数．） 三、有理数的运算1．运算种类：加、减、乘、除、乘方 2．运算法则：(1）有理数的加法法则: ； （2）有理数的减法法则: ； （3)有理数的乘法法则: ； （4）有理数的除法法则: ． 3．运算定律（用字母表示）（1）加法交换律： ;(2）加法结合律: ； (3）乘法交换律: ；（4）乘法结合律： ； （5）乘法分配律： ． 4．混合运算顺序①三级（先乘方）二级(再乘除）一级（最后加减)； ②同级运算应从左到右进行;③有括号的先做括号内的运算；（小括号 中括号 大括号）④能简便运算的应尽量简便．第二章 整式的加减1．代数式：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2．单项式:像a 2-，2πr ，y x 231-，abc -,732yzx ，…，这些代数式中，都是____________，这样的代数式称为单项式．3．单项式的次数：是指单项式中______________．4．单项式的系数：单项式中的_____因数叫做单项数的系数．5．同类项:所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． 6．多项式:几个单项式的_____叫做多项式．7．多项式的项：其中每个_______都是该多项式的一个项．8．多项式的次数：多项式里，次数最高__________就是这个多项式的次数． 9．整式：________和________统称为整式10．合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项． 11．去括号和添括号:（1）去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）添括号法则所添括号前面是“＋"号，括到括号里的各项都不变符号； 所添括号前面是“－"号,括到括号里的各项都改变符号。

整式知识点分类归纳总结整式的种类有多种，主要包括单项式、多项式、分式，以及它们的运算。

下面对整式相关的知识点进行分类归纳总结：一、整式的基本概念1. 代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的符合语法规则的表达式。

代数式可以表示数与数之间的关系，可以用来表示具有普遍性的数学规律。

2. 整式的定义整式是由字母和数以及加减乘除等运算符号组成的代数式。

整式中不包含分式以及根式等算术式。

整式通常由常数项、一次项、二次项、三次项等各种次数的项组成。

3. 单项式和多项式单项式是只包含一个变量的代数式，例如3x、-2y等。

多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，例如3x+2y、5x^2+3x-6等。

4. 整式的次数整式中的最高变量次数称为整式的次数。

例如5x^2+3x-6的次数为2，3x^4-2x^3+5x^2-3x+4的次数为4。

5. 整式的分类整式按照其结构特点和性质可以分为单项式、多项式和分式。

单项式是只包含一个变量的代数式，多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，分式是一个整式除以另一个整式所得到的代数式。

6. 整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

整式的加法与减法是基于单项式和多项式的加减法运算规则，整式的乘法是基于分配律和乘法法则的运算，整式的除法则是利用多项式的因式分解和除法规则进行运算。

二、单项式与多项式的运算1. 单项式的加法与减法单项式的加法和减法是遵循着同类项相加减的原则，即变量的指数相等的项可以相加减，常数项也可以相加减。

2. 多项式的加法与减法多项式的加法和减法是将同类项进行合并，即对应位置的项进行加减操作，最终得到合并后的多项式。

3. 单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法是利用分配律，即将单项式的每一项分别与多项式进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。

4. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个多项式中的项依次与另一个多项式中的项进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。

整式的相关概念
整式是高中数学中的一个基础概念，它是由一些数、变量和它们的乘积相加减而成的一种代数式，其中乘积的指数必须是非负整数。

其中，数和变量称为整式的项，它们之间通过加减运算联系在一起，每个项中变量的次数称为该项的次数，而整式中次数最高的项的次数称为整式的次数。

例如，$2x^2 + 3xy + 4y^2$ 的次数是 2。

整式可以通过加、减、乘、除、幂等基本运算进行操作，也可以使用因式分解、配方法等方法进行简化和转换。

对于一些常见的整式，如平方差公式、立方差公
式等，我们可以通过记忆来简化运算。

在学习整式的过程中，还需要掌握多项式的概念，多项式是由多个整式相加而成的代数式，例如 $3x^2 + 2xy - 5y^2$ 就是一个二元多项式。

总之，整式是高中数学中的一个基础概念，它具有重要的数学应用，如代数方程的解法、函数的分析等，因此需要学生们认真掌握。

整式的概念和定义
哎呀呀，同学们，今天咱们来聊聊整式这个神奇的东西！
啥是整式呀？就好像我们的小伙伴一样，有自己独特的样子和特点。

整式就像是一个有规矩的小团队。

比如说，5x 这个家伙，它就是整式家族的一员。

你看，5 和x 就像好朋友手拉手，多亲密呀！再比如3 这个数字，它自己一个人站在那里，也是整式哟！
那为啥它们能被叫做整式呢？这就好比我们在班级里，有一定的规则，不符合规则的可不能进来。

整式也有它的规则，得是由数和字母的乘积组成，而且字母的指数得是整数。

咱们想想，如果字母的指数不是整数，那会咋样？就好像一个队伍里有人不守规矩，那这个队伍不就乱套啦？
比如说1/x 这样的，它就不是整式。

为啥呢？因为x 在分母上，指数是-1 呀，这可不符合整式的规则。

咱们再看看2x + 3 这样的式子，它也是整式。

就好像我们几个小伙伴一起做游戏，2x 和3 一起愉快地玩耍。

老师在课堂上讲整式的时候，我就在想，这整式就像我们搭积木，一块一块按照规则搭起来，才能搭出漂亮的城堡。

你们说，如果我们不了解整式的概念和定义，那做数学题的时候，不就像在黑暗里走路，磕磕绊绊的？
所以呀，搞清楚整式的概念和定义，那可太重要啦！这能让我们在数学的世界里更自由自在地玩耍，解决一个又一个难题，多棒呀！
我的观点就是：整式的概念和定义是我们数学学习中的重要基石，一定要好好掌握！。

第一讲整式的概念【知识要点】1．字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。

从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。

2．列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。

3．代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。

4．整式: 最简单、最基本的代数式（1）单项式:由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

（2）多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列。

如：多项式34322--+-按y的降幂排列为x y y xy x y532743223x y x y xy y7523-++--。

--++-，按y的升幂排列为32234 3257y xy x y x y【学习目标】1．正确理解单项式、单项式系数、单项式的次数、多项式、多项式系数、多项式的次数、整式等含义；2．会用抽象的数学语言描述实际问题；【典型例题】1．用字母表示数【例1】黑板的长为2.5米，宽为b米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。

【解答】面积22.5 2.5()b b =⨯=米 周长()()2.522 2.5()b b =+⨯=+米【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。

【例2】 请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。

【解答】加法交换律：a b b a +=+加法结合律：)()(c b a c b a ++=++乘法交换律：a b b a ⨯=⨯乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯乘法分配律：bc ac c b a +=⨯+)(【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范。

可编辑修改精选全文完整版整式一．知识框架二.知识概念1．单项式：数字或字母的乘积叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5.常数项：不含字母的项叫做常数项。

6.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类型。

7.合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

（2）法则：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变（一变、两不变；一变是指同类项的系数变；两不变是指相同字母和相同字母的指数不变。

）（3）步骤：•找：准确的找出同类项‚搬：把同类项搬到一起（逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变）ƒ合：合并它们的系数口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。

合并时，需计算，系数加，两不变。

注意：•系数相加时，一定要带上各项前面的符号。

‚合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。

ƒ只有是同类项才能合并；合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。

顺口溜：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。

8.整式的加减（1）整式：单项式和多项式统称为整式。

（2）去括号:如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；‚如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；（3）一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

注：(补充）升幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

降幂排列：把一个多项式按某个字母的指数按从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n 都是正整数)。

第1讲整式的相关概念考点1.字母表示数知识点链接1.字母表示数字母可以表示任何数【例1】用字母表示数（1）的和8（2）x的一半（3）比x的二倍多6的数与b变式训练1某班有40名学生，其中男生有a40名，在向“希望工程”捐书活动中，平均每人捐书3本，试分析下面问题。

（1）a表示什么？（2）a3表示什么？2正方形的边长为m,把这个正方形的每边减少2，则减少后的正方形的面积是多少.3孙老师到体育用品专卖店为学校购买篮球，篮球的单价为a元，购买十个以上（不包括十个）按八五折优惠，请用式子表示：（1）购买6个篮球应付多少钱（2）购买20个篮球应付多少钱（3）购买m个篮球应付多少钱2 / 22 / 2考点2. 代数式求值和计算知识点链接1.代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；①代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。

等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；①代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

2.代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ；①数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ；①带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如a ⨯312应写作a 37； ①数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；①在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a -4）应写作44-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

①在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米。

【例2】 已知,7=-+b a b a 求)(32b a b a b a b a +---+）（的值2 / 2变式训练1 当7=x 时，代数式53-+bx ax 的值为7，则当7-=x 时，代数式53++bx ax 的值为_________.2 若n m ,互为倒数，则代数式)52(322--+n mn mn 的值为______________.3 如图，大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b .（1）用代数式表示阴影部分的面积；（2）当4,10==b a 时，求阴影部分的面积【例3】 代数式622+-+y ax x 与15322-+-y x bx 的差与字母x 的取值无关，求代数式)241(3312323b a b a ---的值.考点3. 整式的相关概念知识点链接1.单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。

第01讲整式（八大题型）学习目标1、了解单项式的概念，会求单项式的系数及次数；2、掌握同类项的概念；3、理解整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；一、单项式1.单项式的概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．【规律方法】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：2st 可以写成12st 。

但若分母中含有字母，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．【规律方法】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ．3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．【规律方法】单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；（2）不能将数字的指数一同计算．二、同类项所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。

议一议：小明：2a 2b 2与-3b 2a 2字母排列顺序不同，所以它们不是同类项.小丽：2xy 与2x 这两项中都有字母x,所以它们是同类项.你赞同小明、小丽的想法吗?三、整式知识引入：观察下面一组代数式4a 2-3b 、 -m+4、3t 2 -t- 4、2ab+2ac+2bc. 它们都是由单项式求和而得到的代数式.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．注意：整式也叫多项式；单项式也是整式。

整式的相关概念考点一、整式的有关概念1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。

2、单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313-。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如c b a 235-是6次单项式。

考点二、多项式1、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中每个单项式叫做这个多项式的项多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

①单项式和多项式统称整式。

②用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

③注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

2、同类项：所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

3、去括号法则①括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

②括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。

随堂练习：1.填空：幂x 3的指数是 ，底数是 ；幂a 2的指数是 ，底数是 ；幂n 的指数是 ，底数是 .2.填空：（1）一支铅笔的售价是x 元，一支圆珠笔的售价是铅笔的2.5倍，一支圆珠笔的售价是 元；（2）边长为a 的正方的形面积为 ；（3）边长为a 正方体的体积为 ；（4）一辆汽车的速度是每小时v 千米，它t 小时行驶的路程为 千米；（5）数n 的相反数是 .3.判断下列式子是不是单项式：（1）4x ； （2）－4x 2y ；（3）3a 2bc ； （4）7.2；（5）a ； （6）2＋x.4.填空：（1）单项式2a 2的系数是 ，次数是 ，是 次单项式；（2）单项式－1.2h 的系数是 ，次数是 ，是 次单项式；（3）单项式x 2y 的系数是 ，次数是 ，是 次单项式；（4）单项式－t2的系数是，次数是，是次单项式；（5）单项式5a4b的系数是，次数是，是次单项式；（6）单项式x的系数是，次数是，是次单项式；（7）单项式35xyz的系数是，次数是，是次单项式；（8）单项式2vt3的系数是，次数是，是次单项式.5.用单项式填空：（1）每包书有12册，n包书有册；（2）一个长方形的长是0.9，宽是a，这个长方形的面积是；（3）全校学生总数是x，其中女生占总数48%，则女生人数是，男生人数是；（4）产量由m千克增长10%，就达到千克.1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.（1）5y是单项式；（）（2）5y＋1是单项式；（）（3）13是单项式；（）（4）单项式ab的系数是0；（）（5）单项式2ab3的系数是2；（）（6）单项式xy2次数是2；（）（7）单项式4xy2是三次单项式. （）2.填空：青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段行驶速度是每小时100千米，它2小时行驶的路程是千米，3小时行驶的路程是千米，t小时行驶的路程是千米.3.用单项式填空：（1）底边长为a，高为h的三角形的面积是；（2）一辆汽车从拉萨出发，3小时后到达相距s千米的尼木县城，这辆长途汽车的平均速度是；（3）一台电视机原价a元，现按原价的9折（9折就是90%）出售，这台电视机现在的售价为元.4.填空：（1）多项式x2＋3x＋4是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（2）多项式－x2－3＋x是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（3）多项式m2－1是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______，常数项是________；（4）多项式2x＋3y2－3xy2是单项式______，_______，_______的和，它的项是______，______，______.5.填空：（1）多项式3＋2x2－4x次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（2）多项式m3－1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（3）多项式2x－3xy2＋1次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______；（4）多项式3x 4－2x 2y 2次数最高项是____，次数最高项的次数是______，这个多项式的次数是______.1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.（1）单项式3x 的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（2）单项式πr 2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（3）单项式－x 2y 的系数是_______，次数是______，是_______次单项式；（4）单项式22a b 2的系数是_______，次数是______，是_______次单项式. 2.填空：（1）多项式―x 2―3x ＋4的项是________________，最高次项是______，常数项是______，次数是________；（2）多项式3－m 2的项是___________，最高次项是＿＿＿＿，常数项是＿＿＿，次数是＿＿＿；（3）多项式a 3＋a 2b ＋ab 2的项是__________________，最高次项是＿＿＿＿＿＿，次数是＿＿＿.3.判断正误：对的画"√"，错的画"×".（1）多项式3a －5的项是3a ，5； （ ）（2）多项式x 3＋x 2y 2的次数3次； （ ）（3）几个多项式的和仍是多项式； （ ）（4）单项式和多项式统称整式. （ ）4.用多项式填空：（1）温度由－3度下降t 度后是＿＿＿度；（2）温度由－3度上升t 度后是＿＿＿度；（3）一个数比x 的2倍小3，则这个数为＿＿＿＿＿＿；（4）a 与b 两数平方的和为＿＿＿＿＿＿；.5.用整式填空：（1）体重由x 千克增加2千克后是_____千克；（2）1千克大米售价1.2元，x 千克大米售价＿＿＿＿＿元；（3）a ，b 分别表示长方形的长与宽，则长方形的周长为＿＿＿＿＿；（4）a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）买一个篮球需要x 元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z 元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿元.（6）如图，是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是＿＿＿＿＿＿＿平方米.x 6米6.思考题：如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要＿＿＿根小棒，搭3个正方形需要＿＿＿根小棒，搭x 个正方形需要＿＿＿＿根小棒，搭2008个正方形需要＿＿＿＿根小棒.作业：一、选择题1．在代数式222515,1,32,,,1x x x x x x π+--+++中，整式有（）A.3个B.4个C.5个D.6个2．下面计算正确的是（ ）A ．2233x x -=B 。

第一单元整式及相关概念-学而思培优
本文档旨在介绍学而思培优教学内容中的第一单元——整式及相关概念。

本单元主要涵盖整式的定义、运算规则以及相关概念的理解。

1. 整式的定义
整式是由常数、变量及其乘积、幂次方和各项之和所构成的代数式。

其中，常数是指具体的数字，变量是未知数。

整式的形式可以是单项式、多项式或零多项式。

2. 整式的运算规则
整式的运算规则包括加法、减法、乘法和化简等。

具体规则如下：
- 加法：将同类项相加，保留系数，合并同类项。

- 减法：将减数取相反数，再按照加法规则进行运算。

- 乘法：将每一项与乘数相乘，保留系数，将指数相加。

- 化简：合并同类项，将多项式中的括号展开。

3. 相关概念的理解
本单元还涉及到一些与整式相关的概念，如单项式、多项式、最高次项和整式的次数等。

这些概念的理解对于求解整式的值、约束和判断整式性质十分重要。

- 单项式是只含有一个项的整式，例如3x、-2y²等。

- 多项式是含有两个或多个项的整式，例如x²-2xy+3、4ab²-5ac 等。

- 最高次项是多项式中次数最高的项，例如在x²-2xy+3中，x²是最高次项。

- 整式的次数是最高次项的次数，例如在4ab²-5ac中，整式的次数为2。

以上就是第一单元整式及相关概念的基本内容介绍。

整式知识点总结整式的基本概念：在代数中，由数字、字母以及它们的各次幂与运算符组成的符号串称为代数式。

其中字母是代数式的基本要素。

一个或几个字母（代数量）构成的代数式称为代数式的值。

例如，3x+4y是一个代数式，当x=1，y=2时它是一个数。

整式的性质：1.加法性质：整式相加的结果仍是整式。

2.乘法性质：整式相乘的结果仍是整式。

3.交换律和结合律：整式的加法和乘法满足交换律和结合律。

4.整式的因式分解：将一个整式分解成若干个整式的乘积。

整式的分类：1. 单项式：只含有一个字母或多个字母的乘积的式称为单项式。

例如：2x，3xy。

2. 多项式：由单项式相加（减）得到的式子称为多项式。

例如：2x+3y，3xy-4x+7。

3. 整式：整式是单项式和多项式的统称。

4. 一元整式和多元整式：只含一个字母的整式叫做一元整式，含有两个或两个以上字母的整式叫做多元整式。

整式的加法和减法：当整式相加时，只有当它们的字母部分相同（指数也相同），系数相加就得到的一个整式。

例如：2x+3x=5x，2x^2-3x^2=-x^2。

整式的乘法：整式的乘法应用分配律和乘法公式，将每一个单项式分别与另一个整式相乘，然后将所得结果相加即可得到乘积。

例如：(2x+3)(x-4)=2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12。

整式的除法：整式的除法是对整式进行除法运算。

例如，求多项式f(x)=2x^3-5x^2+3x-7和g(x)=x-3的商和余式。

整式的因式分解：整式的因式分解是指将一个整式表示为几个整式的乘积。

例如，将6x^2+11x-5分解成(3x+1)(2x-5)。

整式的应用：整式的应用十分广泛，特别是在代数方程、代数不等式、多项式函数、统计学等领域中。

整式的加、减、乘、除运算是解决代数方程、不等式问题的基础。

总之，整式是代数学中的基本概念之一，它是解决各种代数问题的基础工具，具有十分重要的意义。

通过学习整式，可以更好地理解代数运算的基本规律，并应用于实际问题的解决。

第一节 整式及相关概念一、课表导航二、 核心纲要1.代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母联结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式．2．(1)单项式：数字或字母的积，这样的代数式称为单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 注：①π元是数字而不是字母，②分母中含字母的代数式是分式，不是单项式，如⋅x1 (2)单项式的次数：单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．(3)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，注：①确定单项式的系数时要注意包括它前面的符号．②单项式的系数是带分数时必须化成假分数．3．(1)多项式：几个单项式的和叫做多项式．(2)多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项，多项式中不含字母的项叫做常数项． 注：确定多项式的项时要注意包括它前面的符号．(3)多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．4．同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.注：①单项式的字母同，相同字母指数同．②所有常数项都是同类项．5．整式：单项式和多项式统称为整式.注：分母中含有字母的式子不是整式，本节重点讲解：一项（同类项），四式（代数式、 单项式、多项式和整式），四数（单项式的系数和次数、多项式的项数和次数）.三、全能突破基 础 演 练1．(1)一种货物进价a 元，提价15%后，再打9折，实际售价是( )元a A 35.0. a B 35.1. a C 035.1. a D 15.1.(2)今年某种药品的单价比去年便宜了15%，如果今年的单价是x 元，则去年的单价是( )元x A %)151.(+ x B %)151.(- %151.+x C %151.-x D2．(1)在ππx m xy c bx x a x y c ab y x --+--+-,,65,,2,,5,3222中，单项式有( )个 3.A 4.B 5.C 6.D(2)下列代数式中多项式共有( )个 ⋅-++----+-221,,32,1,3,,43xabc x x a b c b a x 1.A 2.B 3.C 4.D3．下列说法正确的是( )A 单项式322y x -的系数是,32-次数是3 B ．单项式42ab π的次数是7，系数是O xc 1.是单项式 742523.-+y x x D 是七次多项式4．多项式26421.0385x x x x +---是 次 项式，最高次项的系数是 ，常数项是 ，系数最小的项是 ．按x 进行降幂排列为 ．5．若a 表示一个三位数，b 表示一个两位数，若把b 放在a 的右边构成一个五位数，则该五位数表示 为6．若222262cy bxy x y xy ax ++=+-成立，则a 、b 、c 的值分别为7．已知关于x 的多项式6||)4(4+-+x m x m 的一次项系数为-4，则这个多项式为8．把一条绳子折成3折，用剪刀按如图2-1-1所示的方式剪断，如果剪一刀得到4条绳子，如果剪两刀得到7条绳子，如果剪三刀得到10条绳子，……，依照这种方法把绳子剪n 刀，得到的绳子的条数 为9．单项式131-+-a b a y x 与y x 23是同类项，求3)(a b -的值. 能 力 提 升10．关于x 的整式1)1(3+--x x n 与321-++x mx n 的次数相同，则m-n 的值为( ) 1.A 1.-B 0.C D ．不能确定11．如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式．例如：32322y xyz xy x +++是3次齐次多项式．若23223z xy y x m ++是齐次多项式，则m 等于( )4.A 3.B 2.C 1.D12．已知多项式2723452346+-++-x x x x x n 是六次多项式，则n 的取值是( ) 5.=n A 1.=n B 15.==n n C 或 D ．以上都不对13．至少含有a ，b ，c 三个字母之一，且不含其他字母，系数为1的六次单项式共有____个．14．写出同时含有x ，y ，z ，且满足下列条件的单项式(1)系数为1；(2)x ，y ，z 的指数之和小于等于5；(3)交换x ，z 的指数，该单项式不变，则这样的单项式分别是________．15．现有7个单项式：,,,,,,,765432c b a z y x x 先将它们分成5个组，每组至少有一个单项式，而x 和 2x 不可以放在同一组，当一组有两个或两个以上单项式时，则将它们“合成”为一个新单项式，如：x 和3y 两个一组时“合成”的新单项式为353,,;y a x xy 三个一组时“合成”的新单项式为.53a xy 最后再将这5个单项式求和得到一个五项式．那么可得到的次数最高的五项式是 ；可得到的次数最低的五项式的次数是16.当m ，n=____时，关于x ，y 的多项式1521)43(22+-++-x xy y nxy mx 中不含有xy 项，当m= ，n= 时，此多项式是二次三项式．17．若单项式|1|22)4(n y x n --是关于x ，y 的五次单项式，多项式1)3(323||-++y x m y x m 是关于x ，y的六次三项式，则=+2012)(n m18. 一个关于字母a ，b 的多项式，除常数项外，其余各项的次数都是3，这个多项式最多有几项？试写出一个符合要求的多项式．若a ，b 满足,0)1(||2=++-b b a 并求出多项式的值．19.在长方形纸片内部裁剪出一个长方形，尺寸如图2-1-2所示．(1)用含有a 、b 、x 的代数式表示图中阴影部分的面积：(2)当2,102===x b a 时，求此时阴影部分的面积．20.为了鼓励节约用电，某地对居民用户用电标准作如下规定：每户用电如果不超过100度，那么每度电按x 元收费；如果超过100度，那么超过的部分每度按y 元收费．(1)某户居民在一个月内用电75度，求该户居民这个月应交电费多少元？某户居民在一个月内用电175度，求该户居民这个月应交电费多少元？(2)某户居民一个月内用电a 度，求该用户这个月应交纳电费多少元？21．电子工业出版社出售学而思编著的初中数学《几何辅助线秘籍》，每本成本21.8元，第一种销售方式是委托新华书店销售，每本售价29.8元，但消耗费用每月需支出2400元；第二种销售方式是直接由出版社门市部销售，每本售价26.8元，第一种与第二种销售方式所获得的月利润分别用21,y y 表示，月销售的本数用x 表示．(1)用含有x 的代数式表示21y y 与；(2)销售量每月达到2000本时，哪种销售方式获得的利润多？中 考 链 接22．(2010．德宏州)单项式327c ab 的次数是( ) 3.A 5.B 6.C 7.D23. (2010．广东佛山)多项式21xy xy -+的次数及最高次项的系数分别是( ) 1,2.A 1,2.-B 1,3.-C 1,5.-D24.（2010．云南红河自治州）若单项式312553y x y x m m n ----是同类项，则m= ，n=巅 峰 突 破25.在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数)中,恰有两项是同类项,则mn=26．某商店经销一种衬衫，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衫的零售价为( )元%)1%)(1(.b a m A -+ %)1%(.b a m B -⋅ %%)1(.b a m C + %)%1(.b a m D ⋅+27.已知有如下一组x ，y 和z 的单项式：.3.0,,9,51,,9,3,21,8,73232422323z y xz z y xyz zy zy x z xy yz x y x z x -- 我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任意两个单项式，先看x 的幂次，规定z 的幂次高的单项式排在x 的幂次低的单项式的前面；再看y 的幂次．规定y 的幂次高的排在y 的幂次低的前面；再看 z 的幂次，规定z 的幂次高的排在z 的幂次低的前面．将这组单项式按上述法则排序，那么z y 39 应排在( )A ．第2位B ．第4位C ．第6位D ．第8位。

七年级 , 数学 , 整式 , 的 , 基本看法 , 第,1 课时 , 整式 , 第 1 课时：整式的基本看法1认识单项式、单项式的系数及次数的定义，并能正确地确定一个单项式的系数和次数。

2认识多项式的次数的看法，会说出一个多项式的项，常数项，能判断一个多项式是几次几项式3认识整式的定义授课重点和难点：1掌握单项式及单项式的系数、次数的看法，并会正确迅速地确定一个单项式的系数和次数2掌握整式及多项式的有关看法，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等看法。

3.单项式看法的建立 , 多项式的次数。

4.系数是负数或分数的单项式及写成分数形式的多项式。

授课过程：(5) 小明从每个月的零花销中储藏x 元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。

（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

注：①单个字母的系数为 1；②单项式的系数包括符号；（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注：单独一个数的次数是 0 次。

圆周率π 是常数；当一个单项式的系数是 1 或－ 1 时，“ 1”平时省略不写，如x2，－ a2b 等；单项式次数只与字母指数有关。

（ 1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

每个单项式叫做多项式的项。

其中，不含字母的项，叫做常数项。

注：①多项式看法中的和指代数和，即省略了加号的和的形式。

②多项式中不含字母的项叫做常数项。

比方，多项式有三项，它们是，－2x， 5。

其中 5 是常数项。

（2）多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

（3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

比方，多项式是一个二次三项式。

注意： (1) 多项式的次数不是所有项的次数之和；(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。

3. 单项式与多项式统称整式重点：分母中可否含有字母？在代数式中，只要分母中不含字母的代数式都是整式。