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《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
综合与实践猜想、证明与拓广一，教学目标：1.让学生经历探索与证明数学结论的过程，增强问题意识和自主探索的意识，感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性和不同数学知识领域之间的联系；形成对数学的整体性认识。
2.通过对一个开放性，研究性问题的探索，获得探索和发现的体验，运用归纳，综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，发展学生的推理探索能力。
3.通过反思自己以及同伴解决问题是过程，使学生提出问题的能力得到发展，在独立思考并与同学合作交流中扩展思路，获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心。
二、学情分析：学生在经历了两年半的初中学习后，积累了一定的证明的经验，思想和方法，具备了几何证明及探究的能力。
在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。
在学习了一次函数和反比例函数后，能理解应用函数的思想，数形结合的思想解决实际问题。
三、教学重难点：重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程，方程组，函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。
四、教学方法：自主学习法，分组讨论法、讲授法、五、教学过程：1，问题提出并解决：问题 1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?探究方案：（1）利用相似知识，相似比是1：2时，面积比是1：4.（2）设给定的正方形边长为a,则其面积是a².若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2≠2a2;若面积倍增,即面积变为2a²,则其边长应为 a ≠2a.结论：不存在这样的正方形，它的面积和周长分别是已知正方形的面积和周长的2倍。
（正方形问题的解决为后面矩形问题的解决提供了思想方法。
）问题 2. 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?探究方案：（1）是否可利用相似知识？（引导学生辨明为什么正方形可以用相似的知识解决而矩形不可以。
《猜想证明和拓广》（义务教育课程标准北师大版九年级上册课题学习）一、教材分析●（一）教材内容本课题学习是一个开放性、研究性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，本课题学习的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍，●（二）地位作用本课题学习在学生的学习过程中具有很强的提升作用，让学生在解决问题的过程中去体验和领悟，获得解决问题的方法和途径，让学生通过本课题的学习不仅掌握学习知识的技能，更能够举一反三，培养数学推理能力和逻辑思维能力。
二、学情分析●（一）知识基础在本节课前，学生已初步掌握了一元二次方程的思想，方程的根与系数之间关系，积累了对一些简单方程问题的处理、分析经验。
●（二）认知水平初三的学生已具备一些方程问题的处理能力，由于年龄特点和认知特点，理性认识强于感性认识三、教学目标● （1）知识技能目标在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
●(2) 过程与方法在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识 . 在探究过程中 ,感受由特殊到一般、数式结合的思想方法，体会证明的必要性。
● （3）情感态度目标经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
四、教学重点难点：● 1. 重点 : 探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”，从而获得解决问题的方法和途径．●2．难点 : 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．●3．突破重点、突破难点的策略：从数学学习的必要性入手，结合多媒体直观演示，并通过学生互动研讨，加深对数学研究思想的理解，并配合由浅入深的练习，使学生掌握猜想、证明、拓广的方法。
五、教学用具多媒体投影仪大屏幕三角板六、教法学法本节采用“探究 -讨论”模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与讨论。
《课题学习——猜想、证明与拓广》教学设计西安交大附中樊丹子一、设计思路《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）课题学习的内容，教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法。
本例涉及第一课时“倍增问题”.本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．不断经历猜想、判断、证实或修正，综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，由特殊到一般地探索与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法。
教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现新问题、尝试从不同角度思考，善于归纳总结等。
在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程．二、教学目标（1）知识与技能目标：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题．（2）过程与方法目标：经历猜想、证明、拓广的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．（3）情感态度价值观：通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系．三、教学重点、难点重点：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．四、教学程序及设想问题提出看这幅美丽的正方形图片，如果想把它的周长和面积同时扩大为原来的2倍，使它成为一个新的图片，能实现吗？先猜想结论，并尝试用数学的方法，科学的解释你的结论．把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中．猜想探究转化为数学问题1：任意给定一个正方形，是否存在．．另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？(鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结)得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.能力拓展问题2-1：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？总结出探究问题的方法：从特殊到一般问题2-2：如果已知矩形长和宽分别为2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。
猜想、证明与拓广1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验．2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．3．在探究过程中，感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法，体会证明的必要性．4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论．一、情境导入教师：同学们，图片中的人物你们认识吗？对，他是伟大的物理学家——牛顿．他在思考苹果为什么落地的问题时，首先做出了大胆的猜想，最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律．同时也给我们留下了一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现与发明．当然，仅靠大胆的猜想，并不能对问题作出正确的决策和判断，那么，怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广．二、探究新知1．感悟猜想教师：已知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解：猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，要使得猜想合理化，就要通过特例尝试．2．体会证明猜想结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师：你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到：通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须要经过证明从而体会到证明的必性．3．学会拓广教师：由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流，分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响．教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界.三、举例分析例1 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤．学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果．例2 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳．四、练习巩固1．当矩形满足什么条件时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2．自学教材第168页“读一读”．五、小结1．知识方面：(1)任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2．数学思想方法方面：(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题，常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究，一般先从特殊开始，然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题．在实际教学中，我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住，授课时按部就班，有时显得十分牵强附会．本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚，在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手，力求营造一个轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲．在内容上先从最特殊的正方形的探究入手，让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式．然后循序渐进，通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型，提出和解决了矩形的相关问题．然而，本课题中的具体问题仅是一个展示平台，在教学活动中感悟问题的产生和提出，体会知识的归纳、综合与拓展，领会处理与解决问题的方法与策略，积累一定的数学活动经验，才是本课题教学应追某某现的目标．因此，本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高，努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等，并力求做到人人参与，使不同的学生均有不同的收获．。
北育才学校教案学《猜想明拓广》第一知与能力探索“任意定一个正方形、矩形，是否存在另一个正方形、矩形，它的周和面分是已知矩形周和面的2 倍”的 .教程与方法猜想、明、拓广的程，增意和自主探索的意。
学在解决的程中合运用所学知，体会知之的内在系，形成数目学的整体性。
在探究程中，感受由特殊到一般、形数合的思想方法，体会明的必要性。
情感度与在合作交流中展思路，展学生的推理能力。
价极参与数学活，极思考并与同学合作交流.。
启学生合运用一元二次方程、方程、不等重点探索倍增正方形和倍增矩形点式、函数、相似等知具有一般性的，求一般性的解决方法方法探究、猜想、教具多媒体件教学程教活学生活意一、新引入：世界三大几何： 1.化方——求作一正方形使其面等于一已知？与正方形都是常的几何形，但如何作一个正方形和已知等面呢？2. .三等分任意角。
于某些角如900 、1800 三等分并不 ,但是学生观看问题，可引发同学们学习兴趣。
以进行适当讨论。
否所有角都可以三等分呢？例如600, 若能三等分可以做出200的角 ,那么正 18 形及正九形也都可以做出来了（注：内接一正十八形每一所的周角3600/18=200 ）。
3.倍立方——求作一立方体使其体是一已知立方体的二倍。
二、授新：（一）活探究一：任意定一个正方形,是否存在另一个正方形 ,它的周和面分是已知正方形周和面的 2 倍 ? 1.教出特例表格：已知正方形所求正方形所求正方形边长周长面积2.通表格得到特殊。
3.得出猜想：不存在一个正方形它的周和面是已知正方形周和面的 2 倍。
3.同学分，用不同方法明，并展示成果。
4.鼓励学生大胆猜想、研究的表解，行探索、合作与交流，学生涌出多化的解思路，及予以引、和得出后鼓励学生合理散思，提出新的⋯用示范的例子，引导同学们进行本节学习。
学生根据问题进行回答。
发散同学思维，感受本同学们根据老师节知识内容。
布置任务，进行反馈回答。
不让同学们思维模式固定，知道学习数学是思维的体验。
东北育才学校教案
附录：关于本节课的一些说明
《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题——图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。
主体体现：猜想—证明—拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。
（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法；
（2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从
学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；
（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，
相似形是否存在“倍增”图形
其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？
长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？……。
