九年级数学解直角三角形4

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。

本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。

但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。

2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。

2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。

2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。

从而激发学生的学习兴趣，引入新课。

2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。

然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材中关于直角三角形知识的重要内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，主要让学生了解解直角三角形的意义和作用，学会使用解直角三角形的方法，提高解决实际问题的能力。

教材通过引入直角三角形中的边长和角度的关系，引导学生利用已学的锐角三角函数知识来解决直角三角形中的问题。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握解直角三角形的方法，同时注重培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数有一定的了解。

但是，学生对解直角三角形的理解和应用能力参差不齐，部分学生可能对解直角三角形的实际应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行有针对性的教学，引导学生理解解直角三角形的意义，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索解直角三角形的规律，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和勇于挑战的精神。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握解直角三角形的方法，能够运用解直角三角形解决实际问题。

2.难点：引导学生理解解直角三角形的实际应用，提高学生解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入解直角三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳解直角三角形的规律，培养学生的自主学习能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对解直角三角形的理解和应用。

湘教版数学九年级上册《4.3 解直角三角形》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级上册《4.3 解直角三角形》是学生在学习了三角形的性质、勾股定理的基础上进行学习的。

本节内容主要让学生掌握直角三角形的性质，学会用勾股定理解决实际问题，进一步培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的性质、勾股定理等相关知识，具备一定的观察、思考和解决问题的能力。

但部分学生对直角三角形的性质和勾股定理的理解不够深入，解决实际问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握用勾股定理解决实际问题的方法。

2.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学素养，使学生在实际生活中能运用数学知识解决问题。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，用勾股定理解决实际问题。

2.难点：如何引导学生发现直角三角形的性质，以及如何将实际问题转化为数学问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生发现直角三角形的性质，培养学生独立思考的能力。

3.实践教学法：让学生通过动手操作、解决实际问题，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的相关课件，包括图片、动画等。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用勾股定理解决问题。

3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的性质和勾股定理。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形图片，如建筑物的角落、三角板等，引导学生关注直角三角形。

提问：“你们知道直角三角形的性质吗？”让学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的性质，引导学生发现并总结直角三角形的特征。

通过课件展示直角三角形的特点，如直角边的平方和等于斜边的平方。

同时，给出勾股定理的公式。

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是湘教版数学九年级上册4.3的内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的。

本节课的主要内容有：了解解直角三角形的概念，学会用锐角三角函数解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

本节课的内容在数学学科中占有重要的地位，它不仅巩固了锐角三角函数的知识，而且为后续学习三角函数的图像和性质奠定了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的概念和运用可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解和掌握解直角三角形的方法，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解解直角三角形的概念，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法。

2.能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念，用锐角三角函数解直角三角形的方法。

2.难点：如何引导学生从实际问题中发现解直角三角形的规律，运用解直角三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设计实际问题，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。

2.小组合作学习：学生在小组内讨论和分享解直角三角形的方法，培养学生的合作意识和团队精神。

3.案例教学法：通过分析具体的案例，让学生理解解直角三角形的应用。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。

2.准备解直角三角形的案例，用于分析和讲解。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何求解直角三角形的边长。

例如，一个直角三角形的两个锐角分别是30度和60度，求这个三角形的斜边长。

2.呈现（10分钟）呈现相关的实际问题，让学生独立思考和解决问题。

华师大版数学九年级上册《解直角三角形》说课稿4一. 教材分析华师大版数学九年级上册《解直角三角形》这一节的内容是在学生已经学习了锐角三角函数的基础上进行的。

这部分内容主要让学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，以及熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材从生活实际出发，通过让学生观察和分析实际问题，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

然后，通过例题和练习题的讲解和练习，使学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了锐角三角函数的知识，对三角函数有一定的理解。

但是，对于解直角三角形的方法和应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实际出发，理解直角三角形的性质和解直角三角形的方法，并通过大量的练习，使学生能够熟练掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

三. 说教学目标教学目标主要包括三个方面：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

1.知识与技能：使学生了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，能够熟练运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析实际问题，引导学生发现直角三角形的性质，学会解直角三角形的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的创新精神和实践能力。

四. 说教学重难点教学重点是使学生掌握解直角三角形的方法，并能够熟练运用到实际问题中。

教学难点是引导学生发现直角三角形的性质，理解解直角三角形的方法。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生观察和分析，引出直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）的教学内容主要包括解直角三角形的应用、锐角三角函数的概念和应用。

本节课是在学生已经掌握了直角三角形的相关知识的基础上进行教学的，目的是让学生能够运用所学的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于直角三角形的相关知识也有了一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深、思路不清晰而导致解题困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解概念，培养学生的解题思路。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的概念和应用。

2.过程与方法：培养学生运用所学的知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：解直角三角形的应用，锐角三角函数的概念和应用。

2.教学难点：如何引导学生运用所学的知识解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的解题思路；通过分析实际案例，使学生理解所学知识的应用价值；通过小组合作学习，提高学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计好教学问题和案例。

2.学生准备：掌握直角三角形的相关知识，预习本节课的内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）教师展示案例，让学生观察和分析案例中的直角三角形，引导学生发现实际问题中的数学规律。

3.操练（20分钟）教师设置问题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。

学生在解决问题的过程中，教师给予指导和点拨，帮助学生理清解题思路。

湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.3《解直角三角形》是本册教材中关于直角三角形知识的重要内容。

通过本节课的学习，学生能了解直角三角形的性质，掌握解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

本节课的内容为后续学习勾股定理和三角函数等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角形和钝角三角形的性质，了解了三角形的分类。

在此基础上，学生需要进一步掌握直角三角形的性质，并学会解直角三角形。

此外，学生需要具备一定的观察能力、动手操作能力和逻辑思维能力，以便在学习过程中更好地理解和掌握所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能掌握直角三角形的性质，了解解直角三角形的方法，并能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生动手操作能力、观察能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，解直角三角形的方法。

2.教学难点：解直角三角形的灵活运用，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，引导学生观察、操作、思考，激发学生学习兴趣。

2.合作学习法：学生进行小组讨论、合作探究，培养学生团队合作精神。

3.启发式教学法：教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解和记忆。

六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形的相关课件，包括图片、动画、例题等。

2.教学道具：准备直角三角形模型、三角板等道具，以便进行实物演示。

3.练习题：挑选一些有关直角三角形的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的直角三角形图片，如教室的黑板、楼梯的扶手等，引导学生关注直角三角形。

解直角三角形及其应用（第4课时）教学目标1．正确理解方向角的概念．2．能运用解直角三角形知识解决有关方向角的问题．3．能够融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力．教学重点运用解直角三角形知识解决有关方向角的问题．教学难点运用解直角三角形知识解决有关方向角的问题．教学过程知识回顾利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．新知探究一、探究学习【问题】方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海及部队行进等方面应用广泛．你知道怎样利用方向角测量两地的距离吗？【师生活动】学生思考，然后找学生代表说一说解决问题的思路，教师纠正．【答案】利用方向角，根据已知条件构造直角三角形，然后通过解直角三角形就可得出所求两地的距离．【新知】一般地，方向角是指目标与参照物所在的直线和南北方向所在的直线所夹的锐角．【追问】你知道怎样表示方向角吗？【师生活动】直接找学生说出图中各点所在位置的方向角（以点O所在位置为参照点），教师纠正．【答案】如图，点A在点O的北偏东60°方向，点B在点O的南偏东45°方向（东南方向），点C在点O的南偏西80°方向，点D在点O的北偏西30°方向．南偏东45°也称为东南方向；南偏西45°也称为西南方向；北偏西45°也称为西北方向；北偏东45°也称为东北方向．【归纳】特别注意：（1）方向角通常是以南北方向线为基准，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”；（2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此，通常借助于此性质进行角度的转换．【设计意图】通过这个问题，让学生了解方向角的概念，知道方向角的表示方法．二、典例精讲【例1】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？【分析】能确定的线段和角有：∠A＝65°，P A＝80 n mile，∠B＝34°．要求解的是：线段PB的长度．【答案】解：如图，在Rt△APC中，PC＝P A·sin 65°≈72.505（n mile）．在Rt△BPC中，∠B＝34°，∵sin B＝PC PB，∴PB＝72.505sin sin34PCB=︒≈130（n mile）．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130 n mile．【设计意图】通过这个问题，检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关方向角的实际问题的掌握情况．【例2】海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【答案】解：如图，过A点作AE⊥BD于点E，过D点作DC∥AE，则AE是点A到BD的最短距离，且CD//AE//BF．∴∠BAE ＝∠ABF ＝60°，∠DAE ＝∠ADC ＝30°． ∴∠ABE ＝∠BAD ＝30°． ∴AD ＝BD ＝12 n mile ．∴AE ＝AD ·sin 60°＝12＝n mile ）．∵8，∴如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．【归纳】解答关于方向角的应用题时，对于非直角三角形问题，可以通过作辅助线转化成直角三角形问题来解决．多利用正北、正南、正东、正西方向线构造直角三角形，注意所作的辅助线尽量不分割已知的特殊角．【设计意图】通过这个问题，检验学生对运用解直角三角形的知识解决有关方向角的实际问题的解题思路的掌握情况．【例3】如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A 地到B 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C 处有一个大型油库．现测得油库C 在A 地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，B 地在A 地的正东方向上，AB 的距离为2501)m ．已知在以油库C 为中心，半径为200 m 的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问：若在此路段修建铁路，油库C 是否受到影响？请说明理由．【答案】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．由题意，得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°． 在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝CDAD，即tan 30°＝CDAD，∴AD ． 在Rt △BDC 中，tan ∠CBD ＝CDBD，即tan 45°＝CDBD，∴BD ＝CD ． ∵AD ＋BD ＝AB ，＋CD ＝2501)m ． ∴CD ＝250 m ． ∵250 m ＞200 m ，∴在此路段修建铁路，油库C 不会受到影响．【设计意图】通过这个问题，进一步检验学生对运用解直角三角形的知识解决有方向角的实际问题的掌握情况．【例4】知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用C 表示）开展社会实践活动，车到达A 地后，发现C 地恰好在A 地的正北方向，且距离A 地13 km ，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地，求B ，C 两地的距离．434sin 53cos53tan 53553参考数据：，，⎛⎫︒≈︒≈︒≈ ⎪⎝⎭【答案】解：如图，作BD ⊥AC 于点D ，则∠BAD ＝60°，∠DBC ＝53°．设AD ＝x km ，则在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan ∠BAD （km ）．在Rt △BCD 中，CD ＝BD ·tan ∠DBC ×43（km ）．由AC ＝AD ＋CD ，得x ＝13，解得x ＝3．所以()3cos 5∠BD BC DBC ==(20=-km ．即B ，C 两地的距离约为(20-km ．【设计意图】通过这个问题，进一步检验学生对运用解直角三角形的知识解决有方向角的实际问题的掌握情况．课堂小结板书设计一、方向角的概念 二、方向角的表示三、运用解直角三角形解关于方向角的应用题课后作业完成教材第79页习题28.2第10题．。

第4节解直角三角形1.了解解直角三角形的概念,使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.经历解直角三角形的过程,掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形的方法.1.在研究问题的过程中思考如何把实际问题转化为数学问题,进而把数学问题具体化.2.通过利用三角函数解决实际问题的过程,进一步提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力.1.在解决问题的过程中引导学生形成数形结合的数学思想,体会数学与实践生活的紧密联系.增强学生的数学应用意识,激励学生敢于面对数学学习中的困难.2.通过获取成功的体验和克服困难的经历,增进学生学习数学的信心,养成学生良好的学习习惯.【重点】理解并掌握直角三角形边角之间的关系,运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形中的未知元素.【难点】从已知条件出发,正确选用适当的边角关系或三角函数解题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习三角函数和勾股定理的相关知识.导入一:课件出示:在日常生活中,我们常常遇到与直角三角形有关的问题,知道直角三角形的边可以求出角,知道角也可以求出相应的边.如图所示,在Rt△ABC中共有几个元素?我们如何利用已知元素求出其他的元素呢?【师生活动】复习直角三角形的性质(两锐角互余和勾股定理)和三角函数的概念.【学生活动】通过独立思考和与同伴交流,分析出Rt△ABC中的6个元素,并尝试利用已知元素求未知元素.[设计意图]在学生分析直角三角形6个元素的过程中,学生自然而然地会想到直角三角形的相关性质,在复习旧知的同时,又为学习新知奠定了良好的基础.导入二:课件出示:如图所示,AC是电线杆AB的一根拉线,测得拉线AC=12m,AB=6m,你能求出拉线底端到电线杆底端的长度BC吗?能求出拉线AC与地面BC所成角的度数和拉线AC与电线杆AB所成角的度数吗?学生分析:可以利用勾股定理求拉线AC的长度,易知拉线与地面所成角为∠BCA,拉线与电线杆所成角为∠BAC,利用三角函数知识和计算器即可求出∠BCA和∠BAC的度数.【引入】这节课我们就综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的知识探究直角三角形中的边和角的求解方法.[设计意图]通过生活中实际情境的引入,使学生对本节课的学习任务一目了然,学生在探究的过程中就可以抓住重点和难点.[过渡语]我们已经了解了直角三角形中6个元素分别是三条边和三个角,那么至少要知道几个元素,才可以求出其他元素呢?下面我们进行分类探究.【做一做】在Rt△ABC中,如果已知其中两边的长,你能求出这个三角形的其他元素吗?课件出示:(教材例1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素.思路一教师引导学生分析:1.直角三角形中已知两边可以利用定理求出第三条边.2.直角三角形中,已知两边可以利用求∠A(或∠B)的度数.3.再利用求∠B(或∠A)的度数.【师生活动】教师引导学生分析,得出解直角三角形的方法,理清解题思路.【学生活动】得出结论:1.勾股定理2.三角函数2.两锐角互余解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=,∴c===2.在Rt△ABC中,sin B===,∴∠B=30°,∴∠A=60°.思路二分组探究,思考下面的问题:1.由两个已知条件a=,b=能不能求出其中的一个锐角?2.如何再求出另外一个锐角的度数?3.如何再求出第三条边的长【师生活动】学生先独立思考,然后小组讨论.教师巡视,及时发现问题,予以纠正.完成后各小组展示解题的方法和步骤,师生共同验证.解:在Rt△ABC中,a=,b=,∴tan A===,∴∠A=60°,∴∠B=30°.在Rt△ABC中,sin B=sin30°=,即=,∴c=2.【教师小结】解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有的未知元素的过程,叫做解直角三角形.[设计意图]通过对直角三角形6个元素的分析及对猜测的探究活动,自然而然地引出解直角三角形的概念,并让学生及时总结解题方法,加深对概念的理解.[知识拓展]已知直角三角形两条边求其他元素的方法:方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角.方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求出第三条边.解:在Rt△ABC中,AC=12,AB=6,由勾股定理得BC=6.在Rt△ABC中,tan∠BCA===,∴∠BCA=60°,∴∠BAC=30°.∴拉线底端到电线杆底端的长度BC是6m,∠BCA和∠BAC的度数分别是60°和30°.[设计意图]通过对导入题的解答,加深学生对解直角三角形概念的理解,提高解题的综合能力.三角形的其他元素(边长精确到1).〔解析〕在直角三角形中可以利用两锐角互余求另外一个锐角的度数,然后利用与锐角∠B 和边b有关的三角函数先求出其中一条边a或c,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边c或a.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,∴∠A=65°.∵sin B=,b=30,∴c==≈71.∵tan B=,b=30,∴a==≈64.【教师设疑】此题还有其他解法吗?【学生活动】学生相互交流他们的解法.[设计意图]通过对学习活动的探究,学生逐步掌握了解直角三角形所要具备的条件,并在探究的过程中及时总结归纳出解直角三角形的思路和方法,为后面的练习和应用打下了良好的基础.[知识拓展]已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素的方法:已知一个锐角的度数,先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角的度数;又知道一条边的长度,根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长度;也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长度,再利用三角函数或勾股定理求出第三条边的长度.在Rt△ABC中,如果已知两个锐角,可以解直角三角形吗?【学生活动】学生先独立判断,再分组讨论.学生小结:只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.问题2只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?学生小结:只给出一条边长,不能解直角三角形.【教师点评】解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”.【师生总结】解直角三角形需要满足的条件:在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.【教师提示】第三个元素既可以是角也可以是边.[知识拓展]解直角三角形的思路和方法:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则有:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角之间的关系:sin A=,cos A=,tan A=,sin B=,cos B=,tan B=.(4)面积的不同表示法:S△ABC=ab=ch(h为斜边上的高).1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的类型:(1)已知直角三角形两条边求其他元素.(2)已知直角三角形一条边和一个锐角求其他元素.3.解直角三角形需要满足的条件:除直角外,再知道一条边和第三个元素,就可以解直角三角形.1.如图所示的是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=,则边BC的长为()A.5cmB.10cmC.20cmD.30cm解析:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知tan∠BAC=,∵AC=30cm,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan∠BAC=30×=10(cm).故选B.2.如图所示,在Rt△ABO中,斜边AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则()A.点B到AO的距离为sin54°B.点B到AO的距离为tan36°C.点A到OC的距离为sin36°·sin54°D.点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据锐角三角函数定义得出BO=AB sin36°,即可判断A,B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐角三角函数定义得出AD=AO sin36°,AO=AB·sin54°,所以AD=sin36°·sin54°,即可判断C正确,D错误.故选C.3.如图所示,已知在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.解析:∵在Rt△ABC中,cos B==,∴sin B==,tan B==.∵在Rt△ABD中,AD=4,∴AB===.∵tan B==,∴AC=AB tan B=×=5.故填5.4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=.解析:如图所示,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=2BD=6.故填6.5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A=,求BC的长和tan B的值.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cos A===,∴AC=4,根据勾股定理,得BC==6,∴tan B===.4解直角三角形解直角三角形:一、教材作业【必做题】教材第17页习题1.5第1,2题.【选做题】教材第18页习题1.5第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=50°,BC=5,则AC等于()A.3sin50°B.3sin40°C.3tan50°D.3tan40°2.如图所示,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则AB的长是()A.2B.8C.2D.43.(2015·桂林中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是.4.要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,则梯子与地面的夹角为度.【能力提升】5.如图所示的是一张简易活动餐桌,测得OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,B点和O点是固定的.为了调节餐桌高矮,A点有3处固定点,分别使∠OAB为30°,45°,60°,则这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是(不考虑桌面厚度)()A.40cmB.40cmC.30cmD.30cm6.如图所示,在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,则△ABC的面积是.7.(2015·湖北中考)如图所示,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:(1)BC的长;(2)sin∠ADC的值.8.张大爷家有一块三角形土地如图所示,测得∠A=30°,∠B=45°,BC=20m.请你帮助张大爷计算这块土地有多少平方米.9.如图所示,沿AC方向开山修一条公路,为了加快施工速度,要在小山的另一边寻找点E同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=127°,沿BD的方向前进,取∠BDE=37°,测得BD=520m,并且AC,BD和DE在同一平面内.(1)施工点E离D多远正好能使A,C,E成一条直线(结果保留整数)?(2)在(1)的条件下,若BC=80m,求公路段CE的长(结果保留整数).(参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)【拓展探究】10.(2014·宁波中考)如图所示,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.(1)求改直的公路AB的长;(2)公路改直后比原来缩短了多少千米?(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)【答案与解析】1.D(解析:∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=50°,∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.∵tanB=,∴AC=BC·tan B=3tan40°.故选D.)2.C(解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴tan A=.∵AC=4,tan A=,∴BC=AC·tan A=2,∴AB===2.故选C.)3.(解析:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°,∴∠A=∠BCD,∴tan∠BCD=tanA===.故填.)4.60(解析:要用8m长的梯子爬到4m高的墙上,梯子、地面和墙正好构成直角三角形,∴梯子与地面的夹角的正弦值为=.∵sin60°=,∴梯子与地面的夹角为60°.故填60.)5.B(解析:过点D作DE⊥AB于点E,易知∠OAB=30°时,桌面离地面最低,∴DE的长即为最低长度.∵OA=OB=30cm,OC=OD=50cm,∴AD=OA+OD=80cm.在Rt△ADE中,∵∠OAB=30°,AD=80cm,∴DE=AD=40cm.故选B.)6.(解析:过点A作AD⊥BC,∵在△ABC中,cos B=,sin C=,AC=5,∴cos B==,∴∠B=45°.∵sinC===,∴AD=3,∴在Rt△ADC中,CD==4,∴在等腰直角三角形ADB中,BD=AD=3,则△ABC的面积是×BC×AD=×(3+4)×3=.故填.)7.解:过点A作AE⊥BC于点E,∵cos C=,∴∠C=45°.在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,∴AE=CE=1.在Rt△ABE中,tan B=,即=,∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4.(2)由(1)知BC=4,∵AD是△ABC的中线,∴CD=BC=2,∴DE=CD-CE=1.∵AE⊥BC,DE=AE,∴∠ADC=45°,∴sin∠ADC=.8.解:如图所示,过点C作CD⊥AB于D.易知CD=BD=BC·sin=AB·CD=×10(+)×10≈273.2(m2).答:这块土地约45°=20×=10,∴AD===10,∴AB=AD+BD=10(+),∴S△ABC有273.2m2.9.解:(1)若使A,C,E成一条直线,则需∠ABD是△BDE的外角,∴∠BED=∠ABD-∠D=127°-37°=90°,∴DE=BD·cos37°≈520×0.80=416(m),∴施工点E离D距离约为416m时,正好能使A,C,E成一条直线.(2)由(1)得在Rt△BED中,∠BED=90°,∵∠D=37°,∴BE=BD·sin37°≈520×0.60=312(m).∵BC=80m,∴CE=BE-BC≈312-80=232(m),∴公路段CE的长约为232m.10.解:(1)如图所示,过点C作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(km),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(km),在Rt△BCH中,BH=CH÷tan ∠CBA≈4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(km),∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(km).故改直的公路AB的长约为14.7km.(2)在Rt△BCH中,BC=CH÷sin∠CBA≈4.2÷sin37°≈4.2÷0.60=7(km),则AC+BC-AB≈10+7-14.7=2.3(km).答:公路改直后比原来缩短了约2.3km.为使学生迅速掌握本节课的知识,上课开始就对解直角三角形所用到的知识点:直角三角形中三边之间的关系,两锐角之间的关系,边角之间的关系等知识点进行了复习回顾,因为合理选用这些关系是正确、迅速解直角三角形的关键.解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,在处理例题时,首先,应让学生独立完成,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透数形结合思想.本节课力求给学生更多自主探索的时间,让其在宽松和谐的氛围中学习,使他们学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中培养学生探索能力、创新精神、合作精神,激发学生学习数学的积极性、主动性.同时,在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中,鼓励学生通过多种解法去解答.在选用合适的三角函数解决问题时,要引导学生总结出分析问题的方法,巧妙联系已知和未知之间的函数关系,选取合适的三角函数求解.再教时,增加解实际问题中直角三角形的例题的练习,因为学生对把实际问题转化成数学问题的能力还不太强.随堂练习(教材第17页)(1)c=4,∠A≈27°,∠B≈63°.(2)a=,c=,∠A=30°.(3)a=10,b=10,∠B=30°.习题1.5(教材第17页)1.(1)b=19,∠A=45°,∠B=45°.(2)c=12,∠A=30°,∠B=60°.2.(1)a=10,b=10,∠B=45°.(2)b=12,c=24,∠A=60°.3.解:tan∠ACD==,∴∠ACD≈27.5°,∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.4.解:(1)墙高=6sin75°≈6×0.966≈5.8(m).(2)cosα=,解得α≈66°.∵50°<66°<75°,∴此时人能够安全使用这个梯子.本节课学生学习的重点是解直角三角形的方法,所以理解解直角三角形的概念是掌握解直角三角形方法的前提,而熟练运用勾股定理、两锐角互余以及锐角三角函数的定义则是解直角三角形的关键,学生要做好复习和预习工作,把握好各个元素之间的关系.此外,在没有直角三角形的图形中,通过作垂线或其他辅助线构造直角三角形也是学生要重点掌握的能力和技巧.解非直角三角形时,构造直角三角形的方法:(1)利用作高构造直角三角形,如下图所示.(2)利用勾股定理或逆定理构造直角三角形,如下图所示.(3)利用已知角构造直角三角形,如下图所示.。