初二数学直角三角形练习题

初二数学直角三角形的全等判定试题1.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．一条边和一锐角对应相等D．一条边和一个角对应相等【答案】D【解析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL对4个选项逐个分析，然后即可得出答案．解：∵A、两条直角边对应相等可利用SAS判定两直角三角形全等，B、两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等．D、一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等．故选D．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．2.如图Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，再添两个条件不能够全等的是（）A．AB=A′B′，BC=B′C′B．AC=AC′，BC=BC′C．∠A=∠A′，BC=B′C′D．∠A=∠A′，∠B=∠B′【答案】D【解析】解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．解：A选项，AB=A′B′，BC=B′C′，可利用HL 判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，同理B选项，也可利用HL 判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，C选项∠A=∠A′，BC=B′C′，可利用AAS判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，D选项，∠A=∠A′，∠B=∠B′，只能证明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，不能证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故选D．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定方HL，AAS．SAS，ASA，SSS．3.不能使两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边、直角边对应相等B．两直角边对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两锐角对应相等【答案】D【解析】根据各选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法，对选项逐一验证，选项D只有两个锐角对应相等是不符合直角三角形判定方法的，所以不能判定三角形全等．解：A、符合AAS，正确；B、符合HL，正确；C、符合ASA，正确；D 、因为判定三角形全等必须有边的参与，错误．故选D ．点评：此题主要考查全等三角形的判定方法的掌握情况．判断全等时必须要有边对应相等的关系．4. 如图，要用“HL”判定Rt △ABC 和Rt △A′B′C′全等的条件是（ ）A ．AC=A′C′，BC=B′C′B ．∠A=∠A′，AB=A′B′C ．AC=A′C′，AB=A′B′D ．∠B=∠B′，BC=B′C′【答案】C【解析】根据直角三角形全等的判定方法（HL ）即可直接得出答案．解：∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，如果AC=A′C′，AB=A′B′，那么BC 一定等于B′C′，Rt △ABC 和Rt △A′B′C′一定全等，故选C ．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．5. （2011•南开区一模）如图，在Rt △ABC 中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm ，以斜边AB 的中点P 为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm 2． 【答案】cm 2 【解析】根据已知及勾股定理求得DP 的长，再根据全等三角形的判定得到△B′PH ≌△BPD ，从而根据直角三角形的性质求得GH ，BG 的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积．解：在直角△DPB 中，BP=AP=AC=3，∵∠A=60°，∴DP 2+BP 2=BD 2，∴x 2+32=（2x ）2，∴DP=x=， ∵B′P=BP ，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°， ∴△B′PH ≌△BPD ， ∴PH=PD=， ∵在直角△BGH 中，BH=3+，∴GH=，BG=， ∴S △BGH =××=，S △BDP =×3×=，∴S==cm2．DGHP点评：此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用．6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm．【答案】7【解析】用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE=4+3=7cm．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°∴∠EAC=∠B∵AB=AC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴AD=CE，BD=AE∴DE=AD+AE=CE+BD=7cm．故填7．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.如图，已知AB⊥BD，AB∥ED，AB=ED，要说明△ABC≌△EDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为；若添加条件AC=EC，则可以用公理（或定理）判定全等．【答案】BC=DC、HL【解析】根据已知条件知∠B=∠D=90°．若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC，结合已知条件缺少对应边BC=DC；若添加条件AC=EC，则可以利用直角三角形全等的判定定理证明△ABC≌△EDC．解：∵AB⊥BD，AB∥ED，∴ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°；①又∵AB=ED，∴在△ABC和△EDC中，当BC=DC时，△ABC≌△EDC（SAS）；②在Rt△ABC和△Rt△EDC中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（HL）；故答案分别是：BC=DC、HL．点评：本题综合考查了全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8.已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△≌△（HL）．【答案】ABE；DCF【解析】根据直角三角形全等的判定的判定条件HL，即可直接得出答案．证明：∵在△ABE和△DCF中，AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，符合直角三角形全等条件HL，所以△ABE≌△DCF，故填：ABE；DCF．点评：此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．9.（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．【答案】见解析【解析】根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AD+AE=BD+CE，所以BD=DE﹣CE．解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=DE+CE；（2）BD=DE﹣CE；∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵AB=AC，在△ABD和△CAE中，∵，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD=AE，AD=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵DE=BD+CE，∴BD=DE﹣CE．点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．10.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC．【答案】见解析【解析】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得DE=DF，再利用HL判定，Rt△DBE≌Rt△DCF，从而得到EB=FC．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。

初二数学解直角三角形试题答案及解析1.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2B．60，2C．60，D．60，【答案】C．【解析】∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S=DF×CF=×=．阴影故选C．【考点】1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．2.如图，一圆柱高8 cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（）cm．A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB=（cm）．故选C．【考点】平面展开-最短路径问题．3.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是( )A．B．2C．D．【答案】B【解析】设菱形ABCD边长为t，则AE=t-2，由即可求得t的值，从而可以求的AE的长，再根据勾股定理求的DE的长，即可求得结果.解：设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t-2．∵，∴∴，解得∴AE=5-2=3．∴∴tan∠DBE=故选B．【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4.已知：在锐角△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是．【答案】【解析】首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．解：作△ABC的高AD，BE为AC边的中线∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=，AD=．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=，∴BC=BD+CD=．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC【考点】解直角三角形点评：解直角三角形是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.5.一轮船以l6海里／时的速度从港口A出发沿着北偏东60°的方向航行，另一轮船以l2海里／时的速度同时从港口A出发沿着南偏东30°的方向航行，离开港口2小时后两船相距_______ 海里．【答案】40【解析】由北偏东60°的方向与南偏东30°的方向成直角，根据勾股定理求解即可.解：由题意得两船相距海里．【考点】方位角，勾股定理的应用点评：勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6.下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意知，要三边满足勾股定理公式的边长才能构成直角三角形。

全国初二初中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（）A．2B．4C．6D．8二、填空题1.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．2.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．3.如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.三、解答题1.一根旗杆于离地面12处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16，旗杆在断裂之前高多少？2.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?3.如图所示，无盖玻璃容器，高18，底面周长为60，在外侧距下底1的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.4.一个零件的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12，求CD的长.5.如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.6.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？7.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？全国初二初中数学同步测试答案及解析一、选择题在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB的值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】本题考查的是勾股定理的定义根据勾股定理的定义即可得到结果。

初二数学直角三角形试题1.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是 .【答案】45°【解析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC=45°．∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE∴∠FBD=∠FAE在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（AAS）∴BD=AD∴∠ABC=∠BAD=45°，故填45°.【考点】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【答案】C【解析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，可以得到∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°，由此可以推出∠DCA=∠B=30°，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半分别求出AC，AB．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高∴∠B+∠A=∠DCA+∠A=90°∴∠DCA=∠B=30°（同角的余角相等），∵AD=2cm，在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm，在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm．∴AB的长度是8cm故选C．【考点】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等点评：解答本题的关键是掌握好含30度角的直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半。

武汉市七一中学初二数学专题——直角三角形（含答案）直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．例题求解【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P 在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．(江苏省常州市中考题)思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°．(1)求证：BD×BC＝BG×BE；(2)求证：AG⊥BE；(3)若E为AC的中点，求EF：FD的值．（盐城市中考题）思路点拨发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD∽△CBE；(2)证明△ABG∽EBA；(3)EF的值转化为求其他线段的比值．利用相似三角形，把求FD【例4】如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可． 注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力．【例5】 已知△ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足BHAHBC AC 22，试探讨∠A 与∠B 的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件．注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明．学力训练1．如图，已知正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 边的中点，点Q在线段BC 上，当BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似． (云南省中考题) 2．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF ⊥CB 于E ，若BE=6，CE=4，则AD= ．3．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=23，AC=4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF= ． (重庆市竞赛题) 4．P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ． 2条 C ．3条 D ．4条 (2001年安徽省中考题)5．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2=BD ×CD ，那么∠BAC 的度数是( ) A ．小于90° B ．等于90° C ．大于90° D ．不确定 6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD于E ，则EC=( )A ．27B ．25 C ．215D ．2217．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2＝AF ×FC ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ． 求证；(1)AB=BH ；(2)AB 2=GA ×HE ． (青岛市中考题)9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ×AD=16，AB=45(1)求证：CE=EF ； (2)求EG 的长． (河南省中考题)10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知k ADBC ，则BDAC= ． (江苏省竞赛题)11．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为l 厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等于 厘米．12．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C ＝90°，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长为 ． ( “我爱数学”初中数学夏令营试题)13．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1与∠2的大小关系是( )A ．∠1>∠2B ．∠1<∠2C ．∠1=∠2D ．无法确定 (天津市竞赛题)14．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，有下列条件：①∠A=∠BCD ；②∠A+∠BCD=∠ADC ；③ACBC CDBD ；④BC 2=BD ×BA ．其中，一定能判断△ABC 是直角三角形的共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 (2003年河南省竞赛题)15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD 上的点P 使得以P ，A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=AE ×BF ． (山东省竞赛题)17．如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，已知Rt △ABC 的三边长都是整数，且BD=113，求Rt △BCD 与Rt △ACD 的周长之比． (全国初中数学联赛题)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 边于D ，求证：BDBCADAC 222．(昆明市竞赛题)19．如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，在AB 、AD 上分别取点P 、S ，连结PS ，将Rt △SAP 绕正方形中心O 旋转180°得Rt △QCR ，从而得四边形PQRS ．试判断四边形PQRS 能否变化成矩形?若能，设PA= x ，SA=y ，请说明x 、y 具有什么关系时，四边形PQRS 是矩形；若不能，请说明理由． (山东省济南市中考题)20．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° (1)当点D 在斜边AB 内时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222； (2)当点D 与点A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由； (3)当点D 在BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由．(全国初中数学竞赛题)。

2022-2023学年第二学期初二数学名校优选培优训练专题测试专题05 直角三角形斜边上的中线姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+25．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．186．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．248．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为度．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为．14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝°．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．答案与解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2022春•武城县期末）一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线和高分别为（）A．和B．和C．和D．和解：∵直角三角形的两条直角边分别为5和12，∴斜边长＝＝13，∴斜边上的中线＝，斜边上的高＝＝，故选：C．2．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，E是BD 的中点，BD＝8，则△AEC的面积为（）A．B．16 C．8 D．解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点，BD＝8，∴AE＝CE＝BD＝4，∴∠ABE＝∠BAE，∠CBE＝∠BCE，∵∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠ABE，∠CED＝∠CBE+∠BCE＝2∠CBE，∴∠AEC＝2∠ABE+2∠CBE＝2∠ABC，∵∠ABC＝45°，∴∠AEC＝90°，∴S△ACE＝AE•CE＝×4÷4＝8．故选：C．3．（2022春•安乡县期末）如图是屋架设计图的一部分，其中∠A＝30°，D是斜梁AB的中点，BC，DE垂直于横梁AC，DC＝8cm，则DE的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm解：∵∠A＝30°，DC＝8cm，D是斜梁AB的中点，∴CD＝AB，∴AB＝2CD＝2×8＝16，∵∠A＝30°，∴BC＝AB＝8，∵BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝×8＝4cm．故选：B．4．（2022春•闽侯县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，且BD＝，若Rt△ABC 的面积为2，则它的周长为（）A．+2 B．+4 C．2+4 D．2+2解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴AC＝2BD＝2，∴AB2+BC2＝AC2＝8，∵Rt△ABC的面积为2，∴AB•BC＝2，∴AB•BC＝4，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB•BC＝8+8＝16，∴AB+BC＝4或AB+BC＝﹣4（舍去），∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝4+2，故选：C．5．（2022春•凤山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝8，BC＝6，则△ADC 的周长为（）A．14 B．24 C．12 D．18解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB＝5，∴△ACD的周长为：AD+CD+AC＝5+5+8＝18．故选：D．6．（2022•碑林区校级模拟）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，AB＝4，AC＝2，DE＝，则∠ACD＝（）A．15°B．30°C．22.5°D．45°解：∵CD⊥AB，E为BC边的中点，DE＝，∴BC＝2DE＝2，∵AB＝4，AC＝2，∴AC2+BC2＝4+12＝16＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，且∠ABC＝30°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝30°．故选：B．7．（2020秋•丹东期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积为（）A．12 B．12.5 C．15 D．24解：过M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM＝AB＝5，MD＝AB＝5，∴CM＝DM，∵ME⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM＝＝＝4，∴△MCD的面积为＝＝12，故选：A．8．（2020•汝阳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC 交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（）A．2 B．C．1 D．解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACD＝30°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，∵AC2+BC2＝AB2，AC＝2，∴（2）2+BC2＝（2BC）2，解得：BC＝2（负数舍去），∴AB＝2BC＝4，∵AB＝4，D为AB的中点，∴BD＝AD＝2＝BC，∵BF⊥CD，∴CF＝DF，∵DE∥BC，D为AB的中点，∴AE＝CE，∴EF＝AD＝＝1，故选：C．9．（2019春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．6解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2022春•南岗区校级期中）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∠BDE＝52°，则∠DEB的度数为76°．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC中点，∴DE＝AC，BE＝AC，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠DBE＝52°，∴∠DEB＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝76°，故答案为：76°．12．（2022春•渝中区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝20°，点D为斜边BC的中点，连接AD，AE⊥BC于点E，则∠DAE为50度．解：∵∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴∠C＝∠DAC＝20°，∴∠ADE＝∠C+∠DAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝50°，故答案为：50．13．（2022春•广安期末）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点．若∠B＝35°，则∠EPF的度数为110°．解：∵CE⊥BE，AF⊥BC，∴∠CEB＝∠AFC＝90°，∵∠B＝35°，∴∠ECB＝90°﹣∠B＝55°，∵点P是AC的中点，∴PF＝PC＝AC，PE＝PC＝AC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∵∠APF是△CFP的一个外角，∴∠APF＝∠PFC+∠PCF，∴∠APF＝2∠PCF，∵∠APE是△CEP的一个外角，∴∠APE＝∠ACE+∠PEC，∴∠APE＝2∠ACE，∴∠EPF＝∠APE+∠APF＝2∠PCF+2∠ACE＝2∠ECB＝110°，故答案为：110°14．（2022春•紫阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，以AC为斜边作Rt△ADC．使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB，E，F分别是BC，AC的中点，则DE的长为2．解：∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，F是AC的中点，∴DF＝AF＝AC＝×4＝2，∴∠FDA＝∠CAD＝30°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝60°∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF∥AB，EF＝AB＝×4＝2，∴∠EFC＝∠CAB＝30°，∴∠EFD＝60°+30°＝90°，∴ED＝＝＝2．故答案为：2．15．（2021春•龙岗区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为．解：如图，连接DM，DN，由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分），M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小），当M在AN上时，如图，设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x，∵D、N分别是BC、AC的中点，∴DN＝AB＝，在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得DM2＝DN2+MN2，∴x2＝（3﹣x）2+2.52，解得x＝，∴3﹣x＝，此时AM﹣MN＝﹣＝．∴AM﹣MN的最大值为．故答案为：．16．（2021秋•诸暨市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC 的中点，若∠B＝40°，则∠EPF＝100°．解：∵CE⊥BA，∠B＝40°，∴∠BCE＝50°，∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝100°，故答案为：100°．17．（2021秋•温州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°．以AB长为一边作△ABD，且AD＝BD，∠ADB＝90°，取AB中点E，连DE、CE、CD．则∠EDC＝75°．解：∵∠ACB＝90°，点E是AB中点，∴EC＝EA＝EB＝AB，∴∠ECA＝∠CAB＝30°，∴∠CEB＝60°，∵AD＝BD，点E是AB中点，∴DE⊥AB，即∠AED＝90°，∴∠DEC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADB＝90°，点E是AB中点，∴DE＝AB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝75°，故答案为：75．18．（2020春•揭西县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，则BE的长为6．解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝9，D为AB的中点，∴CD＝AB＝4.5．∵CF＝CD，∴DF＝CD＝×4.5＝3．∵BE∥DC，∴DF是△ABE的中位线，∴BE＝2DF＝6．故答案为6．19．（2019春•瑶海区期末）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为．解：连接CM、CN，由勾股定理得，AB＝DE＝＝5，∵△ABC、△CDE是直角三角形，M，N为斜边的中点，∴CM＝，CN＝，∠MCB＝∠B，∠NCD＝∠D，∴∠MCN＝90°，∴MN＝，故答案为：．20．（2017春•武侯区校级月考）如图，∠MON＝90°，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为2+2．解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD，∵△ABC是等边三角形，∴CD＝＝2，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝＝2，由图可知，当点O、C、D三点共线时点C到点O的距离最大，最大值为2+2．故答案为：2+2．三．解答题（共9小题，满分60分）21．（2022春•汉滨区期中）如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．（1）证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，∵E为MN的中点，∴DE⊥MN；（2）解：∵BC＝26，∴DM＝BC＝13，∵点E是MN的中点，MN＝10，∴ME＝5，由勾股定理得：DE＝＝12．22．（2021春•抚顺期末）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：DE⊥MN．证明：如图，连接DM，DN，∵BN、CM分别是△ABC的两条高，∴BN⊥AC，CM⊥AB，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，∵D是BC的中点，∴DM＝BC，DN＝BC，∴DM＝DN，又∵E为MN的中点，∴DE⊥MN．23．（2019春•房山区期中）如图，锐角△ABC中，AD，CE为两条高，F，G分别为AC，DE的中点，猜想FG与DE的位置关系并加以证明．解：FG⊥DE，理由如下：连接FE、FD，∵AD，CE为两条高，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∵F为AC的中点，∴EF＝AC，FD＝AC，∴FE＝FD，∵G为DE的中点，∴FG⊥DE．24．（2021春•新泰市期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点．EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：BE＝DE；（2）若AC＝26，EF＝5，求BD的长．解：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴BE＝DE＝AC；（2）∵BE＝DE，EF⊥BD，∴BD＝2BF，∵BE＝AC，AC＝26，∴BE＝13，∵EF＝5，∴BF＝＝＝12，∴BD＝2BF＝24．25．（2020春•江岸区校级月考）在三角形△ABC中，D是BC边的中点，AD＝BC．（1）△ABC的形状为直角三角形．（2）如图，BM＝3，BC＝12，∠B＝45°，∠MAN＝45°，求CN；（3）在（2）的条件下，AN＝2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵BD＝DC，AD＝BC，∴DA＝DB＝DC，∴∠BAC＝90°．故答案为直角三角形．（2）如图，设CN＝x．∵∠B＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∴AB＝AC，∵BD＝DC，∴AD⊥BC，将△BAM绕点A逆时针旋转90°得到△ACH，连接NH．∵∠ACB＝∠ACH＝∠B＝45°，∴∠NCH＝90°，∵∠MAN＝45°，∠MAH＝90°，∴∠NAM＝∠NAH＝45°，∵NA＝NA，AM＝AH，∴△NAM≌△NAH（SAS），∴MN＝NH，∵BM＝CH＝3，BC＝12，∴CM＝12﹣3＝9，∴MN＝NH＝9﹣x，∵NH2＝CH2+CN2，∴（9﹣x）2＝x2+32，解得x＝4．∴CN＝4．（3）在Rt△ADN中，∵∠ADN＝90°，AD＝BD＝CD＝6，DN＝CD﹣CN＝6﹣4＝2，∴AN＝＝＝2．故答案为2．26．（2019春•城关区校级期中）小明在学完北师大数学八年级（下）第一章后，看到这样一道题目：“已知，如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：MN⊥BD．小明思考片刻，找到了解决方法，他作了辅助线．聪明的你知道他作的辅助线是什么吗？怎么证明的？小明又突然想到，在边AD上能找一点P，使得PB＝PD，请你写出证明过程．解：①连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N为BD的中点，∴MN⊥BD；②∵BM＝DM，∴M在BD的垂直平分线上，∵PB＝PD，∴P在BD的垂直平分线上，∴PM垂直平分BD，∴MN⊥BD．27．（2022•宜城市模拟）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE＝BE＝AB．∴∠1＝∠2．∵DE∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°．∴∠3＝∠2＝60°．∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°．∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，∴DB＝2．∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2．∴EC＝＝＝．28．（2022春•永丰县期中）同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）应用：若学校有一块三角形的绿地，AB＝BC＝20m，∠A＝15°，求绿地△ABC的面积？解：（1）逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）过C点作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵AB＝BC＝20m，∠A＝15°，∴∠A＝∠ACB＝15°，∴∠DBC＝∠A+∠ACB＝30°，∴CD＝BC＝10cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×20×10＝100（cm2）．29．（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．。

三角形的三边关系练习题初二一、单选题：从A、B、C、D中选择一个正确答案填空。

1. 已知直角三角形的斜边边长为6，那么它的两边边长分别为____和____。

A. 3，4B. 4，5C. 5，7D. 2，32. 三角形ABC中，已知边AB的边长为8，角C的度数为90°，则边BC的边长为____。

A. 4B. 16C. 12D. 不确定3. 已知等边三角形的一条边的边长为5，则它的周长为____。

A. 5B. 10C. 15D. 254. 如果一个三角形的三边长度为3、4、5，则它是一个____三角形。

A. 等边B. 正三角形C. 直角D. 锐角5. 对于任意三角形ABC，若AC＝BC，则角ABC的度数为____。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、判断题：对于下列各题，判断正误，正确的在题前括号中打“√”，错误的打“×”。

( √ / × ) 6. 若一个三角形的两边边长分别为3和4，那么它的第三边会大于7。

( × / √ ) 7. 直角三角形的两直角边边长之和等于斜边边长。

( √ / × ) 8. 若三角形的两边边长分别为5和7，则它的第三边边长一定小于12。

( √ / × ) 9. 已知等腰三角形的两底边边长为5，那么它的顶角度数为60°。

( √ / × ) 10. 三角形的两边之和大于第三边。

三、解答题：11. 若三角形的三边边长分别为a、b、c，且满足a+b>c，a+c>b，b+c>a，那么这个三角形一定为____。

解答：不确定。

12. 若一个三角形的两边边长分别为3和5，且两边夹角的度数为60°，那么第三边的边长是多少？解答：根据余弦定理，可得第三边的边长c为：c² = a² + b² - 2ab*cosCc² = 3² + 5² - 2*3*5*cos60°c² = 9 + 25 - 30*0.5c² = 4c = √4c = 213. 若一个三角形的三边边长分别为7、8、9，那么它的周长为多少？解答：周长P等于三边边长之和，即：P = 7 + 8 + 9P = 2414. 若一个三角形的两边边长分别为6和9，且夹角的度数为45°，那么第三边的边长是多少？解答：根据正弦定理，可得第三边的边长c为：c/sinC = a/sinA = b/sinBc/sin45° = 6/sinA = 9/sinBc = sin45° * 6c ≈ 6×0.7071c ≈ 4.2415. 若一个三角形的两边边长分别为5和10，且夹角的度数为90°，那么第三边的边长是多少？解答：由勾股定理，可得第三边的边长c为：c² = a² + b²c² = 5² + 10²c² = 25 + 100c² = 125c = √125c ≈ 11.18四、应用题：16. AB是一个直角三角形的斜边，边长为10，BC是这个三角形的一条直角边，边长为6。

初二数学下册直角三角形综合练习题直角三角形是初中数学中一个重要的概念，它的研究和应用都占据了数学课程的一席之地。

通过直角三角形的综合练习题，我们可以进一步加深对直角三角形相关知识的理解和掌握。

本文将为大家提供一些初二数学下册直角三角形的综合练习题，以便同学们更好地巩固所学知识。

1. 已知直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边长度是多少？解析：根据勾股定理可知，在直角三角形中，斜边的平方等于直角边的平方和。

设另一条直角边为x，则根据勾股定理可得：10² = 6² + x²。

求解得x=8cm，所以另一条直角边的长度为8cm。

2. 已知一条直角边长为12cm，另一条直角边长为16cm，求斜边的长度是多少？解析：同样使用勾股定理，设斜边的长度为y，则根据勾股定理可得：y² = 12² + 16²。

求解得y=20cm，所以斜边的长度为20cm。

3. 已知一条直角边为5cm，斜边为13cm，求另一条直角边的长度是多少？解析：同样使用勾股定理，设另一条直角边的长度为z，则根据勾股定理可得：13² = 5² + z²。

求解得z=12cm，所以另一条直角边的长度为12cm。

通过以上的三道练习题，我们可以看到在解决直角三角形综合问题时，常常运用勾股定理来解题。

勾股定理是直角三角形的基本定理，掌握好这个定理对于解决直角三角形相关问题非常重要。

在实际应用中，勾股定理经常被用于测量不易直接测量的距离，例如测量山的高度、河的宽度等等。

除了勾股定理，我们还可以运用正弦定理和余弦定理来解决一些特殊情况下的直角三角形问题。

正弦定理：在一个三角形中，各边的长度与其对应的正弦值之间有一定的关系。

对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为：sinA = 直角边1/斜边，sinB = 直角边2/斜边。

余弦定理：在一个三角形中，各边的长度与其对应的余弦值之间有一定的关系。

初二数学三角形试题答案及解析1.已知：如图，点E，F是□ABCD中AB，DC边上的点，且AE=CF，联结DE，BF．求证：DE =BF．【答案】详见解析【解析】根据平行四边形的性质证得AB=CD面积可得到DF=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形DEBF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF，∴AB﹣AE=CD﹣CF，即EB=DF．∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE=BF．【考点】平行四边形的判定与性质2.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：BE=DF．【答案】详见解析【解析】利用平行四边形的性质可得∠BAE=∠DCF，再由全等三角形的判定定理可得出结论．试题解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．∴BE=DF．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．3.如图，AC交BD于点O，请你从三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.①OA=OC ②OB=OD ③AB∥CD【答案】证明见解析.【解析】由（1）、（2），可用SAS得到△AOB≌△COD⇒∠C=∠A⇒（3）AB∥DC；由（2）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（1）OA=OC；由（1）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（2）OB=OD．试题解析：命题：如图，AC交BD于点O，若OA=OC，OB=OD，那么AB∥DC．证明如下：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴∠C=∠A．∴AB∥DC．【考点】1.开放型；2. 全等三角形的判定和性质．4.（10分）如图所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由等腰直角△ABC，可证△BDC≌△ADC，得∠DCA=∠DCB=45o，然后求证∠BDM=∠EDC即可.（2）连接MC，可知△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC。

§3.1.1《认识三角形》1.知道三角形内角和定理；三角形的三个内角的和；2.了解三角形按角的大小如何分类；3.三角形按角可分为：，，；4.直角三角形ABC用符号可表示为：。

（1）如图1三角形可表示为；（2）请在图中用小写字母标出各边；图1 （3）图2中有个三角形，并用符号表示。

5.如图所示，撕下的∠1拼到如图位置后的图形中，那两条直线平行，为什么？你能根据图形说明三角形内角和等于180°的理由吗？3（1）按三角形内角的大小三角形可分为；（2）如图，直角三角形ABC可表示为其中直角是，锐角是，两锐角具有怎样的关系？4.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的横线上：锐角三角形直角三角形钝角三角形A④③②①ABCD三、巩固练习、拓展提高1．已知∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A ＝70°，∠C ＝30 °，∠B ＝； 2．直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角度． 3．在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C ，则∠C=4．如果△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为．5..有三个三角形,它们的两个内角的度数分别如下：①30°和50°;②70°和20°;③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.6.如图7所示，图中有n 个三角形，分别指出来，并选出三个指出它们的边和角.ABCDE6.【拓展延伸】1.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =40°，则∠B =________.2．在△ABC 中，若∠C =21∠B =31∠A ，则△ABC 是________三角形(按角分类).3.如图2所示，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，则图中属于直角三角形的有________个.4.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是A 至少有一个直角B 至少有一个钝角C 至多有两个锐角D 至少有两个锐角 5.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于 A 120°B 100°C 90°D 60°6.给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是A.∠A ∶∠B ∶∠C=1：2：3B.∠A+∠B=∠CC.∠A=21∠B=31∠C D.∠A=2∠B=3∠C§3.1.2《认识三角形》1.三角形按边长的关系可分为；2. 三角形三边关系； 三角形任意△ABC ；3. 知道三角形三边关系；三角形任意；4.三角形按边分类及概念。

直角三角形的性质课前测试【题目】课前测试如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．【答案】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），∴AC=AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC=DF（等量代换）．【解析】分析：先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF 与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），∴AC=AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC=DF（等量代换）．【总结】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键．【难度】3【题目】课前测试如图1，平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB与y轴交于点C．（1）若∠A=∠AOC，求证：∠B=∠BOC；（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB=∠EOB，∠OAE=∠OEA，求∠A度数；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．【答案】（1）证明：∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°．∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC；（2）∠A=30°；（3）∠P的度数不变，∠P=30°，∵∠AOM=90°﹣∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM=∠AOM=（90°﹣∠AOC）=45°﹣∠AOC，∠PCO=∠BCO=（∠A+∠AOC）=∠A+∠AOC．∴∠P=180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）=45°﹣∠A=30°．【解析】分析：（1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；（2）易证∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，且∠DOB=∠EOB=∠OEA就可以得到；（3）∠P=180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）根据角平分线的定义，就可以求出．（1）证明：∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∠AOC+∠BOC=90°．∵∠A=∠AOC，∴∠B=∠BOC；（2）解：∵∠A+∠ABO=90°，∠DOB+∠ABO=90°，∴∠A=∠DOB，即∠DOB=∠EOB=∠OAE=∠OEA．∵∠DOB+∠EOB+∠OEA=90°，∴∠DOB=30°，∴∠A=30°；（3）∠P的度数不变，∠P=30°，证明：∵∠AOM=90°﹣∠AOC，∠BCO=∠A+∠AOC，∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM=∠AOM=（90°﹣∠AOC）=45°﹣∠AOC，∠PCO=∠BCO=（∠A+∠AOC）=∠A+∠AOC．∴∠P=180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）=45°﹣∠A=30°．【总结】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质．【难度】3知识定位适用范围：沪教版，初二年级，成绩中等以及中等以上知识点概述：直角三角形是继等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，反映了直角三角形中特有的边角关系，这些性质主要用来解决与直角三角形相关的计算和证明问题.注意事项：学生主要想听运用直角三角形的性质解决与直角三角形相关的边角计算和证明问题重点选讲：①直角三角形的基本性质②含30°角的直角三角形③直角三角形斜边中线的应用知识梳理知识梳理1：直角三角形的性质直角三角形的性质定理性质定理1：直角三角形的两个锐角互余；性质定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.知识梳理2：直角三角形性质定理推论直角三角形的性质定理推论推论1：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度.知识梳理3：直角三角形常用结论例题精讲【题目】题型1：直角三角形的基本性质如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）求证：CD⊥AB；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BCD=90°，∵∠1=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）CD=4.8直角三角形常用结论1.直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch．2.含30°的直角三角形三边之比为1：3：23.含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2【解析】分析：（1）先由∠ACB=90°，得出∠1+∠BCD=90°，而∠1=∠B，等量代换得到∠B+∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理求出∠BDC=90°，根据垂直的定义即可证明CD⊥AB；（2）根据三角形的面积公式可得S△ABC=AB•CD=AC•BC，那么CD=，将数值代入计算即可求解．（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BCD=90°，∵∠1=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD===4.8．【总结】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，三角形的面积，比较简单．求出∠BDC=90°是解题的关键．【难度】3【题目】题型1变式练习1：直角三角形的基本性质8．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．【答案】（1）BD∥MF理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．（3）BD⊥MF．【解析】分析：（1）根据角平分线的定义与四边形的内角和定理求出∠ABD+∠AMF=90°，又∠AFM+∠AMF=90°，然后证明得到∠ABD=∠AFM，然后根据同位角相等，两直线平行可得BD∥MF；（2）先证明∠ABC=∠AME，再根据角平分线的定义可得∠ABD=∠AMF，然后根据∠ABD+∠ADB=90°得到∠AMF+∠ADB=90°，从而得到BD⊥MF；（3）先证明∠ABC=∠AME，再根据角平分线的定义可得∠ABD=∠AMF，然后根据∠AMF+∠F=90°得到∠ABD+∠F=90°，从而得到BD⊥MF．解：（1）BD∥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF；（3）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．【点评】本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，平行线的判定，三角形的内角和定理，本题规律性较强，准确识图，准确找出角度之间的关系是解题的关键．【难度】3【题目】题型1变式练习2：直角三角形的基本性质如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连结EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．【答案】可以组成直角三角形，理由如下：如图，延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD，在△ADF′和△BDF中，，∴△ADF′≌△BDF（SAS），∴AF′=BF，∠B=∠DAF′，∵∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°，即∠EAF′=90°，又∵DE⊥DF，∴EF′=EF，∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．【解析】分析：延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，利用“边角边”证明△ADF′和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF′=BF，全等三角形对应角相等可得∠B=∠DAF′，然后求出∠EAF′=90°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EF=EF′，从而得解．解：如图，延长FD到F′，使DF′=DF，连接AF′、EF′，∵D为斜边AB的中点，∴AD=BD，在△ADF′和△BDF中，，∴△ADF′≌△BDF（SAS），∴AF′=BF，∠B=∠DAF′，∵∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAF′=∠BAC+∠B=90°，即∠EAF′=90°，又∵DE⊥DF，∴EF′=EF，∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．【点评】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题关键，也是本题的难点．【难度】3【题目】题型2：含30°角的直角三角形如图，点P为△ABC的BC边上一点，且PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，CD⊥AP，连接BD，求∠ABD的度数．【答案】15°【解析】分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠PCD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PC=2PD，然后求出PB=PD，根据等边对等角可得∠PBD=∠PDB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠PBD，然后求解即可．解：∵∠APC=60°，CD⊥AP，∴∠PCD=90°﹣∠APC=90°﹣60°=30°，∴PC=2PD，∵PC=2PB，∴PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，又∵∠APC=∠PBD+∠PDB，∴∠PBD=∠APC=×60°=30°，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠PBD=45°﹣30°=15°．【总结】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边对等角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．【难度】3【题目】题型2变式练习1：含30°角的直角三角形如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．【答案】证明：作AM⊥BD，交BD延长线于M，∵在Rt△ABM中，∠ABD=30°，∴AB=2AM，∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，∵DB⊥BC，∴∠DBC=∠M=90°，∵在△BCD和△MAD中，，∴△BCD≌△MAD（AAS），∴AM=BC，所以，AB=2BC．【解析】分析：作AM⊥BD，交BD延长线于M，在直角三角形ABM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到B=2AM，．再利用AAS得出三角形BCD与三角形ADM全等，由全等三角形的对应边相等得到AM=BC，等量代换即可得证．证明：作AM⊥BD，交BD延长线于M，∵在Rt△ABM中，∠ABD=30°，∴AB=2AM，∵BD为AC边上的中线，∴AD=CD，∵DB⊥BC，∴∠DBC=∠M=90°，∵在△BCD和△MAD中，，∴△BCD≌△MAD（AAS），∴AM=BC，所以，AB=2BC．【总结】此题考查了含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．【难度】3【题目】题型2变式练习2：含30°角的直角三角形如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC于D，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F．（1）如图1，求证：2BD=2CF+BE；（2）若AB=4，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，PQ=1，求BP的长．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=2BD，∠C=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∴∠FEC=30°，∴EC=2FC，∵BC=BE+EC，∴2BD=2CF+BE；（2）PB=【解析】分析：（1）根据等边三角形的性质和含30°的直角三角形的性质即可得到结论．（2）设PB=x，解直角三角形求得CF=CE=2﹣x，AF=4﹣CF=2+x，AQ=AF=1+ x，列方程x+1+1+x=4，解得x=，于是得到结论．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=2BD，∠C=60°，∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°，∴∠FEC=30°，∴EC=2FC，∵BC=BE+EC，∴2BD=2CF+BE；（2）解：如图，过F作FQ⊥AB于Q，设PB=x，∵PE⊥BC，∠B=60°，∴BE=x，CE=4﹣x，∵EF⊥AC，∠C=60°，∴CF=CE=2﹣x，∴AF=4﹣CF=2+x，∵∠BAC=60°，FQ⊥AB，∴AQ=AF=1+x，∴x+1+1+x=4，∴x=，∴PB=，如图2，过E作GE⊥AB于G，∴EG+EF=AD，2EG=PE，∴PE+EF=AD，即，PE+2EF=2AB，∴PB=．【总结】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．【难度】3【题目】题型3：直角三角形斜边中线的应用如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）CD=．【解析】分析：（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB，DE=AB，得到CE=DE，证明结论；（2）过点E作EH⊥CD，根据三角形的面积公式求出EH，根据勾股定理求出DH，根据等腰三角形的性质计算即可．（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）解：∵AD=BD，∠ADB=90°，∴DE⊥AB，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90°，EH⊥DF，∴EH==，∴DH==，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=．【总结】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．【难度】3【题目】题型3变式练习1：直角三角形斜边中线的应用如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．【答案】（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）48【解析】分析：（1）连接ME、MD，根据直角三角形的性质证明；（2）根据勾股定理求出MN，根据三角形的面积公式计算即可．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∵M是BC的中点，∴DM=BC，同理可得EM=BC，∴DM=EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC=10，ED=6，∴DM=BC=10，DN=DE=6，由（1）可知∠MND=90°，∴MN===4，∴S△MDE=DE×MN=×12×8=48．【总结】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.【难度】3【题目】题型3变式练习2：直角三角形斜边中线的应用已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC上，AB=DE，AD∥BC．求证：∠CBA=3∠CBE．【答案】证明：取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠ACB=90°，∴∠DAE=∠ACB=90°，∴AF=DF=EF=DE，∵AB=DE，∴DF=AF=AB，∴∠D=∠DAF，∠AFB=∠ABF，∴∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D，∴∠ABF=2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE=∠D，∴∠CBA=∠CBE+∠ABF=3∠CBE．【解析】分析：取DE的中点F，连接AF，根据直角三角形的性质求出AF=DF=FE=DE，推出DF=AF=AB，根据等腰三角形的性质求出∠D=∠DAF，∠AFB=∠ABF，求出∠ABF=2∠D，∠CBE=∠D，即可得出答案．证明：取DE的中点F，连接AF，∵AD∥BC，∠ACB=90°，∴∠DAE=∠ACB=90°，∴AF=DF=EF=DE，∵AB=DE，∴DF=AF=AB，∴∠D=∠DAF，∠AFB=∠ABF，∴∠AFB=∠D+∠DAF=2∠D，∴∠ABF=2∠D，∵AD∥BC，∴∠CBE=∠D，∴∠CBA=∠CBE+∠ABF=3∠CBE．【总结】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．【难度】3【题目】兴趣篇1已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=5∠A，CD⊥AB，垂足为D，求证：AB=4CD．【答案】证明：作斜边AB上的中线CM，∵∠C=90°，∠B=5∠A，∴∠A+∠B=∠A+5∠A=6∠A=90°，∴∠A=15°，∵CM是在Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AM=CM，∴∠A=∠ACM=15°，∴∠CMD=30°，∵CD⊥AB，∴∠CDM=90°，∴CM=2CD，∴AB=2CM=4CD．【解析】【分析】作斜边AB上的中线CM，由∠C=90°，∠B=5∠A，根据三角形的内角和得到∠A+∠B=∠A+5∠A=6∠A=90°，求得∠A=15°，根据直角三角形的性质得到AM=CM，由等腰三角形的性质得到∠A=∠ACM=15°，根据外角的性质得到∠CMD=30°，于是得到CM=2CD，依此得到结论．证明：作斜边AB上的中线CM，∵∠C=90°，∠B=5∠A，∴∠A+∠B=∠A+5∠A=6∠A=90°，∴∠A=15°，∵CM是在Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AM=CM，∴∠A=∠ACM=15°，∴∠CMD=30°，∵CD⊥AB，∴∠CDM=90°，∴CM=2CD，∴AB=2CM=4CD．【总结】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【难度】3【题目】兴趣篇2已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．∴AD+AB=AC．【解析】分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质进行证明；（2）作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．根据角平分线的性质，得CE=CF，根据等角的补角相等，得∠CDE=∠ABC，再根据AAS得到△CDE≌△CBF，则DE=BF．再由∠MAN=120°，AC平分∠MAN，得到∠ECA=∠FCA=30°，从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立．（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠CAD=∠CAB=60°．又∠ABC=∠ADC=90°，∴AD=AC，AB=AC，∴AB+AD=AC．（2）解：结论仍成立．理由如下：作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，∵AC平分∠MAN，∴CE=CF．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°∴∠CDE=∠ABC，在△CDE和△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=AC，AF=AC，则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=AC．∴AD+AB=AC．【总结】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键．注意：在探索（2）的结论的时候，能够运用（1）的结论．【难度】3【题目】备选试题1如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a，∠ABC=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长．【答案】a【解析】分析：过点C作CD⊥AB于D，根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC=30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．解：过点C作CD⊥AB于D∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠DAC=30°，∵AB=AC=2a，∴在直角△ACD中CD=AC=a．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．【难度】3【题目】备选试题2如图，AF垂直平分BC于D，∠ACB=∠F=30°，AC=4cm，点M从点D出发以每秒1cm 的速度向终点F运动，设运动时间为t，△CMF的面积为S．（1）求S与t之间的函数关系；（2）连接BM，并延长交CF于P，当S=4时，判断△CMP的形状．【答案】（1）S=6﹣t；（2）直角三角形.【解析】分析：（1）根据∠ACB=∠F=30°，AC=4cm求得CD=2，DF=6，则用三角形CDF的面积减去三角形CDM的面积即可得到s；（2）将S=4代入求得的解析式即可求得DM的长，然后可以判断三角形CMP的形状．解：（1）∵∠ACB=∠F=30°，AC=4cm，∴AD=2，CD=BD=2，∵AF⊥BC，∴△ACD∽△CFD，∴=，即DF===6cm，∴S=CD•DF﹣CD•DM=×2（6﹣t）=6﹣t；（2）当S=4时，6﹣t=4，解得t=2，∴DM=2，∴AM=AC=CM=4，∴∠ABM=∠ACM=60°，∴∠CBP=30°，∴∠BPC=90°，∴△CMP是直角三角形．【总结】本题考查了三角形的面积、等腰三角形的判定等形状，与函数的知识结合起来考查是中考的热点．【难度】3。

初二数学几何试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两角之和为90°B. 两边之和大于第三边C. 斜边的平方等于两直角边的平方和D. 任意两边之和大于第三边2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是：A. 10厘米B. 15厘米C. 20厘米D. 25厘米3. 如果一个三角形的三个内角分别为40°、60°和80°，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 不能确定4. 一个矩形的长是10厘米，宽是6厘米，那么它的面积是：A. 60平方厘米B. 100平方厘米C. 120平方厘米D. 150平方厘米5. 一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为5厘米，那么它的高是：A. 3厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米6. 一个正方形的对角线长度为10厘米，那么它的边长是：A. 5厘米B. 7.07厘米C. 8厘米D. 10厘米7. 一个梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是6厘米，那么它的面积是：A. 12平方厘米B. 24平方厘米C. 30平方厘米D. 40平方厘米8. 一个平行四边形的对角线互相垂直，那么这个平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 梯形9. 一个正五边形的内角和是：A. 540°B. 720°C. 900°D. 1080°10. 一个圆的周长是62.8厘米，那么它的半径是：A. 10厘米B. 11厘米C. 12厘米D. 13厘米二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果一个三角形的两个内角分别为30°和60°，那么第三个内角是______°。

2. 一个圆的周长是31.4厘米，那么它的直径是______厘米。

3. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，那么它的斜边长是______厘米。

初二数学三角形试题1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若CD=3，则AB=______.【答案】6.【解析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．试题解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD=3，CD是AB边上的中线，∴AB=2CD=6.【考点】直角三角形斜边上的中线．2.如图，△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BE=BD，∠A=72°，则∠DEC=" _______."【答案】103.5°【解析】因为AB=AC，∠A=72°，所以∠ABC=∠C=54°.因为BD是角平分线，所以∠DBC=∠ABC= 27°.又BE=BD，所以∠BDE=∠BED=76.5°，所以∠DEC=180°76.5°=103.5°.3.如图，正方形CEFH的边长为m，点D在射线CH上移动，以CD为边作正方形CDAB，连接AE、AH、HE，在D点移动的过程中，三角形AHE的面积（）.A．无法确定B．m2C．m2D．m2【答案】C【解析】如图，可能你会联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等)，于是我们连接AC，得：HE∥AC．这样，在D点移动的过程中，△CHE与△AHE都是等底同高的三角形，所以这两个三角形的面积相等．而△CHE的面积可求，即.故答案为C.【考点】三角形同底等高面积相等的运用4.已知:如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为 ( )A．25°B．30°C．15°D．30°或15°【答案】A【解析】由题∠1=∠2，∴∠BAC=∠1+∠DAC=∠2+∠DAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，AC=AE，∠BAC =∠DAE，AB=AD，∴△BAC≌△DAE，∴∠B=∠D=25°.直观上看△BAC≌△DAE，由题∠1=∠2，所以∠BAC=∠1+∠DAC=∠2+∠DAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中， AC=AE，∠BAC =∠DAE，AB=AD，所以△BAC≌△DAE，所以∠B=∠D=25°.【考点】三角形的全等.5.小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为：（）的木条．A．5cm B．3 cm C．17cm D．12 cm【答案】D【解析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得第三边的长度的取值范围是，在四个选项中，只有符合题意，故选.【考点】三角形三边之间关系定理.6.判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是( )．A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25【答案】D.【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是.A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D.考点: 勾股定理的逆定理.7.如图，在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD，为了便于观赏，要在AD、BC之间修一条小路，在AB、DC之间修另一条小路，使这两条小路等长．设计师给出了以下几种设计方案：①如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，则线段AH、BE为等长的小路；②如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，则线段GH、BE为等长的小路；③如图3，过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路；根据以上设计方案，解答下列问题：（1）你认为以上三种设计方案都符合要求吗？（2）要根据图1完成证明，需要证明△≌△，进而得到线段=；（3）如图4，在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图（加以论述），并给出详细的证明．【答案】（1）符合要求（2）ABE DAH BE AH（3）见解析【解析】（1）通过证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等可以判断以上三种设计方案都符合要求；（2）在图1中，先由正方形的性质得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根据同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA证明△ABE≌△DAH，进而由全等三角形的对应边相等即可得出BE=AH；（3）先过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路．再进行证明：过点H作HN⊥AB交AB的延长线于点P，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，利用AAS证明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF．解：（1）以上三种设计方案都符合要求；（2）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，又∵BE⊥AH，∴∠ABE=∠DAH=90°﹣∠BAH．在△ABE与△DAH中，，∴△ABE≌△DAH（ASA），∴BE=AH；（3）如图，过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH为所求小路．理由如下：过点H作HN⊥AG于N，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，则∠GNH=∠FPE=90°．∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，∴NH=BC，同理，EP=DC．∵BC=DC，∴NH=EP．∵GO⊥EF，∴∠MFO+∠FMO=90°，∵∠BGM+∠GMB=90°，∠FMO=∠GMB，∴∠BGM=∠MFO．在△GHN与△FEP中，，∴△GHN≌△FEP（AAS），∴GH=EF．故答案为：ABE，DAH，BE，AH．点评：本题考查了数学知识在实际生活中的应用，其中涉及到正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，难度不大．体现了数学知识来源于生活，并且为生活服务，能够激发同学们学习数学的热情．8.在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为30cm，则△DFE 的周长为 cm．【答案】15【解析】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，△ABC的周长为30cm∴△DFE的周长为15cm．【考点】三角形的中位线定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握三角形的中位线定理，即可完成．9.(8分)如图：△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，G为垂足。

初二数学上册考试重点及练习题（含答案）第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

初二数学三角形试题答案及解析1. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 ． 【答案】2．【解析】根据题意作图，连接O 1B ，O 1C ，可得△O 1BF ≌△O 1CG ，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 试题解析：连接O 1B 、O 1C ，如图： ∵∠BO 1F+∠FO 1C=90°，∠FO 1C+∠CO 1G=90°， ∴∠BO 1F=∠CO 1G ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠O 1BF=∠O 1CG=45°，在△O 1BF 和△O 1CG 中∴△O 1BF ≌△O 1CG ， ∴O 1、O 2两个正方形阴影部分的面积是S 正方形，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S 正方形，∴S 阴影部分=S 正方形=2．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 已知如图DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，DE 、AF 交于点O 。

现有以下结论：①DE ∥BC ；②OD=BC ；③AO=FO ；④。

其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ；DE=BC ；故结论①正确；∵AF 是BC 边上的中线， ∴AO 是DE 边上的中线，∴DO=DE=故结论②正确；∵DE∥BC∴又AD=DB∴AO=OF故结论③正确；根据题意知而∴故结论④错误故选C.【考点】1.三角形的中位线；2.三角形的中线.3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB＝3，BC＝，DC＝12，AD=13，求四边形ABCD的面积．【答案】.【解析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，再勾股定理的逆定理可证△DCA为直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即为四边形ABCD的面积．连接AC，∵AB＝3，BC＝，∠ABC=90°，∴.∵DC=12，AD=13，∴.∴△DCA为直角三角形.∴四边形ABCD的面积.答：四边形ABCD的面积为．【考点】勾股定理和逆定理.4.如果Rt△两直角边的比为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（）A．60：13B．5：12C．12：13D．60：169【答案】D.【解析】根据题意设直角三角形两直角边分别为5k，12k，根据勾股定理得：斜边为∵S=×5k×12k=×13k×h，∴h=，则斜边上高与斜边之比为：13=60：169．故选D.【考点】1.勾股定理；2.三角形的面积．5.如图，已知矩形ABCD,R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小C、线段EF的长不改变D、线段EF的长不能确定【答案】C.【解析】如图连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选C．考点: 三角形中位线定理.6.解决下面问题：如图，在△ABC中，∠A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且，BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论．小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如△ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决．图a 图b 图c请参考小新同学的思路，解决上面这个问题．.【答案】BD=CE．理由见解析.【解析】以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点，首先证明△BDC≌△CFB，就可以得出BD=CF，∠BDC=∠CFB，进而得出∠CFB=∠CEF就可以得出CE=CF而得出结论．试题解析:BD=CE．理由如下：如图，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．在△BDC和△CFB中，，∴△BDC≌△CFB（SAS），∴BD=CF，∠BDC=∠CFB，∵∠DCB=∠EBC=∠A，∴∠DCB+∠EBC=∠A．∵∠DCB+∠EBC=∠FOC，∴∠FOC=∠A．∵∠BDC=∠A+∠ACD，∴∠CFB=∠A+∠ACD．∴∠CFB=∠FOC+∠ACD．∵∠FEC=∠FOC+∠ACD，∴∠CFB=∠CEF，∴CE=CF．∴BD=CE．考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.轴对称的性质.7.如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）120°．【解析】（1）在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．试题解析：（1）∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．【考点】全等三角形的判定与性质．8.以右图方格纸中的3个格点为顶点，有多少个不全等的三角形（）A．6B．7C．8D．9【答案】C.【解析】具体画图数一数.【考点】全等三角形的判定.9.如图，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从点向点运动，动点以1cm/s的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t(1)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有；(2)当t取何值时，与全等【答案】(1)详见解析; (2)【解析】(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等可以得到DF=DM,再利用三角形的面积公式表示出两个三角形的面积即可证得结论(2)若两个三角形全等,那么可以得到EF="MG" EF=10-2t,AM=AF=10,CM=14-10=4,此时要分两种情况,点G在CM上运动或在MA上运动,分别表示出MG的长,解出t的值即可要注意检验t的值是否符合题意试题解析：（1）（4分）（2），,当时，,所以舍去（6分），综上所述，当时，与全等（8分）【考点】1 全等三角形的性质;2 三角形的面积公式10.在△ABC中，∠B＝35°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为。

初二数学直角三角形练习题一．选择题1．答案：D．2．答案：B．3．答案：A．4．答案：C．5．答案：C．二．填空题6．答案：9．7．答案：3．8．答案：①和③．9．答案：$3\sqrt{3}$．一．选择题1．正确语句的个数是（）A．0.B．1.C．2.D．32．能断定两直角三角形全等的条件有（）A．1个。

B．2个。

C．3个。

D．4个3．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长是（）A．8.B．5.C．3.D．24．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．10.B．6.C．8.D．55．如图，在△ABC中，CD⊥XXX于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A．21.B．18.C．13.D．15二．填空题6．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4．直线l上有一点C在点P右侧，PC=4cm，过点C作射线CD⊥l，点F为射线CD上的一个动点，连结AF．当△AFC与△ABQ全等时，AQ=9cm．7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E运动3秒时，△DEB与△BCA全等．8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD-BE=DE．正确的是（将你认为正确的答案序号都写上）：①和③．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为$3\sqrt{3}$．10.在三角形ABC中，角ACB为直角，角B为30度，BC=6，CD为AB边上的高，点P为射线CD上的一个动点。

初二数学上册三角形练习题含答案题一：已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=12cm，求AC的长度。

解：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

假设AC=x，则AC²=AB²+BC²。

代入已知数据，得到x²=5²+12²，即x²=25+144，x²=169，解方程得x=13。

所以AC的长度为13cm。

题二：已知△DEF中，DE=6cm，DF=8cm，EF=10cm，判断△DEF的形状。

解：根据三角形的边长关系，任意两边之和必须大于第三边。

以DE、DF、EF作为三角形的三条边，计算它们的和：DE+DF=6+8=14cmDE+EF=6+10=16cmDF+EF=8+10=18cm由于DE+DF=14cm小于EF=10cm，所以三边不能构成△DEF。

因此，题目中给出的边长不能构成三角形。

题三：已知△GHI中，∠G=60°，IH=6cm，GH=3cm，求HI的长度。

条边的长度相等，每个角都是60°。

因此，HI的长度等于GH=3cm。

题四：已知△JKL中，∠J=90°，JK=8cm，JL=10cm，求KL的长度。

解：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

假设KL=x，则KL²=JK²+JL²。

代入已知数据，得到x²=8²+10²，即x²=64+100，x²=164，解方程得x=√164。

所以KL的长度为√164 cm。

题五：已知△MNO中，MN=15cm，NO=20cm，MO=25cm，判断△MNO的形状。

解：根据三角形的边长关系，任意两边之和必须大于第三边。

以MN、NO、MO作为三角形的三条边，计算它们的和：MN+NO=15+20=35cmMN+MO=15+25=40cmNO+MO=20+25=45cm由于MN+NO=35cm小于MO=25cm，所以三边不能构成△MNO。

初二数学解直角三角形试题答案及解析1.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2米，滑梯AB的坡比是1:2（即AC:BC=1:2），则滑梯AB的长是米．【答案】.【解析】根据坡比求出BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出斜边AB的长度：由题意知，AC：BC=1；2，且AC=2，故BC=4．在Rt△ABC中，，即滑梯AB的长度为米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．2.如图，Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．将△ABC绕点D按顺时针旋转角α（0＜α＜180°）后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么α＝ °．【答案】80°或120°．【解析】（1）△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，当B′点在AB上时，△B B′D是等腰三角形，由于∠B＝50°，可得：∠B B′D=80°，即：α=80°；（2）如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴△B′CD为直角三角形，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，在Rt△B′CD中，sin∠B′DC=，∴∠B′DC=60°，∴∠BDB′=180°﹣60°=120°，即旋转角α=120°．故答案是80°或120°．【考点】旋转的性质．3.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值是( )A．B．2C．D．【答案】B【解析】设菱形ABCD边长为t，则AE=t-2，由即可求得t的值，从而可以求的AE的长，再根据勾股定理求的DE的长，即可求得结果.解：设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t-2．∵，∴∴，解得∴AE=5-2=3．∴∴tan∠DBE=故选B．【考点】解直角三角形的应用点评：解直角三角形的应用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4.阳光明媚的一天，郑州某中学数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），可以提供的测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是：__________；（2）请画出测量示意图；（3）设树高为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．【答案】（1）皮尺、标杆；（2）如下图；（3）【解析】根据题意特征可以构造相似三角形，根据相似三角形的性质求解即可.（1）所需的测量工具是：皮尺、标杆；（2）测量示意图如图所示：（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c，由△DEF∽△BAC，得∴，∴．【考点】相似三角形的应用点评：相似三角形的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.5.如图，∠ XOY=900,OW平分∠XOY，PA⊥OX，PB ⊥OY,PC⊥OW．若OA+ OB+OC=1，则OC=( )．A．2-B．-1C．-2D．2-3【答案】B【解析】解：过AP与OW的交点作EF⊥OB，∵∠XOY=90°，OW平分∠XOY，∴∠AOC=∠COB=45°，∴∠AEO=∠CEP=45°，∴sin45°=，AE=OE，EP=CP，OE=EF，∵cos45°=，∴EC=EP，∵AO=EF，OF+EP=OB，OC=OE+EC，∴OC=-1；【考点】三角函数点评：此题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是根据角的度数表示出各个边．6.在中，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，根据锐角三角函数的定义求解即可.∵，∴故选B.【考点】锐角三角函数的定义点评：锐角三角函数的定义是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.7.如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．-+1C．D．-1【答案】D【解析】依题意知，射线到弧线所截线段与x轴即射线与x轴产生的垂线围成了一个直角三角形。