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２. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300040002A ，BA A ABA +=2，求B 。
（本小题 ８分）３. 已知3R 中一组基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=611,123,411321ααα，求从基⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,011,001到321,,ααα的过渡矩阵。
（本小题８分）４. 设T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，T)4,1,1(3-=α，T b )1,,1(-=β，根据b a ,的不同取值，讨论线性方程组βααα=++332211x x x 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。
（本小题１２分）河南理工大学 2018-2019 学年第 一 学期《线性代数a 》试卷答案（A 卷）一、 填空题（每题4分）1. 02. 13.38 4. 1或2 5. 28 6. )3,2,(zy x二、 选择题（每题4分）1. B2. D3. C4. D5. C6. C三、 计算题 1.910000100001022219322123212231222193229232922392229131214143219====---÷+++r r r r r r c c c c c D……2分 ……4分 ……8分2.可逆A A ∴≠=,024 且 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3141211A 等式两端同时在右侧乘以1-A 则 ,)(,,AB E A A B AB B A AB =-=-+= ……2分可逆E A E A -∴≠==-,06231５.已知二次型32232221222x x x x x f -++=（１）判定二次型的正定性；（２）求一个正交变换把二次型化成标准形。
（本小题 １６分）且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--21311)(1EA……4分AEAB1)(--=∴……6分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∴-2334234221311)(1AEAB……8分3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==614121131),,(321αααA，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==111111),,(321βββB可逆BB∴≠=,01……2分,),,(),,(321321Aeee=ααα,),,(),,(321321Beee=βββ……4分,),,(),,(1321321-=∴Beeeβββ,),,(),,(1321321AB-=∴βββααα,·1AB-过渡矩阵为所以要求的……6分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-61411211111614112111131111),~21r rAB（⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6141713111~12r r所以过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6147131……8分4.设),,(321ααα=A，则,4--=aA……2分时线性方程组有唯一解可逆时，即当0≠AA时线性方程组有唯一解4-≠∴a……4分当4-=a时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=↔145101124112145101121124),,,(~21321bbrrβααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+++-bbbbbbrrrrrr3211112511211112~~23121325……6分线性方程组无解时当),,()(,,4βARARba≠≠-=∴……8分线性方程组有无穷多解时当,3),()(,,4<==-=βARARba……10分此时),,,(321βααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111211112~21r r～令1,21,321=--==xcxcx则此时，方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121121321cccxxx……12分5.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21121A……2分)3()1(]1)2)[(1(2112122=--=---=-----=-λλλλλλλλEA所以特征值121==λλ，33=λ……4分（1）因为特征值全为正，所以二次型正定……6分（2）当121==λλ时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+111111~32r rEA特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11,121ξξ21,ξξ正交……8分当33=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=--0001100021101100023~23r r E A 特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ ……10分 321,,ξξξ两两正交单位化得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11021,00121ξξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213ξ ……12分所以正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121021210001P 所求的正交变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212121021210001y y y x x x ……14分标准形为2322213y y y f ++= ……16分1.。
线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。
答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。
答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。
答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。
答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。
A. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα都不是零向量;B. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示;C. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任意两个向量都不成比例;D. 12,,,s ⋅⋅⋅ααα中任一部分组线性无关.6. 若二次型222123123(,,)(1)(1)(2)f x x x k x k x k x =++-+-正定，则k 的取值范围为 ( A ). A. 2k > ; B. 1k >; C. 12k << ;D. 1k >-.二、填空题 （共22分,第1-6小题每小题3分，第7小题4分）1. 行列式是一个 数值 ，矩阵是一个 数表 。
（请填“数表或数值”）2. 100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=210104350⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 行列式111111x x x= (x +2)(x -1)2 或x 3-3x +2 ．4. n 元齐次线性方程组A x =0只有零解的充要条件是 R(A)=n ．5. 设向量1-2-1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α，β=22λ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭正交，则λ= -6 ．6. 任意n +1个n 维向量 线性相关 .填（“线性相关”或“线性无关”）7. 已知三阶方阵A 的三个特征值分别为1,1,2,-则_-2_,A =1*132__.2A A -+=三、计算题 （共60分）1. （10分） 设122212221A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，1) 判断A 是否可逆；（4分）2) 如果A 可逆，请用初等行变换求出-1A .（6分）解：1） 由于||=-270A ≠，所以A 可逆。
(4分)2）用初等行变换求得11/92/92/92/91/9-2/92/9-2/91/9A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（6分）2. （10分）计算行列式2004310050100232D =.解：将D 的第三行的-3倍加到第四行，得：2004200431003100501050100232-15202D ==（2分）对200431005010-15202按第三列展开，得：204310-1522D = （3分）将204310-1522第二行的-2倍加到第三行，得： 204310-2102D = （2分） 按第二列展开得2488-212D ==。
课程编号：100172105 北京理工大学2021-2022学年第二学期线性代数A 期末试题(试题共2页, 九道大题。
解答题必须有解题过程。
)一 (14分)、已知矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . （1）求A I 32*−的值，其中*A 是A 的伴随矩阵；（2）若矩阵101011111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，且满足11*2A XA A X A B −−=+，求矩阵X .二（10分）、设方程与线性方程组1231232123040160x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩有公共解，求a 的值及所有公共解。
三（10分）、已知线性空间22⨯R的一个基123410111111,,,00001011⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A 与一组向量123421234311,,,11102110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B B B . （1）证明：1234B ,B ,B ,B 也是线性空间22⨯R的一个基；（2）求基1234A ,A ,A ,A 到基1234B ,B ,B ,B 的过渡矩阵；（3）若矩阵C 在基1234A ,A ,A ,A 下的坐标为(0,1,0,1)TX =，求C 在基1234B ,B ,B ,B 下的坐标。
四（10分）、在3R 上定义变换σ：12312231((,,))(2,,3)x x x x x x x x σ=+−.（1）证明：σ 是3R 上的一个线性变换；（2）求 σ 在3R 的自然基321εεε,,下的矩阵。
五（10分）、已知12321x x x a ++=−1234(1,1,1,1), (2,2,1,1), (2,1,2,1), (1,0,1,0)=−−=−−=−−=−αααα（1）求向量组1234,,,αααα的秩和一个极大无关组;（2）用所求的极大无关组线性表出向量组的其余向量。
一、选择题：1、设A 为3阶方阵，且2A =，则12-A （ ）； (A )－4 (B ) －1 (C ) 1 (D ) 42、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001021,403124,2311C B A ，则下列运算有意义的是（ ）；(A ) ABC (B ) BAC (C ) ACB (D ) CBA 3、设A 为45⨯矩阵，秩()3A =，则（ ）；(A )A 中4阶子式都不为0； (B )A 中存在不为0的4阶子式； (C )A 中3阶子式都不为0； (D )A 中存在不为0的3阶子式. 4、 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则必可推出（ ）； (A )其中至少存在一个向量为零向量； (B )其中至少存两个向量成比例；(C )其中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合； (D )其中每个向量都可以表示为其他向量的线性组合.5、若AB=AC ，能推出B=C ，其中A ，B ，C 为同阶方阵，则A 应满足条件（ ）； (A ) 0≠A (B ) 0=A (C )0=A (D ) 0≠A .6、设n 阶可逆方阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x, 则下列等式中不正确的是（ ）；x Ax A 2)(= x x A B 2)(1=- 1()0.5C A x x -= x x A D 4)(2=.7、设3阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为3,2,2. 则1-B （ ）；121)(A 71)(B 7)(C 12)(D . 8、排列134782695的逆序数是（ ） (A)9 ； (B)10 ； (C)1 ； (D)12 . 9、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为（ ） （A ）-4； （B ）4； （C ）-1； （D ）1.10、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）（A ）A E =； （B ）A E =-； （C ）1A A -=； （D ）1A =.11、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则（ ）(A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； © 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示.12、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ） (A) 2；（B ） 1； (C) 0； （D ） -1.13、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于（ ） （A ）-12； （B ）43-； （C ）1627-； （D ）432-. 14、设A 为⨯m n 矩阵，且<m n , 则齐次线性方程组0Ax =（ ）.(A) 无解； (B)只有唯一解； (C)一定有无穷多解； (D)不能确定.15、已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .5B .-5C .-3D .316、设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ） A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-17、设A 为三阶矩阵，且3A =，则*A 行列式的值为 ( ) (A) 3 (B)9 (C)27 (D) 8118、已知54⨯矩阵A 的列向量组线性无关，则()Tr A 等于 （ ）(A) 1 (B) 5 (C) 3 (D) 419、设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是 ( )(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆 (B) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆 (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆 (D) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆 20、下面说法错误的是 （ ）(A) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，必等价； (B) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，必相似； (C) 两个n 阶矩阵A 和B 相似，特征值相同； (D) 两个n 阶矩阵A 和B 等价，秩相等.21、已知12ββ、是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12αα、是对应齐次方程组0Ax =的基础解系，则Ax b =的通解是 （ ）(A)1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211222k k ββαβ+++ (D) 1211222k k ββαα+++22、对于正交矩阵，以下叙述错误的是 （ ） (A)、若A 为正交矩阵，则1±=A (B)、若B A ,为同阶正交矩阵，则AB 为正交矩阵，(C)、若A 为正交矩阵，则1-A 为正交矩阵 (D)、若B A ,为同阶正交矩阵，则B A +为正交矩阵23、若A 相似于B ，则下列命题中错误的是 （ ）（A ）B A ,具有相同的特征值 （B ）B A ,具有相同的行列式 （C ）B A ,具有相同的特征向量 （D ）若B A ,可逆，则1A -相似于1B - 24、设二次型11212235(,)(,)12x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则该二次型的矩阵为 （ ） (A)3512⎛⎫ ⎪⎝⎭(B) 3062⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C)3602⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 3332⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25、若二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则 （ ） (A)1->k (B)1>k (C)2>k (D)3>k二、填空题1、若A 是5阶方阵，且,2=A 则12--A ＝ .2、A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T . 3、设),(21E B A +=则当且仅当=2B 时，.2A A = 4、若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1010101y x A 的秩为1，则x+y= .5、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 .6、若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则A E += .7、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A.8、若022150131=---x ，则x =__________. 9、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 .10、已知向量T )4,2,3,1(=α与Tk k )2,3,1,(--=β正交，则=k _.11、在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是 . 12、k = 时，向量β=（1,k,5）可由向量1(2,1,1)αα==-2（1，-3，2）,线性表示.13、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，则1-A = . 14、 设()(1012),0102=-=T αβ，矩阵αβ=A ，则=)(A r .15、设A 为n m ⨯的矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是 . 16、设),(b A A 和是b Ax =的系数矩阵与增广矩阵，则b Ax =有解的充分必要条件是 .17、二次型221231213(,,)224f x x x x x x x =+-的矩阵是 .18、二次型32212221321422),,(x x x x x x x x x f +++=的秩r ＝ . 19、设二次型232221321)3()2()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则k 的取值范围是 .20、矩阵3000401A λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为正定矩阵，则λ的取值范围是 . 三、计算题：1、（1）1113113113113111（2）3111513420111533------（3）nn x n n x n x n x n n D n n121121)1(21121121-+-++-+-=-2、设 101123A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，231122011B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 112211130C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，计算 2()T TBA A C -.3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B 求（1）A AB 23-；（2）B A T ； （3）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求1-A . 4、求下列矩阵的逆矩阵022301) 110 2) 000121000 0a cb abc A Bd d a d =-=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦其中不为 5、设矩阵1202041102A a b ⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，讨论A 的秩()r A . 6、已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12111α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=24222α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16033α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40304α (1)若023321=+-+βααα，求β；(2)求向量组的秩),,,(4321ααααR ；(3)求向量组4321,,,αααα的一个最大无关组； (4)将其余向量组用此极大无关组线性表示.7、给定向量组()11,1,0,0,Tα=-()21,1,0,1,Tα=--()32,0,1,1,Tα=()40,2,1,1.Tα=---；求（1）求向量组1234,,,αααα的秩1234(,,,)R αααα； （2）求向量组1234,,,αααα的一个最大无关组； （3）将其余向量用此最大无关组线性表示.8、 设1(1,2,1)Tα=，T )4,,2(2λα=，3(1,1,1)T α=-，T)1,1,1(=β，问： （1） 当λ取何值时，β可由321,,ααα线性表示且表示法唯一,并求其线性表示 （2） 当λ取何值时，β不可由321,,ααα线性表示;(说明理由)9、求下列非齐次线性方程组的通解及对应的齐次方程组的基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 10、已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.11、当b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+bx x x x a x x x x x x x x x x x 43214321432432153122221、无解；2、有唯一解；3、有无穷解，并在此情况下求出全部解(以解向量的形式给出). 12、若3阶矩阵A 相似于B ，矩阵A 的特征值是1、2、3，求行列式2B 的值.13、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及正交矩阵P ，使得1P AP -=Λ.14、设矩阵220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭.(1)求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）判断A 是否与对角矩阵相似，说明理由；（3）若可以对角化，写出对角矩阵Λ以及变换矩阵P ，使得1P AP -=Λ.15、已知矩阵相似与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,00030000300011011x B A（1） 求x ； （2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 16、 给定二次型2221231122233(,,)2245=++++f x x x x x x x x x x ，（1）把二次型化为标准形，并写出相应的非退化线性变换四、证明题：1、若A 是n 阶方阵，且AA E T=，，1-=A 证明 0A E +=.其中I 为单位矩阵. 2、设n 阶方阵A 满足2A A =， 证明A 的特征值只可能是0和1.3、若n 阶方阵A 满足2240A A E +-=，证明A E -可逆，并求1()A E --.4、设A 是n m ⨯实矩阵,0≠β是m 维实列向量，证明：)()(A A r A r T =；（2）非齐次线性方程组βT T A Ax A =有解.5、设向量432,,,1αααα线性无关,且11234212343123441234,,,αββββαββββαββββαββββ=---=-+--=--+-=---+证明向量组4321,,,ββββ线性无关.。
