13-14 线代期末考试卷 A(1)

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面。

解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分） 求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1） 由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3） （2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分） 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分） 已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。

装 订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊)(A 2)(2121211ββααα-+++k k )(B 2)(2121211ββααα++-+k k )(C 2)(2121211ββββα-+++k k )(D 2)(2121211ββββα++-+k k4．设矩阵21407003A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则a ，b 满足 （ C ）)(A 1,3a b =-= )(B 1,3a b ==- )(C 1,3a b == )(D 1,3a b =-=- 5．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是（ C ） （A）0t << （B ）22t -<< （C）t << （D）22t -<<三、(本题10分)设2XA X B =+，其中311010003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，101321B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求X .解 由2XA X B =+得1(2)X B A I -=-110100(2)010*********A I I ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭100110010010001001⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭1110101111(2)010*********X B A I -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭四、(本题10分) 求向量组()11,1,1,1T α=--，()20,1,0,1Tα=-，()33,2,1,4T α=--，()44,5,2,7Tα=--的秩和它的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量. 解103410341034101112501110111010210120022001100111147011300220000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换所以1234(,,,r αααα)=3，向量组123,,ααα是一个极大线性无关组，41232αααα=++五、(本题10分)求通过点(2,0,1)P -且又通过直线12213x y z +-==-的平面方程. 解 已知直线过点(1,0,2)M -，方向向量{2,1,3}s =-， 所求平面的法向量{3,15,3}n MP s ⨯=---，取{1,5,1}n = 所求平面方程为(1)5(0)(2)0x y z ++-+-=，即510x y z ++-=六、(本题12分) λ取何值时，线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.解 2112112112011011301133A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭初等行变换112011000(1)(2)3(1)λλλλλλ-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪--+-⎝⎭初等行变换 (1) 当2λ≠-且1λ≠时, 原方程组有唯一解. (2) 当2λ=-时，原方程组无解.(3) 当1λ=时, 原方程组有无穷多解， 111200000000A -⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12(2,0,0)(1,1,0)(1,0,1)TTTx k k =-+-+-，12,k k 为任意常数.七、(本题12分)求一个正交变换x Qy =，将二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++化成标准形，并指出123(,,)4f x x x =表示的曲面名称. 解 二次型的矩阵 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，232(2)(1)(5)0023I A λλλλλλλ--=--=---=--得特征值为11λ=，232,5λλ== 对11λ=，由1()0I A x λ-=得()10,1,1Tξ=-，单位化得)10,1,1Te =- 对22λ=，由2()0I A x λ-=得()21,0,0Tξ=，单位化得()21,0,0Te =， 对35λ=，由3()0I A x λ-=得()30,1,1Tξ=，单位化得)30,1,1Te =取01000Q ⎛⎫ ⎪=，由x Qy =得222123123(,,)25f x x x y y y =++ 曲面123(,,)4f x x x =表示椭球面.八、（本题6分）设n 阶实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ，α是A 的对应于特征值1λ的单位特征向量，矩阵1TB A λαα=-，证明：B 的特征值为20,,,n λλ. 证明 因为A 为n 阶实对称矩阵，且有特征值12,,,n λλλ所以存在正交矩阵12(,,,)n P p p p =，使得12(,,,)T n P AP diag λλλ=因为α是A 对应于特征值1λ的单位特征向量，取1p α=，且(,)0,2,3,,i p i n α==1110TB A ααλαααλαλα=-=-=，所以0是B 的特征值 10,2,3,,T i i i i i i i Bp Ap p p p i n λααλλ=-=-==，所以,2,3,,i i n λ=也是B 的特征值综上，B 的特征值为20,,,n λλ.。

武汉科技大学2013-2014-1线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1. 设A 是n 阶可逆方阵,则T B A A =-是( D ).A.正交矩阵；B.对称矩阵；C.可逆矩阵；D.反对称矩阵. 2. 向量组12,,,m ααα线性无关，则下列结论不正确的是（ B ）.A. 12,,,m ααα的秩为m ；B. 12,,,m ααα的极大无关组不唯一C. 12,,,m ααα中任意两个向量的分量不对应成比例；D. 12,,,m ααα中任意一个向量都不能由其余1m -个向量线性表示.3. 行列式33332222(1)(2)(3)(1)(2)(3)1231111a a a a a a a a aa a a ---------的值为（ A ）.A ．12; B. 11; C. 13; D. 14.4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．A ．122331,,a a a a a a +++；B ．213213,,a a a a a a ---；C ．21321312,,2a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---.5. 下列不是方阵A 可逆的充要条件的是（ C ）A. A 的行向量组线性无关；B. A 的列向量组线性无关;C. 零为A 的特征值;D. 非齐次线性方程组Ax b =有唯一解.6．非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则( A ).A.r m =时，方程组Ax b =有解；B. r n =时，方程组Ax b =有唯一解；C.m n =时，方程组Ax b =有唯一解；D. r n <时，方程组Ax b =有无穷多解.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7.A 为3阶方阵，且1A =-,则1*(2)A A --=____278____;8. 若121210021A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则1A -= 101212423⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;9. 01010000A x ⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭，当 1± 时，矩阵A 为正交矩阵;10. 向量组123(2,4,2),(1,2,1),(3,5,2)ααα==---=的秩为 2 ;11. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关，记 ()2,,P x Ax A x =，若有AP PB =，则B =000103011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭;12. 已知20132013001335100010242010100111001A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=--- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，00020002B λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 相似于B ，则λ= 6.三、解答题（本大题共4个小题，第13、14、15题，每小题10分，第16题12分，共42分）13. 计算行列式1122100000000011111n n n a a a a D a a +--=-。

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

线性代数期末考试试卷(doc 6页)学院：专业：班级：2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。

A．n阶行列式中，零的个数多于2n n-个；B．行列式中每行元素之和为a；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。

2．若A是（），则A不一定为方阵。

A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。

3．若A、B均为n阶方阵，则有（）。

A．()()(){}maxR A B R A R B+≥；B．()()(){}minR A B R A R B+≤；C．()()()R A B R A R B+>+；D．()()()R A B R A R B+≤+。

4．下列条件不是向量组12.nααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（）。

A．12.nααα⋅⋅⋅都不是零向量；B．12.nααα⋅⋅⋅中任意两个都不成比例；C．12.nααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其它向量线性表示；题号一二三四五总分：总分人：复核人：11 12 13 14 15 16 17 18得分签名得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。

13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。

得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。

15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。

得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。

共3页第1页线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

共3页第2页 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

中南大学考试试卷20014——2015学年第二学期 时间：100分钟《线性代数》课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷 总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则秩()R A = ．2、设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T Ta ααα=-==，若由123,,ααα生成的向量空间的维数为2，则a = ．3、已知(1,1,1)T ξ=-是2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则=a ⎽⎽⎽， b =⎽⎽⎽.4、设,A B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B -+=,则1A B -+= .5、设实二次型()312123222132122,,x tx x x x x x x x x Q ++++=是正定的，则t 的取值范围是 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、若矩阵A 、B 可逆，则矩阵00A B⎛⎫⎪⎝⎭也可逆，且10A B-⎛⎫⎪⎝⎭=（ ）. （A ）1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭. （B ）1100B A--⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭. （D ）1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭. 2、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）.（A ）A 中两行（列）元素对应成比例. （B ）A 中有一行元素全为零. （C ）任一行元素为其余行的线性组合.（D ）必有一行元素为其余行的线性组合. 3、设向量组I ：12,,,r αααL 可由向量组II: 12,,,S βββL 线性表示.下列命题正确的是（）.（A ）若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ）若向量组I 线性相关，则r s >. （C ）若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ）若向量组II 线性相关，则r s >. 4、设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB E =,则（ ）.（A ）秩()R A m =，秩()R B m =. （B ）秩()R A m =，秩()R B n =.（C ）秩()R A n =，秩()R B m =. （D ）秩()R A n =，秩()R B n =.5、设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为（）.（A ）13αα，.（B ）12αα，. （C ）123ααα，，. （D ）234ααα，，.三（本题满分10分）设123221(, , )212122A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，1214(, )0342B ββ⎛⎫⎪== ⎪⎪-⎝⎭，证明123, , ααα是3维空间3R 的一个基，并把12, ββ用这个基线性表示.四（本题满分10分）设矩阵010101010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵X 满足 22X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .五（本题满分16分） 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212n a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭O O O ，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M . （1） 证明行列式(1)n A n a =+；（2） 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （3） 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.六（本题满分8分）已知4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，又123,,ααα是它的3个解向量，其中1223(1,1,0,2),(1,0,1,3)T T αααα+=+=，求该非齐次线性方程组的通解.七（本题满分14分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭与矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，（1）求,a b 的值； （2）求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.八（本题满分12分）已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x Qy =，将f 化为标准形.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、2；2、6；3、-3，0；4、3；5、22t -<<. 二、选择题（每小题3分，共15分） BDAAD 三（本题满分10分）解 要证123, , ααα是3R 的一个基，即证123, , ααα线性无关，即证()3R A =或0A ≠或A ～E ，12321311()322211411113(,)21203030231224203355r r r r r r r A B ++-+--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭132332(3)31002411113330102101021330115500112333r rr r r r-÷-÷-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→-- ⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因有A ～E ，故123, , ααα为3R 的一个基，且1212324332(, )(, , )13213ββααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 四、（本题满分10分）解 由 22X XA AX AXA E --+=，得2()()E A X E A E --=,因2110001111,010011102E A E A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭都可逆，故121211201312()()111010111110100211X E A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五（本题满分16分）（1） 证法一（用数学归纳法）：记n D A =， 当1n =时，12D a =；2n =时，2222132a D a a a==，结论都成立， 假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得222112221122110221222122(1)(1)n n n n n n n na a a a D aD aD a D a a a a ana a n a n a ------=-=-=--=+O OO故(1)n A n a =+. 证法二22132221213102211223212213102411(1).31011n n n a a a a r ar r ar Aa aa aa a a n r ar n a nn a n n a n-----=+-+O OO L LO O O（2）解 当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有唯一解，由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212*********n n n na a a aa aD na a a aa a a a a ---===OO O O OO ，所以，11(1)n n D nx D n a-==+. （3）解 当0a =时，方程组为12110100100100n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M OO， 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为(0,1,0,,0)(1,0,0,,0)T T x k =+L L ，其中k 为任意常数. 六、（本题满分8分）解 因4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，故其导出组的基础解系只含 一个解向量，即可为312312()()(0,1,1,1)T αααααα-=+-+=-, 非齐次特解可为1211(,,0,1)222T αα+=,或23113(,0,,)2222T αα+=， 所以非齐次线性方程组的通解为(0,1,1,1)T k -11(,,0,1)22T +或(0,1,1,1)T k -113(,0,,)222T +，其中k 为任意常数.七、（本题满分14分）解（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，故 迹()(),tr A tr B A B ==,于是 32,23,a b a b +=+-= 解得 4,5,a b == （2）由（1）知，023133124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，120050031B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因,A B 相似，所以2(1)(5)E A E B λλλλ-=-=--，故A 的特征值为1231,5λλλ===，当121λλ==时，解()0E A X -=，得线性无关的特征向量12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当35λ=，解()50E A X -=，得特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()123231,,101011P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则P 为所求可逆矩阵，使1100010005P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.八、（本题满分12分）解 （1）1011010110111000101000A aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因秩()()T R A A R A ==2，所以1a =-.（2）因1a =-，所以202022224T A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则特征多项式为(2)(6)T E A A λλλλ-=--， 于是T A A 的特征值为1232,6,0λλλ===.当12λ=时，由(2)0T E A A x -=，可得属于2110⎛⎫⎪-⎪⎪⎭， 当26λ=时，由(6)0T E A A x -=，可得属于6112⎛⎫⎪⎪⎪⎭，当30λ=时，由0T A Ax =，可得属于0111⎛⎫⎪⎪⎪-⎭，令0Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，则f 在正交变换x Qy =下的标准形221226f y y =+.。