有限元第五章.等参数单元

B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y

(5-5)
则其中的子矩阵可按下式进行计算


T B i 1 1 S j dd 1 1
k ij Bi D B j tdxdy
T

(i)
如果单元厚度t是常量，则
kij tab

4 1 2

Et

b 1 1 a 1 1 i j i j 1 i j a i j 3 2 b 3 1 i j i j 2
N i N i I ,
1 0 I 0 1 ,
i i
u vi
(i 1，2 ，3，4)
(e)
由几何方程可以求得单元的应变
u 1 u u b a x x 1 v 1 v v y a y b ab xy u v 1 u 1 v a u b v y x b a
x x0 a
y y0 b
式中
x0 ( x1 x2 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 y0 ( y2 y3 ) / 2 ( y1 y4 ) / 2 a ( x2 x1 ) / 2 ( x3 x4 ) / 2 b ( y3 y2 ) / 2 ( y4 y1 ) / 2
u
N u
i i 1
n
i
, v
N v
i 1
n
n
i i
(5-8)
实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即 (5i 1 i 1 9) 可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函 数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形 式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标 值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前 面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公 式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或 位置坐标变换式）。

2
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）

5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w

a1 a4

a2r a5r

aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2

1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。

母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2

1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2

2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y

3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8

6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1

(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成 结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进 行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念 等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特 定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参 元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限 元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲 线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般 具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即 使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。 等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单 元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变 换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元 （子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换 的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的 形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会 得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x

注：等参单元的刚度积分一般很难有解析式，必须进行数值积分，目前普 遍采用高斯数值积分法（略）。
5.1.2等参单元小结
1、等参单元存在的充要条件是|J|≠0
为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一 一对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有 内角大于或等于或接近180度情况。
2、等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容 易用很少的单元去逼近曲线边界。
4
Ni
,
1 4
1
i
1i
i = 1,2,3,4
同矩形单元位移形函数
2） 单元应变
将位移表达式代入几何方程得等参单元的应变
u
0
0
x ε 0 u
x
v y
0
v
N1 ,
y
0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N4 N3 0
0
u1
N4能很好地适应曲线边界和准确地模拟结构形状，又能具 有较高次的位移模式，
等参单元（iso-parametric element）的概念：等参数 单元就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数 目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种新型 单元。
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的变形， 由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得到，则 可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。
。
5.1.1 平面4节点等参单元 1）等参变换（坐标映射）
目的：建立矩形母单元与任意四边形单元的坐标映射关系
已知：
xi yi
f
ii
（i=
1,2,3,4）求， ：
x y
f
解法：插值 x 1 2 3 4

5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
2021/8/14
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
2021/8/14
4
4
x
i1
Ni , xi
2021/8/14
30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
2021/8/14

设待求变分问题（5-4）的解答（极值函数）为 y=y(x) （5-7）
因y是x的函数，但讨论的是y的变化

设想函数y从极值解（5-7）稍稍变动到y+dy，并把变分dy改记为：eh(x)，

e是一个任意给定的微量实参数（实变量）；
h(x)是定义于区间[x1，x2]，且满足齐次边界条件的任意选定的可微函数，即有： h(x1)=h(x2)=0。

15

与多元函数的极值问题相对应，在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。 最速降线问题。


研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。 取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。


则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
16
18

在最速下降问题，在端点x1和x2给定的无数个函数之中， y ( x) 仅有一个函数 能使式（ 5-2a）中的定积分达到极小 y ( x) 值函数，这一函数 被称为极值函数。 所谓变分问题就在于寻求使泛函达到极值的该极值函数， 即分析研究泛函的极值问题。 物理学各分支都存在有相应的变分问题（变分原理），例 如
因此

式中
26

故可得

简写为

将上式与式（5-6）相比较，只相差一个数值因子e。
27

故（5-8）等价于变分方程

也即
（线性主部）

利用分部积分，根据变分与微分顺序可以互换的原理，即 dy’=(dy)’，得
28

在变分问题中，变分dy在端点保持为零

于是，必要条件（5-12）成为

•
关于高斯积分有如下结论： 采用N个积分点的高斯积分，如果被积函数是2N-1阶及以
下的多项式，则高斯求积公式给出准确结果。
•
对于二、三维高斯积分，有：
I
I
1
1
1 1

1
1
f ( , )dd f (i , j ) wi w j
i 1 j 1
1
L
M
1 1 1
平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。显然， 母单元的节点对应于不同的x，y坐标就得到不同的任意 四边形单元。
•变实例
• 建立了局部坐标系或映射后，我们可以在ξ -η 平面上 的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 • 任意四边形单元在母单元中的位移模式插值公式（或者
称为ξ -η 坐标系下的位移模式）可以参考矩形单元的 位移模式写为：
1）形函数导数的坐标变换 • 等参单元中形函数是局部坐标ξ ,η 的显函数，而计算 应变时需要形函数对x,y坐标的导数。根据等参变换式， ξ ,η 和 x,y之间有一定函数关系，由复合函数求导规 则有：
N i x N x i y N i N i x x N J N y i i y y
k B DBhd
e T
e
由于[B]矩阵已是ξ,η的函数，上式积分应该在自然坐标系下 进行，或者说进行积分变量替换。
在整体坐标系中，面积微元为x 方向和y 方向微矢量的叉乘 的模量，
• 由二维重积分变量替换公式得到：
k 1 1 B DBh J dd
任意直边四边形
任意六面体