有限元等参数单元

格式：pdf
大小：222.31 KB
文档页数：33

下载文档原格式

有限元分析中常用单元类型与单位制

SOLID453-D结构实体单元产品：MP ME ST <> <> PR <> <> <> PP EDSOLID45单元说明solid45单元用于构造三维实体结构.单元通过8个节点来定义,每个节点有3个沿着xyz方向平移的自由度.单元具有塑性,蠕变,膨胀,应力强化,大变形和大应变能力。

有用于沙漏控制的缩减积分选项。

有关该单元的细节参看ANSYS, 理论参考中的SOLID45部分。

类似的单元有适用于各向异性材料的solid64单元。

Solid45单元的更高阶单元是solid95。

图 45.1 SOLID45几何描述SOLID45输入数据该单元的几何形状、结点位置、坐标系如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。

该单元可定义8个结点和正交各向异性材料。

正交各向异性材料方向对应于单元坐标方向。

单元坐标系方向参见坐标系部分。

单元荷载参见结点和单元荷载部分。

压力可以作为表面荷载施加在单元各个表面上，如图45.1: "SOLID45 几何描述"所示。

正压力指向单元内部。

可以输入温度和流量作为单元节点处的体载荷。

节点 I 处的温度 T(I) 默认为 TUNIF。

如果不给出其它节点处的温度，则默认等于 T(I)。

对于任何其它的输入方式，未给定的温度默认为 TUNIF。

对于流量的输入与此类似，只是默认值用零代替了TUNIF。

KEYOPT(1)用于指定包括或不包括附加的位移形函数。

KEYOPT(5)和KEYOPT(6)提供不同的单元输出选项（参见单元输出部分）。

当KEYOPT(2)=1时，该单元也支持用于沙漏控制的均匀缩减（1点）积分。

均匀缩减积分在进行非线性分析时有如下好处：∙相对于完全积分选项而言，单元刚度集成和应力（应变）计算需要更少的CPU时间，而仍能获得足够精确的结果。

∙当单元数量相同时，单元历史存储记录（.ESAV 和 .OSAV）的长度约为完全积分（2×2×2）的1/7。

有限元法课后习题答案

1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩 .5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。

7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。

8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。

9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。

10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1. 诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2. 有限元法的基本思想是什么答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。

3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。

有限元分析第六章

第六章非第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。

满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。

等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。

此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。

对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。

在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。

本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。

这些结论对四阶问题同样适用。

从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。

§6-1Wilson 非协调元Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。

１、母体单元形函数母体单元ê：边长为２的正方形自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。

形函数２、实际单元 e可看成母体单元ê经变换F 得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（x i , y i ）为实际单元中节点的坐标。

至此，还看不出Wilson 非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。

３、单元内假设位移场图６－１图６－２）　（4~1)1)(1(41),(=++=i N i i i ηηξξηξe eF →ˆ：　∑∑====4141i i i i iiy N y x Nx )1()1(),()1()1(),(242341222141ηαξαηξηαξαηξ-+-+=-+-+=∑∑==i i ii i iv Nv u Nu (6-1-1)同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（１）不影响节点处的位移值，故称αl 为非节点自由度或单元的“内自由度”。

有限元分析第五章(第一部分)

第五章等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。

这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。

本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。

这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。

等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。

变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。

§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。

取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。

仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数（ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１）坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。

这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当当　＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →：　(5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。

10-有限元参数单元-数值积分

(x2

3 5
)
x 根 x1

15 5
, x2

0, x3

15 5
四阶 Legendre多项式
L4
(x)

35 8
(x3

15
120 35
)(x 2

15
120 35
)
根 x1、4
15
120 35
, x2、3

15 120 35
一般n阶Legendre多项式的定义为
Ｌ n
(
x)

1 2n n!
dn dx n
(x2
1) n
n 阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程在区间[-1,1]上的有界解。
1 x2 y 2xy nn 1y 0
Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点）若再补充定义
Ｌ 0
(
x)

1

11 1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n dx＝ 1 d n1 2n n! dx n1
(x2
1) n
1 1

0
对于 m≠n （m、n 非零，不妨认为 m>n ）
1
Lm (x) Ln (x)dx
1

1
1 dn
2mn m!n! 1 dx n
(x2
1) n
(4)八结点单元而言[k]共有162=256个元素，利用对称性仍需对其中的136 个元素进行数值积分。
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算
例
5 平面4节点四边形等参元的刚度矩阵的计算

有限元法基础重点归纳(精)

29、常应变三角形单元:当单元确定后。矩阵B是常量,单元中任一点的应变分量也是常量的单元。
30、有限元法的任务:建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。31、单元刚度矩阵:表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。
32、单元刚度矩阵的性质:①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②K e是对称矩阵③K e的每一行或每一列元素之和为零,因此K e为奇异矩阵④K e不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。33、刚度集成法集成规律:①先对每个单元求出其单元刚度矩阵K e ,而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ,并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系,搬到扩大后的矩阵中,形成单元贡献矩阵K e。③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵,各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K。34、整体刚度矩阵的性质:①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义:整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x方向有一单元位移,而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。对于K的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K是一个奇异阵。35、带形矩阵:整体刚度矩阵K的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。
γxy
=E 1−μ
2∗
1−μ2
γxy
42、制造位移函数:{u (x,y =α1+α2x +α3y
v (x,y =α4+α5x +α6y
43、等参单元精度比四边形单元高,四边形精度比三角形精度高。
44、轴对称问题:很多工程物件,它们的几何形状承受的载荷以及约束条件都对称于其一固定轴,这即为对称轴,此时载荷作用下的位移、应变和应力也对称于该对称轴的问题。45、等参数单元:优点:①形状方位任意,适应性好,精度高,容易构造高阶单元②具有统一形式,规律性强,采用数值积分算,程序处理方便③高阶等参单元精度高,描述复杂边界,形状能力强,所需单元少。缺点:①单元各方向尺寸要尽量接近②单元边界不能过于曲折,不能有拐点折点,尽量接近直线或抛物线③边之间夹角要尽量接近直角④单元形状不能过度畸变,边中节点不能过于偏离中间。46、有限元法基础理论:弹性力学,材料力学

等参数单元

(6.18)
三个节点的等效载荷为
Qi {Q
e e ix
式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。在上述分析的基础上，利用结构中所有等参元的单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。列写结构有限元方程、引入约束条件，进而进行结构整体分析。
qx Q } Ni tds q y
6.1 等参元的基本概念等参数单元（Isoparametric elements）简称等参元，是根据特定方法设定的一大类单元，不一定具有相同的几何形状。因为等参元具有规范的定义原理和较强的适应复杂几何形状的能力。在有限元理论中占有重要的地位。采用等参元，一方面能够很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，等参元一般具有高阶位移模式，能够较好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可以得到比较好的计算精度。等参元的基本思想是：首先导出关于局部坐标系（Local coordinate, 或Natural coordinate, 自然坐标系）的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式，然后利用形函数多项式进行坐标变换，得到关于整体坐标系(Global coordinate)的复杂形状的单元（子单元），其中子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换的节点数相等，位移函数插值公式与位置坐标变换式都采用相同的形函数与节点参数，这样的单元称为等参元。
x N i , xi , y Ni , yi
i 1 i 1 8 8
(6.11)
将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式
6.2 等参元的单元分析
u x x v e ε y Bδ B1 B2 y xy u v y x

有限元法与程序-等参单元的处理(中大)

n
n
u Niui
i 1
w= Ni wi
i 1
对于4结点等参数单元，n=4，形函数Ni 如下 1 N i (1 i )(1 i ) (i 1,2,3,4) 4
对于8结点等参数单元n=8，形函数Ni 取为
N 1 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 2 (1 )(1 ) / 2 N 3 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 4 (1 )(1 ) / 2 N 5 (1 )(1 )( 1) / 4 N 6 (1 2 )(1 ) / 2 N 7 (1 )(1 )( 1) / 4 2 N 8 (1 )(1 ) / 2
式中： 0 i ,0 i, 0 i
2、单元中应变
e
{} [B]{ } [B1 B2 B20 ]{ }
e
e
{ } [u1 v1 w1 u2 v2 w2 u20 v20 w20 ]
N i x 0 0 [ Bi ] N i y 0 N i z 0 N i y 0 N i x N i z 0 0 0 N i z (i 1,2, ,20) 0 N i y N i x
三维高斯积分公式
Leabharlann 1111f ( , , )d d d H i H j H k f (i , j , k )
i 1 j 1 k 1
n
n
n
式中积分点和权函数仍按上表采用。等参元数值积分中一般取3-4就可取得足够精度
单元刚度矩阵[k ] H m H n H p [ B]T [ D][ B] | J |

isoparametric element(有限元等参数单元)

N i N j 1 N i N j a11 x x 2 y y Where
a12 ,
a21 ,
a22
25
2013-7-1
Isoparametric Element
Discussion
The integrand is the function of , , and is
A
k e BT DBtdxdy
4块×4块
k12
k13
For the plane stress
1 1 T
k22 k23 k32 k33 k42 k43
k14 k24 k34 k44
Et 1 1 a11 a12 kij 1 1Bi DB j t J dd 1 2 1 1 a a J dd 21 22 2× 2× 3× 2 3 2 (i, j 1,2,3,4)
N2 I
N3 I
N 4 I
e
1 Ni 1 i 1 i 4
2013-7-1 Isoparametric Element
(i 1,2,3,4)
19
2. Define Stress/Strain and Strain/Displacement
x x y L f 0 xy y B1 B2 B3 0 N1I y x N2I N3 I N 4 I
(i 1,2,3,4)
四个节点一一对应；node 1： 1
x x1 , y y1
母单元的边界直线映射成整体坐标系过对应点的直线；过2，3点边界线（ 1 ）
1 1 x2 1 1 x3 2 2 1 1 y 1 y 2 1 y3 2 2 x

平面有限元分析-等参单元

由以上分析可知，在划分单元时，只需确定单元节点的整体坐标值，而不必画出等参元的具体形状，因为在计算中实际使用的只有单元四个节点在整体坐标系下的位移值。
等参元变换的条件为 J ≠ 0 ，因此在有限元网格划分时，要特别注意这一点。
等参单元等效节点力（4节点）
（1）集中力引起的单元节点载荷
单元内某点受到集中载荷P=[Px Py]T，移置到单元节点上的等效节点力为：
j
同理得
dη = ∂x dηi + ∂y dη j
∂η
∂η
∂x dξ
dA =
dξ × dη
=
∂ξ
∂x
dη
∂µ
∂y dξ ∂x
∂ξ
∂y
dη
=
∂ξ
∂x
∂η ∂µ
∂y
∂ξ
∂y
dξdη
∂η
等参单元刚度（4节点）
因为
∂x ∂y
J
=
∂ξ
∂x
∂ξ
∂y
∂η ∂η
雅可比行列式 Jacobi
曲边面积元dA:
dA = J dξdη
8 平面问题有限元分析等参单元
8.1等参曹单国元华刚度（4节点） 8.2等参单元等效节点力（4节点） 8.3矩形单元（8节点） 8.4等参单元（8节点） 8.5高斯积分法
等参单元刚度（4节点）
4
4
=u ∑= Ni (ξ ,η )ui ,v ∑ Ni (ξ ,η )vi
=i 1 =i 1
4
4
=x ∑= Ni (ξ ,η ) xi , y ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1
4
y = ∑ Ni (ξ ,η ) yi
i =1

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（2）应变场的表达根据几何方程得到应变场表达式：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 0 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ∂ ∂y ⎢ y ⎥ ⎢0 u ( x , y , z ) ⎡ ⎤ ⎢ε z ⎥ ⎢ 0 0 ∂ ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ ⎥ = ⎢ v ( x , y , z ) ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢∂ ∂y ∂ ∂x ⎢ w( x, y, z ) ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ∂ ∂z ∂ ∂y γ yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎣∂ ∂z 0 x ∂ ∂ ⎦ ⎣ zx ⎦ e = B ( x, y , z ) ⋅ δ
第六章
等参数单元的一般原理和数值积分
由于实际问题的复杂性，需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题，特别是在一些复杂的边界上，有时只能采用不规整单元；但是直接研究这些不规整单元则比较困难，如何利用规整单元（如三角形单元、矩形单元、正六面体单元）的原理来研究（推导）所对应的不规整单元的表达式？这将涉及到几何形状映射、等参变换（坐标系变换）等问题。
其中
1 N i = (1 + ξiξ )(1 + ηiη )(1 + ζ iζ ) 8 i = 1, 2,3, 4
位移模式的矩阵形式：
⎡u(x, y) ⎤ ⎡N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 0 0 ⎤ ⎢v(x, y) ⎥ = ⎢ 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 ⎥ ⋅δ e 1 2 3 4 5 6 7 8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣w(x, y)⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N6 0 0 N7 0 0 N8 ⎥ ⎦ = N(ξ,η) ⋅δ e
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ∂x ⎥ ⎢ ∂N i ⎥ B=⎢0 ⎥ y ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂N i ∂N i ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂x ⎦
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧ ∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ⎪ ∂ξ ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎢ ∂η ⎪ ⎪ η ∂ ⎩ ⎭ ⎣
−1 −1 1 1
如何构造这个多项式，使其对原函数有最好的逼近？
（2）Newton-Cotes数值积分将多项式 ϕ (ξ ) 改成lagrange插值多项式
ϕ (ξ ) = a0 + a1ξ + a2ξ 2 + " + an −1ξ n −1 = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi )
e 1 −1 −1 −1
∫ ∫
1Байду номын сангаас
1
Bi ⋅ D ⋅ B j ⋅ J d ξ dη d ζ
T
∂x ∂ξ ∂x J = ∂η ∂x ∂ζ
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ζ
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ζ
6.3 数值积分
由于形函数对整体坐标x 和y 的导数中包含雅可比矩阵的逆矩阵，刚度矩阵的积分一般情况下不能得到显式。因此要采用数值积分来求得等参数单元的刚度矩阵。一个函数的定积分，可以通过n个点的函数值和他们的加权组合来计算：
（2）应变场的表达根据几何方程得到应变场表达式：
⎡ε x ⎤ ⎡∂ ∂x 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡ u ( x, y ) ⎤ ⎥ ε ( x, y ) = ⎢ε y ⎥ = ⎢ 0 ∂ ∂y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ ⎥ ⎢∂ ∂x ∂ ∂y ⎥ ⎣v( x, y ) ⎦ ⎦ ⎣ xy ⎦ ⎣ ⎡∂ ∂x 0 ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 ⎤ e ⎢ ⎥ = ⎢ 0 ∂ ∂y ⎥ ⎢ ⋅δ ⎥ 0 N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 ⎦ ⎣ ⎢ ⎣∂ ∂x ∂ ∂y ⎥ ⎦ = B ( x, y ) ⋅ δ e
∫
1
Bi ⋅ D ⋅ B j ⋅ J ⋅ td ξ dη (i, j = 1, 2,3, 4)
T
6.2 空间等参单元 8节点等参单元
（1）坐标映射及位移场模式
同平面问题任意四边形等参元一样，以8节点边长为2的正方体作等参元基本单元，其坐标变换式和位移函数为：
8 ⎧ ⎪ x(ξ ,η ) = ∑ N i xi = N1 x1 + N 2 x2 + " + N8 x8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎨ y (ξ ,η ) = ∑ N i yi = N1 y1 + N 2 y2 + " + N8 y8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ z (ξ ,η ) = ∑ N i zi = N1 z1 + N 2 z2 + " + N8 z8 i =1 ⎩
根据前面四节点矩形单元的单元位移模式表达式，它们完全相似，因此可写出其位移场模式：
u ( x, y ) = N1 (ξ ,η ) ⋅ u1 + N 2 (ξ ,η ) ⋅ u2 + N 3 (ξ ,η ) ⋅ u3 + N 4 (ξ ,η ) ⋅ u4 ⎪ ⎫ ⎬ v ( x, y ) = N1 (ξ ,η ) ⋅ v1 + N 2 (ξ ,η ) ⋅ v2 + N 3 (ξ ,η ) ⋅ v3 + N 4 (ξ ,η ) ⋅ v4 ⎪ ⎭
设如图所示的两个坐标系的坐标映射关系为：
x = x(ξ ,η ) ⎫ ⎬ y = y (ξ ,η ) ⎭
下面针对图中的四节点四边形的坐标映射，给出映射关系的具体表达式。由基准坐标系（ξ,η）中的一点可以求出物理坐标系（x,y）中的一个对应点，如将图中所示基准坐标系（ξ,η）中的矩形映射为物理坐标系（x,y）中的任意四边形，则有节点映射条件：
由本构关系可以得到应力场的表达式：
⎧σ x ⎫ ⎪σ ⎪ ⎪ y⎪ ⎪ ⎪σ z ⎪ ⎪ σ = ⎨ ⎬ = Dε = DBδ e = S ⋅ δ e ⎪τ yz ⎪ ⎪τ ⎪ ⎪ xz ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎪ ⎭
S为应力矩阵
（4）刚度矩阵根据势能表达式得到刚度矩阵：
K e = ∫∫∫ BT ⋅ D ⋅ Bdxdydz K =∫
B是几何矩阵
⎡ ∂N i ⎢ ∂x ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ∂N i ⎢ ∂z ⎢ ∂N ⎢ i ⎢ ⎣ ∂y
0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂z 0 ∂N i ∂x
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂z ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂y ⎥ ⎥ ∂N i ⎥ ∂x ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦
xi = xi (ξi ,ηi ) ⎫ ⎬ i = 1, 2,3, 4 yi = yi (ξi ,ηi ) ⎭
这表明x方向和y方向各有四个节点条件，如果我们用多项式来写出映射函数，则x方向和y方向上可以写出各包含有四个待定系数的多项式
x = a0 + a1ξ + a2η + a3ξη ⎫ ⎬ y = b0 + b1ξ + b2η + b3ξη ⎭
∫ f (ξ )dξ ≈ ∑ A f (ξ )
1 −1 k =1 k k
n
（1）基本思想
I = ∫ f (ξ )d ξ
−1 1
构造一个多项式 ϕ (ξi ) ，使得在n个点上与 f (ξ ) 相同，即
ϕ (ξi ) = f (ξi ) (i = 1, 2,3," n)
I = ∫ f (ξ )d ξ ≈ ∫ ϕ (ξ )d ξ
1
（3）Gauss积分如果我们调整n个插值点的位置，使得 ϕ (ξ ) 具有(2n-1)次多项式，并对 f (ξ ) 进行逼近，则可以大大提高积分精度。
ϕ (ξ ) = ∑ li( n −1) (ξ ) f (ξi ) + ∑ β iξ i P(ξ )
（3）应力场的表达
由本构关系可以得到应力场的表达式：
⎧σ x ⎫ ⎪ ⎪ σ = ⎨σ y ⎬ = Dε = DBδ e = S ⋅ δ e ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎭
S为应力矩阵
（4）刚度矩阵根据势能表达式得到刚度矩阵：
K e = ∫∫ BT ⋅ D ⋅ B ⋅ tdxdy
A
K =∫
e
1
−1 −1
由于形函数是由参考坐标ξ 和η 给出的，这两个导数一般不能显式给出，根据复合函数求导规则有：
⎧∂N i ⎫ ⎡ ∂x ⎪ ∂ξ ⎪ ⎢ ∂ξ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎨ ⎬=⎢ ⎪ ∂η ⎪ ⎢ ∂η ⎪ ∂N i ⎪ ⎢ ∂x ⎪ ⎪ ⎢ ⎩ ∂ζ ⎭ ⎣ ∂ζ
∂y ∂z ⎤ ⎧ ∂N i ⎫ ⎧ ∂N i ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ξ ∂ξ ⎥ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ∂y ∂z ⎥ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ⎨ ⎬= J⎨ ⎬ ⎥ ∂η ∂η ⎥ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂y ⎪ ⎪ ∂N i ⎪ ∂y ∂z ⎥ ⎪ ∂N i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ∂ζ ∂ζ ⎦ ⎩ ∂z ⎭ ⎩ ∂z ⎭
其中
1 N i = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
i = 1, 2,3, 4
如果将物理坐标系（x,y）中的每一个节点位移写成一个矩阵，有
δ = [u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 ]
e
T
那么位移模式也可以写成：
⎡u ( x, y ) ⎤ ⎡ N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 ⎤ e ⎢ v ( x, y ) ⎥ = ⎢ 0 N 0 N 0 N 0 N ⎥ ⋅ δ ⎣ ⎦ ⎣ 1 2 3 4⎦ = N (ξ ,η ) ⋅ δ e
8 ⎧ ⎪u ( x, y ) = ∑ N i ui = N1u1 + N 2u2 + " + N8u8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎨v( x, y ) = ∑ N i vi = N1v1 + N 2 v2 + " + N8v8 i =1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ w( x, y ) = ∑ N i wi = N1w1 + N 2 w2 + " + N8 w8 i =1 ⎩