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大一上学期高数期末考试之巴公井开创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .7. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线xy ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 若当0x →时，arctan x x -与nax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B.13 C. 3- D. 13- 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3()f x x =C. ()e e xxf x -=+ D. 1,10()0,01x f x x -≤≤⎧=⎨<≤⎩3. 如果()e ,xf x -=则(ln )d f x x x'=⎰ ( )B A. 1C x -+ B. 1C x+ C. ln x C -+ D. ln x C + 4.曲线y x=渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()()]d aa f x g x x -''''+=⎰( ) DA. ()()f a g a ''+B. ()()f a g a ''-C. 2()f a 'D. 2()g a '二． 填空题：（每小题3分，共15分）1. 要使函数2232()4x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = .142. 曲线2e x y -=在区间 上是凸的.(,22-序号3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+4. 曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5.定积分11(cos x x x -+=⎰ .π2三．解下列各题：（每小题10分，共40分）1．求下列极限（1）22011lim .ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦. 解：原式=2240ln(1)lim x x x x→-+ …………..2分 2302211lim.42x xx x x →-+== ………….3分 （2）()22220e d lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰.解：原式= ()222202e d e limext x x x t x --→⋅⎰………….3分 22000e d e =2lim2lim 2.1x t xx x t x--→→==⎰ …………..2分2. 求曲线0πtan d (0)4x y t t x =≤≤⎰的弧长.解：s x x == …………..5分ππ440sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+⎰ ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++⎰求()d .f x x ⎰解：1(),1e xf x -=+ …………..4分 1e ()d d d 1e 1e xx xf x x x x ---=-=++⎰⎰⎰ …………..3分 ln(1e ).x C -=++ …………..3分4. 已知2lim e d ,xc x x x c x x x c -∞→+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰求常数.c 解：2lim e ,xc x x c x c →+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭………….4分 221e d (24cxc c x x -∞=-⎰ …………. 4分 5.2c = …………. 2分四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >且1()()d d ,()xba xF x f t t t f t =-⎰⎰求证： （1）[,],()2;x a b F x '∀∈≥（2）()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.证明：（1）1()()2,()F x f x f x '=+≥= ……3分 （2）()F x 在[,]a b 上连续 ……1分11()()d d d 0,()()a bb aaa F a f t t t t f t f t =-=-<⎰⎰⎰ ……2分1()()d d ()d 0,()b bb aba Fb f t t t f t t f t =-=>⎰⎰⎰ ……2分由零点定理，()F x 在(,)a b 内至少有一个零点. ……1分 又()F x 在[,]a b 上严格单调增，从而()F x 在(,)a b 内恰有一个零点.……1分2. 设直线(01)y ax a =<<与抛物线2y x =所围成图形的面积为1,S 它们与直线1x =围成图形的面积为2.S（1）确定a 的值，使12S S S =+取得最小值，并求此最小值; （2）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：22(0,0),(,)y ax a a y x=⎧⇒⎨=⎩ ……..2分 1220()d ()d a aS ax x x x ax x =-+-⎰⎰31,323a a =-+21()0,22S a a a '=-=⇒=唯一驻点()20,S a a ''=>最小值2(.26S = ……..4分1222222π[()()]d π[()()]d 22x V x x x x x x =-+-1π.30+=……..4分 3. 设()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0,f f ==证明：存在(0,1),ξ∈使得()()0.f f ξξξ'''+=证明：令()(),F x xf x '=则()F x 在[0,1]上可微， ……..3分(0)(1)0,f f ==()f x 在[0,1]上可微，由罗尔定理存在(0,1),η∈使()=0f η'……..3分(0)()0,F F η==由罗尔定理存在(0,)(0,1),ξη∈⊂使()=0F ξ' ()()()，F x f x xf x ''''=+(0,1),()()=0.f f ξξξξ'''∴∈+ ……..4分。
.《高数》试卷 1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3分，共 30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） .（A ） f xln x 2 和 g x2ln x（ B ） f x| x | 和 g xx 2（C ） f xx2（ D ） f x| x | 和 g x和 g xx1xsin x 4 2x 02．函数 fxln 1 x在 x 0 处连续，则 a（） .ax 0（A ） 0（B ）1（ C ）1（D ）243．曲线 y xln x 的平行于直线 xy 1 0 的切线方程为（） .（A ） y x 1 （ B ） y(x 1)（ C ） yln x 1 x 1（D ） y x4．设函数f x| x |，则函数在点 x 0 处（） .（A ）连续且可导（ B ）连续且可微（ C ）连续不可导 （ D ）不连续不可微5．点 x 0 是函数 yx 4 的（） .（A ）驻点但非极值点 （ B ）拐点（C ）驻点且是拐点（ D ）驻点且是极值点6．曲线 y1 的渐近线情况是（ ） .| x |（A ）只有水平渐近线 （ B ）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线7．f1 1dx 的结果是（）.x x 2（A ） f1 C（ B ）1 C （ C ） f1 C1 Cxfx（ D ） fxx8．dx 的结果是（） .xe xe（A ） arctan e x C（ B ） arctan e xC（ C ） e xe x C（ D ） ln( e x e x ) C9．下列定积分为零的是（） ..（A ）4arctanxdx （ B ） 4x arcsin x dx （ C ） 1 e xe x 1 21x 2 12dx （ D ）x x sin x dx44 110．设 f x12x dx 等于（） .为连续函数，则 f（A ） f 2f 0（B ）1f 11f 0（C ）1f 2f 0 （ D ） f 1 f 022二．填空题（每题4 分，共 20 分）1．设函数 fxe 2x 1 x在 x 0 处连续，则 a.xa x2．已知曲线 yf x 在 x2 处的切线的倾斜角为5 ，则f 2.6x3． y的垂直渐近线有条 .2x 14． dx.ln 2 xx 15． 2 x 4 sin xcosx dx.2三．计算（每小题 5 分，共 30 分）1．求极限1 x2 xxsin x①limx②limx 21xx 0x e2．求曲线 y ln x y 所确定的隐函数的导数y x .3．求不定积分①dx ②dx a③xe x dxx 1 x 3x 2 a 2四．应用题（每题 10 分，共 20 分）1． 作出函数 yx 3 3x 2 的图像 .y 22x y x 4.《高数》试卷 1 参考答案一．选择题1．B2．B3．A4．C5．D6．C7．D8．A9．A10．C 二．填空题1． 22．3 ２４． arctanln x c５．２３．3三．计算题１① e 2② 12. y x16x y 13. ① 1 ln |x 1| C ② ln | x 2a 2x | C③ e x x 1 C2x 3四．应用题１．略２．S 18《高数》试卷2（上）一. 选择题 ( 将答案代号填入括号内,每题 3分,共 30分)1. 下列各组函数中, 是相同函数的是 ().(A)f x x 和 g x x2(B)f x x21和 y x1x1(C)f x x 和 g x x(sin 2 x cos2 x)(D)f x ln x2和 g x2ln xsin 2x 1x1x12. 设函数f x2x1，则 lim f x（） .x2x 1 1x1(A)0(B) 1(C)2(D)不存在3. 设函数y f x在点 x0处可导，且f x>0,曲线则 y f x在点x0 , f x0处的切线的倾斜角为 {}.(A)0(B)2(C)锐角(D)钝角4. 曲线y ln x 上某点的切线平行于直线y2x3,则该点坐标是().(A)2,ln 1(B)2,1(C)1(D)1ln 2 2ln,ln 2,2225. 函数y x2e x及图象在1,2内是 ().(A) 单调减少且是凸的(B)单调增加且是凸的(C)单调减少且是凹的(D) 单调增加且是凹的6. 以下结论正确的是 ().(A)若 x0为函数y f x的驻点 , 则x0必为函数y f x的极值点 .(B)函数 y f x导数不存在的点 , 一定不是函数y f x 的极值点.(C)若函数 y f x在 x0处取得极值,且f x0存在 , 则必有f x0=0.(D)若函数 y f x在 x0处连续,则f x0一定存在 .17. 设函数y f x的一个原函数为x2e x,则f x =().1111(A)2x 1 e x(B)2x e x(C)2x 1 e x(D)2xe x8. 若f x dx F x c ,则sin xf cosx dx().(A) F sin x c(B) F sin x c (C)F cosx c(D)F cos x c9.设 F x为连续函数 , 则1x dx =(). f02(A) f1f0(B) 2 f1f0(C)2f2f0(D)1f0 2 f2ba b 在几何上的表示(10. 定积分dx).a(A) 线段长b a (B)线段长 a b (C)矩形面积a b 1 (D)矩形面积 b a1二. 填空题 (每题 4 分,共 20分)ln1x2x0 ,1.设 f x1cos x在 x0 连续,则a=________.a x02.设 y sin2x ,则 dy _________________d sin x.3.函数 yx1 的水平和垂直渐近线共有_______条 . x2 14.不定积分x ln xdx______________________.5.定积分1x2 sin x1___________. 11x2dx三. 计算题 ( 每小题5分,共 30分)1.求下列极限 :①lim 1 2xx0 1arctanx x② lim2x1x2. 求由方程y 1 xe y所确定的隐函数的导数y x.3.求下列不定积分 :①tan x sec3xdx②dxa 0③x2e x dx x2a2四.应用题 (每题 10分, 共 20 分)1. 作出函数y 1 x3x 的图象.(要求列出表格)3.2. 计算由两条抛物线：y2x, y x2所围成的图形的面积.《高数》试卷 2 参考答案一.选择题： CDCDB CADDD二填空题： 1. － 2 2.2sin x 3.3 4.1x2 ln x 1 x2c 5. 242三. 计算题： 1.① e2② 1 2.y x e y2y3.① sec3 x c② ln x2a2x c③x22x 2 e x c3四. 应用题： 1.略 2.S13《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题 3分, 共24分)1. 函数y1的定义域为 ________________________.9x2.设函数sin 4x0 则当 a 时 在处连续2. fxx , x,, f x x 0.=_________a,x3. 函数 f ( x)x 2 1的无穷型间断点为 ________________.x 23x24. 设 f ( x) 可导 , yf (e x ) , 则 y ____________.5.limx 2 1_________________.2x 2x 5x6. 1 x 3 sin 2 xdx =______________.1x 4x 2 17. d x 2e tdt _______________________.dx 08. yyy 30 是_______阶微分方程 .二、 求下列极限 ( 每小题 5 分,共 15分)x1x 31 x1.lim e ;2.lim ; 3.lim 1.sin xx 2 9 2xx 0x 3x三、求下列导数或微分 ( 每小题 5 分 , 共 15分) 1. yx x , 求 y (0) .2.ye cos x , 求 dy .2 求 dy.3. 设 xy e x y ,dx四、求下列积分 ( 每小题 5 分, 共 15 分)1. 1 2sin x dx .2.x ln(1x)dx .x3. 1e 2 xdx五、 (8 分) 求曲线xtcost 在 t 2处的切线与法线方程 .y1六、 (8 分) 求由曲线 yx 2 1, 直线 y0, x 0 和 x1 所围成的平面图形的面积 , 以及此图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 .七、 (8 分) 求微分方程 y6 y 13 y 0的通解 ..八、 (7 分) 求微分方程 yye x 满足初始条件 y 10 的特解 .x《高数》试卷 3 参考答案一． 1． x 3 2. a 43. x 24.e xf '(e x )5.16.07.2 xe x28. 二阶2二 .1. 原式 =limx 1x 0x2. lim11 x 3 x3 63. 原式 =lim[(11 1)2 x] 2 ex2x三.1.y ' 2 2 , y'(0)1( x 22)122.dysin xe cos x dx3. 两边对 x 求写： yxy ' e x y (1 y ')y 'e x yy xy yxe x yxxy四.1. 原式 =lim x2cos x C2. 原式 ===2x 2lim(1x)d ( x)lim(1 x) 1 x 2d [lim(1 x)] 22 x 21 x x2 11xx) dx x) 1 lim(12lim(1 ( x )dx 21 x2 2 1 x x 2x)1 x2 x lim(1 x)] Clim(1[ 2223.原式 =1 e 2x d (2 x)e2x 0 1 ( e 1)1112222五.dy sin tdy t 1 且 t, y 1dxdx 22 切线： y1 x2 ,即 y x 12法线： y1 ( x),即 y x 122六.12 1)dx (1x2x)13 S(x22V1 1)2dx1 2x21)dx(x2( x 4x 522128(xx) 0155 3七. 特征方程 :r 2 6r 13 0 r3 2iy e 3x (C 1 cos2x C 2 sin 2x)八. y e1dx1dxx( e x e xdx C )1 [( x 1)e x C] x由 y x1 0, C 0x 1 x ye x《高数》试卷 4（上）一、选择题（每小题 3 分）1、函数 y ln(1 x)x 2 的定义域是（） .A2,1 B2,1C 2,1 D2,12、极限 lim e x 的值是（）.xA 、B、C 、 D、 不存在3、 limsin(x1) （） .x 11 x 211A 、 1B 、 0C、2D 、24、曲线 yx 3x 2 在点 (1,0) 处的切线方程是（）A 、 y2(x 1)B、 y 4( x 1)C 、 y 4x 1D、 y 3( x 1)5、下列各微分式正确的是（） .A 、 xdx d ( x 2 )B 、 cos 2xdx d(sin 2x)C 、 dx d(5x)D、 d ( x 2 ) (dx )26、设f (x)dx 2 cosxC ，则 f ( x)（） .2xB、sin xC、xC D、xA、sin2sin 2 sin222 7、2ln x dx（） .xA、212x CB、1x2Cln(2x22ln )21ln xC、ln 2ln x CD、Cx 28、曲线y x2， x1， y0所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积V （） .A、1B1 x4 dx、ydy 0011C、(1 y)dyD、(1 x 4 )dx009、1 e xx dx（） .0 1e1eB、ln2eC1eD12eA、ln2、ln3、ln2210、微分方程y y y2e2 x的一个特解为（） .A、y 3 e2 x B 、y 3 e x C 、y 2 xe2 x D 、y 2 e2 x7777二、填空题（每小题 4 分）1、设函数y xe x，则y；2、如果lim 3sin mx2,则 m.x 02x313、x3cos xdx；14、微分方程y 4 y 4 y0 的通解是.5 、函数f ( x)x 2x在区间 0,4上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题 5 分）、求极限lim 1 x1 x ；2、求 y 1cot2 x ln sin x的导数；1x2 x 03、求函数x 3 1 4、求不定积分dx ；y3的微分；1x 1x15、求定积分e ln x dx ；6dyx1、解方程 ；edxy 1 x 2四、应用题（每小题 10 分）1、 求抛物线 yx 2 与 y 2 x 2 所围成的平面图形的面积 .2、 利用导数作出函数 y 3x 2 x 3 的图象 .参考答案一、1、C ； 2 、D ； 3 、C ； 4 、B ； 5 、C ； 6 、B ； 7 、B ； 8 、A ； 9 、A ； 10、D ；二、 1、 ( x 2)e x； 2、4；3、0； 4、 y(C 1 C 2 x)e 2 x ； 5 、 8，09三、1、 1 ； 2、 cot 3 x ； 3 、6x 2 dx ； 4 、2 x 1 2 ln(1 x 1) C ；(x 3 1) 25、 2(21) ；6 、 y 22 1 x 2C；e四、1、 8；32、图略《高数》试卷 5（上）一、选择题（每小题3 分）1、函数 y1的定义域是（）.2 x1)lg( xA 、 2,10,B 、1,0 (0, )C、(1,0)(0,)D、 (1, )2、下列各式中，极限存在的是（） .A、lim cosxB、 lim arctan xC、 lim sin xD、lim 2xx 0x x x 3、lim (x) x（） .x 1 xA 、e B、e2C、 1D、1 e4、曲线y xln x 的平行于直线x y 1 0的切线方程是（） .A、y xB、 y(ln x1)( x1)C、y x1D、 y(x1)5、已知y x sin 3x，则 dy（） .A、( cos3x3sin 3x)dxB、 (sin 3x3x cos3x)dxC、(cos3x sin 3x)dxD、 (sin 3x x cos3x) dx6、下列等式成立的是（） .A、C、x dx1x 1CB、a x dx a x ln x C11 cosxdx sin x C D、 tan xdx Cx217、计算e sin x sin xcos xdx的结果中正确的是（） .A、e sin x CB、e sin x cosx CC、e sin x sin x CD、 e sin x (sin x 1) C8、曲线y x2， x1， y 0 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积V（）.1x4 dx1ydyA、B、001(1 y)dy D1C、、(1 x 4 )dx00aa2x2 dx （9、设a﹥0，则） .A、a2B、 a2 C 、1a20 D 、1a2244 10、方程（）是一阶线性微分方程 ..A、x2y ln y0B、 y e x y 0 xC、(1x2 ) y ysin y 0D、 xy dx ( y 26x) dy 0二、填空题（每小题 4 分）1、设f (x)e x1, x0，则有 lim f (x)，lim f ( x)；ax b, x0x 0x 02、设y xe x，则y；3、函数f ( x)ln(1 x 2 ) 在区间1,2 的最大值是，最小值是；14、x3cos xdx；15、微分方程y 3 y 2 y0的通解是.三、计算题（每小题 5 分）1、求极限lim (11 x 23) ；x 1x x2 2、求y 1 x2 arccosx 的导数；3、求函数yx的微分；1x24、求不定积分1；dxx 2ln x5、求定积分eln x dx ；1e6x2 y xy y满足初始条件y(1) 4的特解 .、求方程2.四、应用题（每小题10 分）1、求由曲线y 2 x2和直线x y 0 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数y x 36x 29x 4的图象.参考答案（ B 卷）一、1、B； 2 、A；3、D；4、C；5、B；6、C；7、D；8、A；9、D；10、B.二、 1、 2 ， b ；2、( x2)e x；3、ln 5 ， 0 ；4、 0 ；5、C1e x C 2e2x.三、1、1； 2 、x arccos x 1 ； 3 、1dx ；3 1 x2(1 x2 ) 1 x24、2 2ln x C ；5、 2(21) ； 6 、y 2 e e x四、 1、9 ； 2 、图略21x；2单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。
目 录第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39模拟试题参考解答 46第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57第一部分 常考题型与相关知识提要题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：1）0, 1lim 1, 1, 1,1n n q q q q q →∞⎧<⎪==⎨⎪>=-⎩发散， 2）1,(0)n a =>，1n =3） 000,lim,.,.n n nm x m mn m a x a a n m b x b b n m →∞⎧<⎪++⎪==⎨++⎪⎪∞>⎩L L (2) 重要极限1）()0sin ()lim1()x x x ααα→= 2）e x x x =∂+∂→∂)(1)()](1[lim (３) 常见的等价无穷小()sin ()()arcsin ()().x x tg x x arctg x ααααα:::: 2()()1(),ln(1())(),1cos ()2x x ex x x x αααααα++-:::，()1()ln x a x a αα-:，()1x nα:其中)(()0x α→指对于任何极限过程 (４)x →+∞时，无穷大量log (1),(0),(1)xa x a x a a μμ>>>的级别依次从小到大排列.求极限的方法:方法1、运用四则运算法则运用四则运算法则求极限时要注意运算条件：1）所有极限存在.2）分母极限不为０；3）有限成立. 方法2、运用连续函数性质：如00lim ()()x x f x f x →，则0lim [()][lim ()].x x x x f g x f g x →→= 方法3、运用定理：有界量乘无穷小量仍是无穷小量 方法4、运用两边夹法则()()(),lim ()lim (),lim ()g x f x h x g x h x A f x A ≤≤===且则方法5 利用左右极限方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素 方法7、利用重要极限 方法8、用等价无穷小替换要注意使用条件：只能代换极限式的分子或分母中的因子，而不能代换“项”. 方法9、用罗比塔法则 要注意条件：（1）、必须是标准型未定式 （2）、必须极限存在 技巧：使用前先用下列方法化简（1）、使用变量代换（2）、使用无穷小代换 （3）、先将能定形的极限算出01-08年相关考题较基本的极限： 1．01lim sinx x x→=（01、一（1）、3） 2．3321lim 1x x x x →∞-++= . （05、一（1）、3）3．若0s 2lim 23x inax x →=,则a = . （02、一（1）、3） 4．sin x 3lim ,x 0sin 5x 4a =→则a = . （04、一（2）、3） 5．数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=______（03、一（1）、3）6、在0x 的某去心邻域无界是0lim ()x x f x →=∞的_______条件. （03、一（2）、3）7.计算3113lim()11x x x →---.（07.二.1.68.2.(1)(23)lim 6n kn n n→∞+-=则k = .（08一 、1、3） 可用罗比塔法则或等价无穷小替换法计算的极限： 9求240ln(13)limln(3)x x x →++（01、二(2)、5） 10求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+（03、二（1）、5）1102lim 1cos x x x e e x-→+--（03、二（2）、5） 1∞型的极限12.21lim()xx x x→∞+= （05、一（2）、3） 13．极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x （06、一（2）、3） 14．函数n x nf (x)=lim ()n n 2+=→∞- （04、一（3）、3） 15.22lim()kxx x e x→∞-=,则 k = 16.1lim(1-sin 2)x x x →= . （08一 、2、3）含有积分号的极限： 17．02sin lim x x tdt x→⎰.（02、二（1）、5）18．求极限2arctan limx dt t t xx ⎰+∞→.（06、二（1）、6）19．计算极限：x 2lim x (arctan t ⎰）（04、二（1）、6） 20计算极限(22220limxt xx t e dtte dt→⎰⎰.（05、二（1）、6）21.已知()f x 连续，求lim().xx a ax f t dt x a →-⎰（08二、2 、7）题型二 求导数的题型相关知识点提要求导数方法： 1）用定义2）用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.求导时要注意下列事项:(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;(2)[()]f g x '表示()()t g x f t ='; (3) 幂指函数()()g x f x 要取对数才能求导;(4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:22()()dy d dydx d d y dx dt dx dx dxdt==(5)给定点导数应先求导再代值.(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数中不得含有求导对象后再用求导公式. 01-08年相关考题求显函数的导数:1)arcsin(ln x x y =,求y '.（01、二（2）、5） 2．21sin xy e-=，求y '.（05、二（2）、6）3．)()(x f xee f y =，其中)(x f 可导，求dxdy.（02、二（2）、5 ４.arctan cot x arc x += . （08一 、4、3）求隐函数的导数:5.求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '. （01、二（3）、5）6.设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .（05、二（3）、6） 7.函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy .（06、二（3）、6）8设函数()y f x =由方程0xyxy e e-+=确定，求dy .（07.二.3.6）求参数方程的导数92x ln(1t y arctan t⎧=+⎨=⎩，求dy dx 和22d y dx （04、二（3）、6）10求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx y d dx dy （06、二、2） 11. 设221x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dxyd dx dy .（08二、1 、7） 积分上限求导 12.设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd （02、一（3）、3） 13．设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''（04、二（8）、6）14.设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n nF x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=（07.五4）15设3ln x t x y e dt =⎰，求dydx .（07.二2，6）16.设()y x 由方程2201yt e dt x y +=⎰所确定，则'y = . （08一 、7、3）求微分17．ln (),()y f x f x ''=存在, 求y ''（03、二（3）、5）18.2dx = dx （01、一（2）、3） 19.设xyxy e e =0-+，求dy （04、二（2）、6） 20.设xxy cos =，（0x >），求dy .（02、二（3）、5）21设(sin )y f x =，f 可导，则dy = （07、一3.3）题型三 关于连续与可导概念的题型相关知识点提要⇔⇒可导可微连续左右极限存在的间断点为第一类间断点, 左右极限相等的间断点为可去间断点. 左右极限存在但不相等的点为跳跃间断点，左右极限至少有一者不存在的间断点为第二类间断点01-08年相关考题 函数的连续性:1.函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续. （02、一（2）、5）2．0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = （05、一（3）、3）3．x 1=是函数1x-1f (x)=e 的第 类间断点（04、一（4）、3）.4.使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 .（06、一（1）、3） 5．0x =是1()sin f x x xα=的可去间断点,则常数α的取值围是_____（03、一（3））6.点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点（07.一．2）7. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 . （08一 、3、3）函数的可导性:8．设2, 1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？（05、三、8）9、设2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧ < ⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求,a b .（03、三、5）10．讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.（03、一（4）、8）11.函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 （01、一（8）、3）（03、一（5））12、已知()f x 连续，10.()()(),limx f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数），求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性. （08五 、6）13.)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h .（ 06、一（3）、3）14.()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy 之间的关系是题型四 求函数的单调区间、凸凹区间与拐点的题型相关知识点提要由()()0f x f x ''=或不存在得到分界点将()f x 的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用()f x '的符号即可判别()f x 的单调性,从而得到函数的单调区间;由()()0f x f x ''''=或不存在得到分界点将()f x 的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用()f x ''的符号即可判别()f x 的凸凹性,从而得到函数的凸凹区间; 凸凹区间的分界点即为拐点. 01-07年相关考题单调区间的考题 1．函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-单调 . （ 04、一（5）、3） 2．函数()()820f x x x x=+>的单调增加区间为 . （ 05、一（5）、3）凸凹区间与拐点的考题:3.当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点. （ 02、一（5）、3） 4．曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的，拐点是 .（ 04、一（6）、3） 5.曲线xxe y -=的拐点是______（ 06、一（5）、3）6．曲线3129223-+-x x x 的拐点为 （ 05、一（6）、3）7.设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（ 03、四、8）8.曲线y =的拐点坐标是 （07、一、5、3）题型五 求极值与最值的题型相关知识点提要1)对一元函数由()()0f x f x ''=或不存在得到”可疑点”,再用判别法一或判别法二(对驻点) 即可判别点是否为极值点;2) 对一元函数由()()0f x f x ''=或不存在得到”可疑点”,将其值与端点处的值比较即可得到闭区间上的最值. 01-08年相关考题 1.可导函数()fx 在点0x 处取得极值的必要条件是__________.（ 03、一（6）、3）2.7186223+--=x x x y 的极值. （ 06、二（4）、6）3.2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . （ 02、一（10）、3） 4.讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值. （ 01、七、6） 5．求函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值（ 05、二（4）、6） 6．求32()23f x x x =-的极值.（07、二、6）7.求函数2y x =-. （08三、1 、7）题型六 求（不）定积分的计算的题型相关知识点提要1)主要方法:直接积分法与换元法(特别式三角代换和根式代换)和分部积分法.2)记住16个积分公式及下列补充公式:221dx x a -⎰1ln 2x a c a x a -=++,⎰+dx a x 221c ax arctg a +=1 ⎰-dx x a 221c a x +=arcsin ,⎰±dx a x 221c a x x +-±=)ln(22⎰tgxdx c x +-=cos ln , ⎰ctgxdx c x +=sin ln⎰xdx sec c tgx x ++=sec ln ,⎰xdx csc ln csc x ctgx c =-+3)掌握下列常见凑微分的式子:21() ()()2adx d ax b ax b dx d ax bx c =++=++211ln , dx d x dx d x x x ==- 11()()(1)m m ax b dx d ax b a m ++=++ 1sin cos cos sin ax b ax b e dx de xdx d x dx d x a++==-=21sin cos sin arcsin arccos 2x x d x d x d x ===-darcctgx darctgx dx x dx-==+21 x d x dx 2= 2222a x d dx a x x±=±)ln(2222a x x d a x dx ±±=± dtgx xdx =2sec4) 掌握奇偶函数的积分方法10 ()()2() ()02() ()0f x a a f x dx f x dx f x a af x dx f x ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨-⎪⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰若为奇函数若为偶函数若为非奇非偶函数 其中12()()()f x f x f x =+ 1()f x 为偶函数，2()f x 为奇函数5) 掌握形如sin 20ndx π⎰的积分方法（1）21sin 02cos 02--===⎰⎰n n n n I nn dx xdx I ππ（2）sin2sin 2(cos 2sin )2000nnnn nxdx xdx I xdx xdx ππππ==≠⎰⎰⎰⎰）(3)22004sin 4,sin 0,n nn xdx I n xdx n ππ⎧⎪==⎨⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数6)掌握分段函数的积分法:逐段积分后再相加.01-08年相关考题可以直接计算或用凑微分方法求解的积分1.求= （ 01、一（4）、3） 2.求⎰++dx x x 1322（ 01、二（4）、5）3.求2ln x x e dx +⎰（ 02、二（4）、5） 5.求⎰-xedx 132 （ 01、三（2）、5） 6．求⎰dx e e x x )sin( （02、三（1）、5） 7．求（02、三（2）、5）8.计算定积分21e ⎰（ 06、二（6）、6） 9.求x1dx 1-e ⎰ （ 04、二（4）、6） 10．计算⎰-+dx e e x x 1（ 05、二（5）、6）11．计算⎰-221xx dx （ 02、三（3）、5）12．计算不定积分11cos dx x +⎰（07、二、5、6）可以用换元法求解的积分 13．⎰1dx ex（ 05、二（6）、6）14. 20I x =⎰（ 04、二（6）、6）15.⎰（ 01、二（5）、5） 16．计算41⎰.（07、二、6、6）17.x ⎰. （08三、2 、7）可以用分部积分法求解的积分:18. 2dx x sin x ⎰（ 04、二（5）、6） 19． 10arctan x xdx ⎰（ 02、三（4）、5） 20. 2tan x xdx ⎰（ 02、二（5）、5） 21. xdx x cos 2⎰（ 06、二（5）、6）22.12arcsin xdx ⎰. （08三、3 、7）奇偶函数的积分23.设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则()aaf x dx -=⎰（ 01、一（3）、3）24．设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰=（04、一（7））25．532425sin _________21x xdx x x -=++⎰.（ 05、一（7）、3）26.用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx x x x .（ 06、一（6）、3） 27.⎰=--dx x x 221211arcsin . （ 02、一（7）、3）28.dx x ⎰--)1(11 （ 01、三（1）、5） 29.求11(1sin x -+⎰（02、二、（6）、5）30．21(1)x x dx -+⎰（07.二、7、6）31.-((0aax dx a >⎰为常数）= . （08一 、6、3）与积分概念有关的积分32.使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 . （ 03、一（7）、3）33.设cos x 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = （ 02、一（6）、3） 34.设物体以速度()vt 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是__（ 03、一（8）、3）35.设2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（03、三）、3）36．定积分=⎰（07、一、4、3）37．设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=（07、一、6、3）38. 已知()f x 的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰. （08一 、5、3）题型七 求广义积分的题型相关知识点提要与正常积分的计算方法类似,但要注意到中间有瑕点时要在瑕点处分开计算. 01-08年相关考题 1．⎰+∞+0211dx x = . （ 05、一（8）、3） 2．当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛. （ 04、一（8）、3）3.计算反常积分x xe dx +∞-⎰=__________________.（ 06、一（7）、3）题型八 级数敛散性的判别的题型相关知识点提要常数项级数敛散性的判别方法是利用下列常见的级数的敛散性及判别程序进行判别.常见的级数的敛散性：等比级数 11111n n a q qaq q ∞-=⎧<⎪-=⎨⎪≥⎩∑发散p -级数()11101p n p p p n ∞=>⎧=>⎨≤⎩∑收敛发散调和级数∑∞=+++++=11312111n n n ΛΛ是发散的.级数收敛的判敛程序：是=1nu∑=1n nu发散∑=1n nu绝对收敛∑=1n nu发散其中：1）、正项级数∑∞=1n nu的判敛程序：=1n n=1n n=1n n其中特别要优先使用等价无穷小判别法：如1,0,0,n n n n nn x y x y x∞=>>∑:则的敛散性与1nn y∞=∑的敛散性一样.2）、交错级数判敛法莱氏准则： 若交错级数满足条件0lim =∞→n n u ，1+≥n n u u (n = 1,2,…),则级数收敛，且和1u S ≤，余项n r 的绝对值1+≤n n u r . 01-08年相关考题： 1、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性（ 01、三（3）、5）2、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散.（ 02、一（9）、3） 3、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________（ 06、一（10）、3） 4、判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性. （ 02、六、5）5、当a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛.( 05、一（10）、3）（08、一、8、3） 6、正项级数211n n n ∞=+∑的敛散性为 （ 07、一、9） 解答： 1、[解]：321,nQ:故∑∞=+1311n n 收敛. 2、[解]：≤1. 3、[解]：发散.4、[解]：用比值法 10)1()1(lim lim221<=++=∞→+∞→n n n U U n nn n ,故原级数收敛. 5、[解]：1a >. 6、[解]：收敛.题型九 求幂级数的收敛域与和的题型相关知识点提要1）、幂级数的收敛域的求法先求收敛半径：敛区间的区别.2）、幂级数的和先在收敛域通过逐项求导或逐项积分将幂级数化为常见函数展开式的形式，从而得到新级数的和函数，再对于得到的和函数作逆运算，即得原幂级数的和函数，收敛区间不变，但要注意端点处的收敛性可能会发生变化． 需记住的基本展开式：2) ()∞∞-=++++=∑∞=,nx x x x e n nx032321!!!Λ；01-08年相关考题： 1、已知级数1nn uS ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 （ 01、一（6）、3）（08、一、8）2、幂级数nn ∞=的收敛区间为 （ 07、一、10）3、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间（ 01、三（4）、5）4、求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数. （ 01、四、7）5、求幂级数∑∞=----1121121n n n n x )(的收敛域,并求和函数. （ 05、四、8） 6、设幂级数ΛΛ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域. （ 02、七、8）7、求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. （ 06、三、8）8、设幂级数为1!0n nx n n ∞+∑=，求（1）收敛半径R 及收敛区间；（2）和函数()S x .（08、七、8）9、利用xe 幂级数的展开式：(1)、写出e 的无穷级数展开式；(2)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和. （ 07、四、9）10.已知,(,)!0n x x e x n n ∞=∈-∞+∞∑=，则ln33x x e == . （08、一、7） 本题型解答：1、[解]：2S .2、[解]：(0,2) .3、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+Q ，收敛区间为11(,)22-. 4、[解]：令2111222111()(1),()(1)211n n n n n n x S x S x x n x -∞∞---=='=-=-=-+∑∑， 21()arctan 1xS x dx x x ∴==+⎰，收敛区间为（-1，1）. 5、[解]：设2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑， 则 ∑∞=---'-='1121121n n n n x x s )()()(=∑∞=---12211n n n x )( 246221111()1x x x x x=-+-==--+L ， (1,1)x ∈-. 故dx x s x s x⎰'=0)()(=dx x x⎰+0211=arctan x .当1±=x 原级数为收敛的交错级数，收敛域为],[11-.6、[解]：1）一般项为121n a n =-； 2）121limlim 12(1)1n n n na n a n ρ+→∞→∞-===+-，收敛半径11==ρR ,当1x =时，幂级数为1121n n ∞=-∑发散,1x =-时，幂级数为1121n n ∞=--∑发散,故收敛域为（-1，1）. 7、[解]：由级数xx n n n +=-∑∞=--11)1(111两端积分得: )1ln(11)1(101x dx x n x n x n n +=+=-∑⎰∞=- 为所求的和函数. 收敛区间为(-1,1)，1-=x 时,原级数为∑∞=-11n n,发散, 1=x 时,原级数为111(1)!n n n ∞-=-∑收敛,故收敛域为(]1,1-， 8、[解]：（1）0!n xn x e n ∞==∑，所以：01!n e n ∞==∑；（2）2012101111122!(1)!(2)!(1)!!n n n n k n n e n n n n k ∞∞∞∞∞=====-+==+==---∑∑∑∑∑. 题型十 关于向量的代数运算的题型相关知识点提要若{}z y x z y x a ,a ,a k a j a i a a =++=ϖϖϖϖ，{}z y x b ,b ,b b =ϖ，则a ==v .方向余弦222cos zy x xxa a a a aa ++==ϖα， 222cos zy x y yaa a a a a ++==ϖβ，222cos z y x zza a a a aa ++==ϖγ 且1cos cos cos 222=++γβα与向量a ϖ同方向的单位向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++==︒222222222z y x zz y x y zy x x a a a a ,a a a a ,a a a a a a a ϖϖϖ {}γβαcos ,cos ,cos =cos ,a b a b a b ⋅=<>v v vv v v z z y y x x b a b a b a ++= z y x z y x b b b a a a k j i b a ϖϖϖϖϖ=⨯a ϖ与b r 的夹角为a b a b a b ++，00x x y y z z a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔++=v vv v ， //0y x z x y za a a ab a b b b b ⇔⨯=⇔==v v vv v ，其中z y x b ,b ,b 之中有一个为“0”或两个为“0”时，如0=x b 或0==y x b b ， 01-08年相关考题1.设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求AC AB AC AB 23,,- 及C AB A ⋅u u u r u u u r.（ 01、三（5）、5）2.设k j i b k j i a +-=+-=2,53，则a b ⋅=r r（ 02、一（8）、3）3.向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=r r且满足a b ⊥r r ，则数____=λ（ 06、一（8）、3）4．设()3,1,2a =--r ，()1,2,1b =-r ，则(2)3_______a b -⋅=r r（ 05、一（9）、3）5．a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ （04、一（9）、3）6.投影Pr 2,3,b j a b ==r r r则a b ⋅=r r ________________（ 03、一（9）、3）7.a b +r r与a b -r r平行的充要条件是_______________（ 03、一（10）、3）8．设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥r r u r u r r r u r u r r r r r r，则λ= （07.一．7.3）9. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b ==u u v u u v且2a b +u u v u u v 与z 轴垂直，则x = . （08一 、8、3）题型十一 求直线方程与平面(曲面)方程的题型相关知识点提要1） 平面方程及平面与平面的关系（1）点法式方程()()()0000=-+-+-z z C y y B x x A （2）一般式方程 0=+++D Cz By Ax （3）截距式方程 1=++cz b y a x （4）平面间的关系设两平面 011111=+++D z C y B x A :π与022222=+++D z C y B x A :π (a) 11112222//A B C A B C ππ⇔== (b) 21ππ⊥⇔0212121=++C C B B A A (c)1π与1π的夹角arc θ=(d) 点()0000z ,y ,x M 到平面0=+++D Cz By Ax :π的距离 222000CB A DCz By Ax d +++++=2）直线的方程及相互关系 （1）对称式方程pz z n y y m x x 000-=-=-（2）一般式方程 11111222220,()0,()A xB yC zD A x B y C z D ππ+++=⎧⎨+++=⎩平面平面（3）参数式方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000（4）两点式方程121121111z z z z y y y y x x x x --=--=--（5）直线间的关系 设两直线 1111111p z z n y y m x x L -=-=-:与2222222p z z n y y m x x L -=-=-: (a) 11112222//m n p L L m n p ⇔== (b) 21L L ⊥⇔0212121=++p p n n m m (c) 1L 与2L之间的夹角arc θ=.3）空间曲面方程 (1) 旋转曲面的方程将yoz 面上的曲线(,)0f y z =绕y 轴（或z 轴）旋转一周所生成的旋转曲面方程为()022=+±z x ,y f （或()022=+±z ,z x f ）(2) 二次曲面的方程（1）球面 ()()()2202020R z z y y x x =-+-+- 其中()000z ,y ,x 为球心，R 为半径.（2）椭球面 1222222=++cz b y a x (),,0a b c >（3）园柱面 222R y x =+ （4）抛物柱面 220x py -= （5）椭园抛物面 22z px qy =+(),0p q ≠（6）锥面 222z p x y =+（）()0p >4 空间曲线方程(1) 一般式方程 ()()⎩⎨⎧==00z ,y ,x G z ,y ,x F(2) 参数式方程 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x(3) 空间曲线在三坐标面上的投影方程 设空间曲线Γ：()()⎩⎨⎧==0z ,y ,x G z ,y ,x F ， 从该方程组中消去z ，得到一个母线平行于z 轴的柱面方程()0=y ,x H ，将()0=y ,x H 与z = 0联立，即得Γ在xoy 平面上的投影方程 ()⎩⎨⎧==0z y ,x H01-08年相关考题1.过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 （ 01、一（5）、3）2.过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 （ 04、一（10）、3）3.写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点. （ 01、二（8）、6）4.过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_（ 06、一（9）、3） 5.求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程. （ 01、五、7）6.一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程. （ 02、五、9）7.求过点(0,2,4)且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行的直线方程. （ 04、二（7）、6） 8.求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程. （ 03、二（7）、5）9.求到220xy z ++=的距离为1的动点轨迹. （ 03、二（8）、5）10、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. （07、二、8、6）11经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 . （08一 、9、3） 12、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 （07、一、8、3）13．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程.（2）求点M 到直线L 的距离. （08四、1 、9）题型十二 证明题题型相关知识点提要1）证明不定式的方法：若00f(x )0x x '>≥≥≥时，f (x)0,且,则f(x)0，若0x x '>≤时，f (x)0,0f(x )0≤且,≤则f(x)02）方程根的存在性与唯一性的证明方法：由零点存在定理或罗尔定理先证明根的存在性，再由单调性证明根的唯一性. 01-08年相关考题证明不等式的题型 1.证明：当1>x 时ex e x>（ 02、八、4）2.证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立. （ 06、二（7）、3）3.设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有)()()(2121x f x f x x f +<+（ 05、六、4）方程根的存在性与唯一性的证明 4.设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根. （ 04、五、5） 5.设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰ 在 (,)a b 有且只有一根.（6分）（ 03、六、6） 6.设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）仅有唯一实根.（06、五、4）第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sinx x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aadx x f )(;4、⎰= nxdx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ;*7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '.3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰ 三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、dx x ⎰--)1(112、⎰-xe dx1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间 5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求AC AB AC AB 23,,-及C AB A ⋅u u u r u u u r.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数.五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积. 七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分）1、若s 2lim 23x inax x →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd . 4、曲线sint cos 2x y t=⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点.6、设cos x 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx xx221211arcsin .8、设k j i b k j i a +-=+-=2,53，则a b ⋅=r r.*9、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散. 10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）1、020sin limx x tdt x→⎰.2、设)()(x f xe ef y =，其中)(x f 可导，求dxdy . 3、设xxy cos =，（0x >），求dy .三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e x x )sin( 2、3、⎰-221xxdx4、1arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）; 2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数ΛΛ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.八、[4分]证明：当1>x 时ex e x>2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、 数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________.2、 ()f x 在0x 的某去心邻域无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件. 3、 0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值围是____________________.4、 ()f x 可导, 0(1)(1)lim12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________.5、 ()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy 之间的关系是________________________.6、 可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、 使公式()()k f x dx k f x dx=⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、 设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、 投影Pr 2,3,bj a b ==r r r则a b ⋅=r r ______________________.10、a b +r r与a b -r r平行的充要条件是________________________.二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+--3、ln (),()y f x fx ''=存在, 求y '' 4、求2ln xxedx+⎰5、求2tan x xdx ⎰6、求11(1sin x -+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程.8、求到220x y z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分）四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为13，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰在(,)a b 有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分）1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x-≠≠则1f[]f (x)= . 2、若sin ax 3lim,x 0sin 5x 4=→则a = .3、函数n x nf (x)=lim ()n 2n +=→∞- .4、x 1=是函数1x-1f (x)=e的第 类间断点.5、函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-单调 .6、曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 . 7、设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰= .8、当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛.9、a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ .10、过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 . 二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限：x2limx (arctan t ⎰）2、设x y xy e e =0-+，求dy3、设2x ln(1t y arctan t⎧=+⎨=⎩），求dy dx 和22d y dx 4、求 x1dx 1-e ⎰ 5、求 2dx x sin x⎰6、计算定积分20I x =⎰ 7、求过点(0,2,4) 且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行直线方程.8、设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''三、（9分）设有位于曲线xy e =的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x 轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.五、（5分）设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、3321lim 1x x x x →∞-++= .2、21lim()x x x x→∞+= .3、0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = .4、曲线x ysin =在点)22,4(π的切线方程为___________________.5、函数()()820f x x x x=+>的单调增加区间为 .6、曲线3129223-+-x x x 的拐点为 .7、532425sin _________21x x dx x x -=++⎰. 8、⎰+∞+0211dx x = . 9、设()3,1,2a =--r ，()1,2,1b =-r ，则_______)(=⋅-b a ρρ32.*10、当_______a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰. 2、21sin xy e-=，求y '.3、设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .4、问函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值. 5、计算⎰-+dx e e xx 1 6、计算⎰1dx e x 7、过点),,(420P 且与两平面2312=-=+z y z x ,垂直的平面方程.三、（8分）设 ⎩⎨⎧>+≤=11 ,2x b ax x x x f ,)(为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？四、（8分）求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域,并求和函数. 五、(8分)由直线y x =及抛物线2y x =围成一个平面图形1．求平面图形的面积A.2．求平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积x V .六、(4分)设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有 )()()(2121x f x f x x f +<+2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 . 2、极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x .3、)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h . 4、线xe y =在点（1，e ）处的切线方程为 .5、线xxey -=的拐点是________________.6、用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx x x x . 7、计算反常积分xxe dx +∞-⎰=__________________. 8、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=r r且满足a b ⊥r r ，则数____=λ.9、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 10、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________. 二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分）1、求极限2arctan limxdtt t xx ⎰+∞→.2、求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx yd dx dy . 3、设函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy .4、7186223+--=x x x y 的极值.5、计算不定积分xdx x cos 2⎰.6、计算定积分21e ⎰7、证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点.三、（8分）求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. 四、（8分）由曲线xy 1=与直线2,==x x y 及x 轴围成一个平面图形，1、求此平面图形的面积A ；2、求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V . 五、（4分）设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、22lim()kxx x e x→∞-=,则 k =2、点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点3、设(sin )y f x =，f 可导，则dy =4、定积分0=⎰5、曲线y =的拐点坐标是6、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰7、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥r r u r u r r r u r u r r r r r r，则λ=8、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为9、正项级数211n n n∞=+∑的敛散性为 10、幂级数nn ∞=的收敛区间为二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、计算极限3113lim()11x x x→---. 2、设3ln x t x y e dt =⎰，求dydx.3、设函数()y f x =由方程0x yxy e e -+=确定，求dy .4、求32()23f x x x =-的极值.5、计算不定积分11cos dx x+⎰.6、计算41ln ⎰. 7、计算21(1)x x dx -+⎰.8、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 三 (9分)、(1)、求曲线3y x =在点(2,8) 处的切线方程；(*2)、求曲线3y x = 与直线2,0x y = =所围成平面图形A 的面积；(*3)、求（2）中的平面图形A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.四 (9分)、利用x e 幂级数的展开式： (2)、写出e 的无穷级数展开式；(3)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和.五（4分）、设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n n F x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=.2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1.2.(1)(23)lim 6n kn n n→∞+-=则k = . ２.10lim(1-sin 2)x x x →= .３. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 . ４.arctan cot x arc x += . ５. 已知()f x的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰ .６.-((0aax dx a >⎰为常数）= .7.设()y x 由方程2201y t e dt x y +=⎰所确定，则'y = .8. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b ==u u v u u v且2a b+u u v u u v 与z 轴垂直，则x = .9.经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 .*10. 设22ln y x u +=，则du = .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设221x t y t⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dx y d dx dy . 2.已知()f x 连续，求lim ().xx aax f t dt x a →-⎰三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数2y x =-.2.x ⎰.3.12arcsin xdx ⎰.*4.设23222.,,xz u v u e v x y ===+求2.,z zx x y∂∂∂∂∂ 四、计算下列各题（每题9分，共18分） 1．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程，（2）求点M 到直线L 的距离.*2.将已知正数a 分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知()f x 连续，10.()()(),limx f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数） 求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性.六、（4分）设()f x 在0,1⎡⎤⎣⎦上可微，且120(1)2().f xf x dx =⎰证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()()0.f f ξξξ+=试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x ; 3. 02()af x dx ⎰; 4.11n n n x n --； 5.12421x y z +-==--； 6.2S ；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、[解]：240ln(13)0lim0ln(3)ln 3x x x →+==+. 2、[解]：1arcsin(ln )arcsin(ln )y x x x x '=+=+ . 3、[解]：sin cos sin()(1)y x y x x y y ''+-++()sin()cos sin()sin cos x y x x y y x y x x y x+-+-'=++.4、[解]：2232arctan 1x dx x x c x +=+++⎰. 5、 [解]：t =，2sin 2cos 2(cos cos )t tdt td t t t tdt ==-=--⎰⎰⎰2(cos sin )t t t c =--=-+.三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：111(1)221x dx xdx --=-=⎰⎰.2、[解]：23332232(1)1ln(1)ln 111x xx x dx d e e e e e e -------=-=--=---⎰⎰. 3、[解]：321,n Q :故∑∞=+1311n n 收敛. 4、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+Q ，收敛区间为11(,)22-. 5、[解]{1,2,2},{2,1,2},32{1,8,10}AB AC AB AC =--=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，4AB AC ⋅=-u u u r u u u r。
高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。
0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。
2.已知 f(x) = { e^x。
x < 1.ln x。
x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。
3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。
1/(2e))，答案为 C。
4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。
+∞) 内发散。
5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。
+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。
三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。
高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。
昆明理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sinx x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aadx x f )(;4、⎰= nxdx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ;*7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0(), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ;二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '.3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰ 三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、dx x ⎰--)1(112、⎰-xedx1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n nn n x 的收敛区间 5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求23,,- 及C AB A ⋅.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x 的收敛区间,并求和函数. 五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积. 七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分） 1、若s 2lim23x inax x →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x b x则=Φdxd . 4、曲线sint cos 2x y t=⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点. 6、设cos x 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx xx221211arcsin .8、设+-=+-=2,53，则a b ⋅= .*9、级数∑∞=+1)1(1n pn 当p 时发散. 10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）1、02sin limx x tdt x→⎰.2、设)()(x f xee f y =，其中)(x f 可导，求dxdy .3、设xxy cos =，（0x >），求dy .三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e x x )sin( 2、3、⎰-221xxdx4、1arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）; 2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数 ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域. 八、[4分]证明：当1>x 时ex e x>2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________.2、()f x 在0x 的某去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件.3、0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值范围是____________________.4、()f x 可导, 0(1)(1)lim12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________.5、()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy之间的关系是________________________.6、可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、投影Pr 2,3,b j a b == 则a b⋅=______________________.10、a b +与a b -平行的充要条件是________________________. 二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+--3、ln (),()y f x fx ''=存在, 求y '' 4、求2ln xxedx+⎰5、求2tan x xdx ⎰6、求11(1sin x -+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程.8、求到220xy z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0axe xf x b x x ⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分）四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为13，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xaF x f t dt F b =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba xf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x-≠≠则1f[]f (x)= .2、若sin ax 3lim ,x 0sin 5x 4=→则a = .3、函数n x nf (x)=lim ()n 2n +=→∞- .4、x 1=是函数1x-1f (x)=e的第 类间断点.5、函数32y 2x 3x 12x 1=+-+在(2,1)-内单调 .6、曲线2y ln(1x )=+在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 .7、设函数f (x)在[a,a]-上连续，g(x)f (x)f (x)=--，则aa g(x)dx -⎰= . 8、当k 时，反常积分akdx x(ln x)⎰收敛.9、a (2,3,1),b (113)c (120)→→→-=-=-=，，，，，，则a b (b c )()→→→→=++ . 10、过点(3,0,-1)且与向量a 3i 7j 5k →→→→=-+垂直的平面方程为 .二、计算下列各题（每题6分，共48分）1、计算极限：x2limx (arctan t ⎰） 2、设x y xy e e =0-+，求dy3、设2x ln(1t y arctan t ⎧=+⎨=⎩），求dy dx 和22d y dx 4、求 x1dx 1-e ⎰ 5、求 2dx xsin x⎰6、计算定积分20I x =⎰ 7、求过点(0,2,4) 且与两平面x 2z 1,y 3z 2+=-=平行直线方程.8、设x 220 F(x)tf(x t )dt -=⎰，求F (x)''三、（9分）设有位于曲线xy e =的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x 轴旋转的旋转体的体积.四、（8分）讨论a,b 为何值时，函数2f (x)ln(a+x ),x>1x b,x 1=⎧⎨+≤⎩在x 1=处可导.五、（5分）设f(x)在区间I 上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷一、填空题(每题3分,共30分)1、3321lim 1x x x x →∞-++= .2、21lim()x x x x→∞+= . 3、0(),0,x e x f x a x x <=+≥⎧⎨⎩，若)(x f 在),(+∞-∞连续，则a = .4、曲线x ysin =在点)22,4(π的切线方程为___________________.5、函数()()820f x x x x =+>的单调增加区间为 .6、曲线3129223-+-x x x 的拐点为 .7、532425sin _________21x x dx x x -=++⎰. 8、⎰+∞+0211dx x = . 9、设()3,1,2a =--，()1,2,1b =-，则_______)(=⋅-b a32.*10、当_______a 时，级数11(0)1nn a a ∞=>+∑收敛. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1、计算极限()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰. 2、21sin xy e-=，求y '.3、设函数)(x f y =由方程y x e xy +=确定，求dxdy .4、问函数()2540y x x x=-<在何处取得最小值. 5、计算⎰-+dx e e xx 1 6、计算⎰1dx e x 7、过点),,(420P 且与两平面2312=-=+z y z x ,垂直的平面方程.三、（8分）设 ⎩⎨⎧>+≤=11 ,2x b ax x x x f ,)(为了使()f x 在1x =连续可导函数，,a b 应取什么值？四、（8分）求幂级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛域,并求和函数. 五、(8分)由直线y x =及抛物线2y x =围成一个平面图形1．求平面图形的面积A.2．求平面图形绕x 轴旋转的旋转体体积x V .六、(4分)设()0,(0)0f x f ''<=，证明：对于任意0021>>x x ,有 )()()(2121x f x f x x f +<+2006级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数xxx f 32sin )(=在0=x 处连续，应补充定义 . 2、极限____________3lim 3=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x x .3、)('0x f 存在，则极限________)()(lim000=--+→hh x f h x f h .4、线xe y =在点（1，e ）处的切线方程为 . 5、线xxey -=的拐点是________________.6、用奇偶性计算定积分_______________11sin 11223=++⎰-dx xx x . 7、计算反常积分x xe dx +∞-⎰=__________________.8、向量(2,1,2),(1,,2),a b λ=-=且满足a b ⊥，则数____=λ.9、过点（4，-1，3）且平行于直线51123+==-z y x 的直线方程是_____________. 10、级数⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn 1232的敛散性为______________. 二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分） 1、求极限2arctan limxdt t t xx ⎰+∞→.2、求由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定的函数)(x y y =的导数22,dx yd dx dy . 3、设函数)(x y y =由方程0333=-+axy y x 确定，求dy . 4、7186223+--=x x x y 的极值. 5、计算不定积分xdx x cos 2⎰.6、计算定积分21e ⎰7、证明：当1>x 时，不等式ex e x>成立. 8、写出直线241312-=-=-z y x 的参数方程并求此直线与平面062=-++z y x 的交点.三、（8分）求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. 四、（8分）由曲线xy 1=与直线2,==x x y 及x 轴围成一个平面图形， 1、求此平面图形的面积A ；2、求此平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积x V . 五、（4分）设函数)(x f 在区间[0，1]上连续，且1)(<x f ，证明1)(20=-⎰dt t f x x在区间（0，1）内仅有唯一实根.2007级高等数学（上）试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1、22lim()kxx x e x→∞-=,则 k =2、点1x =是函数1,13,1x x y x x - ≤⎧=⎨- >⎩的第一类间断点中的 间断点3、设(sin )y f x =，f 可导，则dy = 4、定积分0=⎰5、曲线y =的拐点坐标是6、设sin x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰7、设22,410,,a i j k b i j k c b a c a λ=++ =-+ =- ⊥，则λ= 8、xoz 面上的曲线：2z x =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为9、正项级数211n n n ∞=+∑的敛散性为 10、幂级数nn ∞=的收敛区间为 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、计算极限3113lim()11x x x→---. 2、设3ln x t x y e dt =⎰，求dydx.3、设函数()y f x =由方程0xyxy e e -+=确定，求dy .4、求32()23f x x x =-的极值. 5、计算不定积分11cos dx x +⎰.6、计算41⎰. 7、计算21(1)x x dx -+⎰.8、求过点(1,2,4)P 且与两平面23x y +=，42y z -=平行的直线方程. 三 (9分)、(1)、求曲线3y x =在点(2,8) 处的切线方程；(*2)、求曲线3y x = 与直线2,0x y = =所围成平面图形A 的面积； (*3)、求（2）中的平面图形A 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.四 (9分)、利用x e 幂级数的展开式：(2)、写出e 的无穷级数展开式；(3)、再利用数e 的无穷级数的展开式，求数项级数21!n n n ∞=∑的和.五（4分）、设()f x 可导，(0)0f =，10()(),xn n n F x t f x t dt -=-⎰n 为正整数，证明：20()1lim(0)2n x F x f x n→'=.2008级高等数学（上）试卷一、填空题（每题3分，共30分） 1.2.(1)(23)lim6n kn n n→∞+-=则k = . ２. 1lim(1-sin 2)xx x →= .３. 曲线3y x =上经过点0-2（，）的切线方程为 . ４.arctan cot x arc x += . ５. 已知()f x的一个原函数为ln(x ，则'()xf x dx =⎰ .６.-((0aa x dx a >⎰为常数）= .7.设()y x 由方程2201y t e dt x y +=⎰所确定，则'y = .8. 设向量,(3,5,),(2,1,4)a x b ==且2a b+与z 轴垂直，则x = .9.经过点(0,3,0)且与平面0y =垂直的直线方程是 .*10. 设22ln y x u +=，则du = .二、计算下列各题（每题7分，共14分）1. 设221x t y t⎧⎪⎨⎪⎩==-求22,dx y d dx dy . 2.已知()f x 连续，求lim ().xx a ax f t dt x a →-⎰ 三、计算下列各题（每题7分，共28分）1.求函数2y x =-. 2.x ⎰.3.12arcsin xdx ⎰. *4.设23222.,,xz u v u e v x y ===+求2.,z zx x y∂∂∂∂∂四、计算下列各题（每题9分，共18分） 1．（1）求过点(0,1,1)M -且与直线20,:270y L x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=垂直的平面方程，（2）求点M 到直线L 的距离.*2.将已知正数a 分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小.五、（6分）已知()f x 连续，10.()()(),limx f x x f xt dt A xϕ→==⎰（A 为常数） 求（1）(0),(0)f ϕ;（2）'()x ϕ;（3）讨论'()x ϕ在0x =处的连续性.六、（4分）设()f x 在0,1⎡⎤⎣⎦上可微，且120(1)2().f xf x dx =⎰证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()()0.f f ξξξ+=2009级高等数学（上）期末试题答案一、填空题（每题3分，共30分）1、向量(2,1,2),(1,,2)a b λ=-=满足a b ⊥，则数λ= .2、过点(1,2,3且与两平面1x y z -+=和3232x y z ++=平行的直线方程为 .3、极限11lim sin 3sin 2x x x x x →∞⎛⎫+=⎪⎝⎭ . 4、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,sin 2x A x xx xx f 在0=x 处连续，则=A . 5、已知()32='f ，则极限()()01lim 22x f x f x x →++-=⎡⎤⎣⎦ . 6、曲线x e y =过点()0,0的切线方程为 .7、当a = 时,点1x =为2y x ax =-+的极值点. 8、积分0=⎰.9、积分21212sin 1x xdx x -+=+⎰ . 10、已知级数∑∞=+111n na 收敛，则a 的取值范围为 . 二、计算下列各题（每题6分，共12分） 1、已知直线421321:1-=-=-z y x L 和112432:2--=+=+z y x L ，求经过1L 且与2L 平行的平面方程. 2、2(arctan )limx x t dt .三、计算下列各题（每题6分，共18分）1、ln 1x x →-.2、设方程arctan y x=)(x y y =,求dy .3、已知 2ln cot tan x ty t=⎧⎨=⎩ , 求622π=t dx y d .四、计算下列各题（每题6分，共12分）1、设()2ln 1,0()11,101x x x f x x x-+≥⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩ , 求（1）()x f 的单调区间；（2）求()x f 的极值.2、设()f x 的一个原函数是()21ln x x ++, 求()xf x dx '⎰.五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1、1⎰2、41⎰.3、0x xdxe e+∞-+⎰.六、计算下列各题（共10分）1、 求幂级数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛域及其和函数(6分). 2、设()()()0xa Fx f td t Fb =, ≠, ⎰且'()0F x >，试证：方程()()x baxf t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)a b 内有且只有一根.（4分）试题参考解答2001级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x ; 3. 02()af x dx ⎰; 4.11n n n x n --； 5.12421x y z +-==--； 6.2S ；7.略； 8.不存在.二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)1、[解]：240ln(13)0lim0ln(3)ln 3x x x →+==+.2、[解]：1arcsin(ln )arcsin(ln )y x x x x '=+= . 3、[解]：sin cos ()sin()(1)0y x y x cos x y x x y y ''+-++++=()sin()cos sin()sin cos x y x x y y x y x x y x+-+-'=++.4、[解]：2232arctan 1x dx x x c x +=+++⎰. 5、 [解]t =，2sin 2cos 2(cos cos )t tdt td t t t tdt ==-=--⎰⎰⎰⎰2(cos sin )sin t t t c =--=-+.三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：111(1)221x dx xdx --=-=⎰⎰.2、[解]：23332232(1)1ln(1)ln 111x xx x dx d e e e e e e -------=-=--=---⎰⎰. 3、[解]：3321,1n n+故∑∞=+1311n n 收敛.4、[解]：12221(1)1lim 2,221n n n n R n ρ+→∞++==∴=+，收敛区间为11(,)22-. 5、[解]{1,2,2},{2,1,2},32{1,8,10}AB AC AB AC =--=---=-，4AB AC ⋅=- 四、解：令2111222111()(1),()(1)211n n n n n n x S x S x x n x -∞∞---=='=-=-=-+∑∑， 21()arctan 1xS x dx x x ∴==+⎰，收敛区间为（-1，1）. 五、解：平面,0742:1=-+-z y x π法向量{}4,2,11-=n ，平面,01253:2=+-+z y x π法向量{}2,5,32-=n..取所求平面的法向量 {}1212424,14,11352i j kn s n n ==⨯=-=--....由点法式方程可得所求平面方程为 24(2)14(0)11(3)x y z --+-++=,即241411810x y z ---=.六、解：曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形为无界区域，其面积为(ln ln )ln ln bbS b x dx b b x x b b +=-=-+=⎰.七、解：x x x f ln )(=的定义域为0x >，令()l n 10,f x x '=+=得驻点1x e =，当1x e< 时，()ln 10,f x x '=+<当1x e>时，()ln 10,f x x '=+>故x x x f ln )(=在其定义域上的最小值为111()ln f x e e e==-，无最大值.2002级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共24分） 1．34 ；2．1；3．2sin x x -；4．)22(221-=x y ；5．29；6．x cos -；7．0；8．12；9．≤1；10．(1)5f -=-二、试解下列各题(每小题5分,共15分)1．解：原式0sin lim 2x x x →=21=.2．解：()()[()]'()[]x f x x f x dyf e e f e e dx'=+ )()()()(')('x f x x f xxe ef x f ee f e +=.3．解：取对数 cos ln lny x x =，两边关于x 求导得1cos .sin dy x xlnx y dx x=-+， 故 cos cos (sin )xxdy x xlnx dx x=-+. 三、求积分(每小题5分,共20分)1、解：原式⎰=xx de e )sin(c e x+-=)cos(.2、解：原式=⎰2)(arcsin )(arcsin x x d c x+-=arcsin 1. 3、解：令sin x t =,cos dx tdt =,原式2cos c sin cos tdttgt c t t==-+⎰c x x +--=21. 4、解：原式21arctan ()2x xd =⎰21122001[c tan ]221x dxar x x x=-+⎰. 120111.(1)2421dx x π=--+⎰101[c tan ]82x ar x π=-- 2148218-=+-=πππ.四、解：1）2211()dx A x x =-⎰2311[ln ]3x x =-7ln 23=-.2）24211()dx x V x x π=-⎰521157[]5100x x ππ=+=. 五、解：设求直线的方向向量为s ,由于{}2,0,1⊥且{}3,1,0-⊥，则j 1 0 2 2 i 3 j k 0 1 -3i ks ==-++,故直线方程为 143220-=-=--z y x . 六、解:用比值法 10)1()1(lim lim 221<=++=∞→+∞→n n n U U n nn n ,故原级数收敛.七、解：1）一般项为121n a n =-. 2）121limlim 12(1)1n n n na n a n ρ+→∞→∞-===+-，收敛半径11==ρR ,当1x =时，幂级数为1121n n ∞=-∑发散,1x =-时，幂级数为1121n n ∞=--∑发散,故收敛域为（-1，1）. 八、证明：设ex e x f x-=)(，e e x f x-=)('，故当1>x 时0)('>x f ，即1>x 时)(x f单增，故当1>x 时，0)1()(=>f x f ，从而1>x ，ex e x>.2003级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1、610 ； 2、必要； 3、0a >； 4、2- ； 5、()y dy x ο∆=+∆6、0()0f x '= ；7、0k ≠；8、0()Tt dt ν⎰； 9、6； 10、//a b .二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctan 2x π<,11ln(1)~x x+（2分） 故原式=arctan lim 0x xx→∞= （5分）2、原式=0lim sin x xx e e x -→- （2分）= 0lim2cos x xx e e x-→+= （5分） 3、()()f x y f x ''=（2分） 22()()()()f x f x f x y f x '''-''= （5分）4、原式 = 2x e xdx ⎰（2分）= 212x ec + （5分）5、原式 = 2sec x xdx xdx -⎰⎰（2分）= 2tan ln cos 2x x x x c +-+ （5分） 6、因为11sin 0x -=⎰（2分）12-=⎰⎰sin x t =2202cos 2tdt ππ=⎰ （4分）故原式022ππ=+=（5分）7、直线过点(1,0,0)- （2分）其方向向量 1{1,1,2}1i j k s= 1 0=-- -1 1（4分）故所求的对称式方程为 112x y +=-=-（5分） 8、解法一：由于动点平行于平面220x y z ++=，故可设所求的 动点轨迹方程为220x y z D +++= （2分）又220x y z ++=过点(0,0,0)，故有 （3分）13D =⇒=±⇒动点轨迹方程为2230x y z ++±= （5分）解法二：动点(,,)x y z 到平面220x y z ++=，即1= （3分）故动点轨迹方程为 2230x y z ++±= （5分） 三、解：0lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→=⇒= （2分） (0)(0)2f f a +-''=⇒=-，22,0()(1),0xe xf x x x -⎧ <⎪=⎨- ≥⎪⎩ （4分） 112211()(1)xf x dx edx x dx ---=+-⎰⎰⎰ （6分）21126e =- （8分） 四、解：0()2()()xxF x tf t dt x f t dt =-⎰⎰ （2分）()()()x F x xf x f t dt '=-⎰ （4分）()()F x xf x '''= （6分） 0()0()x F x F x ''>⇒>⇒凹，0()0(x F x F x ''<⇒<⇒凸，故(0,0)是()y F x =的拐点. (8分)五、解：1201a b 2(ax +bx)dx b (1a)3323==+⇒=-⎰ （4分）122220111V (ax +bx)dx (a ab b )523ππ==++⎰ （6分）25(2a 5a 20),V 0a 1354π'=+-=⇒=-令,5V ()04''>,所以5V()4最小.故 53,42a b =-=. （8分）六、证明：存在性：令xb axG(x)f (t)dt-f (t)dt =⎰⎰，则baG(a)f (t)dt=-F(b)=-⎰，baG(b)f (t)dt=F(b)=⎰，2G(a)G(b)F (b)0⋅=-<，由零点存在定理，G(x)在(a,b)内有存在零点; （3分）唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点12,ξξ，由罗尔定理，存在12(,)ξξξ∈,使得()2()2()0G f F ξξξ''===,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零点. （3分）2004级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1.1x ;2.154; 3.x 2e+; 4. 二; 5.减少;6.11111ln2∞∞±（-，-）（，+），（-，+），（,）;7. 0 ;8.>19.30;10.3x 7y 5z-40-+=.二、计算下列各题（每题6分，共48分）1．原式=222lim x (arctan ()x 24x ππ→∞==）. 2.xyydx xdy e dx e dy 0+-+=，所以x ye ydy dx e x-=+. 3.221dy 11t 2t dx 2t 1t +==+； 222223d y 11t 1t dx 2t 2t 4t ++=-=- 4.原式=x x x x x x1e e d(1-e )dx x x ln 1e c 1e 1e-+=-=--+--⎰⎰ 5.原式=ln sin xdctgx xctgx ctgxdx xctgx x c =-=-+=-++⎰⎰6令x=2sint .dx=2costdt,当x 0,t 0;x 2,t=2π===，22222200I=4sin t 4cos tdt=16sin t(1sin t)dt ππ⋅-⎰⎰2420131=16(sin t sin t)dt=16()2422πππ⨯--⋅=⎰⨯.7.取12ij ks n n 1022i 3j k 013→→→→→→→→→=⨯==-++-,所求直线方程为 x y 2z 4231--==-. 8.令221u x t .du 2tdt.dt du 2t =-=-∴=-,当2t 0u x =⇒=,当t=x u=0⇒,220x x 011F(x)t f(u)()du f(u)du 2t 2∴=⋅-=⎰⎰,221F (x)f (x )2x xf (x )2'∴=⋅=.三、解：.(1)、x y e '=,设00p(x ,y )为切点,切线方程为:00x x 0y e =e (x x )--,切线过原点(0,0)得:00x 1,y e ==, ∴切线方程为: y e=e(x 1)--,即y ex =. (2)、面积1111x x 200e e A e dx exdx=e x 22-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. (3)、体积221111x 2x 232x 00V (e )dx (ex)dx=e e x e 236πππππ-∞-∞⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦⎰⎰. 四、解：由连续性+f (1)1b=f (1)ln(1a),b ln(1a)-1=+=+∴=+，又'x 1x 1f (x)f (1)x b 1b(1)lim lim 1x 1x 1f ---→→-+--===--,+22'x 1x 1x 12xf (x)f (1)ln(a+x )-(1+b)2a x (1)lim lim lim x 1x 11a 1f +++→→→-+====--+ 由''2(1)(1)1,a 1,b ln 21a 1f f -+=⇒=∴==-+.五、证明：令F(x)xf (x)=，设12x ,x 为f (x)的任意两个零点.即12f (x )0,f (x )0,==则F(x) 在[]12x ,x 上连续，在()12x ,x 内可导，且12F(x )F(x )0,==由Rolle 定理可知至少存在一点12(x ,x )ξ∈使得F ()0ξ'=，即F ()F ()0ξξξ''+=，因此，在()f x 的任意两个零点之间必须有方程f (x)xf (x)0'+=的实根.2005级高等数学（上）期末试卷解答一、填空题（每小题3分、共30分）1．2; 2. 2e 3. 1; 4. )4y x π=-, 5．2x >; 6.32;7.0; 8. 2π;9. 18-; 10.1a >. 二、计算下列各题（每题6分，共42分）1.解：原式()222222022limlimxxt xt x x x x e dt e e dxxexe→→==⎰⎰222202lim2xx x x e e x e→=+=202lim212x x →=+.2.解：21sin 2111(2sin )(cos )()x y e x x x -'=⋅-⋅⋅- 21sin 212sin x e x x -=3.解：两边对x 求导得 (1)x yy xy ey +''+=+ ,解得xe ey y yx yx --=++' 4.解：232272542xx x x y )('+=+=，令0y '= 得驻点3x =-,当3x <-时0<'y ，当30x -<<时0>'y ，故3x =-为极小点,极小值为(3)27y -=.5.解：⎰-+dx e e xx 1=⎰+dx e e x x12=⎰+21)(x x e de =arctan x e c + 6.解：令tdt dx t x 2,==原式：=⎰102dt tet=)(21010dt e te tt⎰-=1220t e e -=2.7.解：所求直线的方向向量s垂直于两已知平面的法向量21n n, ,故取21n n s⨯=310201-=kj i =k j i132++-所求直线方程为：14322-=-=-z y x . 三．（8分）解：11=)(f ，1(10)lim x f ax b a b +→+=+=+, 故当 1=+b a 时，)(x f在 1=x处连续.又2'1111(0)lim lim 211x x x x f x ---→→-+===- '11(0)lim 1x ax b f x ++→+-==-1(1)1lim 1x ax a a x +→+--=- 故当2=a 时，)()()('''111f f f ⇒=+-存在,即当 12-==b a , 时，)(x f 在 1=x 处连续可导.四．（8分）解：221n n 12(1)1 lim lim x 121n nu n x u n ρ+→+∞→+∞+-===- 当12<x ,即11<<-x 时原级数收敛，当12>x ,即11>-<x x 或时原级数发散,故收敛半径1R =，当1±=x 原级数为收敛的交错级数，收敛域为],[11-.设2111()(1)21n n n x s x n -∞-==--∑ ∑∞=---'-='1121121n n n n x x s )()()(=∑∞=---12211n n n x )( 246221111()1x x x x x=-+-==--+ 故 dx x s x s x⎰'=0)()(=dx x x⎰+0211=arctan x . 五．(8分)解：求交点得),(),,(11001．A=⎰-102dx x x )(=61321032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x .2．1525310105342πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x V x )(. 六．(4分)证明：不妨设210x x ≤<，分别在区间1112[0,],[,]x x x x +上使用拉格朗日中值定理存在),(110x ∈ξ,2112(,)x x x ξ∈+使：=11x x f )()(')()(11100ξf x f x f =-- )(')()()()(22221221221ξf x x f x x f x x x x f x x f =-+=-+-+因为12ξξ<,又"()0f x <,故'()f x 单调减，所以)(')('21ξξf f >,故)()()()()()(2211122111x f x x f x f x x f x x f x x f -+>⇒-+> 即 1212()()()f x f x f x x +>+.2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则一、填空题：（每小题3分，共30分） 1. 2/3; 2. e ; 3. )('20x f ; 4. yex =; 5. )2,2(2e ; 6.2π; 7. 1; 8. 2; 9. 531124-=+=-z y x ; 10. 发散. 二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=)'2......(42arctan lim )'4........(2arctan limπ==+∞→+∞→x x x x x x2、解: )'2)....(1(2112);.....'4.......(21112222222t tdx y d t t t tdx dy +=+==++= 3、解:在方程两端求微分得:)'4......(0)(33322=+-+xdy ydx a dy y dx x ，)'2......(22dx axy x ay dy --=.4、解:令0)3)(1(6)32(6'2=-+=--=x x x x y 得)'2......(3,1=-=x x , )'2......(0)3('',0)1(''),1(12''><--=y y x y , 极大值,17)1(=-y 极小值)'2......(47)3(-=y . 5、解:原式22sin sin 2sin .......(3')x d x x x x xdx ==-⎰⎰22sin 2cos sin 2cos 2cos x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰2sin 2cos 2sin .......(3')x x x x x c =+-+6、解:原式=[])'3).......(13(2ln 12)'3.........(ln 1)ln 1(2211-=+=++⎰e e xxx d7.证明：令)1(0)(',)(>>-=-=x e e x f ex e x f xx……(4’))(x f 单调增加, 当1>x 时, 0)1()(=>f x f 成立 …..(2’)即当1>x 时，不等式ex e x>成立.8、解：直线的参数方程为2342x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩........(4')代入平面方程解出 )'2......(1-=t ， 所求交点为（1，2，2） (2’). 三、解: 11lim lim1=+=∞→+∞→n na a n nn n ,收敛半径1R =,收敛区间为(-1,1) (3’)；1-=x 时,原级数为∑∞=-11n n ,发散, 1=x 时,原级数为111(1)!n n n ∞-=-∑收敛,故 收敛域为(]1,1-….. (2’)；由级数xx n n n +=-∑∞=--11)1(111两端积分得:)1ln(11)1(101x dx xn x n x n n +=+=-∑⎰∞=-为所求的和函数 (3’). 四、解:(1) )'4......(2ln 2111021+=+=⎰⎰dx x xdx A ； (2) 12220115()......(4')6x V x dx dx x πππ=+=⎰⎰.五、证明：令1)(2)(0--=⎰dt t f x x F x，则)(x F 在区间[0，1]上连续，0)(11)(2)1(,01)0(1>-=--=<-=⎰ξf dt t f F F ，由零点定理知存在),1,0(0∈x 使0)(0=x F ……. (2’) 又0)(2)('>-=x f x F ，)(x F 在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.(2’).2007级高等数学（上）期末试题答案二、填空题：（每小题3分，共30分）1． 1- ； 2． 跳跃 ； 3．(sin )cos f x xdx '； 4． π； 5．(0,0) ；6．cos sin x x x C -+； 7． 3 ； 8．22z x y =+； 9． 收敛 ；10．(0,2) ；二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）1、[解]：原式=2321113(2)lim lim 111x x x x x x x x→→++--+==--++ 2、[解]：33321()()31x lnx x dy e x e x e dx x'=⋅-=-3、[解]：两边对x 求导得0x x xyyy e y e yy xy e e y y dy dx e x e x--'''+-+= ⇒ = ∴=++ 4、[解]：2()666(1)f x x x x x '=-=-，()1266(21)f x x x ''=-=-由(0)0f '=得驻点0,1x = ，(0)60f ''=-<，(1)60f ''=>，所以 极大值：(0)0f =，极小值(1)1f =- 5、[解]：法一：2211sec tan 1cos 222cos2x x dx dx dx C x x ===++⎰⎰⎰ 法二：原积分2221cos 1cos 1cot 1cos sin sin sin x x dx dx dx x C x x x x-==-=-++-⎰⎰⎰ 6、[解]：原式=4141113ln 4ln 21222x x x dx x -=-⎰7、[解]：原式=323202221002()()()()103232x x x x x x dx x x dx --+++=-+++-⎰⎰629456== 8、[解]:所求直线的方向向量s 垂直于已知平面的法向量12,n n ，所以：1224//{2,4,1}0i j s n n i j κ=⨯ = 1 0=- +8 + 2κ - 1 -4所求直线的方程为：124241x y z ---==- 三、（9分）[解]:（1）23y x '=，12k =，则切线方程为：812(2)y x -=-即：12160y x -+=； （2）42302404x S x dx ===⎰；（3）258233083642832055y V y dy y πππππ=⋅⋅-=-=⎰四、（9分）[解]: （1）0!n xn x e n ∞==∑，所以：01!n e n ∞==∑；（2）2012101111122!(1)!(2)!(1)!!n n n n k n n e n n n n k ∞∞∞∞∞=====-+==+==---∑∑∑∑∑五、（4分）[证明]: 记0011,()()()nn x nnx x t u F x f u du f u du n n -= ⇒ =-=⎰⎰，12212100001()()()11()lim lim lim lim 222n n n n n n nx x x x f x nxF x F x f x n x nx n x n x ---→→→→'=== 01()(0)1lim (0)202n t f t f x t f n t n→-'==-2008级高等数学（上）期末试题答案一、填空题(每题3分)1.k =3；2.-2e ；3..320y x -+=；4.2π；ln(x c +； 6.22a π；7.2'22y xy y e x -=+；8. 2x =-；9. 00x z ⎧⎪⎨⎪⎩==；10.22xdx ydydu x y+=+ 二、1解：1,dy dx t=- 4分 222311dy d y dt t dx t dx t dt'=== 7分 2.解：原式=lim(()())xx a a f t dt xf x →+⎰ 5分()af a = 7分三、1. 解： 1'322yx -=- 3分得驻点1x =及0x =为不可导点 5分(0)0y =(极大值) 1=-1y （）（极小值） 7分2. 解：令2sin x t =原式2sin 2=4tdt ⎰2分2=4sin 2(1cos4)2tdt t dt =-⎰⎰ 5分12sin 42t t c =-+ 6分12arcsin sin 4arcsin 222x xc =-+ 7分3.解：原式11220[arcsin ]x x =-⎰4分120]11212ππ=+= 7分4. 解：4223222(4()6())x ze x y x x y x∂=+++∂ 4分 422222422222(24()24())24()()x x e y x y xy x y ye x y x y x z x y=+++=+++∂∂∂ 7分 四、 1. 解：（1）直线L 的方向向量010102ij ks = 2分(2,0,1)=- 4分过点(0,1,1)M -且与直线L 垂直的平面方程为：2(0)0(1)1(1)0210x y z x z -++-+=⇔-+= 5分（2）联立20,270210y x z x z ⎧⎪⎨⎪⎩+=+-=-+=得垂足(1,2,3)N - 7分所以，d MN =分2.解：设,(,,0)x y z a x y z ++=> 111(,,)f x y z x y z=++ (,,)(,,)()F x y z f x y z x y z a λ=+++- 4分222000x y z F x F y F z x y z aλλλ---⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=-==-==-=++= 7分 得3ax y z ===9分 五、解：由已知及0()lim x f x A x→=得(0)0,f =(0)0ϕ= 2分 010()(0)()()xf u du x xx f xt dt ϕ≠==⎰⎰ 4分'02'02()()()(0)lim 2(0)()xxx xf x f u duxf u du Ax x x ϕϕ→-==≠=⎰⎰ 5分又'0lim ()2x Ax ϕ→=故()x ϕ连续 6分 六、证明：设()()x xf x ϕ= 1分 则11111(1)(1)()()(0,)2f f ϕξξϕξξ===∈ 3分故在1[,1]ξ上由罗尔定理得至少有一点ξ使'1()0(,1)(0,1)ϕξξξ=∈⊂ 即存在(0,1)ξ∈使得'()()0.f f ξξξ+= 4分昆明理工大学2009级高等数学A(1)参考解答及评分标准一1.=2λ; 2.23101y z x ---==-; 3.12; 4.1; 5.6; 6.ex ; 7.2; 8.π; 9.π; 101a >. 二1.111(9,14,1)323i j kn =-=-9(1)14(3x y --+-+）(z-2)=091435x y z -++=2.原式22(arctan )lim 16x x xπ→+∞==三1.原式0lim12x x x→-==-2. 解:等式两端对x 求导得：2''22222x y x y xy y x y x x y ++⋅=++ ''y x y x yy -=+ '()x yy x y x y+=≠- x ydy dx x y+=- 3.22sec 1tan 2tan csc 2dy t t dx t t ==--22221sec 12tan 2tan csc 4td y t dx t t -==-26t d y dx π==四1.'2101()110(1)x x x f x x x -⎧>⎪+⎪=⎨-⎪-<<+⎪⎩,'(0)1f =-令'()0f x =得1x =单增区间[1,)+∞,单减区间(1,1]-; 极小值(1)12ln 2f =-. 2.'()()xf x dx xdf x =⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰()ln(xf x x c =-+(又'()(ln(f x x ==ln(x c ==-+五1.原式211(1)12d +-=21(1x =-+= 2.原式411xx d x=-+⎰4arctan 24π=-+5arctan 212π=--3. 原式201xxde e +∞=+⎰arctan 4x eπ+∞==六1.112lim 1(122n nn n n x x n n x ++→∞⋅=<+） 2R =,2x =发散,2x =-收敛, 收敛域为[2,2)-令1()2nn n x s x n ∞==∑1'1112()2212n nn x s x x x -∞====--∑ 001()ln(2)ln 2ln(2)2xxs x dx x x x==--=---⎰2.设()()-()xbaxx f t dt f t dt ϕ=⎰⎰2()()(())0b aa b f t dt ϕϕ=-<⎰ 故由零点定理至少有一ξ使()0ϕξ=而''()2()2()0x f x F x ϕ==>,()x ϕ单调, 故仅有一根.。
高等数学（上）期末试卷2012-2013—昆明理工大学一、单项选择题（每小题4分，共24分）1.(1,0,1),= a (0,1,1),= b ()⨯⋅= a b a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）22.设111()23+=+xx e f x e，则0=x 是()f x 的 （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点 （C ）无穷间断点 （D ）振荡间断点3. 已知(3)2'=f ，则0(3)(3)lim 2→--=h f h f h（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）-2 （D ）24. 设曲线方程为22sin(1)1-=-x y x ，则（ ） （A ）1=-y 是曲线的渐近线 （B ）0=y 是曲线的渐近线（C ）1=-x 及1=x 是曲线的渐近线 （D ）曲线没有渐近线5. 设函数()=y f x 由方程2=+xy x y 确定，则0==x dy （ ）（A ）ln 2dx （B ）(ln 21)-dx （C ）(ln 21)+dx （D ）ln 21-6. 下列级数中条件收敛的是（A ）1(1)1∞=-+∑n n n （B）1∞=n n （C ）211(1)∞=-∑n n n （D）1(1)∞=-∑n n 二、填空题（每小题4分，共24分）7、曲线sin 2cos ⎧=⎪⎨=⎪⎩t t x e t y e t在点(0,1)处的法线方程为 . 8、曲线2222232⎧=+-⎪⎨=--⎪⎩z x y z x y在xoy 面上的投影曲线的方程是 . 9、函数203()1=-+⎰xt x dt t t ϕ在区间[0,1]上的最小值为 . 10、设()2ln(1),0,0⎧+<=⎨+≥⎩ x x f x x a x 在0=x 处连续，则=a .11、不定积分2ln =⎰x xdx .12、定积分320sin =⎰xdx π .三.计算题（共8题，每题5分）13、求点0(2,3,4)-M 到直线312:231+-+==x y z L 的距离。
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
昆明理工大学01—10级高等数学(上)期末试题集2001级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每小题3分、共24分）1、01lim sin x x x→=; 2、2 dx dx =;3、设)(x f 在[,]a a -连续并且为偶函数,则⎰-=aa dx x f )(;4、⎰= n x dx;5、过点)1,2,3(1-M 和)2,0,1(2-M 的直线方程是 ;*6、已知级数1n n u S ∞==∑,则级数11()n n n u u ∞+=+∑的和是 ; *7、.曲线x x y ln 2-=在1=x 点处的曲率是 ;8、函数, 0 (), 0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩在点0=x 处的导数为 ; 二、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、240ln(13)lim ln(3)x x x →++ 2、)arcsin(ln x x y =求y '. 3、求由方程sin ()0y x xcos x y -+=所确定的隐函数)(x y y =的导数y '.4、⎰++dx x x 1322 5、⎰ 三、计算下列各题(每小题5分,共25分)1、dx x ⎰--)1(11 2、⎰-x e dx 1323、判别级数∑∞=+1311n n 的敛散性 4、求幂级数∑∞=+1212n n n n x 的收敛区间 5、设点A,B,C 的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求23,,- 及C AB A ⋅.四、(7分)求幂级数∑∞=----112112)1(n n n n x的收敛区间,并求和函数.五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742:z y x z y x L 垂直的平面方程.六、(6分)求由曲线b y x y ln ,ln ==及0(0)x b =>所围图形的面积.七、(6分)讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值.2002级高等数学（上）期末试题一、填空题（3分×10=30分）1、若s 2lim 23x inaxx →∞=,则a = .2、函数1,1,1x x y a x x -≥⎧=⎨-<⎩,当a = 时连续.3、设⎰=Φ,sin )(2dt t t x bx 则=Φdx d .4、曲线sint cos 2x y t =⎧⎨=⎩在4π=t 处的法线方程为 .5、当a 时,点(1, 3)为3232y x ax =-+的拐点.6、设cosx 是)(x f 的一个原函数,则)('x f = .7、⎰=--dx x x 221211arcsin . 8、设+-=+-=2,53，则a b ⋅= .*9、级数∑∞=+1)1(1n p n 当p 时发散.10、2332)(x x x f -=在[1-4]上的最小值为 .二、试解下列各题（5分×3=15分）1、020sin lim xx tdtx →⎰.2、设)()(x f x e e f y =，其中)(x f 可导，求dx dy.3、设x x y cos =，（0x >），求dy .三、求积分（5分×4=20分）1、⎰dx e e x x )sin( 2、3、⎰-221x x dx 4、10arctan x xdx ⎰*四、[9分]设平面图由xy x y 1,2==及x=2所围成，求： 1）平面图形的面积A （要求作草图）;2）平面图形绕x 轴旋转的体积x V .五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行，求直线方程.六、[5分]判断级数∑∞=12!n n n 的收敛性.七、[8分]设幂级数 ++++753753x x x x 1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.八、[4分]证明：当1>x 时ex e x >2003级高等数学（上）期末试卷一、填空题：（共10题，每题3分）1、数列6661,1010,10n n x n n ⎧ < ⎪=⎨⎪ ≥ ⎩，则lim n n x →∞=___________________________. 2、()f x 在0x 的某去心邻域内无界是0lim ()x x f x →=∞的___________________条件. 3、0x =是1()sinf x x xα=的可去间断点,则常数α的取值范围是____________________. 4、()f x 可导, 0(1)(1)lim 12x f f x x→--=-, 则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率是____________________. 5、()(),(),y f x x f x dy f x x ∆=+∆-=∆′则y ∆与dy 之间的关系是________________________.6、可导函数()f x 在点0x 处取得极值的必要条件是___________________________.7、使公式()()k f x dx k f x dx =⎰⎰成立的常数k 应满足的条件是 .8、设物体以速度()v t 做直线运动, 则[0,]T 上物体经过的路程是___________________.9、投影Pr 2,3,b j a b == 则a b ⋅=______________________.10、a b +与a b -平行的充要条件是________________________.二.计算题（共8题，每题5分）1、求 2arctan lim 1ln(1)x x x x→∞+ 2、求 02lim 1cos x x x e e x -→+-- 3、ln (),()y f x f x ''=存在, 求y '' 4、求2ln x x e dx +⎰5、求2tan x xdx ⎰ 6、求11(1sin x -+⎰7、求1010x y x y z ++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程. 8、求到220x y z ++=的距离为1的动点轨迹.三、设2,0()(1),0ax e x f x b x x ⎧ < ⎪=⎨- ≥⎪⎩，在0x =处可导，求11()f x dx -⎰.（8分） 四、设0()(2)(),()0xF x t x f t dt f x =- >⎰′，试问点(0,0)是否是曲线()y F x =的拐点，为什么？（8分）*五、设抛物线20(01),y ax bx x =+≥ ≤≤ 试确定,a b 之值，使抛物线与直线1,0x y ==所围面积为1 3，并且绕x 轴旋转的体积最小.（8分）六、设()()()0xa F x f t dt Fb =, ≠ , ⎰且()0F x ≠′，试证：方程()()x ba x f t dt f t dt =⎰⎰ 在(,)ab 内有且只有一根.（6分）2004级高等数学（上）期末试卷一、填空题（每题3分，共30分）1、设x 1f (x)=,x 0,x 1,x -≠≠则1f[]f (x)= .。
