动点问题最值

与最值有关的几何动点问题一、引言几何动点问题是数学中的一个重要分支，它研究的是在几何图形中，随着某个点的移动，某些量的变化情况。

其中，与最值有关的几何动点问题是其中的一个重要问题，它涉及到了最大值、最小值等数学概念，具有一定的难度和深度。

本文将从不同的角度出发，探讨与最值有关的几何动点问题。

二、与最值有关的几何动点问题1. 最大面积问题在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个定点，求以该点为顶点，该直线为一条边的三角形面积的最大值。

解法：设该点坐标为$(x_0,y_0)$，直线方程为$y=kx+b$，则三角形面积为$S=\frac{1}{2}|kx_0-y_0+b|\sqrt{1+k^2}$。

由于$\sqrt{1+k^2}$为常数，因此问题转化为求$|kx_0-y_0+b|$的最大值。

根据绝对值的性质，$|kx_0-y_0+b|$的最大值为该点到直线的距离，即$|kx_0-y_0+b|=\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{k^2+1}$。

因此，问题转化为求该点到直线的距离的最大值，即该点到直线的垂线段的长度的最大值。

由于垂线段的长度为$\frac{|kx_0-y_0+b|}{\sqrt{k^2+1}}$，因此问题转化为求该点到直线的垂线段长度的最大值。

根据数学知识可知，该垂线段长度的最大值为该点到直线的垂线段的中点的距离，即$\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}$。

因此，三角形面积的最大值为$\frac{1}{2}\cdot\frac{|kx_0-y_0+b|}{2\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{1+k^2}=\frac{|kx_0-y_0+b|}{4}$。

2. 最小距离问题在平面直角坐标系中，给定两条不平行的直线，求它们之间的最短距离。

解法：设两条直线的方程分别为$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$，则它们之间的距离为$\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{k_1^2+1}\sqrt{k_2^2+1}}$。

GFD AEA C BD FBACDB动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（ ） A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 4、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°,M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是 5、如图，等腰直角△ACB ，AC=BC=5，等腰直角△CDP ，且PB=2，将△CDP 绕C 点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD ；（3）∠PBC= 时，BD 有最大值，并画图说明； ∠PBC= 时，BD 有最小值，并画图说明.分析：在△ABD 中有：BD ≤AB+AD ，当BD=AB+AD 时BD 最大，此时AB 与AD 在一条直线上，且AD 在BA 的延长线上，又△ACB 是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135° BD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，2，F 为BE 中点.（1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.CO ABPE ABC DFD A BC EHGF DAEH G FDA Exy MCM 1M 2A PO B A提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且122OF AE == 7、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的等腰△PBC （点P ，B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC 的取值范围 2≤AP ≤32 提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。

动点问题进阶最值微积分1. 引言动点问题是微积分中的重要内容之一。

最简单的动点问题可以描述为一个物体在直线上的运动，而进阶的动点问题则涉及到曲线、平面或者空间中的运动。

本文将介绍动点问题的一些基本概念和方法，并探讨如何利用微积分求解动点问题中的最值。

2. 动点问题基础知识回顾在解决动点问题之前，我们先回顾一下基础知识。

动点是指在一定时间内在空间中运动的一个物体。

我们通常可以用函数来描述动点的位置，该函数称为位置函数。

对于一维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的函数，记作x(t)；对于二维或三维情况下的动点，位置函数通常是关于时间的向量函数，记作r(t)。

位置函数的一阶导数表示动点的速度，即v(t)=ddt x(t)或v(t)=ddtr(t)；位置函数的二阶导数表示动点的加速度，即a(t)=d 2dt2x(t)或a(t)=d2dt2r(t)。

3. 动点问题的最值求解方法在动点问题中，我们通常会遇到求解动点轨迹上某一点的最大值或最小值的情况。

这可能涉及到动点的速度、加速度、距离等多个因素。

下面将介绍一些常用的方法来求解这类问题。

3.1 静态分析法静态分析法是最基本的求解最值问题的方法之一。

它通过对位置函数直接进行分析，寻找极值点，并利用极值点附近的性质得出最值点。

静态分析法的基本步骤如下： 1. 找出位置函数在定义域内的导数。

2. 求解导数为零的方程，得到极值点的横坐标。

3. 利用极值点附近的性质判定最值点。

3.2 最值定理最值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在闭区间上必定存在最值点的条件。

对于动点问题，我们可以利用最值定理来求解最值点的横坐标，然后再通过位置函数得到纵坐标。

最值定理主要有两个版本：费马定理和罗尔定理。

费马定理指出，如果函数f(x)在x=a处取得最值点，则f′(a)=0。

罗尔定理指出，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f′(c)=0。

动点问题求最小值的做法思路
1、化动为静：将动点问题转化为静态的几何问题，简化问题，使解题过程更加直观和易于操作。

这种方法适用于多种动点问题，包括但不限于求最值问题。

2、构造比例线段：在某些特定的动点问题中，通过构造比例线段来求解是最直接有效的方法。

这种方法在解决阿氏圆最值模型等题目时尤为常见。

3、利用轴对称性质：初中数学中，利用轴对称的性质可以实现“搬点移线”，从而求解几何图形中的最值问题。

这种方法依赖于基本定理，如两点之间线段最短、三角形任意两边之和大于第三边等。

4、寻找线段的“替身”或“等比替身”：在解决双动点线段问题时，找到一个与原线段长度相等或成比例的线段作为替代，是解题的关键。

这种方法有助于简化问题，找到解决问题的突破口。

5、分类讨论：当动点问题存在多种可能性时，需要进行分类讨论，以确保不遗漏任何可能的情况。

这种方法适用于那些情况复杂、可能存在多种解法的问题。

6、建立直角三角形模型：在某些情况下，通过建立直角三角形模型并利用其性质（如勾股定理）来求解是最有效的策略之一。

这种方法特别适用于涉及圆和直线的问题。

7、动态规划：虽然动态规划主要用于解决算法问题，但其思想也可以应用于某些特定的动点最值问题中。

通过定义状态、计算转移方程和确定终止条件，可以有效地求解这类问题。

动点问题——线段最值动点问题中，经常要求线段的最值。

首先要弄清动点的运动轨迹，从哪里到哪里，是直线还是曲线，有没有特殊位置；然后根据图形特征找解决问题途径。

一般来说，能找到图中求最值的位置，就按特殊位置的特征求最值；若找不到图中最值的特殊位置，最好建立函数，用函数思想解决最值问题。

一、找到特殊位置，求线段最值（或动点路程）1、(2019泰安)如图，矩形ABCD 中，AB =4,AD =2,E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是。

分析：取DE ,DC 中点分别为M ,N .点F 从E 运动到点C ，则点P 从点M 运动到点N .根据“垂线段最短”，当BP 垂直于MN 时，PB 最小。

作BH ⊥MN 垂足为H .当点P 与点H 重合时，PB 最小。

PB =BH∠CEB =∠EBH =045 122PB DE =+ 12222=⨯+ 22=说明：从起点到终点，先找出点P 的运动轨迹，再分析最值。

2、(2019宿迁)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1,F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边三角形EFG ，连接CG ,则CG 的最小值为 分析：点F 在起点B 处时，作等边'EBB ∆,连接'B G ，得射线''B F ,点G 在其上运动。

∵ 'BE B E =,'''BEB B EF FEG B EF ∠+∠=∠+∠,EF EG =∴△EBF ≌△'EB G∴∠'GB E =∠FBE =090. 当点'B 在EF 上时，CG ⊥'B G ，CG 最小。

（根据“垂线段最短”） 35122CG =+= 3、（2019桂林）如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =3，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，作点A 关于直线BP 的对称点1A ，连接1A C ,设1A C 的中点为Q ，当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为。

动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。

这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。

2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。

3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。

4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。

篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。

这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。

二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。

2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。

3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。

4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。

三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。

篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。

v1.0 可编辑可修改动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。

一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。

方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。

1．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．33-2-B．13+C．2D．1提示：点M在以AC为直径的圆上2．（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD 于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．（把你认为正确的说法的序号都填上）提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点AAB 旋转，那么C、F两点之间的最小距离为4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转.（1）求证：AD=PB（2）若∠CPB=135°，求BD；（3）∠PBC= 时，BD∠PBC= 时，BD分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由（1）知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°CABAACCBD ≥AB-AD ，当BD=AB-AD 时BD 最小，此时，AB 与AD 在一条直线上，且AD 在线段AB 上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1， ，F 为BE 中点. （1）求CF 的长（2）将△ADE 绕A 旋转一周，求点F 运动的路径长； （3）△ADE 绕点A 旋转一周，求线段CF 的范围.提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF ∽△BAE,且227、如图，AB=4，O 为AB 中点，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一动点，以点P 为直角顶点的B ，C 按逆时针方向排列）则线段AC提示：发现定等腰直角△AOC 与等腰直角△OBE ，从而得到相似。

初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。

在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。

这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。

2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。

例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。

解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。

所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。

对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。

因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。

2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。

这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。

例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。

解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。

所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。

根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。