2021高考压轴题汇编高考导数压轴题全套教案 高考导数压轴题终极解答

一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||PQ =2ln 22<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+， 例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >， 所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．3．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，1223bx x a +=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e =，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x =+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10nn a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误； D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.8．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.9．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.10．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。

高中数学：导数压轴30道解答题（含解析与考点）
昨天我们说了，关于导数的30道选择题，不少家长都纷纷私信我说，很实用。

今天，要和大家分享的，仍然是关于导数这部分的内容。

导数是历年高考压轴最后一题，而这道题也是高分同学和一般同学的一个分水岭。

想要考高分，想要占领数学制高点，那么，我们必须得突破导数瓶颈。

昨天我们已经提到了，导数这部分主要的考点，如果没有看过的家长们，大家可以翻看我昨天的文章。

同样，今天这部分也为大家整理了电子完整打印版，私信“数学”，即可免费领取。

导数和圆锥曲线并称高考数学两大难点，在过去的文章里，我们都已经逐一地去分析总结。

大家需要掌握的是方法，深刻理解和体会，每道题所考察的知识点，了解了出题人的意图，这对我们来说，是非常重要的。

不仅如此，我们能够立刻想到该运用哪块的知识点或公式，还会大大提高我们的解题速度。

希望各位家长给自己的孩子看，转发并收藏。

高中数学导数压轴小题教案
主题：导数压轴小题
目标：通过解决导数压轴小题，学生能够熟练应用导数的定义和性质，提高计算和推理能力。

教学步骤：
1. 引入导数的定义和性质，复习基本导数公式。

2. 给学生提供几道基础的导数计算题，让学生巩固基本的计算技能。

3. 提供一道导数压轴小题，让学生分组讨论解决方法。

4. 学生展示解题过程，并与其他组讨论答案的正确性和不同解题方法的优劣。

5. 结合实际问题，让学生应用导数求解相关问题，并讨论解决过程和结果。

6. 鼓励学生在课后继续练习导数相关题目，提高计算能力和应用能力。

评价方式：
1. 老师观察学生在课堂上的表现，包括思维敏捷度、解题方法和答题速度。

2. 学生互评，评价组员在讨论和应用导数问题中的贡献和表现。

3. 老师批改学生课后练习的题目，评价学生掌握导数知识和应用能力的情况。

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。

分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。

卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学压轴题精选精编附详细解答1、〔本小题总分值是14分〕如图，点(4,0)N p -〔p >0,p 是常数〕，点T 在y 轴上，0MT NT ⋅=，MT 交x 轴于点Q ，且2TM QM =.〔Ⅰ〕当点T 在y 轴上挪动时，求动点M 的轨迹E 的方程；(4分) 〔Ⅱ〕设直线l 过轨迹E 的焦点F,且与该轨迹交于A 、B 两点， 过A 、B 分别作该轨迹的对称轴的垂线，垂足分别为12,,A A 求证：OF是1OA 和2OA 的等比中项；〔5分〕(Ⅲ)对于该轨迹E ，能否存在一条弦CD 被直线l 垂直平分？假设存在，求出直线CD 的方程；假设不存在，试说明理由。

〔5分〕 2、〔本小题总分值是14分〕 设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有).()()(y f x f y x f =+〔Ⅰ〕求)0(f ；〔2分〕 (Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，假设存在，求出该最大值，假设不存在说明理由；〔5分〕〔Ⅲ〕设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--又设1322121111,,)21(++++=+++==n n n n n a na a a a a a Tb b b S b n ，试比较S n 与n T 的大小.〔7分〕3、〔此题总分值是13分〕椭圆221:36(0)x c y t t+=>的两条准线与双曲线222:536c x y -=的两条准线所围成的四边形之面积为直线l 与双曲线2c 的右支相交于,P Q 两点(其中点P )，线段OP 与椭圆1c 交于点,A O 为坐标原点(如下列图).〔I 〕务实数t 的值；〔II 〕假设3OP OA =⋅，PAQ ∆的面积26tan S PAQ =-⋅∠，求直线l 的方程.4、〔此题总分值是14分〕数列{}n a 的前n 项和n S 满足：11,S =-121(),n n S S n N *++=-∈数列{}n b 的通项公式为34().n b n n N *=-∈〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕试比较n a 与n b 的大小,并加以证明； 〔III 〕是否存在圆心在x轴上的圆C 及互不相等的正整数n m k 、、，使得三点(,),(,),(,)n n n m m m k k k A b a A b a A b a 落在圆C 上说明理由.5、(本小题总分值是14分)一次国际乒乓球比赛中，甲、乙两位选手在决赛中相遇，根据以往经历，单局比赛甲选手胜乙选手的概率为０．６，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的选手获胜，比赛完毕．设全局比赛互相间没有影响，令ξ为本场比赛甲选手胜乙选手的局数〔不计甲负乙的局数〕，求ξ〕． 6、(本小题总分值是14分) 数列{}n a 的前n 项和为S n *()n N∈，点〔a n，S n〕在直线y =2x -3n 上．〔1〕假设数列{}的值求常数成等比数列C c a n ,+；〔5分〕〔2〕求数列}{n a 的通项公式；〔3分〕 〔3〕数列{}请求出一组若存在它们可以构成等差数列中是否存在三项,?,n a 适宜条件的项；假设不存在，请说明理由．〔6分〕7、〔本小题14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足211=a ，)2(021≥-n S S a n n n ＝＋． 〔1〕问：数列}1{nS 是否为等差数列？并证明你的结论；(5分) 〔2〕求n S 和n a ；(5分)〔3〕求证：nS S S S n 41212232221-≤+⋅⋅⋅+++(4分) 8、〔本小题总分值是14分〕函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0.〔Ⅰ〕假设b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(7分)〔Ⅱ〕设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.(7分) 9、〔本小题总分值是14分〕设抛物线214C ymx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 的一个交点为P .〔Ⅰ〕当1m =时，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，假设弦长12A A 等于三角形12PF F 的周长，求直线l 的斜率.〔Ⅱ〕求最小实数m ，使得三角形12PF F 的边长是自然数．10、〔本小题总分值是14分〕〔Ⅰ〕函1()2()(),([0,),n n n f x x a x a x n -=+-+∈+∞〔Ⅱ〕明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈；〔Ⅲ〕定理:假设123,,k a a a a 均为正数,那么有123123()n n nn n kka a a a a a a a kk++++++++≥成立(其中2,,)kk N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +均为正数时，12311231()11n n nn n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++．11、 本小题总分值是14分〕如图，在OAB ∆中，||||4OA OB ==，点P 分线段AB 所成的比3:1，以OA 、OB 所在 直线为渐近线的双曲线M 恰好经过点P ，且离心率为2．〔Ⅰ〕求双曲线M 的HY 方程； 〔Ⅱ〕假设直线y kx m =+〔0k ≠，0m ≠〕与双曲线M 交于不同的两点E 、F ，且E 、F 两点都在以(0,3)Q -为圆心的同一圆上，务实数m 的取值范围．12、本小题总分值是14分函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e -上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+〔其中e 为自然对数的底，a ∈R 〕．〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅱ〕设ln ||()||x g x x =〔[,0)(0,]x e e ∈-〕，求证：当1a =-时，1|()|()2f xg x >+； 〔Ⅲ〕试问：是否存在实数a ，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？假设存在，求出实数a 的值；假设不存在，请说明理由．13、〔小题总分值是14分〕锐角α、β满足sin cos()m βαβ=+〔0m >，2παβ+≠〕，令tan y β=，tan x α=。

2021年高考数学压轴必刷题（第三辑）专题08利用导数研究极值点偏移问题C 辑1．已知函数()ln 11x f x x +=-，()f x '为()f x 的导函数，()()12f x f x =且12x x <. 证明：（1）()0f x '<； （2）211x x ->.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）()ln 11x f x x +=-，定义域为()()0,11,⋃+∞，且()()21ln 1x x f x x ---'=，令()1ln g x x x =--，则()22111x g x x x x-=-='. 所以当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. 所以()()110g x g ≤=-<，对于函数()y f x =，1x ≠，因此()0f x '<； （2）由（1）得，函数()y f x =在()0,1，()1,+∞上单调递减，所以1201x x <<<.()()()()()()ln 11ln 1ln 1ln 1ln 1111x x x x x x x f x f x x x x x +++---+++-=-=--()()11ln 1ln 111x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=+--，01x <<. 由（1）得()1ln 1g x x x=--≤-，等号当且仅当1x =时成立， 从而11ln1x x≤-，即ln 1x x ≤-，等号当且仅当1x =时成立， 又0x >时，111x +>，因此11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以当01x <<时，11ln 101x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>-，又()()ln 101x x x +>-，所以()()()1121f x f x f x +>=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，且111x +>，21>x ，所以211x x >+，故211x x ->. 2．已知函数()ln f x x x a =-+． （1）讨论函数()f x 零点的个数；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．【答案】（1）1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点. 1a >时，函数()f x 有2个零点. （2）证明见解析. (1)有题意得()111xf x x x-'=-= 由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在1+，上单调递减.1x ∴=时，()f x 取得极大值，也是最大值为()11f a =-，所以当10a -<，即1a <时，函数()f x 无零点. 当10a -=，即1a =时，函数()f x 有1个零点. 当10a ->，即1a >时，()0aaf e a ea --=--+<()2a a f e a e =-，设()2(1)x u x x e x =->， ()20x u x e '=-<在(1,)+∞恒成立，()u x 在(1,)+∞单调递减，()(1)20u x u e <=-<，所以()0a f e <，()f x 在(,1)a e -，(1,)ae 各有一个零点，函数()f x 有2个零点.综上所述：1a <时，函数()f x 无零点.1a =时，函数()f x 有1个零点. 1a >时，函数()f x 有2个零点.（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln lnx x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，只要证33ln 1(1)t tt <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=，令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+， 22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数，所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<，所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >）， 所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数，()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=， 所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-， 综上，122ln ln 0x x +<成立． 3．已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，求证：()()126ln f x f x a +<-. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； （1）因为函数()214ln 22x a x f x x =---， 所以()244a x x af x x x x-+'=--=-，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，令24t x x a =-+，①若1640a -≤，即4a ≥时，则()0f x '≤，此时()f x 的单调减区间为()0,∞+； ②若1640a ->，即04a <<时，令()0f x '=，得2x =±，当02x <<2x >()0f x '<，当22x <<()0f x '>，此时()f x 的单调减区间为(0,2，()2+∞，单调增区间为(22-.（2）由（1）知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且124x x +=，12x x a =. 因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+---，()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+-， ()21164ln l 2n 442a a a a a a =----=+-， 要证()()126ln f x f x a +<-，只需证ln ln 20a a a a --+>. 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+， 则()1111ln ln g x x xx x '=+--=-， ()g x '在()0,4上单调递增，又()110g '=-<，()12ln 202g '=->，且()g x '在定义域上不间断， 由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x ，且001ln x x =. 则()g x 在()00,x 上递减，()0,4x 上递增，所以()g x 的最小值为()0g x 因为()0000011123g x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭， 当()01,2x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()00g x >， 所以()()00g x g x ≥>恒成立. 所以ln ln 20a a a a --+>， 所以()()126ln f x f x a +<-，得证. 4．已知函数()ln =-+f x x x a ． （1）求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<． 【答案】（1）最大值是(1)1f a =-+；（2）证明见解析． （1）函数定义域是(0,)+∞，由题意11()1xf x x x-='-=，当01x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x =时，()f x 取得唯一的极大值也是最大值(1)1f a =-+．（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞， 由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211ln ln lnx x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，只要证33ln 1(1)t tt <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t'=+--=+-+，(1)0h '=，令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+，22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，1()41n t t t'=-+，0t >时，()n t '是减函数，所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<，所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '<，()h t 在1t >时是减函数，()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，所以33ln (1)0t t t --<，即33ln (1)t t t <-，综上，122ln ln 0x x +<成立．5．已知函数()ln (1),f x x k x k R =--∈． （1）若1k =，求函数()f x 的最大值； （2）若函数1()()2g x f x kx x=++有两个不同的零点12,x x ，求证：121x x +>． 【答案】（1）0（2）见解析（1）当1k =时，()ln 1f x x x =-+，()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x x'=-， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减， 所以max ()(1)0f x f ==，即函数()f x 的最大值为0. （2）由题意得，11()()ln 22g x f x kx x k x x=++=++， 因为函数()g x 有两个不同的零点12,x x ，所以11221ln 021ln 02x k x x k x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，两式相减得112212ln 2x x x x x x -=，所以1212122ln x x x x xx -=，所以122112112211,2ln 2lnx x x x x x x x x x --==， 所以1212212112111222112ln 2ln 2lnx x x x x x x x x x x x x x x x ---+=+=，不妨设12x x <，令12x t x =，则(0,1)t ∈，1212ln t t x x t-+=， 令1()2ln t t t t ϕ=--，当01t <<时，22(1)()0t t tϕ'-=>， 故()t ϕ在(0,1)上单调递增，所以当01t <<时，()(1)0t ϕϕ<=，即112ln 0,2ln t t t t t t--<-<．因为01t <<时，ln 0t <，所以112ln t t t->，故121x x +>.6．已知函数()()21ln x f x x x a-=-+.其中0a >.（1）求()f x 的单调区间；（2）设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，求证：()()()121211f x f x ax x a a --<-+.【答案】（1）()f x在(0,1和()1+∞内单调递减，在(1内单调递增；（2）证明见解析. 解：（1）求导，得()()()()22222112a x x x a f x x a x x a +-+-'=-=++（其中0x >）. ①当1a ≥时，()()()()22221210x x x f x x x a x x a ---+-'≤=≤++恒成立，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无单调递增区间；②当01a <<时，由2220x x a -+->，解得11x << 由2220x x a -+-<，解得01x <<1x > 故()f x在区间(0,1和()1+∞内单调递减，在区间(1+内单调递增.（2）因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（1）知，01a <<且122x x +=，212x x a =.()()()()()121212122121ln ln x x f x f x x x x a x a --⎡⎤-=---⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()12211212211ln ln x x a x x a x x x a x a -+--+⎡⎤⎣⎦=--++()()()1212212122(1)ln ln a x x x x x x a x x a+-=--+++ 所以()()()121212212121221ln ln ln ln 122f x f x a x x x x x x a a x x a x x -+--=-=--+--. 设函数()()()21ln 011t g t t t t -=-<<+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++. 故()g t 在区间()0,1内单调递增，于是()()10g t g <=，即()()21ln 011t t t t -<<<+. 不妨设12x x <，令()0,1t =，则121ln 2x x <即124ln ln x x-<.于是()12212ln ln 442221x x x xa a ->===-+++.从而()()()121212111f x f x ax x a a a a --<-=-++.7．已知2a >，函数()1ln xf x e x ax e=+-. （1）判断()f x 极值点的个数；（2）若()1212x x x x <，是函数()f x 的两个极值点，证明：()()212ln f x f x a -<. 【答案】（1）2个.（2）证明见解析 （1）由题意得()11x f x e a e x '=+-，0x >，令()()11x g x f x e a e x'==+-，0x >，则()211x g x e e x'=-在()0,∞+上递增，且()10g '=， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 递增 ∴()()min 120g x g a ==-<∵1110a g e a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()120g a =-<，∴11,1x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10g x =.当()10,x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 递增； 当()1,1x x ∈时，()()0g x f x ='<，()f x 递减， ∴1x x =是()f x 的极大值点 ∵()11ln 01ln g a a+=>+，()120g a =-<，∴()21,1ln x a ∃∈+，()20g x =.当()21,x x ∈时，()()0g x f x ='<，()f x 递减； 当()2,x x ∈+∞时，()()0g x f x '=>，()f x 递增， ∴2x x =是()f x 的极小值点. ∴()f x 在()0,∞+上有两个极值点（2）证明：()1212x x x x <，是函数()f x 的两个极值点. 由（1）得12111ln x x a a<<<<+，且()()120g x g x ==， 即()()1212121111x x g x e a g x e a e x e x =+-==+-，所以()2121121x x x x e e e x x --=. ∴210x x ->，11a x <，()2111ln x a a x <<+， 由121111ln ，x x a a <<<<+，则121x x a <，即121a x x <，所以1210a x x -< ∴()()()()()()2122212121112111ln ln ln 1ln x x x x f x f x e e a x x x x a a a e x x x x ⎛⎫-=-+--=--+<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭设()()1ln 2a a a a ϕ=+->，则()110a aϕ'=-<，∴()a ϕ在2a >时单调递减，则()()2ln 210a ϕϕ<=-< ∴1ln a a +<，则()21ln a a a +<.∴()()221ln 2ln f x f x a a -<=8．已知函数2()(3)(2)x f x x e a x =-+-，a R ∈ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，证明：124x x +<. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.（1）由题意得()()(3)2))2(2(2x xx f x x e a x e e a x '=-+-++=-，x ∈R ，（i ）当0a ≥时，20x e a +≥，令()0f x '=得2x =， 当(),2x ∈-∞时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，∴()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（i i ）当0a <时，令()0f x '=得12x =，()2ln 2x a =-， ①当()ln 22a -=即22e a =-时，当x ∈R 时，均有()0f x '≥，∴()f x 在R 上单调递增；②当()ln 22a -<即202e a -<<时，当()()(),ln 22,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()ln 2,2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；③当()ln 22a ->即22e a <-时，当()()(),2ln 2,x a ∈-∞-+∞时，()0f x '>；当()()2,ln 2x a ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减.综上所述，当22e a <-时，()f x 在(),2-∞和()()ln 2,a -+∞上单调递增，在()()2,ln 2a -上单调递减；当22e a =-时，()f x 在R 上单调递增；当202e a -<<时，()f x 在()(),ln 2a -∞-和()2,+∞上单调递增，在()()ln 2,2a -上单调递减；当0a ≥时，()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（2）当2x =时，20(2)f e =-≠，∴2x =不是()f x 的零点，当2x ≠时，由()0f x =得2(3)(2)xx e a x --=-，令()()2(3),2(2)xx e h x x x -=≠-， 则()()2234(2)(2)(2)(3)(222)1)3(xxxe x e x x x x x e h x x ---⋅-'=⎡⎤-+⎣⎦=---⋅， 易知()2310xx e ⎡⎤-+>⎣⎦，当(),2x ∈-∞时，3(02)x -<，()0h x '<，∴()h x 在(),2-∞上单调递减，且当(),2x ∈-∞时，()0h x <；当()2,x ∈+∞时，3(02)x ->，()0h x '>，∴()h x 在()2,+∞上单调递增，且()30h =；根据函数()h x 的以上性质，画出()y h x =的图象，如图所示：由图可知，1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点⇔直线y a =-与()y h x =的图象有两个交点⇔0a -<即0a >，不妨设：122x x <<，要证124x x +<，即要证1242x x <-<，由（1）知，当0a >时，()f x 在(),2-∞上单调递减，∴即要证()()124x f f x >-，又()()120f x f x ==，∴即要证()()224x f f x >-，即要证()()2240x f f x -->， 令()()()()4,2,0x f x g x f x a >-=>-， 则()()()()()442(2)2(22)xxx x g x x e x ex e e a a --'++-=-+-=-，当()2,x ∈+∞时，20x ->，24x x e e e ->>即40x x e e -->，∴()0g x '>，()g x 在()2,+∞上单调递增，∴()()220g x g >=， ∴()()2240x f f x -->， ∴原不等式成立.9．已知函数()x f x e mx =-．（1）讨论()f x 的单调区间与极值；（2）已知函数()f x 的图象与直线y m =-相交于11(,)M x y ，22(,)N x y 两点（12x x <），证明：124x x +>． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析． 解：（1）'()x f x e m =-，①当0m ≤时，'()0f x >，此时()f x 在R 上单调递增，无极值； ②当0m >时，由'()0f x =，得ln x m =.所以(,ln )x m ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；(ln ,)x m ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.此时函数有极小值为(ln )ln f m m m m =-，无极大值.（2）由题设可得12()()f x f x m ==-，所以1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，且由（1）可知1ln x m <，2ln x m >，m e >.1x e m <，1(1)m x m -<，∴111x -<，同理211x ->，由11(1)x em x =-，可知110x ，所以120111x x <-<<-.由1212(1)(1)x x e m x e m x ⎧=-⎨=-⎩，得1122ln ln(1)ln ln(1)x m x x m x =+-⎧⎨=+-⎩，作差得22111ln1x x x x -=-- 设211(1)x t x -=-（1t >），由22111ln 1x x x x -=--，得1ln (1)(1)t t x =--， 所以1ln 11t x t -=-，即1ln 11tx t =+-， 所以2ln 11t tx t =+-， 要证124x x +>，只要证ln ln 211t t t t t +>--，即(1)ln 21t t t +>-，只要证4ln 201t t +->+. 设4()ln 21h t t t =+-+（1t >），则22(1)'()0(1)t h t t t -=>+. 所以()h t 在(0,)+∞单调递增，()(1)0220h t h >=+-=. 所以124x x +>.10．已知函数1()ln ()f x a x a a R x=++∈． （1）当2a =时，若()f x 在1x x =，()212x x x x =≠处的导数相等，证明：()()126f x f x +>； （2）若()f x 有两个不同的零点3x ，()434x x x <，证明：234112e x x +>． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （1）当2a =时，1()2ln 2(0)f x x x x=++> 所以222121()x f x x x x ='-=-，由题意，得1222122121x x x x --=，化简，得12112+=x x所以12112x x =+>=，121x x > 所以()()()121212112ln 46f x f x x x x x +=+++> （2）由题意，得33441ln 01ln 0a x a x a x a x ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩两式相减，得()343411ln ln 0a x x x x -+-= 所以34343434111111ln ln ln ln x x x x a x x x x --=-=--构造函数2(1)4()ln ln 2(0)11x h x x x x x x -=-=+->++则22214(1)()0(1)(1)x h x x x x x -'=-=++，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增 所以当(1,)x ∈+∞时，2(1)ln 1x x x ->+ 令43x x x =，则43443321ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，化简得3434341111112ln ln x x x x x x -+<-所以34112x x a +<，所以34112a x x +>．因为2211()a ax f x x x x-'=-= 若0a ，则()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 不可能有两个不同的零点，所以0a >()010,f a x x '∴<⇒∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,()0f x a x '⎛⎫-+∞ ⎪⎝>⇒⎭∈则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭所以1ln 20a a a ⎛⎫+<⎪⎝⎭，即2ln 0a -<，解得2a e > 故2341122a e x x +>>． 11．已知函数g （x ）＝e x ﹣ax 2﹣ax ，h （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ．其中e 为自然对数的底数． （1）若f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）． ①讨论f （x ）的单调性；②若函数f （x ）有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．（2）已知a ＞0，函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2，证明：()2124x x ln a +＜．【答案】（1）①见解析；②（0，1）；（2）证明见解析（1）f （x ）＝h （x ）﹣g （x ）＝e x ﹣2x ﹣lnx ﹣e x +ax 2+ax ＝ax 2+（a ﹣2）x ﹣lnx （x ＞0）,①()()()()()22212111'22ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==（x ＞0）, （i ）当a ≤0时,f ′（x ）＜0,函数f （x ）在（0,+∞）上递减； （ii ）当a ＞0时,令f ′（x ）＞0,解得1x a ＞；令f ′（x ）＜0,解得10x a＜＜, ∴函数f （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减,在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递增； 综上,当a ≤0时,函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时,函数f （x ）在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减,在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ②由①知,若a ≤0,函数f （x ）在（0,+∞）上单调递减,不可能有两个不同的零点,故a ＞0； 且当x →0时,f （x ）→+∞；当x →+∞时,f （x ）→+∞； 故要使函数f （x ）有两个不同的零点,只需21121()()0min a f x f a ln a a a a -⎛⎫==⋅+-⎪⎝⎭＜,即110lna a -+＜, 又函数11y lnx x =-+在（0,+∞）上为增函数,且11101ln -+=,故110lna a-+＜的解集为（0,1）, 故实数a 的取值范围为（0,1）（2）证明: g ′（x ）＝e x ﹣2ax ﹣a ,依题意,则12122020x x e ax a e ax a ⎧--=⎨--=⎩,两式相减得,()1212122x x e e a x x x x -=-＜,因为a ＞0,要证()2124x x ln a +＜,即证1222x x ln a +＜,即证1212212x xx x e e e x x +--＜，两边同除以2x e ,即证()12122121x x x x x x ee ----＞,令t ＝x 1﹣x 2（t ＜0）,即证210tt te e -+＞,令()()210tt h t te e t =-+＜,则()22'12t tt h t e e ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,令()212tt p t e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则()21'12tp t e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当t ＜0时,p ′（t ）＜0,所以p （t ）在（﹣∞,0）上递减,∴p （t ）＞p （0）＝0, ∴h ′（t ）＜0,∴h （t ）在（﹣∞,0）上递减,∴h （t ）＞h （0）＝0,即210tt te e -+＞,故()2124x x ln a +＜.12．已知函数()()ln f x x mx m =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性（2）若()f x 恰有两个不同的零点1x ，2x ，证明：()()120f x f x ''+>. 【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（2）证明见解析.（1）解：因为()ln f x x mx =-，所以()()110mxf x m x x x-'=-=>， 当0m ≤时，0f x 恒成立，所以()f x 在0,上单调递增，当0m >时，令0fx，得10x m<<；令0f x ，得1x m>， 则()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0m ≤时，()f x 在0,上单调递增；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）证明：因为1x ，2x 是()f x 的两个零点.所以11ln x mx =，22ln x mx =，所以1212ln ln x x m x x -=-，则()()1212121212ln ln 111122x x f x f x m x x x x x x -''+=+-=+-⋅-， 要证()()120f x f x ''+>，即证1212121ln ln 120x x x x x x -+-⋅>-.不妨设120x x >>，则1212121ln ln 120x x x x x x -+-⋅>-等价于1212122ln 0x x x x x x -->.令12x t x =，则1t >，设()()ln 121h t t t t t =-->，所以()()()222112101t h t t t t t-'=+-=>>， 所以()h t 在1,上单调递增，则()()10h t h >=，即12ln 0t t t-->对任意1t >恒成立.故()()120f x f x ''+>. 13．已知函数()ln 2()=+-∈mf x x m R x. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个零点分别为()1212，<x x x x ，试求m 的取值范围，并证明12111x x e+>. 【答案】（1）0m ≤时，()f x 在0,上单调递增，当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞单调递增；（2）()0,e ，证明见解析. （1）()()2210-'=-=>m x mf x x x x x， 当0m ≤时，0f x ，()f x 在0,上单调递增；当0m >时，()0,∈x m ，0f x，()f x 单调递减；(),∈+∞x m ，0fx ，()f x 单调递增.（2）方程()ln 20=+-=mf x x x的两根为1212,()x x x x <， 即方程2ln m x x x =-有两根，于是直线y m =与函数()2ln g x x x x =-图象有两个不同的交点. ()1ln g x x '=-，易得：()()max ==g x g e e ，所以m 的取值范围是(0,)e .因为112ln m x x =-；222ln m x x =-，两式相加得：()1212111+=4ln -⎡⎤⎣⎦x x x x m， 因为()f x 在(,)m +∞上单调递增，且2222()ln 20m mf e e e e =+-=> 所以22<<m x e ，又10x e <<，所以3120<<x x e ，即()12ln 3<x x ， 所以()121211111+4ln ⎡⎤=->>⎣⎦x x x x m m e ， 即证：12111+>x x e. 14．已知函数()ln xa xf x e a x=--（e 自然对数的底数）有两个零点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若()f x 的两个零点分别为1x 2x ，证明：12212x x e x x e+>.【答案】（1）(e,)+∞.（2）证明见解析（1）ln ln ()e x xx xe a x a f x a a x x--=--=有两个零点，等价于()()()e (ln )e ln e 0x x xh x x a x x x a x x =-+=->有两个零点，令ext x =，则(1)e 0xt x '=+>在0x >时恒成立，所以e x t x =在0x >时单调递增， 所以()()e ln e xxh x x a x =-有两个零点，等价于()ln g t t a t =-有两个零点.因为()1a t a g t t t-'=-=所以 ①当0a ≤时，()0g t '>，()g t 单调递增，不可能有两个零点；②当0a >时，令()0g t '>，得t a >，()g t 单调递增；令()0g t '<，得0t a <<，()g t 单调递减. 所以min ()()ln g t g a a a a ==-.若()0g a >，得0a e <<，此时()0g t >恒成立，没有零点； 若()0g a =，得e a =，此时()g t 有一个零点； 若()0g a <，得e a >，因为(1)10g =>，且e a >，()2ee0aag a =->，所以()g t 在(1,)e ，()e,e a 上各存在一个零点，符合题意.综上，当a e >时，函数()g t 有两个零点，即若函数()f x 有两个零点，则a 的取值范围为(e,)+∞. （2）要证12212e ex x x x +>，只需证()()12212e eexx x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e2xx x x +>，由（1）知111e x t x =，222e xt x =，所以只需证12ln ln 2t t +>.因为11ln a t t =，22ln a t t =，所以()2121ln ln a t t t t -=-，()2121ln ln a t t t t +=+，所以()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-. 设120t t <<，令21t t t =，则1t >，所以只需证1ln 21t t t ->+，即证4ln 201t t +->+. 令4()ln 21h t t t =+-+，1t >，则22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++，()(1)0h t h >=. 即当1t >时，4ln 201t t +->+成立. 所以12ln ln 2t t +>，即()()12212e e exx x x ⋅>，即12212e ex x x x +>.15．设函数()ln af x x x=+．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当10a e<<时，设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122a x x <+ 【答案】（1）见解析；（2）见解析. （1）因为()()ln ,0,a f x x x x =+∈+∞，所以221()a x af x x x x'-=-+=，所以当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，若()0,x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减； 若(),x a ∈+∞，则()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；（2）证明：由（1）知，当10a e<<时，函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且1x ，2x 是()f x 的两个零点，()0f a <，不妨设120x a x <<<， 令()()()()()2ln 2ln ,02a ag x f a x f x a x x x a a x x=--=+---<≤-，则()()()()22224110222a x a aa g x a x x x a x a x -'=-+-=≥---， 所以函数()g x 在(]0,a 上单调递增， 又()0g a =，所以()()10g x g a <=，所以()()1120f a x f x --<即()()112f a x f x -<， 所以()()122f a x f x -<，又12a x a ->，2x a >，函数()f x 在(),a +∞上单调递增， 所以122a x x -<即122a x x <+. 16．已知函数()()()2ln 11af x x a x a=++>+． （1）()f x 的导函数记作fx ，且fx 在()1,-+∞上有两不等零点，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点，记作1x ，2x ，求证：()()124f x f x +>． 【答案】（1）1,2；（2）证明见解析．解：（1）()()()()()22221211x a a af x x x a x x a +-=-=+'+++，1x >-， ()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，令()()22h x x a a =+-．由题意，()0{10h ∆>->，解得：12a <<.所以a 的取值范围为1,2．（2）由（1）知，12a <<， 由()()()()22201x a a f x x x a +-==++'，即()220x a a +-=，得()12120{2x x x x a a +==-，()()()()12121222ln 11a af x f x x x a x a x ⎡⎤+=++++⎣⎦++ ()()()1212122121222ln 1a x x a x x x x x x a x x a++=++++++()()2224ln 12a a a a a =-+-+()22ln 121a a ⎡⎤=-++⎣⎦-，要证明()()124f x f x +>，则只需证明()22ln 1201a a -+->-， 令1a t -=，由()1,2a ∈可得()0,1t ∈， 当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()2210t g t t-'=<， 所以g t 在0,1上是减函数，所以()()10g t g >=，适合题意. 综上，()()124f x f x +>． 17．已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x 、2x ，证明：()()121222f x f x a x x ->--.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）函数()2ln a f x x a x x =--的定义域为()0,∞+，()222221a a x ax af x x x x-+'=+-=. 令()22g x x ax a =-+，244a a ∆=-.①当2440a a ∆=-≤时，即当01a ≤≤时，对任意的0x >，()0g x ≥，则()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； ②当2440a a ∆=->时，即当1a >时，方程()0g x =有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x <，令220x ax a -+=，解得10x a =>，20x a =>. 解不等式()0f x '<，可得a x a << 解不等式()0f x '>，可得0x a <<或x a >此时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a，()a ++∞，单调递减区间为(a a .综上所述，当01a ≤≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a，()a +∞，单调递减区间为(a a ；（2）由（1）可知，1x 、2x 是关于x 的二次方程220x ax a -+=的两个不等的实根，由韦达定理得12122x x ax x a +=⎧⎨=⎩，()()()()1122121212121212122ln 2ln 22ln ln a ax a x x a x f x f x x x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭∴==---()12122ln ln 2a x x x x -=--，要证()()121222f x f x a x x ->--，即证()12122ln ln 222a x x a x x -->--，即证1212ln ln 1x x x x -<-， 设12x x <，即证()()()()121211212122122122ln2x x x x x x x ax x x x x a x x x x +->-=-==-， 210x x >>，设()120,1x t x =∈，即证()12ln 01t t t t>-<<， 构造函数()12ln h t t t t =--，其中01t <<，()()22211210t h t t t t-'=+-=>， 所以，函数()y h t =在区间()0,1上单调递增， 当01t <<时，()()10h t h <=，即12ln t t t>-. 故原不等式得证. 18．已知函数()()xf x xex R -=∈.（1）判断函数()f x 的单调性；（2）若方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，求实数a 的取值范围；（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：()12ln ln 2x x +>.【答案】（1）在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.；（2）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（3）证明见解析.（1）因为()x f x xe -=，所以()()1xf x x e -'=-，令()0f x '>可得1x <；令()0f x '<可得1x >；所以函数()xf x xe -=在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）由（1）可得函数()xf x xe -=在1x =处取得最大值，()()max 11f x f e==， 所以函数()xf x xe -=的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，且x →+∞时，()0f x →；因为方程()22310f x a a +-+=有两个不同的根，所以212310,a a e ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，即22310a a -+->，21231a a e -+-<，解得112a <<. 即实数a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（3）证明：由()()12f x f x =，12x x ≠，不妨设12x x <， 构造函数()()()11F x f x f x =+--，(]0,1x ∈， 则()()()()211110xx x F x f x f x ee+'''=++-=->，所以()F x 在(]0,1x ∈上单调递增，()()00F x F >=， 也即()()11f x f x +>-对(]0,1x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则(]110,1x -∈，所以()()()()()()()1111211211f x f x f x f x f x +-=->--==，.即()()122f x f x ->，又因为12x -，()21,x ∈+∞，且()f x 在()1,+∞上单调递减，所以122x x -<， 即证122x x +>. 即()12ln ln 2x x +>. 19．设函数()()ln 0,x x f x a a R a x=-≠∈. （1）若()n 1l 1f x x x ⎛⎫⎪⎝⎭≥-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x 且12x x <，求证：211ax x e-<-. 【答案】（1）0a e <≤；（2）证明见解析. 解：（1）原不等式等价1ln x a x ≥恒成立，令()ln x p x x =，()21ln x p x x-'=， 当()0,x e ∈，()p x 单调递增；().x e ∈+∞，()p x 单调递减， ()()max 1p x p e e==，∴0a e <≤；（2）当1x ≠时，()20ln x f x a x =⇔=，令()2ln h x x x=，()()()22ln 1ln x x h x x -'=.可知()h x 在()0,1，(单调递减，)+∞单调递增，2he =，∴当2a e >时，()f x 有两个零点1x 、2x ，且121x x <<. 由（1）知：当1x >时，()h x ex ≥，令2ex a '=，∴2ax e'=， ∴21211ax x x e'-<-=-，即证. 20．已知函数()2ln 2f x x x ax =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，求()()122f x f x -的最小值． 【答案】（1）20x y --=；（2）14ln 22+-. 解：（1）当1a =时，()ln 2f x x x x =+-，()122f x x x'=+-， ()11f =-，()11f '=，则11y x +=-，所以2y x =-，即曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为20x y --=．（2）函数()2ln 2f x x x ax =+-，()0,x ∈+∞，()2221x ax f x x-+'=，因为1x ，2x 是函数()f x 的极值点，所以1x ，2x 是方程22210x ax -+=的两不等正根，则有2480a ∆=->，120x x a +=>，1212x x ⋅=，所以a >22a >，即10,2x ⎛∈ ⎝⎭，22x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，且有211221ax x =+，222221ax x =+，()()()()221211122222ln 2ln 2f x f x x x ax x x ax -=+--+- ()()22221112222ln 21ln 21x x x x x x =+---+--22112222ln ln 1x x x x =-+-+-222222222222111322lnln 1ln 2ln 212222x x x x x x x ⎛⎫=-+--=---- ⎪⎝⎭令22t x =，则1,2t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()13ln 2ln 2122g t t t t =----，()()()22211131222t t g t t t t--'=+-=， 当1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，当()1,t ∈+∞上单调递增． 所以()()min 14ln 212g t g +==-． 所以()()122f x f x -的最小值为14ln 22+-． 21．已知函数()21()ln 02f x x x a x a =-+>. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1232ln 2()()4f x f x --+>. 【答案】（1）当104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在1122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）证明见解析. （1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()1a x x af x x x x-+'=-+=，设()2g x x x a =-+，则14a ∆=-，若0∆≤，即14a ≥时，()0g x ≥， ∴()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 若0∆>，即104a <<时，令()0f x '=，则112x =，212x =当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>.，当x ∈⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在10,2⎛- ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1122⎛ ⎝⎭上单调递减.综上可得：当104a <<时，()f x 在10,2⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减；当14a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）由（1）知104a <<时()f x 存在两个极值点1x ，2x 则方程20x x a -+=有两根1x ，2x ，所以121x x =+，12x x a =，221212121211()()ln ln 22f x f x x x a x x x a x +=-++-+121212121()()ln 2x x x x a x x =+-++ 2111212121()2()ln 2x x x x x x a x x ⎡⎤=+--++⎣⎦()1121ln 2a a a =--+1ln 2a a a =-+-. 令1()ln 2h a a a a =-+-，10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1()1110h a na a na a'=-++⋅=<， 所以()h a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()132244ln h a h --⎛⎫>=⎪⎝⎭， 所以1232ln 2()()4f x f x --+>. 22．已知函数()21xf x e x =--. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在12ln 2x x <<，使得()()12f x f x =，证明：122ln 2x x +<.【答案】（1）单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞；（2）证明见解析.（1）由题可知()2xf x e '=-，令()0f x '=，得ln 2x =，当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),ln 2-∞上单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln 2,+∞上单调递增. 综上，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞. （2）当ln 2x >时，2ln 2ln 2x -<.()()2ln 242ln 222ln 2124ln 21x x f x e x x e--=---=+--. 令()()()()42ln 244ln 2ln 2xxh x f x f x e x x e =--=--+>， 则()440xx h x e e'=+->. ∴()h x 在()ln 2,+∞上单调递增. 又()ln 20h =，∴当ln 2x >时，()()ln 20h x h >=，。

0 x x xa 故 g (x )max = g (1) = 0 ，所以ln a ≥ 0 ，即 a ≥ 1．——MST 教学总监利哥即 x ≥ ln ex ，得 x ≥ ln x + 1 - ln a ，即 ln a ≥ ln x + 1 - x ，令 g (x ) = ln x + 1 - x ，则 g '(x ) = 1 - 1， aa a 构造函数 h (x ) = x ⋅ e x ，则 h '(x ) = (x - 1)e x ， h (x ) 在 x ∈ (-∞ ，- 1) 上单调递减， h (x ) 在 x ∈ (-1，+ ∞)上单调递增，当ln ex ≤ 0 原不等式恒成立，故只需考虑ln ex > 0 的情况，①式等价于 h (x ) ≥ h (ln ex ) a aa e 指对同构法二 由题意 f (x ) = ae x -1 - ln x + ln a ≥ 1即 a ⋅ e x ≥ ln x + 1 - ln a = ln ex ，即 xe x ≥ ex ⋅ ln ex …①， （2021•新高考导数压轴）已知函数 f (x) aex 1 ln x ln a ．（1）当 a = e 时，求曲线 y = f (x ) 在点(1，f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若 f (x ) ≥ 1 ，求 a 的取值范围．——MST 教学总监利哥【解析】（1）当 a = e 时， f (x ) = e x - ln x + 1，求导 f '(x ) = e x - 1， f '(1) = e - 1 ，又 f (1) = e + 1，曲线 y = f (x ) x在点(1，f (1)) 处的切线方程为 y - (e + 1) = (e - 1)(x - 1) ，当 x = 0 时， y = 2 ，当 y = 0 时， x = -2 e - 1，则曲线 y = f (x ) 在点(1，f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S = 1 ⨯ 2 ⨯ 22 = e - 1 2 ．e - 1 （2）常规法：f (x ) = ae x -1 - ln x + ln a (x ，a > 0) ，求导 f '(x ) = ae x -1 - 1 ，易知 f '(x ) 在(0 ，+ ∞) 上为增函数，xy = ae x -1 在(0 ，+ ∞) 上为增函数， y = 1 在(0 ，+ ∞) 上为减函数， y = ae x -1 与 y = 1 在(0 ，+ ∞) 上有交点，存x x在 x ∈ (0 ，+ ∞) ，使得 f '(x ) = ae x 0 -1 - 1 = 0 ，则 ae x 0 -1 = 1 ，则ln a + x - 1 = - ln x ，即ln a = 1 - x - ln x ，0 0 0 0 0 0 0 0 当 x ∈ (0 ，x 0 ) 时， f '(x ) < 0 ，函数 f (x ) 单调递减，当 x ∈ (x 0 ，+ ∞) 时， f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 单调递增，f (x ) ≥ f (x ) = ae x -1 - ln x + ln a = 1 - ln x + 1 - x - ln x = 1 -2 ln x + 1 - x ≥ 1 则 1 - 2 ln x - x ≥ 0 ， 设 0 0 x 0 0 0 x 0 0 x 0 0 0 0 0g (x ) = 1 - 2 l n x - x ，易知函数 g (x ) 在 (0 ，+ ∞) 上单调递减，且 g (1) = 0 ，当 x ∈ (0 ，1] 时， g (x ) ≥ 0 ，故 xx ∈ (0 ，1]， 1 - 2 ln x - x ≥ 0 ，设 h (x ) = 1 - x - ln x (x ∈ (0 ，1]) ， h '(x ) = -1 - 1 < 0 恒成立，则 h (x ) 在(0 ，1]0 0 0 上单调递减， h (x ) ≥ h (1) = 0 ，当 x → 0 时， h (x ) → +∞ ， ln a ≥ 0 = ln1，所以 a ≥ 1．——MST 教学总监利哥0 x x同构保值性法五由f (x) ≥ 1 ，可得g(x) =a(e x -1 -x) +x - 1 - ln x + (a - 1)x + ln a ≥ 0 ，易证a(e x-1 -x) ≥ 0 ，当且仅当x = 1时等号成立；x - 1 - ln x ≥ 0 ，当且仅当x = 1时等号成立；当 a ≥ 1时，不等式恒成立，当 a < 1时，易证g (1) < 0 ，矛盾舍去，故 a 的范围为[1，+∞) ．——MST 教学总监利哥放缩法七由题意即ae x -1 -1≥ ln x - ln a ，易证e x ≥x +1，故ae x -1 ≥ax ；易证ln x ≤x -1，故原式等价于x(a -1) + ln a ≥ 0 ，当a ≥1时，不等式恒成立，当a <1时，易证g (1) < 0 ，矛盾舍去，故a 的范围为[1，+∞) ．——MST 教学总监利哥。