高考导数压轴题 答案

函数与导数1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ，其中 t R .(I)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； (n)当t 0时，求f (x)的单调区间；(川)证明：对任意的t (0,), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

(I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3 3x 26x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6f (0)6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x.(n)解：f (x) 12x 2 6tx 6t 2，令 f (x) 0,解得 xt 或 x -.2因为t 0，以下分两种情况讨论：(1)若t 0,则- t,当x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:所以，f(x)的单调递增区间是,|；f(x)的单调递减区间是 屮⑵若t则t ，当x变化时，f(x)f(x)的变化情况如下表:所以，f(x)的单调递增区间是 ，t ,丄， ；f(x)的单调递减区间是 t,-2 2(川)证明：由(n)可知，当t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -, 内单调2 2递增，以下分两种情况讨论：(1)当-1即t 2时，f (x)在(0，1)内单调递减，2f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0.所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。

t (0,1], f17t 3t 17t 30. 244所以f(x)在-,12 内存在零点。

t若 t (1,2), f -7t 3t 1厶3 1 0244f(0) t 1所以f(x)在02所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。

高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。

将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。

（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。

答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。

2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。

（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。

解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。

（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。

-导数压轴题题型1. 高考命题回忆例1函数f(*)＝e *－ln(*＋m)．〔2013全国新课标Ⅱ卷〕(1)设*＝0是f(*)的极值点，求m ，并讨论f(*)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(*)>0.(1)解 f (*)＝e *－ln(*＋m )⇒f ′(*)＝e *－1*＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m＝0⇒m ＝1，定义域为{*|*>－1}，f ′(*)＝e *－1*＋m ＝e **＋1－1*＋1，显然f (*)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(2)证明 g (*)＝e *－ln(*＋2)，则g ′(*)＝e *－1*＋2(*>－2)．h (*)＝g ′(*)＝e *－1*＋2(*>－2)⇒h ′(*)＝e *＋1*＋22>0，所以h (*)是增函数，h (*)＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (*)＝g ′(*)＝0的唯一实根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，设g ′(*)＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<t <0， 所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ， 当*∈(－2，t )时，g ′(*)<g ′(t )＝0，g (*)单调递减；当*∈(t ，＋∞)时，g ′(*)>g ′(t )＝0，g (*)单调递增；所以g (*)min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝1＋t 2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(*＋m )≤ln(*＋2)，所以f (*)＝e *－ln(*＋m )≥e *－ln(*＋2)＝g (*)≥g (*)min >0. 例2函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f ef x f x +-=-〔2012全国新课标〕 (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)假设b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值。

2018年数学全国1卷 已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当2()2a a x+∈+∞时，()0f x '<； 当(22a a x -+∈时，()0fx '>.所以()f x 在(0,),(,)22a a -++∞单调递减，在(22a a +单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 2017年数学全国1卷已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x xf x ae a e ae e '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a -=-+.①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点；③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<.又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上，a 的取值范围为(0,1)2016年数学全国1卷已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 【答案】(I)(0,)+∞；（II ）见解析 【解析】试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．设2()e (2)e x x g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x xg x x -=--．则当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．试题解析：（Ⅰ）'()(1)e 2(1)(1)(e 2)xxf x x a x x a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)e xf x x =-，()f x 只有一个零点．时()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．若e 2a <-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<． 由于222222(2)e (1)x f x x a x --=-+-，而22222()(2)e (1)0x f x x a x =-+-=，所以222222(2)e (2)e x x f x x x --=---．设2()e(2)e xx g x x x -=---，则2'()(1)(e e )x x g x x -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<． 2013年数学全国1卷设函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）当x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

压轴题10导数的简单应用题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值○热○点○题○型一导数的计算及几何意义1.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.一、单选题1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）A ．10x y ++=B ．230x y ++=C ．230x y --=D ．30x y --=2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （）A ．1B ．0C ．－1D ．e．已知直线l为曲线A B．10C．5D与函数()的图象都相切，则a b+=（）A．1-B．0C．1D．35．曲线22e24xy x-=⋅+在1x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）A．32B．3C．4916D．4986．已知函数()()21220232023ln 22f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20197．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b=-成立，则称函数()f x 满足性质Ω，下列函数不满足．．．性质Ω的是（）A ．()23f x x x=+B ．()()211f x x =+C ．()1ex f x -+=D ．()()cos 12f x x =-对于C ，1x -+∈R ，()1e xf x -+∴=的值域为()0,∞+；()1e x f x -+'=- ，()f x '∴的值域为(),0∞-；则()f x 的值域不是()f x '值域的子集，C 不满足性质Ω；对于D ，12x -∈R ，()()cos 12f x x ∴=-的值域为[]1,1-；()()2sin 12f x x '=- ，()f x '∴的值域为[]22-,，则[][]1,12,2-⊆-，D 满足性质Ω.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，()f x '为()f x 的导函数，若()()()121f f x f x x'=+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为（）A 1-B ．15-C 1D ．15-二、多选题9．已知函数()332f x x ax =+-的极值点分别为()1212,x x x x <，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线10．若函数()()ln 12f x x -=++的图象上，不存在互相垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．-1B ．3C ．1D ．2因为函数()f x 的图象上，不存在互相垂直的切线，所以()min 0f x '≥，即10a -≥，解得1a ≤，故选：AC11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x=-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．设函数在区间,a b 上的导函数为f x ，f x 在区间,a b 上的导函数为f x ，若区间(),a b 上()0f x ''<，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凸函数”．已知()5421122012f x x mx x =--在()1,2上为“凸函数”则实数m 的取值范围的一个必要不充分条件为（）A ．1m >-B ．m 1≥C ．1m >D ．0m >○热○点○题○型二利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.一、单选题1．函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为（）A ．(),0∞-B ．()ln2,+∞C ．(],ln2∞-D ．[)0,∞+【答案】C【详解】()2e xf x x =- ，()2e x f x ∴-'=，令()0f x ¢>，得ln 2x <，所以函数()2e =-xf x x 的单调递增区间为(],ln2∞-.故选：C2．已知函数()2,0,ln ,,x a xf x x x a x⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩若()f x 在()0,∞+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．21,e ⎡⎤⎣⎦B ．[]e,2eC ．2,e e ⎡⎤⎣⎦D ．[)e,+∞=A ．c b a <<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<【答案】A【详解】设()e 1xf x x =--，因为()e 1x f x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，4．若函数满足xf x f x >-在R 上恒成立，且a b >，则（）A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <【答案】B【详解】由()()xf x f x '>-，设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以()g x 在R 上是增函数，又a b >，所以()()g a g b >，即()()af a bf b >，故选：B.5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e sin xf x x =+，则不等式()π21e f x -<的解集是（）A ．1π,2+⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1π0,2+⎛⎫⎪⎝⎭C ．π1e 0,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1π1π,22-+⎛⎫⎪⎝⎭6．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞7．已知函数()，若存在0使得00恒成立，则0的取值范围（）A ．10,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．211,e 2e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．11,1e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．21,e 2⎡⎤-⎣⎦【答案】D 【详解】由00()()f t x f x t =+-，可得00()()f t t x f x +=+，设函数()()e x h x f x x x =+=+，则()e 10xh x '=+>在R 上恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以0t x =，则0()b f x t =-()e tf t t t =-=-，[]1,2t ∈-，令()e t g t t =-，[]1,2t ∈-，则()e 1tg t '=-，当0=t 时，()0g t '=，令()0g t '>得：(]0,2t ∈，令()0g t '<得：[)1,0t ∈-，所以()()0min 0=e 01g t g =-=，又()11e 1g --=+，()22e 2g =-，其中21e 2e 1-->+，所以实数b 的取值范围是21,e 2⎡⎤-⎣⎦.故选：D.8．已知函数()312x f x x +=+，()()42e xg x x =-，若[)12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()()()2221e e t g x t f x +≤+恒成立，则正数t 的取值范围是（）A ．21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎤-⎦C ．)2⎡++∞⎣D ．()2e,⎡+∞⎣二、多选题9．已知函数()(1)e x f x x =+的导函数为()f x '，则（）A ．函数()f x 的极小值点为21e -B ．(2)0f '-=C ．函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞-D ．若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点，则21(,0)e a ∈-【答案】BCD【详解】由()(1)e x f x x =+，得()(2)e x f x x '=+，当2x =-时，(2)0f '-=，B 正确；当<2x -时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当2x >-时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，观察图象知，当210e a -<<时，直线所以函数()()g x f x a =-有两个不同的零点时，故选：BCD10．对于三次函数()3ax bx f x =+，给出定义：设f x 是函数的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、解答题11．已知函数()321132f x x ax =-，a ∈R ．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性．当0a =时，()20f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增；当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若(),0x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，则()0f x ¢>；若()0,x a ∈，则()0f x '<；()f x \在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减；综上所述：当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()(),,0,a ∞∞-+上单调递增，在(),0a 上单调递减；当0a >时，()f x 在()(),0,,a -∞+∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.12．已知函数()222ln 12x x f x x -+=．求函数()f x 的单调区间；○热○点○题○型三利用导数研究函数的极值、最值1.由导函数的图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点.(2)由y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得到函数y ＝f (x )的单调性，可得极值点.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.一、单选题1．函数()32142f x x x x =+-的极小值为（）A ．43-B ．1C ．52-D ．10427．函数的定义域为R ，导函数f x 的图象如图所示，则函数f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【答案】C【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．3．已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在()0,π上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A ．13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1319,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．已知函数()e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()2h x x =的最大值为2x ，则（）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ≥D ．21x x ≥．若函数在1x =处有极大值，则实数的值为（）A ．1B ．1-或3-C ．1-D ．3-6．已知函数()()2ln 11f x x x =+++，则（）A ．0x =是()f x 的极小值点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．()f x 的最小值为1ln 2+D ．()f x 的最大值为37．若函数()3ln f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（）A ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,0]-∞C ．(]3e ,09⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪8．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足()()1f x xf x x'+=+，()10f '=，()1122g x a ax x=+--，若01a <<，则()()f x g x -的极值情况是（）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极小值，也无极大值二、多选题9．已知函数()2211e e x x f x -+=+，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间()0,2上单调递减C ．()f x 的极小值为22e D ．()f x 的最大值为411e +10．设函数()ln x f x ax x =-，若函数()f x 有两个极值点，则实数a 的值可以是（）A ．12B ．18C ．2D ．14-观察图象知，当a<0或10a 4<<时，直线y a =与函数于是当a<0或10a 4<<时，2ln 1(ln )x a x -=在(0,1)(1,⋃+∞所以实数a 的取值范围是a<0或10a 4<<，即a 的值可以是三、解答题11．已知函数()()322113f x x ax a x b =-+-+（a ，b ∈R ），其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间和极值；(3)求函数()f x 在区间[]2,5-上的最大值．12．已知函数()ln f x x a=+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数.(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为2，求a 的值.∴max ，∴，∴3e a =-③若e a -≥，即e a -≤时，在(0,e)上()0f x ¢>，∴()f x 在(0,e)上是增函数，故()f x 在(0,e]上的最大值为()()max e e 12f x f a ==+=，∴e a =不符合题意，舍去，综合以上可得e a =.。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

函数与导数高考压轴题选一．选择题共2小题1．2013安徽已知函数fx=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若fx1=x1＜x2,则关于x的方程3fx2+2afx+b=0的不同实根个数为A．3 B．4 C．5 D．62．2012福建函数fx在a,b上有定义,若对任意x1,x2∈a,b,有则称fx在a,b上具有性质P．设fx在1,3上具有性质P,现给出如下命题：①fx在1,3上的图象是连续不断的；②fx2在1,上具有性质P；③若fx在x=2处取得最大值1,则fx=1,x∈1,3；④对任意x1,x2,x3,x4∈1,3,有fx1+fx2+fx3+fx4其中真命题的序号是A．①②B．①③C．②④D．③④二．选择题共1小题3．2012新课标设函数fx=的最大值为M,最小值为m,则M+m=．三．选择题共23小题4．2014陕西设函数fx=lnx+,m∈R．Ⅰ当m=ee为自然对数的底数时,求fx的极小值；Ⅱ讨论函数gx=f′x﹣零点的个数；Ⅲ若对任意b＞a＞0,＜1恒成立,求m的取值范围．5．2013新课标Ⅱ已知函数fx=e x﹣lnx+mΙ设x=0是fx的极值点,求m,并讨论fx的单调性；Ⅱ当m≤2时,证明fx＞0．6．2013四川已知函数,其中a是实数,设Ax1,fx1,Bx2,fx2为该函数图象上的点,且x1＜x2．Ⅰ指出函数fx的单调区间；Ⅱ若函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值；Ⅲ若函数fx的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．7．2013湖南已知函数fx=．Ⅰ求fx的单调区间；Ⅱ证明：当fx1=fx2x1≠x2时,x1+x2＜0．8．2013辽宁已知函数fx=1+xe﹣2x,gx=ax++1+2xcosx,当x∈0,1时,I求证：；II若fx≥gx恒成立,求实数a的取值范围．9．2013陕西已知函数fx=e x,x∈R．Ⅰ若直线y=kx+1与f x的反函数gx=lnx的图象相切,求实数k的值；Ⅱ设x＞0,讨论曲线y=f x 与曲线y=mx2m＞0公共点的个数．Ⅲ设a＜b,比较与的大小,并说明理由．10．2013湖北设n是正整数,r为正有理数．Ⅰ求函数fx=1+x r+1﹣r+1x﹣1x＞﹣1的最小值；Ⅱ证明：；Ⅲ设x∈R,记x为不小于x的最小整数,例如．令的值．参考数据：．11．2012辽宁设fx=lnx+1++ax+ba,b∈R,a,b为常数,曲线y=fx与直线y=x在0,0点相切．I求a,b的值；II证明：当0＜x＜2时,fx＜．12．2012福建已知函数fx=axsinx﹣a∈R,且在上的最大值为,1求函数fx的解析式；2判断函数fx在0,π内的零点个数,并加以证明．13．2012湖北设函数fx=ax n1﹣x+bx＞0,n为正整数,a,b为常数,曲线y=fx在1,f1处的切线方程为x+y=1Ⅰ求a,b的值；Ⅱ求函数fx的最大值；Ⅲ证明：fx＜．14．2012湖南已知函数fx=e x﹣ax,其中a＞0．1若对一切x∈R,fx≥1恒成立,求a的取值集合；2在函数fx的图象上取定点Ax1,fx1,Bx2,fx2x1＜x2,记直线AB的斜率为K,证明：存在x0∈x1,x2,使f′x0=K恒成立．15．2012四川已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．Ⅰ用a和n表示fn；Ⅱ求对所有n都有成立的a的最小值；Ⅲ当0＜a＜1时,比较与的大小,并说明理由．16．2011四川已知函数fx=x+,hx=．Ⅰ设函数Fx=fx﹣hx,求Fx的单调区间与极值；Ⅱ设a∈R,解关于x的方程log4fx﹣1﹣=log2ha﹣x﹣log2h4﹣x；Ⅲ试比较f100h100﹣与的大小．17．2011陕西设函数fx定义在0,+∞上,f1=0,导函数f′x=,gx=fx+f′x．Ⅰ求gx的单调区间和最小值；Ⅱ讨论gx与的大小关系；Ⅲ是否存在x0＞0,使得|gx﹣gx0|＜对任意x＞0成立若存在,求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．18．2011四川已知函数fx=x+,hx=．Ⅰ设函数Fx=18fx﹣x2hx2,求Fx的单调区间与极值；Ⅱ设a∈R,解关于x的方程lg fx﹣1﹣=2lgha﹣x﹣2lgh4﹣x；Ⅲ设n∈N n,证明：fnhn﹣h1+h2+…+hn≥．19．2010四川设,a＞0且a≠1,gx是fx的反函数．Ⅰ设关于x的方程求在区间2,6上有实数解,求t的取值范围；Ⅱ当a=e,e为自然对数的底数时,证明：；Ⅲ当0＜a≤时,试比较||与4的大小,并说明理由．20．2010全国卷Ⅱ设函数fx=1﹣e﹣x．Ⅰ证明：当x＞﹣1时,fx≥；Ⅱ设当x≥0时,fx≤,求a的取值范围．21．2010陕西已知函数fx=,gx=alnx,a∈R,Ⅰ若曲线y=fx与曲线y=gx相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程；Ⅱ设函数hx=fx﹣gx,当hx存在最小值时,求其最小值φa的解析式；Ⅲ对Ⅱ中的φa和任意的a＞0,b＞0,证明：φ′≤≤φ′．22．2009全国卷Ⅱ设函数fx=x2+aln1+x有两个极值点x1、x2,且x1＜x2,Ⅰ求a的取值范围,并讨论fx的单调性；Ⅱ证明：fx2＞．23．2009湖北在R上定义运算：b、c∈R是常数,已知f1x=x2﹣2c,f2x=x﹣2b,fx=f1xf2x．①如果函数fx在x=1处有极值,试确定b、c的值；②求曲线y=fx上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记gx=|f′x|﹣1≤x≤1的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围．参考公式：x3﹣3bx2+4b3=x+bx﹣2b224．2009湖北已知关于x的函数fx=﹣x3+bx2+cx+bc,其导函数为f′x．令gx=|f′x|,记函数gx 在区间﹣1、1上的最大值为M．Ⅰ如果函数fx在x=1处有极值﹣,试确定b、c的值：Ⅱ若|b|＞1,证明对任意的c,都有M＞2Ⅲ若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值．25．2008江苏请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1x∈R的两边求导,得：cos2x′=2cos2x﹣1′,由求导法则,得﹣sin2x2=4cosx ﹣sinx,化简得等式：sin2x=2cosxsinx．1利用上题的想法或其他方法,结合等式1+x n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n x∈R,正整数n≥2,证明：．2对于正整数n≥3,求证：i；ii；iii．26．2008天津已知函数fx=x4+ax3+2x2+bx∈R,其中a,b∈R．Ⅰ当时,讨论函数fx的单调性；Ⅱ若函数fx仅在x=0处有极值,求a的取值范围；Ⅲ若对于任意的a∈﹣2,2,不等式fx≤1在﹣1,1上恒成立,求b的取值范围．四．解答题共4小题27．2008福建已知函数fx=ln1+x﹣x1求fx的单调区间；2记fx在区间0,nn∈N上的最小值为b n令a n=ln1+n﹣b ni如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围；ii求证：．28．2007福建已知函数fx=e x﹣kx,1若k=e,试确定函数fx的单调区间；2若k＞0,且对于任意x∈R,f|x|＞0恒成立,试确定实数k的取值范围；3设函数Fx=fx+f﹣x,求证：F1F2…Fn＞n∈N．29．2006四川已知函数,fx的导函数是f′x．对任意两个不相等的正数x1、x2,证明：Ⅰ当a≤0时,；Ⅱ当a≤4时,|f′x1﹣f′x2|＞|x1﹣x2|．30．2006辽宁已知f0x=x n,其中k≤nn,k∈N+,设Fx=C n0f0x2+C n1f1x2+…+C n n f n x2,x∈﹣1,1．1写出f k1；2证明：对任意的x1,x2∈﹣1,1,恒有|Fx1﹣Fx2|≤2n﹣1n+2﹣n﹣1．函数与导数高考压轴题选参考答案与试题解析一．选择题共2小题1．2013安徽已知函数fx=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若fx1=x1＜x2,则关于x的方程3fx2+2afx+b=0的不同实根个数为A．3 B．4 C．5 D．6解答解：∵函数fx=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,∴f′x=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根,∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．∵x1＜x2,∴,．而方程3fx2+2afx+b=0的△1=△＞0,∴此方程有两解且fx=x1或x2．不妨取0＜x1＜x2,fx1＞0．①把y=fx向下平移x1个单位即可得到y=fx﹣x1的图象,∵fx1=x1,可知方程fx=x1有两解．②把y=fx向下平移x2个单位即可得到y=fx﹣x2的图象,∵fx1=x1,∴fx1﹣x2＜0,可知方程fx=x2只有一解．综上①②可知：方程fx=x1或fx=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3fx2+2afx+b=0的只有3不同实根．故选：A．2．2012福建函数fx在a,b上有定义,若对任意x1,x2∈a,b,有则称fx在a,b上具有性质P．设fx在1,3上具有性质P,现给出如下命题：①fx在1,3上的图象是连续不断的；②fx2在1,上具有性质P；③若fx在x=2处取得最大值1,则fx=1,x∈1,3；④对任意x1,x2,x3,x4∈1,3,有fx1+fx2+fx3+fx4其中真命题的序号是A．①②B．①③C．②④D．③④解答解：在①中,反例：fx=在1,3上满足性质P,但fx在1,3上不是连续函数,故①不成立；在②中,反例：fx=﹣x在1,3上满足性质P,但fx2=﹣x2在1,上不满足性质P,故②不成立；在③中：在1,3上,f2=f≤,∴,故fx=1,∴对任意的x1,x2∈1,3,fx=1,故③成立；在④中,对任意x1,x2,x3,x4∈1,3,有=≤≤=fx1+fx2+fx3+fx4,∴fx1+fx2+fx3+fx4,故④成立．故选D．二．选择题共1小题3．2012新课标设函数fx=的最大值为M,最小值为m,则M+m=2．解答解：函数可化为fx==,令,则为奇函数,∴的最大值与最小值的和为0．∴函数fx=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．三．选择题共23小题4．2014陕西设函数fx=lnx+,m∈R．Ⅰ当m=ee为自然对数的底数时,求fx的极小值；Ⅱ讨论函数gx=f′x﹣零点的个数；Ⅲ若对任意b＞a＞0,＜1恒成立,求m的取值范围．解答解：Ⅰ当m=e时,fx=lnx+,∴f′x=；∴当x∈0,e时,f′x＜0,fx在0,e上是减函数；当x∈e,+∞时,f′x＞0,fx在e,+∞上是增函数；∴x=e时,fx取得极小值为fe=lne+=2；Ⅱ∵函数gx=f′x﹣=﹣﹣x＞0,令gx=0,得m=﹣x3+xx＞0；设φx=﹣x3+xx＞0,∴φ′x=﹣x2+1=﹣x﹣1x+1；当x∈0,1时,φ′x＞0,φx在0,1上是增函数,当x∈1,+∞时,φ′x＜0,φx在1,+∞上是减函数；∴x=1是φx的极值点,且是极大值点,∴x=1是φx的最大值点,∴φx的最大值为φ1=；又φ0=0,结合y=φx的图象,如图；可知：①当m＞时,函数gx无零点；②当m=时,函数gx有且只有一个零点；③当0＜m＜时,函数gx有两个零点；④当m≤0时,函数gx有且只有一个零点；综上,当m＞时,函数gx无零点；当m=或m≤0时,函数gx有且只有一个零点；当0＜m＜时,函数gx有两个零点；Ⅲ对任意b＞a＞0,＜1恒成立,等价于fb﹣b＜fa﹣a恒成立；设hx=fx﹣x=lnx+﹣xx＞0,则hb＜ha．∴hx在0,+∞上单调递减；∵h′x=﹣﹣1≤0在0,+∞上恒成立,∴m≥﹣x2+x=﹣+x＞0,∴m≥；对于m=,h′x=0仅在x=时成立；∴m的取值范围是,+∞．5．2013新课标Ⅱ已知函数fx=e x﹣lnx+mΙ设x=0是fx的极值点,求m,并讨论fx的单调性；Ⅱ当m≤2时,证明fx＞0．解答Ⅰ解：∵,x=0是fx的极值点,∴,解得m=1．所以函数fx=e x﹣lnx+1,其定义域为﹣1,+∞．∵．设gx=e x x+1﹣1,则g′x=e x x+1+e x＞0,所以gx在﹣1,+∞上为增函数,又∵g0=0,所以当x＞0时,gx＞0,即f′x＞0；当﹣1＜x＜0时,gx＜0,f′x＜0．所以fx在﹣1,0上为减函数；在0,+∞上为增函数；Ⅱ证明：当m≤2,x∈﹣m,+∞时,lnx+m≤lnx+2,故只需证明当m=2时fx＞0．当m=2时,函数在﹣2,+∞上为增函数,且f′﹣1＜0,f′0＞0．故f′x=0在﹣2,+∞上有唯一实数根x0,且x0∈﹣1,0．当x∈﹣2,x0时,f′x＜0,当x∈x0,+∞时,f′x＞0,从而当x=x0时,fx取得最小值．由f′x0=0,得,lnx0+2=﹣x0．故fx≥=＞0．综上,当m≤2时,fx＞0．6．2013四川已知函数,其中a是实数,设Ax1,fx1,Bx2,fx2为该函数图象上的点,且x1＜x2．Ⅰ指出函数fx的单调区间；Ⅱ若函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值；Ⅲ若函数fx的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．解答解：I当x＜0时,fx=x+12+a,∴fx在﹣∞,﹣1上单调递减,在﹣1,0上单调递增；当x＞0时,fx=lnx,在0,+∞单调递增．II∵x1＜x2＜0,∴fx=x2+2x+a,∴f′x=2x+2,∴函数fx在点A,B处的切线的斜率分别为f′x1,f′x2,∵函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直,∴,∴2x1+22x2+2=﹣1．∴2x1+2＜0,2x2+2＞0,∴=1,当且仅当﹣2x1+2=2x2+2=1,即,时等号成立．∴函数fx的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2＜0,求x2﹣x1的最小值为1．III当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时,∵,故不成立,∴x1＜0＜x2．当x1＜0时,函数fx在点Ax1,fx1,处的切线方程为,即．当x2＞0时,函数fx在点Bx2,fx2处的切线方程为,即．函数fx的图象在点A,B处的切线重合的充要条件是,由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0,由①②得=．∵函数,y=﹣ln2x1+2在区间﹣1,0上单调递减,∴ax1=在﹣1,0上单调递减,且x1→﹣1时,ln2x1+2→﹣∞,即﹣ln2x1+2→+∞,也即ax1→+∞．x1→0,ax1→﹣1﹣ln2．∴a的取值范围是﹣1﹣ln2,+∞．7．2013湖南已知函数fx=．Ⅰ求fx的单调区间；Ⅱ证明：当fx1=fx2x1≠x2时,x1+x2＜0．解答解：Ⅰ易知函数的定义域为R．==,当x＜0时,f′x＞0；当x＞0时,f′x＜0．∴函数fx的单调递增区间为﹣∞,0,单调递减区间为0,+∞．Ⅱ当x＜1时,由于,e x＞0,得到fx＞0；同理,当x＞1时,fx＜0．当fx1=fx2x1≠x2时,不妨设x1＜x2．由Ⅰ可知：x1∈﹣∞,0,x2∈0,1．下面证明：x∈0,1,fx＜f﹣x,即证＜．此不等式等价于．令gx=,则g′x=﹣xe﹣x e2x﹣1．当x∈0,1时,g′x＜0,gx单调递减,∴gx＜g0=0．即．∴x∈0,1,fx＜f﹣x．而x2∈0,1,∴fx2＜f﹣x2．从而,fx1＜f﹣x2．由于x1,﹣x2∈﹣∞,0,fx在﹣∞,0上单调递增,∴x1＜﹣x2,即x1+x2＜0．8．2013辽宁已知函数fx=1+xe﹣2x,gx=ax++1+2xcosx,当x∈0,1时,I求证：；II若fx≥gx恒成立,求实数a的取值范围．解答I证明：①当x∈0,1时,1+xe﹣2x≥1﹣x1+xe﹣x≥1﹣xe x,令hx=1+xe﹣x﹣1﹣xe x,则h′x=xe x﹣e﹣x．当x∈0,1时,h′x≥0,∴hx在0,1上是增函数,∴hx≥h0=0,即fx≥1﹣x．②当x∈0,1时,e x≥1+x,令ux=e x﹣1﹣x,则u′x=e x﹣1．当x∈0,1时,u′x≥0,∴ux在0,1单调递增,∴ux≥u0=0,∴fx．综上可知：．II解：设Gx=fx﹣gx=≥=．令Hx=,则H′x=x﹣2sinx,令Kx=x﹣2sinx,则K′x=1﹣2cosx．当x∈0,1时,K′x＜0,可得H′x是0,1上的减函数,∴H′x≤H′0=0,故Hx在0,1单调递减,∴Hx≤H0=2．∴a+1+Hx≤a+3．∴当a≤﹣3时,fx≥gx在0,1上恒成立．下面证明当a＞﹣3时,fx≥gx在0,1上不恒成立．fx﹣gx≤==﹣x．令vx==,则v′x=．当x∈0,1时,v′x≤0,故vx在0,1上是减函数,∴vx∈a+1+2cos1,a+3．当a＞﹣3时,a+3＞0．∴存在x0∈0,1,使得vx0＞0,此时,fx0＜gx0．即fx≥gx在0,1不恒成立．综上实数a的取值范围是﹣∞,﹣3．9．2013陕西已知函数fx=e x,x∈R．Ⅰ若直线y=kx+1与f x的反函数gx=lnx的图象相切,求实数k的值；Ⅱ设x＞0,讨论曲线y=f x 与曲线y=mx2m＞0公共点的个数．Ⅲ设a＜b,比较与的大小,并说明理由．解答解：I函数fx=e x的反函数为gx=lnx,∴．设直线y=kx+1与gx的图象相切于点Px0,y0,则,解得,k=e﹣2, ∴k=e﹣2．II当x＞0,m＞0时,令fx=mx2,化为m=,令hx=,则,则x∈0,2时,h′x＜0,hx单调递减；x∈2,+∞时,h′x＞0,hx单调递增．∴当x=2时,hx取得极小值即最小值,．∴当时,曲线y=f x 与曲线y=mx2m＞0公共点的个数为0；当时,曲线y=f x 与曲线y=mx2m＞0公共点的个数为1；当时,曲线y=f x 与曲线y=mx2m＞0公共点个数为2．Ⅲ===,令gx=x+2+x﹣2e x x＞0,则g′x=1+x﹣1e x．g′′x=xe x＞0,∴g′x在0,+∞上单调递增,且g′0=0,∴g′x＞0,∴gx在0,+∞上单调递增,而g0=0,∴在0,+∞上,有gx＞g0=0．∵当x＞0时,gx=x+2+x﹣2e x＞0,且a＜b,∴,即当a＜b时,．10．2013湖北设n是正整数,r为正有理数．Ⅰ求函数fx=1+x r+1﹣r+1x﹣1x＞﹣1的最小值；Ⅱ证明：；Ⅲ设x∈R,记x为不小于x的最小整数,例如．令的值．参考数据：．解答解；Ⅰ由题意得f'x=r+11+x r﹣r+1=r+11+x r﹣1,令f'x=0,解得x=0．当﹣1＜x＜0时,f'x＜0,∴fx在﹣1,0内是减函数；当x＞0时,f'x＞0,∴fx在0,+∞内是增函数．故函数fx在x=0处,取得最小值为f0=0．Ⅱ由Ⅰ,当x∈﹣1,+∞时,有fx≥f0=0,即1+x r+1≥1+r+1x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x＞﹣1且x≠0,有1+x r+1＞1+r+1x,①在①中,令这时x＞﹣1且x≠0,得．上式两边同乘n r+1,得n+1r+1＞n r+1+n r r+1,即,②当n＞1时,在①中令这时x＞﹣1且x≠0,类似可得,③且当n=1时,③也成立．综合②,③得,④Ⅲ在④中,令,n分别取值81,82,83, (125)得,,,…,将以上各式相加,并整理得．代入数据计算,可得由S的定义,得S=211．11．2012辽宁设fx=lnx+1++ax+ba,b∈R,a,b为常数,曲线y=fx与直线y=x在0,0点相切．I求a,b的值；II证明：当0＜x＜2时,fx＜．解答I解：由y=fx过0,0,∴f0=0,∴b=﹣1∵曲线y=fx与直线在0,0点相切．∴y′|x=0=∴a=0；II证明：由I知fx=lnx+1+由均值不等式,当x＞0时,,∴①令kx=lnx+1﹣x,则k0=0,k′x=,∴kx＜0∴lnx+1＜x,②由①②得,当x＞0时,fx＜记hx=x+6fx﹣9x,则当0＜x＜2时,h′x=fx+x+6f′x﹣9＜＜=∴hx在0,2内单调递减,又h0=0,∴hx＜0∴当0＜x＜2时,fx＜．12．2012福建已知函数fx=axsinx﹣a∈R,且在上的最大值为,1求函数fx的解析式；2判断函数fx在0,π内的零点个数,并加以证明．解答解：I由已知得f′x=asinx+xcosx,对于任意的x∈0,,有sinx+xcosx＞0,当a=0时,fx=﹣,不合题意；当a＜0时,x∈0,,f′x＜0,从而fx在0,单调递减,又函数在上图象是连续不断的,故函数在上上的最大值为f0=﹣,不合题意；当a＞0时,x∈0,,f′x＞0,从而fx在0,单调递增,又函数在上图象是连续不断的,故函数在上上的最大值为f==,解得a=1,综上所述,得II函数fx在0,π内有且仅有两个零点．证明如下：由I知,,从而有f0=﹣＜0,f=＞0,又函数在上图象是连续不断的,所以函数fx在0,内至少存在一个零点,又由I知fx在0,单调递增,故函数fx在0,内仅有一个零点．当x∈,π时,令gx=f′x=sinx+xcosx,由g=1＞0,gπ=﹣π＜0,且gx在,π上的图象是连续不断的,故存在m∈,π,使得gm=0．由g′x=2cosx﹣xsinx,知x∈,π时,有g′x＜0,从而gx在,π上单调递减．当x∈,m,gx＞gm=0,即f′x＞0,从而fx在,m内单调递增故当x∈,m时,fx＞f=＞0,从而x在,m内无零点；当x∈m,π时,有gx＜gm=0,即f′x＜0,从而fx在,m内单调递减．又fm＞0,fπ＜0且fx在m,π上的图象是连续不断的,从而fx在m,π内有且仅有一个零点．综上所述,函数fx在0,π内有且仅有两个零点．13．2012湖北设函数fx=ax n1﹣x+bx＞0,n为正整数,a,b为常数,曲线y=fx在1,f1处的切线方程为x+y=1Ⅰ求a,b的值；Ⅱ求函数fx的最大值；Ⅲ证明：fx＜．解答解：Ⅰ因为f1=b,由点1,b在x+y=1上,可得1+b=1,即b=0．因为f′x=anx n﹣1﹣an+1x n,所以f′1=﹣a．又因为切线x+y=1的斜率为﹣1,所以﹣a=﹣1,即a=1,故a=1,b=0．Ⅱ由Ⅰ知,fx=x n1﹣x,则有f′x=n+1x n﹣1﹣x,令f′x=0,解得x=在0,上,导数为正,故函数fx是增函数；在,+∞上导数为负,故函数fx是减函数；故函数fx在0,+∞上的最大值为f=n1﹣=,Ⅲ令φt=lnt﹣1+,则φ′t=﹣=t＞0在0,1上,φ′t＜0,故φt单调减；在1,+∞,φ′t＞0,故φt单调增；故φt在0,+∞上的最小值为φ1=0,所以φt＞0t＞1则lnt＞1﹣,t＞1,令t=1+,得ln1+＞,即ln1+n+1＞lne所以1+n+1＞e,即＜由Ⅱ知,fx≤＜,故所证不等式成立．14．2012湖南已知函数fx=e x﹣ax,其中a＞0．1若对一切x∈R,fx≥1恒成立,求a的取值集合；2在函数fx的图象上取定点Ax1,fx1,Bx2,fx2x1＜x2,记直线AB的斜率为K,证明：存在x0∈x1,x2,使f′x0=K恒成立．解答解：1f′x=e x﹣a,令f′x=0,解可得x=lna；当x＜lna,f′x＜0,fx单调递减,当x＞lna,f′x＞0,fx单调递增,故当x=lna时,fx取最小值,flna=a﹣alna,对一切x∈R,fx≥1恒成立,当且仅当a﹣alna≥1,①令gt=t﹣tlnt,则g′t=﹣lnt,当0＜t＜1时,g′t＞0,gt单调递增,当t＞1时,g′t＜0,gt单调递减,故当t=1时,gt取得最大值,且g1=1,因此当且仅当a=1时,①式成立,综上所述,a的取值的集合为{1}．2根据题意,k==﹣a,令φx=f′x﹣k=e x﹣,则φx1=﹣﹣x2﹣x1﹣1,φx2=﹣x1﹣x2﹣1,令Ft=e t﹣t﹣1,则F′t=e t﹣1,当t＜0时,F′t＜0,Ft单调递减；当t＞0时,F′t＞0,Ft单调递增,则Ft的最小值为F0=0,故当t≠0时,Ft＞F0=0,即e t﹣t﹣1＞0,从而﹣x2﹣x1﹣1＞0,且＞0,则φx1＜0,﹣x1﹣x2﹣1＞0,＞0,则φx2＞0,因为函数y=φx在区间x1,x2上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在x0∈x1,x2,使φx0=0, 即f′x0=K成立．15．2012四川已知a为正实数,n为自然数,抛物线与x轴正半轴相交于点A,设fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．Ⅰ用a和n表示fn；Ⅱ求对所有n都有成立的a的最小值；Ⅲ当0＜a＜1时,比较与的大小,并说明理由．解答解：Ⅰ∵抛物线与x轴正半轴相交于点A,∴A对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为,∴∵fn为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距,∴fn=a n；Ⅱ由Ⅰ知fn=a n,则成立的充要条件是a n≥2n3+1即知,a n≥2n3+1对所有n成立,特别的,取n=2得到a≥当a=,n≥3时,a n＞4n=1+3n≥1+=1+2n3+＞2n3+1当n=0,1,2时,∴a=时,对所有n都有成立∴a的最小值为；Ⅲ由Ⅰ知fk=a k,下面证明：首先证明：当0＜x＜1时,设函数gx=xx2﹣x+1,0＜x＜1,则g′x=xx﹣当0＜x＜时,g′x＜0；当时,g′x＞0故函数gx在区间0,1上的最小值gx min=g=0∴当0＜x＜1时,gx≥0,∴由0＜a＜1知0＜a k＜1,因此,从而=≥=＞=16．2011四川已知函数fx=x+,hx=．Ⅰ设函数Fx=fx﹣hx,求Fx的单调区间与极值；Ⅱ设a∈R,解关于x的方程log4fx﹣1﹣=log2ha﹣x﹣log2h4﹣x；Ⅲ试比较f100h100﹣与的大小．解答解：Ⅰ由Fx=fx﹣hx=x+﹣x≥0知,F′x=,令F′x=0,得x=．当x∈0,时,F′x＜0；当x∈,+∞时,F′x＞0．故x∈0,时,Fx是减函数；故x∈,+∞时,Fx是增函数．Fx在x=处有极小值且F=．Ⅱ原方程可化为log4x﹣1+log2 h4﹣x=log2ha﹣x,即log2x﹣1+log2=log2,①当1＜a≤4时,原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时,原方程有两解x=3；③当a=5时,原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时,原方程无解．Ⅲ设数列{a n}的前n项和为s n,且s n=fngn﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时,a k=s k﹣s k﹣1=,a k﹣=4k﹣3﹣4k﹣1==＞0．即对任意的2＜k≤100,都有a k＞．又因为a1=s1=1,所以a1+a2+a3+…+a100＞=h1+h2+…+h100．故f100h100﹣＞．17．2011陕西设函数fx定义在0,+∞上,f1=0,导函数f′x=,gx=fx+f′x．Ⅰ求gx的单调区间和最小值；Ⅱ讨论gx与的大小关系；Ⅲ是否存在x0＞0,使得|gx﹣gx0|＜对任意x＞0成立若存在,求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．解答解：Ⅰ由题设易知fx=lnx,gx=lnx+,∴g′x=,令g′x=0,得x=1,当x∈0,1时,g′x＜0,故gx的单调递减区间是0,1,当x∈1,+∞时,g′x＞0,故gx的单调递增区间是1,+∞,因此x=1是gx的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,∴最小值为g1=1；Ⅱ=﹣lnx+x,设hx=gx﹣=2lnx﹣x+,则h′x=,当x=1时,h1=0,即gx=,当x∈0,1∪1,+∞时,h′x＜0,h′1=0,因此,hx在0,+∞内单调递减,当0＜x＜1,时,hx＞h1=0,即gx＞,当x＞1,时,hx＜h1=0,即gx＜,Ⅲ满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0, 使|gx﹣gx0|＜成立,即对任意x＞0,有,但对上述x0,取时, 有Inx1=gx0,这与左边不等式矛盾,因此,不存在x0＞0,使|gx﹣gx0|＜成立．证法二假设存在x0＞0,使|gx﹣gx0|成＜立．由Ⅰ知,的最小值为gx=1．又＞Inx,而x＞1 时,Inx 的值域为0,+∞,∴x≥1 时,gx 的值域为1,+∞,从而可取一个x1＞1,使gx1≥gx0+1,即gx1﹣gx0≥1,故|gx1﹣gx0|≥1＞,与假设矛盾．∴不存在x0＞0,使|gx﹣gx0|＜成立．18．2011四川已知函数fx=x+,hx=．Ⅰ设函数Fx=18fx﹣x2hx2,求Fx的单调区间与极值；Ⅱ设a∈R,解关于x的方程lg fx﹣1﹣=2lgha﹣x﹣2lgh4﹣x；Ⅲ设n∈N n,证明：fnhn﹣h1+h2+…+hn≥．解答解：ⅠFx=18fx﹣x2hx2=﹣x3+12x+9x≥0所以F′x=﹣3x2+12=0,x=±2且x∈0,2时,F′x＞0,当x∈2,+∞时,F′x＜0所以Fx在0,2上单调递增,在2,+∞上单调递减．故x=2时,Fx有极大值,且F2=﹣8+24+9=25．Ⅱ原方程变形为lgx﹣1+2lg=2lg,,①当1＜a＜4时,原方程有一解x=3﹣,②当4＜a＜5时,原方程有两解x=3±,③当a=5时,原方程有一解x=3,④当a≤1或a＞5时,原方程无解．Ⅲ由已知得h1+h2+…+hn=,fnhn﹣=,从而a1=s1=1,当k≥2时,a n=s n﹣s n﹣1=,又===＞0即对任意的k≥2,有,又因为a1=1=,所以a1+a2+…+a n≥,则s n≥h1+h2+…+hn,故原不等式成立．19．2010四川设,a＞0且a≠1,gx是fx的反函数．Ⅰ设关于x的方程求在区间2,6上有实数解,求t的取值范围；Ⅱ当a=e,e为自然对数的底数时,证明：；Ⅲ当0＜a≤时,试比较||与4的大小,并说明理由．解答解：1由题意,得a x=＞0故gx=,x∈﹣∞,﹣1∪1,+∞由得t=x﹣127﹣x,x∈2,6则t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3x﹣1x﹣5列表如下：x 2 2,5 5 5,6 6t' + ﹣t 5 递增极大值32 递减25所以t最小值=5,t最大值=32所以t的取值范围为5,325分Ⅱ=ln=﹣ln令uz=﹣lnz2﹣=﹣2lnz+z﹣,z＞0则u′z=﹣=1﹣2≥0所以uz在0,+∞上是增函数又因为＞1＞0,所以u＞u1=0即ln＞0即9分3设a=,则p≥1,1＜f1=≤3,当n=1时,|f1﹣1|=≤2＜4,当n≥2时,设k≥2,k∈N时,则fk=,=1+所以1＜fk≤1+,从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1,所以n＜＜f1+n+1≤n+4,综上所述,总有|﹣n|＜4．20．2010全国卷Ⅱ设函数fx=1﹣e﹣x．Ⅰ证明：当x＞﹣1时,fx≥；Ⅱ设当x≥0时,fx≤,求a的取值范围．解答解：1当x＞﹣1时,fx≥当且仅当e x≥1+x令gx=e x﹣x﹣1,则g'x=e x﹣1当x≥0时g'x≥0,gx在0,+∞是增函数当x≤0时g'x≤0,gx在﹣∞,0是减函数于是gx在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,gx≥g0时,即e x≥1+x 所以当x＞﹣1时,fx≥2由题意x≥0,此时fx≥0当a＜0时,若x＞﹣,则＜0,fx≤不成立；当a≥0时,令hx=axfx+fx﹣x,则fx≤当且仅当hx≤0因为fx=1﹣e﹣x,所以h'x=afx+axf'x+f'x﹣1=afx﹣axfx+ax﹣fxi当0≤a≤时,由1知x≤x+1fxh'x≤afx﹣axfx+ax+1fx﹣fx=2a﹣1fx≤0,hx在0,+∞是减函数,hx≤h0=0,即fx≤ii当a＞时,由i知x≥fxh'x=afx﹣axfx+ax﹣fx≥afx﹣axfx+afx﹣fx=2a﹣1﹣axfx当0＜x＜时,h'x＞0,所以h'x＞0,所以hx＞h0=0,即fx＞综上,a的取值范围是0,21．2010陕西已知函数fx=,gx=alnx,a∈R,Ⅰ若曲线y=fx与曲线y=gx相交,且在交点处有共同的切线,求a的值和该切线方程；Ⅱ设函数hx=fx﹣gx,当hx存在最小值时,求其最小值φa的解析式；Ⅲ对Ⅱ中的φa和任意的a＞0,b＞0,证明：φ′≤≤φ′．解答解：Ⅰf'x=,g'x=有已知得解得：a=,x=e2∴两条曲线的交点坐标为e2,e切线的斜率为k=f'e2=∴切线的方程为y﹣e=x﹣e2Ⅱ由条件知hx=﹣alnxx＞0,∴h′x=﹣=,①当a＞0时,令h′x=0,解得x=4a2．∴当0＜x＜4a2时,h′x＜0,hx在0,4a2上单调递减；当x＞4a2时,h′x＞0,hx在4a2,+∞上单调递增．∴x=4a2是hx在0,+∞上的惟一极值点,且是极小值点,从而也是hx的最小值点．∴最小值φa=h4a2=2a﹣aln4a2=2a1﹣ln 2a．②当a≤0时,h′x=＞0,hx在0,+∞上单调递增,无最小值．故hx的最小值φa的解析式为φa=2a1﹣ln 2aa＞0．Ⅲ证明：由Ⅱ知φ′a=﹣2ln2a对任意的a＞0,b＞0=﹣=﹣ln4ab,①φ′=﹣2ln2×=﹣lna+b2≤﹣ln4ab,②φ′=﹣2ln2×=﹣2ln=﹣ln4ab,③故由①②③得φ′≤≤φ′．22．2009全国卷Ⅱ设函数fx=x2+aln1+x有两个极值点x1、x2,且x1＜x2,Ⅰ求a的取值范围,并讨论fx的单调性；Ⅱ证明：fx2＞．解答解：I令gx=2x2+2x+a,其对称轴为．由题意知x1、x2是方程gx=0的两个均大于﹣1的不相等的实根,其充要条件为,得1当x∈﹣1,x1时,f'x＞0,∴fx在﹣1,x1内为增函数；2当x∈x1,x2时,f'x＜0,∴fx在x1,x2内为减函数；3当x∈x2,+∞时,f'x＞0,∴fx在x2,+∞内为增函数；II由Ig0=a＞0,∴,a=﹣2x22+2x2∴fx2=x22+aln1+x2=x22﹣2x22+2x2ln1+x2设hx=x2﹣2x2+2xln1+x,﹣＜x＜0则h'x=2x﹣22x+1ln1+x﹣2x=﹣22x+1ln1+x1当时,h'x＞0,∴hx在单调递增；2当x∈0,+∞时,h'x＜0,hx在0,+∞单调递减．∴故．23．2009湖北在R上定义运算：b、c∈R是常数,已知f1x=x2﹣2c,f2x=x﹣2b,fx=f1xf2x．①如果函数fx在x=1处有极值,试确定b、c的值；②求曲线y=fx上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记gx=|f′x|﹣1≤x≤1的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围．参考公式：x3﹣3bx2+4b3=x+bx﹣2b2解答解：①依题意,解得或．若,,′x=﹣x2+2x﹣1=﹣x﹣12≤0fx在R上单调递减,在x=1处无极值；若,,f′x=﹣x2﹣2x+3=﹣x﹣1x+3,直接讨论知,fx在x=1处有极大值,所以为所求．②解f′t=c得t=0或t=2b,切点分别为0,bc、,相应的切线为y=cx+bc或．解得x=0或x=3b；解即x3﹣3bx2+4b3=0得x=﹣b或x=2b．综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有0,0,b≠0时,斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为0,bc、3b,4bc和、．③gx=|﹣x﹣b2+b2+c|．若|b|＞1,则f′x在﹣1,1是单调函数,M=max{|f′﹣1|,|f′1|}={|﹣1+2b+c|,|﹣1﹣2b+c|},因为f′1与f′﹣1之差的绝对值|f′1﹣f′﹣1|=|4b|＞4,所以M＞2．若|b|≤1,f′x在x=b∈﹣1,1取极值,则M=max{|f′﹣1|,|f′1|,|f′b|},f′b﹣f′±1=b12．若﹣1≤b＜0,f′1≤f′﹣1≤f′b；若0≤b≤1,f′﹣1≤f′1≤f′b,M=max{|f′﹣1|,|f′b|}=．当b=0,时,在﹣1,1上的最大值．所以,k的取值范围是．24．2009湖北已知关于x的函数fx=﹣x3+bx2+cx+bc,其导函数为f′x．令gx=|f′x|,记函数gx 在区间﹣1、1上的最大值为M．Ⅰ如果函数fx在x=1处有极值﹣,试确定b、c的值：Ⅱ若|b|＞1,证明对任意的c,都有M＞2Ⅲ若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值．解答Ⅰ解：∵f'x=﹣x2+2bx+c,由fx在x=1处有极值可得解得,或若b=1,c=﹣1,则f'x=﹣x2+2x﹣1=﹣x﹣12≤0,此时fx没有极值；若b=﹣1,c=3,则f'x=﹣x2﹣2x+3=﹣x+3x﹣1当x变化时,fx,f'x的变化情况如下表：x ﹣∞,﹣3 ﹣3 ﹣3,1 11,+∞f'x ﹣0 + 0 ﹣↘fx ↘极小值﹣12 ↗极大值∴当x=1时,fx有极大值,故b=﹣1,c=3即为所求．Ⅱ证法1：gx=|f'x|=|﹣x﹣b2+b2+c|当|b|＞1时,函数y=f'x的对称轴x=b位于区间﹣之外．∴f'x在﹣1,1上的最值在两端点处取得故M应是g﹣1和g1中较大的一个,∴2M≥g1+g﹣1=|﹣1+2b+c|+|﹣1﹣2b+c|≥|4b|＞4,即M＞2证法2反证法：因为|b|＞1,所以函数y=f'x的对称轴x=b位于区间﹣1,1之外,∴f'x在﹣1,1上的最值在两端点处取得．故M应是g﹣1和g1中较大的一个假设M≤2,则M=maxg{﹣1,g1,gb}将上述两式相加得：4≥|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|≥4|b|＞4,导致矛盾,∴M＞2Ⅲ解法1：gx=|f'x|=|﹣x﹣b2+b2+c|1当|b|＞1时,由Ⅱ可知f'b﹣f'±1=b12≥0；2当|b|≤1时,函数y=f'x的对称轴x=b位于区间﹣1,1内,此时M=max{g﹣1,g1,gb}由f'1﹣f'﹣1=4b,有f'b﹣f'±1=b12≥0①若﹣1≤b≤0,则f'1≤f'﹣1≤f'b,∴g﹣1≤max{g1,gb},于是②若0＜b≤1,则f'﹣1≤f'1≤f'b,∴g1≤maxg﹣1,gb于是综上,对任意的b、c都有而当时,在区间﹣1,1上的最小值故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为．解法2：gx=|f'x|=|﹣x﹣b2+b2+c|1当|b|＞1时,由Ⅱ可知M＞22当|b|≤1y=f'x时,函数的对称轴x=b位于区间﹣1,1内,此时M=max{g﹣1,g1,gb}4M≥g﹣1+g1+2gb=|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|+2|b2+c|≥|﹣1﹣2b+c+﹣1+2b+c﹣2b2+c|=|2b2+2|≥2, 即下同解法125．2008江苏请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1x∈R的两边求导,得：cos2x′=2cos2x﹣1′,由求导法则,得﹣sin2x2=4cosx ﹣sinx,化简得等式：sin2x=2cosxsinx．1利用上题的想法或其他方法,结合等式1+x n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n x∈R,正整数n≥2,证明：．2对于正整数n≥3,求证：i；ii；iii．解答证明：1在等式1+x n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n两边对x求导得n1+x n﹣1=C n1+2C n2x+…+n ﹣1C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1移项得2i在式中,令x=﹣1,整理得所以ii由1知n1+x n﹣1=C n1+2C n2x+…+n﹣1C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1,n≥3两边对x求导,得nn﹣11+x n﹣2=2C n2+32C n3x+…+nn﹣1C n n x n﹣2在上式中,令x=﹣1,得0=2C n2+32C n3﹣1+…+nn﹣1C n2﹣1n﹣2即,亦即 1又由i知 2由1+2得iii将等式1+x n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n两边在0,1上对x积分由微积分基本定理,得所以26．2008天津已知函数fx=x4+ax3+2x2+bx∈R,其中a,b∈R．Ⅰ当时,讨论函数fx的单调性；Ⅱ若函数fx仅在x=0处有极值,求a的取值范围；Ⅲ若对于任意的a∈﹣2,2,不等式fx≤1在﹣1,1上恒成立,求b的取值范围．解答解：Ⅰf'x=4x3+3ax2+4x=x4x2+3ax+4．当时,f'x=x4x2﹣10x+4=2x2x﹣1x﹣2．令f'x=0,解得x1=0,,x3=2．当x变化时,f'x,fx的变化情况如下表：x ﹣∞,0 02 2,+∞0,,2f′x ﹣0 + 0 ﹣0 +fx ↘极小值↗极大值↘极小值↗所以fx在,2,+∞内是增函数,在﹣∞,0,内是减函数．Ⅱf'x=x4x2+3ax+4,显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．为使fx仅在x=0处有极值,必须4x2+3ax+4≥0成立,即有△=9a2﹣64≤0．解些不等式,得．这时,f0=b是唯一极值．因此满足条件的a的取值范围是．Ⅲ由条件a∈﹣2,2,可知△=9a2﹣64＜0,从而4x2+3ax+4＞0恒成立．当x＜0时,f'x＜0；当x＞0时,f'x＞0．因此函数fx在﹣1,1上的最大值是f1与f﹣1两者中的较大者．为使对任意的a∈﹣2,2,不等式fx≤1在﹣1,1上恒成立,当且仅当,即,在a∈﹣2,2上恒成立．所以b≤﹣4,因此满足条件的b的取值范围是﹣∞,﹣4．四．解答题共4小题27．2008福建已知函数fx=ln1+x﹣x1求fx的单调区间；2记fx在区间0,nn∈N上的最小值为b n令a n=ln1+n﹣b ni如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围；ii求证：．解答解：1因为fx=ln1+x﹣x,所以函数定义域为﹣1,+∞,且f′x=﹣1=．由f′x＞0得﹣1＜x＜0,fx的单调递增区间为﹣1,0；由f’x＜0得x＞0,fx的单调递减区间为0,+∞．2因为fx在0,n上是减函数,所以b n=fn=ln1+n﹣n,则a n=ln1+n﹣b n=ln1+n﹣ln1+n+n=n．i因为对n∈N恒成立．所以对n∈N恒成立．则对n∈N恒成立．设,n∈N,则c＜gn对n∈N恒成立．考虑．因为=0,所以gx在1,+∞内是减函数；则当n∈N时,gn随n的增大而减小,又因为=1．所以对一切n∈N,gn＞1因此c≤1,即实数c的取值范围是﹣∞,1．ⅱ由ⅰ知．下面用数学归纳法证明不等式n∈N+①当n=1时,左边=,右边=,左边＜右边．不等式成立．②假设当n=k时,不等式成立．即．当n=k+1时,＜===,即n=k+1时,不等式成立综合①、②得,不等式成立．所以,所以+＜+…+=﹣1．即．28．2007福建已知函数fx=e x﹣kx,1若k=e,试确定函数fx的单调区间；2若k＞0,且对于任意x∈R,f|x|＞0恒成立,试确定实数k的取值范围；3设函数Fx=fx+f﹣x,求证：F1F2…Fn＞n∈N．解答解：Ⅰ由k=e得fx=e x﹣ex,所以f'x=e x﹣e．由f'x＞0得x＞1,故fx的单调递增区间是1,+∞,由f'x＜0得x＜1,故fx的单调递减区间是﹣∞,1．Ⅱ由f|﹣x|=f|x|可知f|x|是偶函数．于是f|x|＞0对任意x∈R成立等价于fx＞0对任意x≥0成立．由f'x=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈0,1时,f'x=e x﹣k＞1﹣k≥0x＞0．此时fx在0,+∞上单调递增．故fx≥f0=1＞0,符合题意．②当k∈1,+∞时,lnk＞0．当x变化时f'x,fx的变化情况如下表：x 0,lnk lnk lnk,+∞f′x ﹣0 +fx 单调递减极小值单调递增由此可得,在0,+∞上,fx≥flnk=k﹣klnk．依题意,k﹣klnk＞0,又k＞1,∴1＜k＜e．综合①,②得,实数k的取值范围是0＜k＜e．Ⅲ∵Fx=fx+f﹣x=e x+e﹣x,∴Fx1Fx2=,∴F1Fn＞e n+1+2,F2Fn﹣1＞e n+1+2,FnF1＞e n+1+2．由此得,F1F2Fn2=F1FnF2Fn﹣1FnF1＞e n+1+2n故,n∈N．29．2006四川已知函数,fx的导函数是f′x．对任意两个不相等的正数x1、x2,证明：Ⅰ当a≤0时,；Ⅱ当a≤4时,|f′x1﹣f′x2|＞|x1﹣x2|．解答解：证明：Ⅰ由得=而①又x1+x22=x12+x22+2x1x2＞4x1x2∴②∵∴∵a≤0,aln≥aln③由①、②、③得x12+x22++aln＞2++aln, 即．Ⅱ证法一：由,得∴=下面证明对任意两个不相等的正数x1,x2,有恒成立即证成立∵设,则,令u′x=0得,列表如下：tu′t ﹣0 +□ut □极小值∴∴对任意两个不相等的正数x1,x2,恒有|f'x1﹣f'x2|＞|x1﹣x2|证法二：由,得∴=∵x1,x2是两个不相等的正数∴设,ut=2+4t3﹣4t2t＞0则u′t=4t3t﹣2,列表：tu′t ﹣0 +□ut □极小值∴即∴即对任意两个不相等的正数x1,x2,恒有|f′x1﹣f′x2|＞|x1﹣x2|30．2006辽宁已知f0x=x n,其中k≤nn,k∈N+,设Fx=C n0f0x2+C n1f1x2+…+C n n f n x2,x∈﹣1,1．1写出f k1；2证明：对任意的x1,x2∈﹣1,1,恒有|Fx1﹣Fx2|≤2n﹣1n+2﹣n﹣1．解答解：1由已知推得f k x=n﹣k+1x n﹣k,从而有f k1=n﹣k+12证法1：当﹣1≤x≤1 时,Fx=x2n+nc n1x2n﹣1+n﹣1c n2x2n﹣2+…+n﹣k+1c n k x2n﹣k+…+2c n n﹣1x2+1 当x＞0时,F′x＞0所以Fx在0,1上为增函数因函数Fx为偶函数,所以Fx在﹣1,0上为减函数所以对任意的x1,x2∈﹣1,1,|Fx1﹣Fx2|≤F1﹣F0F1﹣F0=C n0+nc n1+n﹣1c n2+…+n﹣k+1c n k+…+2c n n﹣1=nc n n﹣1+n﹣1c n n﹣2+…+n﹣k+1c n n﹣k+…+2c n1+c n0∵n﹣k+1c n n﹣k=n﹣kc n n﹣k+c n k=nc n﹣1k+c n k k=1,2,3,…,n﹣1F﹣F0=nc n﹣11+c n﹣12+…+c n﹣1k﹣1+c n1+c n2+…+c n n﹣1+c n0=n2n﹣1﹣1+2n﹣1=2n﹣1n+2﹣n﹣1因此结论成立．证法2：当﹣1≤x≤1 时,Fx=x2n+nc n1x2n﹣1+n﹣1c n2x2n﹣2+…+n﹣k+1c n k x2n﹣k+…+2c n n﹣1x2+1 当x＞0时,F′x＞0所以Fx在0,1上为增函数因函数Fx为偶函数所以Fx在﹣1,0上为减函数所以对任意的x1,x2∈﹣1,1,|Fx1﹣Fx2|≤F﹣F0F﹣F0=c n0+nc n1+n﹣1c n2+…+n﹣k+1c n k+…+2c n n﹣1又因F1﹣F0=2c n1+3c n2+…+kc n k﹣1+…+nc n n﹣1+c n0所以2F1﹣F0=n+2c n1+c n2+…+c n k﹣1+…+c n n﹣1+2c n0F1﹣F0=c n1+c n2+…+c n k﹣1+…+c n n﹣1+c n0=因此结论成立．证法3：当﹣1≤x≤1时,Fx=x2n+nc n1x2n﹣1+n﹣1c n2x2n﹣2+…+n﹣k+1c n k x2n﹣k+…+2c n n﹣1x2+1 当x＞0时,F′x＞0所以Fx在0,1上为增函数因函数Fx为偶函数所以Fx在﹣1,0上为减函数所以对任意的x1,x2∈﹣1,1,|Fx1﹣Fx2|≤F﹣F0F﹣F0=c n0+nc n1+n﹣1c n2+…+n﹣k+1c n k+…+2c n n﹣1由x1+x n﹣x n=xc n1x n﹣1+c n2x n﹣2+…+c n k x n﹣k+…+c n n﹣1+1=c n1x n+c n2x n﹣1+…+c n k x n﹣k+1+…+c n n﹣1x2+x对上式两边求导得1+x n﹣x n+nx1+x n﹣1﹣nx n=nc n1x n﹣1+n﹣1c n2x n﹣2+…+n﹣k+1c n k x n﹣k+…+2c n n﹣1x+1Fx=1+x2n+nx21+x2n﹣1﹣nx2n∴F1﹣F0=2n+n2n﹣1﹣n﹣1=n+22n﹣1﹣n﹣1．因此结论成立．。

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。

常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。

2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。

3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。

接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。

题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。

解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。

②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。

③若a0，函数f(x)单调递增。

2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。

在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。

2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。

2019年高考数学导数压轴题专项训练(一)1、已知函数().,22R a x ax e x f x ∈--=(Ⅰ)求函数()x f 的图像恒过的定点的坐标；(Ⅱ)若()1'--≥ax x f 恒成立，求a 的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，证明：()x f 存在唯一的极小值点0x ，且()412-0-<<x f .2、已知函数()x x x g ln sin 1+=θ在),1[+∞上为增函数，且），（πθ0∈，()().ln 1R m x xm mx x f ∈---=(Ⅰ)求θ的值；(Ⅱ)若()()x g x f -在),1[+∞上为单调函数，求m 的取值范围；(Ⅲ)设()xe x h 2=，若在],1[e 上至少存在一个0x ，使得()()()000x h x g x f >-成立，求m 的取值范围.3、已知函数()()R c b c bx x x f ∈++=,2，并设()()x e x f x F =.(Ⅰ)若()x F 图像在0=x 处的切线方程为0=-y x ，求c b ,的值；(Ⅱ)若()x F 是()∞+∞，-上的单调递增函数，则：(ⅰ)当0≥x 时，判断()x f 与()2c x +的大小关系，并证明；(ⅱ)对于满足题设条件的任意c b ,，不等式()()22Mb b f Mc c f -≤-恒成立，求M 的取值范围.4、已知函数()x f 是定义在],0()0,[e e -上的奇函数，当],0(e x ∈时，()x ax x f ln +=(其中R a ∈).(Ⅰ)求()x f 的解析式；(Ⅱ)设())0,[,ln e x x xx g -∈=，求证：当1-=a 时，()()21+>x g x f ；(Ⅲ)是否存在实数a ，使得当)0,[e x -∈时，()x f 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；若果不存在，请说明理由.5、已知()()2211,,,y x B y x A 是函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=21,121,212x x x x f 的图像上的任意两点(可以重合)，点M 在直线21=x 上，且MB AM =.(Ⅰ)求21x x +以及21y y +的值；(Ⅱ)已知01=S ，当2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n f n f n f S n 321 ，求n S ；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，设n S n a 2=，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若存在正整数m c ,，使得不等式211<--+c T c T m m 成立，求m c ,的值.6、已知函数()()0>+=x xt x x f ，过点()0,1P 做曲线()x f y =的两条切线PN PM ，，切点分别为N M ,.(Ⅰ)当2=t 时，求函数()x f 的单调递增区间；(Ⅱ)设()t g MN =，试求函数()t g 的表达式；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在1+m 个数121.,,+m a a a ，使得不等式()()()()121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值.7、已知函数()()1log +=x x f a ，()()t x x g a +=2log 2()R t ∈，其中]15,0[∈x ，0>a ，且1≠a .(Ⅰ)若1=x 是关于x 的方程()()0=-x g x f 的一个解，求t 的值；(Ⅱ)当10<<a 时，不等式()()x g x f ≥恒成立，求t 的取值范围；(Ⅲ)当]56,26[∈t 时，函数()()()x f x g x F -=2的最小值为()t h ，试求()t h 的解析式.8、设函数()c bx x x f n n ++=()R c b N n ∈∈+,,.(Ⅰ)设1,1,2-==≥c b n ，证明：()x f n 在区间)1,21(内存在唯一零点；(Ⅱ)设n 为偶数，()()11,11≤≤-f f ，求c b 3+的最小值和最大值；(Ⅲ)设2=n ，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有()()421≤-x f x f ，求b 的取值范围.9、给出定义在),0(+∞上的三个函数：()()()()x a x x h x af x x g x x f -=-==,,ln 2，已知()x g 在1=x 处取得极值.(Ⅰ)确定函数()x h 的单调性；(Ⅱ)求证：当21e x <<时，恒有()()x f x f x -+<22成立；(Ⅲ)把函数()x h 的图像向上平移6个单位得到函数()x h 1的图像，试确定函数()()x h x g y 1-=的零点个数，并说明理由.10、已知函数()()02≠++=a c bx ax x f 满足()00=f ，且对任意R x ∈都有()x x f ≥，且⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2121，令()()()01>--=λλx x f x g .(Ⅰ)求函数()x f 的表达式；(Ⅱ)求函数()x g 的单调区间；(Ⅲ)研究函数()x g 在区间)1,0(上的零点个数.11、对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对任意D x ∈，都有()()1≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代.(Ⅰ)若()()x x g x x f ln ,12=-=，试判断在区间],1[e 上()x f 能否被()x g 替代；(Ⅱ)记()()x x g x x f ln ,==，证明：()x f 在),1(m m ()1>m 上不能被()x g 替代；(Ⅲ)设()()x x x g ax x a x f +-=-=221,ln ，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的取值范围.【参考答案】1、9、10、11、。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。