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两角和与差的正弦和余弦公式学习教材PPT课件

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两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件

由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
P1(x1, y1) N1(0, y1)
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.





练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin




5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，


( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.


2
;

1
④ cos

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件


2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册


O
x
例1.利用公式C(α-β)证明:
诱导公式反映的是圆的特殊
对称性
y
（2） cos( ) cos .
证明：

(−, )
O
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
x
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
4

5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
1 1
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

∠ =∠=α－β


α-β
α-β
O
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β)) (1,0)
y

α-β
根据两点间距离公式


α-β
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.
5
2
13
求cos( - ).
4

4
3
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 ，
5
2
5
5
5
又由 cos , 是第三象限角，得
13
5 2
12
sin 1 cos 1 ( ) ，
s ）cos +sin（ ）sin =
3 ） 3 co（
3
3
3
3
26
观察已知角与未知角之间的关系

2 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(共41张PPT)


＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
探究点 2 给值求值
已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1132，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与
cos 2β 的值． 【解】 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－21× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于
A．12
B．－12
若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4<α<π2，π4<β<π2， 求 α＋β 的值． 解：因为π4<α<π2，π4<β<π2， 所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2π4－α＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°·sin 60°
＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4

两角和与差正弦余弦公式课件

于信号的合成、滤波等操作。
在数学竞赛中的应用
代数问题
在数学竞赛中，两角和与差的正弦、 余弦公式常与其他数学知识结合，用 于解决代数问题，例如求值、证明等 。
几何问题
在几何学中，两角和与差的正弦、余 弦公式常用于证明几何定理或解决几 何问题，例如角度计算、面积计算等 。
03
两角和与差正弦余弦公式的 扩展
案例三：数学竞赛中的应用
总结词
用于解决数学竞赛中的三角函数问题
详细描述
在数学竞赛中，两角和与差正弦余弦公式是解决三角函数问题的关键工具。通过这些公 式，可以快速求解复杂的三角函数表达式，解决诸如求三角函数的最值、判断三角函数 的单调性等问题。同时，这些公式也是数学竞赛中考察学生数学思维和解题能力的重要
两角和与差正弦余弦公式ppt课件
$number {01}
目录
• 两角和与差正弦余弦公式的基本 概念
• 两角和与差正弦余弦公式的应用 • 两角和与差正弦余弦公式的扩展 • 两角和与差正弦余弦公式的变种 • 两角和与差正弦余弦公式的实际
应用案例
01
两角和与差正弦余弦公式的 基本概念
定义
1 3
定义
两角和与差正弦余弦公式是三角函数中重要的公式之一，用 于计算两个角度的和或差的三角函数值。
利用扩展公式解决一些实 际问题，如测量、物理、 工程等领域的问题。
简化计算
扩展公式可以简化一些复 杂的三角函数计算，提高 计算的效率和准确性。
推广到其他领域
扩展公式可以推广到其他 领域，如复数、矩阵等领 域，促进数学和其他学科 的交叉融合。
扩展公式的证明
证明方法
利用三角函数的性质、三角恒等变换和代数运算等工具，证明扩展公式的正确 性。
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A＝ . 5 5 因为 B 为△ABC 的内角，又 sinB＝13， 12 所以 cosB＝± 1－sin B＝± . 13
2
12 (1)当 cosB＝13，即 B 为锐角时， sinC＝sin[180° －(A＋B)]＝sin(A＋B) 4 12 3 5 63 ＝sinAcosB＋cosAsinB＝ × ＋ × ＝ . 5 13 5 13 65
[答案]
[ 解析 ]
2－ 6 6－ 2 (1) (2) (3)sinα 4 4
(1)cos105° ＝ cos(60° ＋ 45° ) ＝ cos60° cos45°
2－ 6 1 2 3 2 －sin60° sin45° ＝2·2 － 2 ·2 ＝ 4 . (2)sin15° ＝ sin(45° － 30° ) ＝ sin45° cos30° － 6－ 2 2 3 2 1 cos45° sin30° ＝ 2 × 2 － 2 ×2＝ 4 .
• 2．在理解基础上记忆公式 • 要注意各公式之间结构形式上的异同点， 以正确区分公式． • 和角余弦同名积之差，差角余弦同名积之 和；和角正弦异名积之和，差角正弦异名 积之差． • 3 ．灵活运用公式，会正用、逆用、变形 运用，会依据题目中角的构成特点，函数 名的构成及式子的结构特征恰当选择应用 公式，并不断归纳、积累经验形成技巧．
[例 3] 的值．
3 5 在△ABC 中，cosA＝5，sinB＝13，求 sinC
• [分析] △ABC中，C＝π－(A＋B)；已知 cosA，sinB可求sinA，cosB.由sinB求cosB 时，因为B可能为钝角，故应讨论确定 cosB的符号．
[解析]
3 因为 A 为△ABC 的内角且 cosA＝5，
2－ 6 21 2 3 ＝2· 2－ 2 ·2 ＝ 4 .
• [点评] 应用公式前一定要看角是否相同， 看名称及式子结构特征是否与公式吻合．
• 在△ ABC 中，若sinA·sinB<cosA·cosB，则 △ABC一定是 ( ) • A．等边三角形 • B．直角三角形 • C．锐角三角形 • D．钝角三角形
[ 解 析 ]
由 sinAsinB<cosAcosB 得 cosAcosB －
• sin [答案 ] D AsinB>0，
即 cos(A＋B)>0，又∵cos(A＋B)＝－cosC， ∴cosC<0， π ∴ <C<π，故选 D. 2
• [例2] (1)cos44°sin14°－sin44°cos14°； • (2)sin(54° － x)cos(36° ＋ x) ＋ cos(54° － x)sin(36°＋x)． • [ 分析 ] (1) 符合 S(α － β) ， (2) 符合 S(α ＋ β) 的结 构特征，可直接运用S(α±β)公式．
[解析]
(1)原式＝sin14° cos44° －cos14° sin44°
1 ＝sin(14° －44° )＝sin(－30° )＝－2. (2)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)] ＝sin90° ＝1.
化简求值： (1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ＝________； π π (2)sin － 3cos ＝________. 12 12 1 [答案] (1)2 (2)－ 2 [分析] (1)中角不同， 应先用诱导公式， 化成相同角． (2)
[ 例 1]
不 查 表 求 值 ： cos
π π ＋3x cos －3x － 4 3
π π sin4＋3xsin3－3x.
• [分析] 式子为同名积之差，故用Cα＋β.
[解析]
π π 原式＝cos4＋3x＋3－3x π π π π π π ＝cos 4＋3 ＝cos cos －sin sin 4 3 4 3
3 π cos 2 12
π π π π ＝2cos3sin12－sin3cos12 π π π ＝－2sin3－12＝－2sin ＝－ 4
2.
[ 点评 ]
形如 asinx± bcosx 的三角函数，可以提取
a2＋b2 化为 a2＋b2 sin(x ＋ φ)( 或 a2＋b2 cos(x ＋ φ)) 的形 式． 一定要注意看化成的式子展开后是否符合已知式子．
1 3 π 中只有一个角，注意系数 1 和 3，联想到2和 2 ，可化为3或 π 的三角函数． 6
[解析]
(1) 原 式 ＝ sin14° cos16°＋ sin(90°－
14° )cos(90° －16° ) ＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° ＝2. (2)解法
(3)原式＝sin[(α－β)＋β]＝sinα.
• 重点：掌握两角和差的余弦公式、正弦公 式． • 难点：①角的变换与角的范围讨论． • ②公式的适当选取．
1．公式导出的过程体现了角的变换技巧． 在三角恒等变换中，角的变换技巧的掌握至关重要， 常见的“变角”、“凑角”形式如 α＋β＝α－(－β)；α－ α＋β α－β β＝α＋(－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝ ＋ ， 2 2
1 π 1：原式＝2 sin － 12 2
3 π cos 2 12
π π π π ＝2sin6sin12－cos6cos12 π π π ＝－2cos 6＋12 ＝－2cos ＝－ 4
2.
解法
1 π 2：原式＝2 sin － 12 2
α＋β α－β α 2α π π π β＝ － ； α＝2× ＝ ； ＋α＝ － 4－α ；75° 2 2 2 2 4 2 α＋β β α ＝45° ＋30° ； 2 ＝α－2－2－β；△ABC 中，A＋B＝π
A π B＋C －C， 2 ＝2－ 2 等等．