关于matlab的回归分析教学教案

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第15讲 MATLAB 多元线性回归分析

假设，说明至少有一个回归系数 i 0 ，从而说明
变量 Y 线性依赖于某个变量 X i ；若检验的结果是接受 H 0 ，则说明所有变量 X 1 , X 2 ,..., X p 对变量的线性关系是不重要的。
本章目录
16
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.3 回归方程的假设检验—模型的检验
x i (1, xi1 ,...,xip )
例
本章目录
22
i 1,2,...,n
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
自变量的选择
本章目录
23
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
提
选择自变量的准则选择自变量进入回归模型的方法
纲
（SAS实例）
本章目录
24
回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
选择自变量的准则
选择自变量进入回归模型的方法
1. 引言
因变量
y 自变量为 x , x ,, x
1 2
p
满足线性关系
p
y x x e
0 1 1 p
（I）
对 x1 , x2 ,, x p y 进行 n 次观测，所得的 n 组数据为
xi1 , xi 2 ,, xip, (i 1,2,, n)
它们均满足（I）式
25
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回归分析
2 线性回归
—多元线性回归
2.4 自变量的选择
选择自变量的准则
选择自变量进入回归模型的方法

回归分析的Matlab求解课件

解： (1)散点图
x=[49 54 59 64 69 74 79 84 89 94]
y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ]
plot(x,y,‘r.')
5
第5页/共20页
一元线性回归
(2)人口线性增长模型假设：人口随时间线性地增加，模型：y = a + ｃx
11.5 5.5 6.5 4.0 9.0 11.0 12.5]; y=[1035 624 1084 1052 1015 1066 704 ... 960 990 1050 839 1030 985 855]; beta0=[0 0 0]; beta=nlinfit(x,y,'fun',beta0) 结果为：beta = -13.1501 217.8686 175.6217
• 解：（1）设施肥量为，产量为，作出散点图观察数据分布情况：
• 源程序shiyan4_1.m：
• x=[6.0 2.5 7.5 8.5 10.0 7.0 3.0...
• 11.5 5.5 6.5 4.0 9.0 11.0 12.5];
• y=[1035 624 1084 1052 1015 1066 704 ...
x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3),x1(:,5)];y=x1(:,1); [b,bint,r,rint,st]=regress(y,x)
b = 16.8107 0.0630 0.2522
-0.2383
即 y=16.8107+0.0630x1+0.2522x2-0.2383x4
R2=0.9928 , F=1101.878 ,P=0 由R2和F 表明拟合效果很好！ (5)预报当X=108时，Y= 13.952亿; 当X=110时，Y=14.248亿

matlAB第11讲回归分析

别对模型进行训练和测试。
Part
03
多元线性回归
多元线性回归模型
多元线性回归模型是用来预测一个因变量（目标变量）基于多个自变量（特征）的线性关系。
模型的一般形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε，其中Y是因变量，X1, X2, ..., Xp 是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是
回归模型的评估与选择
评估指标
为了评估回归模型的预测性能，可以使用各种评估指标，如均方
误差（MSE）、均方根误差（RMSE）、决定系数（R方）
等。
模型选择
根据评估指标，可以选择最佳的回归模型。通常选择具有较高决定系数和较低均方误差的模型。
交叉验证
为了更准确地评估模型的泛化能力，可以使用交叉验证技术将数据集分成训练集和测试集，并分
通过交叉验证、调整模型参数等方法可以对多元线性回归模型进行优化，提高预测精度。
Part
04
逻辑回归
逻辑回归模型
逻辑回归是一种用于解决二分类问题的回归分析方法。它通过将线性回归模型的输出转换为概率形式，来预测一个事件发生的概率。
在逻辑回归中，自变量（特征）和因变量（目标变量）之间的关系是非线性的，通过sigmoid函数实现从线性到非线性的转换。
示例代码：`X = [ones(n,1) x]; % 构造设计矩阵，包括常数项` `Y = y; % 因变量矩阵` `B = fitlm(X,Y); % 拟合多元线性回归模型` `Yfit = predict(B,X); % 进行预测`
多元线性回归的评估与优化
评估多元线性回归模型的性能可以使用各种统计指标，如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）、决定系数（R^2）等。

利用MATLAB进行回归分析

利用MATLAB进行回归分析一、实验目的：1．了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB实现的方法；2. 练习用回归分析解决实际问题。

二、实验内容：题目1社会学家认为犯罪与收入低、失业及人口规模有关，对20个城市的犯罪率y（每10万人中犯罪的人数）与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数3x（千人）进行了调查，结果如下表。

（1）若1x~3x中至多只许选择2个变量，最好的模型是什么？（2）包含3个自变量的模型比上面的模型好吗？确定最终模型。

（3）对最终模型观察残差，有无异常点，若有，剔除后如何。

理论分析与程序设计：为了能够有一个较直观的认识，我们可以先分别作出犯罪率y与年收入低于5000美元家庭的百分比1x、失业率2x和人口总数x（千人）之间关系的散点图，根据大致分布粗略估计各因素造3成的影响大小，再通过逐步回归法确定应该选择哪几个自变量作为模型。

编写程序如下：clc;clear all;y=[11.2 13.4 40.7 5.3 24.8 12.7 20.9 35.7 8.7 9.6 14.5 26.9 15.736.2 18.1 28.9 14.9 25.8 21.7 25.7];%犯罪率（人/十万人）x1=[16.5 20.5 26.3 16.5 19.2 16.5 20.2 21.3 17.2 14.3 18.1 23.1 19.124.7 18.6 24.9 17.9 22.4 20.2 16.9];%低收入家庭百分比x2=[6.2 6.4 9.3 5.3 7.3 5.9 6.4 7.6 4.9 6.4 6.0 7.4 5.8 8.6 6.5 8.36.7 8.6 8.4 6.7];%失业率x3=[587 643 635 692 1248 643 1964 1531 713 749 7895 762 2793 741 625 854 716 921 595 3353];%总人口数（千人）figure(1),plot(x1,y,'*');figure(2),plot(x2,y,'*');figure(3),plot(x3,y,'*');X1=[x1',x2',x3'];stepwise(X1,y)运行结果与结论：犯罪率与低收入散点图犯罪率与失业率散点图犯罪率与人口总数散点图低收入与失业率作为自变量低收入与人口总数作为自变量失业率与人口总数作为自变量在图中可以明显看出前两图的线性程度很好，而第三个图的线性程度较差，从这个角度来说我们应该以失业率和低收入为自变量建立模型。

利用 Matlab作回归分析

利用 Matlab 作回归分析一元线性回归模型：2,(0,)y x N αβεεσ=++求得经验回归方程：ˆˆˆyx αβ=+ 统计量：总偏差平方和：21()n i i SST y y ==-∑，其自由度为1T f n =-；回归平方和：21ˆ()n i i SSR y y ==-∑，其自由度为1R f =；残差平方和：21ˆ()n i i i SSE y y ==-∑，其自由度为2E f n =-；它们之间有关系：SST=SSR+SSE 。

一元回归分析的相关数学理论可以参见《概率论与数理统计教程》，下面仅以示例说明如何利用Matlab 作回归分析。

【例1】为了了解百货商店销售额x 与流通费率（反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据，见下表1.试建立流通费率y 与销售额x 的回归方程。

表1 销售额与流通费率数据【分析】：首先绘制散点图以直观地选择拟合曲线，这项工作可结合相关专业领域的知识和经验进行，有时可能需要多种尝试。

选定目标函数后进行线性化变换，针对变换后的线性目标函数进行回归建模与评价，然后还原为非线性回归方程。

【Matlab数据处理】：【Step1】：绘制散点图以直观地选择拟合曲线x=[1.5 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22.5 25.5];y=[7.0 4.8 3.6 3.1 2.7 2.5 2.4 2.3 2.2];plot(x,y,'-o')输出图形见图1。

510152025图1 销售额与流通费率数据散点图根据图1，初步判断应以幂函数曲线为拟合目标，即选择非线性回归模型，目标函数为：(0)b y ax b =< 其线性化变换公式为：ln ,ln v y u x == 线性函数为：ln v a bu =+【Step2】：线性化变换即线性回归建模（若选择为非线性模型）与模型评价% 线性化变换u=log(x)';v=log(y)';% 构造资本论观测值矩阵mu=[ones(length(u),1) u];alpha=0.05;% 线性回归计算[b,bint,r,rint,states]=regress(v,mu,alpha)输出结果：b =[ 2.1421; -0.4259]表示线性回归模型ln=+中：lna=2.1421，b=-0.4259；v a bu即拟合的线性回归模型为=-；y x2.14210.4259bint =[ 2.0614 2.2228; -0.4583 -0.3934]表示拟合系数lna和b的100(1-alpha)%的置信区间分别为：[2.0614 2.2228]和[-0.4583 -0.3934]；r =[ -0.0235 0.0671 -0.0030 -0.0093 -0.0404 -0.0319 -0.0016 0.0168 0.0257]表示模型拟合残差向量；rint =[ -0.0700 0.02300.0202 0.1140-0.0873 0.0813-0.0939 0.0754-0.1154 0.0347-0.1095 0.0457-0.0837 0.0805-0.0621 0.0958-0.0493 0.1007]表示模型拟合残差的100(1-alpha)%的置信区间；states =[0.9928 963.5572 0.0000 0.0012] 表示包含20.9928SSR R SST==、方差分析的F 统计量/963.5572//(2)R E SSR f SSR F SSE f SSE n ===-、方差分析的显著性概率((1,2))0p P F n F =->≈；模型方差的估计值2ˆ0.00122SSE n σ==-。

matlab经典算法程序---回归分析教学资料

Y a bx; ~ N(0, 2)
或
需要解决的问题：
Y~N(ab,x2)
1）在回归模型中如何估计参数a、b和σ2？
2）模型的假设是否正确？需要检验。 3）利用回归方程对试验指标y进行预测或控制？估y ˆ0 计 a ˆ b ˆx 量 0 , 区间 (y ˆ0 d ,估 y ˆ0 d )计
参数估计
设观测值为(xi, yi)（i=1,2,…,n), 代入模型中， yi = a + bxi +εi
最小二乘法:
n
mQ in (a,b) [yi (abix)2] i1
解出的参数记为 aˆ , bˆ 则回归方程： yˆ aˆ bˆx
yˆi a ˆbˆxi yi yˆi残差值
回归模型的假设检验
模型：Y = a + bx +ε
在工作空间中，输入yhat，回车，得到预测值。
实验内容
1、确定企业年设备能力与年劳动生产率的关系
某市电子工业公司有14个所属企业，各企业的年设备能力与年劳动生产率统计数据如下表。试分析企业年设备能力与年劳动生产率的关系。若该公司计划新建一个设备能力为9.2千瓦/人的企业，估计劳动生产率将为多少？
y=[698 872 988 807 738 1025 1316 1539 1561 1765 1762 1960 1902 2013 2446 2736 2825];
X=[ones(size(x')),x'],pause [c,cint,r,rint,stats]=regress(y',X,0.05),pause rcoplot(r,rint)
3000
y=a+bx
2500
2000

用MATLAB求解回归分析课件

感谢观看
用Matlab求解回归分析课件
目录
• 回归分析简介 • Matlab基础操作 • 线性回归分析 • 非线性回归分析 • 多元回归分析 • Matlab在回归分析中的应用实例
01
CATALOGUE
回归分析简介
回归分析的定义
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的相关关系，并建立数学模型来预测因变量的值。
显著性检验
对回归模型的显著性进行检验，如F 检验、t检验等。
预测精度评估
使用均方误差、均方根误差等指标评估模型的预测精度。
可解释性
评估模型的解释性，即模型是否易于理解，自变量对因变量的影响是否合理。
06
CATALOGUE
Matlab在回归分析中的应用实例
用Matlab进行线性回归分析的实例
迭代法
对于一些复杂的回归模型，可能需要使用迭代法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
Matlab函数
在Matlab中，可以使用内建的回归分析函数来求解多元回归模型，如 `fitlm`、`fitlm2` 等。
多元回归模型的评估
残差分析
对回归模型的残差进行分析，检查残差是否满足正态分布、同方差等假设。
要点一
总结词
要点二
详细描述
多元回归分析是处理多个自变量和因变量之间关系的回归分析方法，通过Matlab可以方便地进行多元回归分析。
在Matlab中，可以使用`fitlm`函数对一组数据进行多元回归分析。首先需要准备数据，然后使用`fitlm`函数拟合多元线性模型，最后通过模型进行预测和评估。
THANKS
使用预测值与实际值之间的误差评估模型的预测能力，如均方误差、平均绝对误差等指标。

matlab回归分析

令xi xi ，i=1，2，…，k 多项式回归模型变为多元线性回归模型.
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2019/6/23
19
三、多元线性回归中的检验与预测
1、线性模型和回归系数的检验
假设
H 0 : 0 1 ... k 0
（Ⅰ）F检验法
U /k
当 H0 成立时， F Qe /(n k 1) ~ F (k, n k 1)
腿长
88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102
以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出.
解答
102
100
98
y 0 1x
96
94
92
90
88
86
84
140
145
150
155
160
165
y0 的置信水平为1 的预测区间为
yˆ0 (x0 ), yˆ0 (x0 )
其中 (x0 ) ˆ et1 (n 2) 2
1 1 x0 x2
n
Lxx
特别，当 n 很大且 x0 在x 附近取值时,
y 的置信水平为1 的预测区间近似为

yˆ
设
yi 0 x1 i , i 1,2,..., n E i 0, D i 2 且1 2，..., n相互独立
n
n
记
Q Q(0 , 1)

2 i

yi 0 1xi 2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择0 和 1 的估计ˆ0 ， ˆ1 使得

关于matlab的回归分析

称为经验回归平面方程.ˆi 称为经验回归系数.
布，且为的无偏估
计，协方差阵为 2C . C=L-1=(cij), L=X’X
2019/10/14
18
2、多项式回归
设变量 x、Y 的回归模型为 Y 0 1x 2 x2 ... p x p
其中 p 是已知的，i (i 1,2,, p) 是未知参数，服从正态分布 N (0, 2 ) .
2n
n
其中Lxx (xi x)2 xi2 nx 2
i 1
i 12019/10/149（Ⅲ）r检验法n
(xi x)( yi y)
记
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
当|r|> r1-α 时，拒绝 H0；否则就接受 H0.
（Ⅰ）F检验法
U /k
当 H0 成立时， F Qe /(n k 1) ~ F (k, n k 1)
如果 F > F1-α （k，n-k-1），则拒绝 H0，认为 y 与 x1,…, xk 之间显著
地有线性关系；否则就接受 n
H0，认为
y
与
x1,… n ,
xk
之间线性关系不
显著. 其中 U yˆi y2 （回归平方和） Qe ( yi yˆi )2 (残差平方和）
Y 0 1x 2 x2 ... k xk
称为回归多项式.上面的回归模型称为多项式回归.
令xi xi ，i=1，2，…，k 多项式回归模型变为多元线性回归模型.
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2019/10/14
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三、多元线性回归中的检验与预测

《MATLAB-回归分析》课件

《MATLAB-回归分析》 PPT课件
本PPT课件介绍了MATLAB中回归分析的基本概念和应用。从线性回归到多元线性回归，再到非线性回归和逻辑回归，全面讲解了各种回归分析模型和求解方法。
回归分析概述
什么是回归分析？
回归分析是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系，并建立相应的模型。
回归分析的应用场景
3 最小二乘法
最小二乘法是一种常用的估计方法，用于确定线性回归模型中的参数。
4 相关系数$R$与$R^2$
相关系数$R$和$R^2$可以衡量线性回归模型的拟合程度和预测能力。
非线性回归分析
1
非线性回归模型
非线性回归模型可以描述自变量和因变量之间的非线性关系，常用于复杂的数据分析。
2
非线性回归模型的求解方法
评估模型
评估回归模型的性能，包括预测误差、拟合优度和残差分析等。
总结与展望
1 回归分析的局限性
回归分析在面对非线性、多重共线性以及异常值等情况时会存在一定的局限性。
2 回归分析的发展趋势
随着数据科学的发展，回归分析正不断结合机器学习和人工智能等技术进行深入研究。
3 回归分析在实际应用中的价值
回归分析为我们理解变量之间的关系、预测未来趋势和进行决策提供了有力的工具和依据。

4 ROC曲线
ROC曲线可以评估逻辑回归模型的分类性能，衡量预测的准确性和可信度。
实例分析
样例数据介绍
介绍回归分析实例中使用的数据集，包括自变量、因变量和样本规模等。
数据处理与分析
展示数据预处理的过程，包括数据清洗、特征缩放和异常值处理等。
建立回归模型
使用合适的回归模型拟合数据，并解释模型的系数和拟合程度。

matlab回归分析课程设计

matlab回归分析课程设计一、课程目标知识目标：1. 掌握Matlab软件的基本操作，熟悉其回归分析工具箱的使用；2. 理解线性回归、多项式回归等基本回归分析方法的理论知识；3. 学会运用回归分析处理实际问题，并对结果进行合理分析。

技能目标：1. 能够运用Matlab软件进行数据预处理，包括数据清洗、缺失值处理等；2. 能够独立完成线性回归、多项式回归等模型建立与求解；3. 能够运用所学方法对实际问题进行预测分析，并撰写分析报告。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数据分析的兴趣，激发其探索精神；2. 培养学生严谨的科学态度，注重实际问题的解决；3. 增强团队合作意识，学会与他人共同解决问题。

课程性质：本课程为应用型课程，以实际应用为导向，结合Matlab软件，让学生在实践中掌握回归分析的方法。

学生特点：学生具备一定的数学基础，了解基本的统计学原理，对实际应用有较高的兴趣。

教学要求：教师需结合实际案例，引导学生运用Matlab软件进行回归分析，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力。

同时，关注学生的情感态度，激发其学习兴趣，提高教学效果。

通过本课程的学习，使学生能够达到上述课程目标，并为后续相关课程打下坚实基础。

二、教学内容1. Matlb软件入门- 软件安装与界面熟悉- 基本命令与操作2. 数据预处理- 数据导入与导出- 数据清洗与缺失值处理- 数据可视化3. 回归分析基本理论- 线性回归模型- 多项式回归模型- 最小二乘法求解4. 回归模型建立与求解- 使用Matlab建立回归模型- 模型参数估计与检验- 模型优化与预测5. 实际案例分析- 案例选择与数据准备- 模型应用与结果分析- 撰写分析报告6. 课程总结与拓展- 回归分析在实际应用中的价值- 回归分析的其他方法介绍- 拓展阅读与讨论教学内容安排与进度：第一周：Matlb软件入门及基本操作第二周：数据预处理及数据可视化第三周：回归分析基本理论第四周：回归模型建立与求解第五周：实际案例分析第六周：课程总结与拓展教材章节关联：《应用统计学》第四章：回归分析《Matlab实用教程》第六章：数据分析与统计三、教学方法本课程将采用以下多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1. 讲授法：通过教师对基本概念、理论知识和方法原理的系统讲解，为学生奠定扎实的理论基础。

数学建模回归分析matlab版

则x, x 就是所求的 x 的控制区间.
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2019/12/15
14
四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）
例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：
使用次数
2 3 4 5 6 7 8 9
增大容积
6.42 8.20 9.58 9.50 9.70 10.00 9.93 9.99
使用次数
10 11 12 13 14 15 16
增大容积
10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
2019/12/15
解答
15
11
10.5
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
10
12
14
16
散点图
此即非线性回归或曲线回归
问题（需要配曲线）
配曲线的一般方法是：
先对两个变量 x 和 y 作 n 次试验观察得( xi , yi ), i 1,2,..., n 画出散点图，
根据散点图确定须配曲线的类型.然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知
参数 a 和 b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用
2019/12/15
检验、预测与控制
性可回线归性（化曲的线一回元归非）线
数学模型及定义
模型参数估计
检验与预测
多元线性回
归
中
的

Matlab多变量回归分析教程

本次(běn cì)教程的主要内容包含：一、多元(duō yuán)线性回归 2#多元(duō yuán)线性回归：regress二、多项式回归(huíguī) 3#一元(yī yuán)多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo三、非线性回归 4#非线性回归：nlinfit四、逐步回归 5#逐步回归：stepwise一、多元线性回归多元线性回归：1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型①bint表示回归系数的区间估计.②r表示残差③rint表示置信区间④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示4、实例演示，函数使用说明(1)输入数据1.>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';2.>>X=[ones(16,1) x];3.>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';复制代码(2)回归分析及检验1. >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)2.3. b =4.5. -16.07306. 0.71947.8.9.bint =10.11. -33.7071 1.561212. 0.6047 0.834013.14.15.r =16.17. 1.205618. -3.233119. -0.952420. 1.328221. 0.889522. 1.170223. -0.987924. 0.292725. 0.573426. 1.854027. 0.134728. -1.584729. -0.304030. -0.023431. -0.462132. 0.099233.34.35.rint =36.37. -1.2407 3.652038. -5.0622 -1.404039. -3.5894 1.684540. -1.2895 3.945941. -1.8519 3.630942. -1.5552 3.895543. -3.7713 1.795544. -2.5473 3.132845. -2.2471 3.393946. -0.7540 4.462147. -2.6814 2.950848. -4.2188 1.049449. -3.0710 2.463050. -2.7661 2.719351. -3.1133 2.189252. -2.4640 2.662453.54.55.stats =56.57. 0.9282 180.9531 0.0000 1.7437复制代码运行结果解读如下参数回归结果为，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.8r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531， p=0.0000，由p<0.05, 可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立(3)残差分析作残差图1.rcoplot(r,rint)复制代码从残差图可以看出，除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。

MATLAB程序设计之算法回归分析54页PPT

15.08.2021
故 T t 1 ( n 2 ) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .
2 n
n
其 L x 中 x (x i x )2x i2 n x 2
i 1
i 1
11
（Ⅲ）r检验法
n
( x i x ) y i ( y )
记 r i 1
n
n
( x i x ) 2( y i y ) 2
n
n
记Q Q (0,1) i2 yi01xi2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择 0和 1的估计 ˆ0， ˆ1 使得
Q (ˆ0,ˆ1)m 0,1Q i(n0, 1)
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ˆ
0
y
ˆ1x
ˆ1
xy x2
xy x2
n x i x y i y
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2 2
n
记 Qe Q(ˆ0,ˆ1)
yi ˆ0 ˆ1xi 2 n (yi yˆi )2
i1
i1
称Qe为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为 ˆe2 Qe (n2)
称ˆe2
为剩余方差（残差的方差），ˆ
2 e
分别与ˆ0ˆ1、独立。
ˆe 称为剩余标准差.
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返回
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三、检验、预测与控制
和 ˆ 1 t 1 2 ( n 2 ) ˆ e /L x ,ˆ x 1 t 1 2 ( n 2 ) ˆ e /L x x
2 的置信水平为 1 - 的置信区间为 1 2 2 Q ( n e 2 ) , 2 2 ( Q n e 2 )
i 1
i 1

Matlab多变量回归分析报告教程

本次教程的主要内容包含：一、多元线性回归 2#多元线性回归：regress二、多项式回归 3#一元多项式：polyfit或者polytool 多元二项式：rstool或者rsmdemo三、非线性回归 4#非线性回归：nlinfit四、逐步回归 5#逐步回归：stepwise一、多元线性回归多元线性回归：1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型①bint表示回归系数的区间估计.②r表示残差③rint表示置信区间④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)3、rcoplot(r,rint)画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示4、实例演示，函数使用说明(1)输入数据1.>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]';2.>>X=[ones(16,1) x];3.>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';复制代码(2)回归分析及检验1. >> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)2.3. b =4.5. -16.07306.0.71947.8.9.bint =11. -33.7071 1.561212.0.6047 0.834013.14.15.r =16.17. 1.205618. -3.233119. -0.952420. 1.328221.0.889522. 1.170223. -0.987924.0.292725.0.573426. 1.854027.0.134728. -1.584729. -0.304030. -0.023431. -0.462132.0.099233.34.35.rint =36.37. -1.2407 3.652038. -5.0622 -1.404039. -3.5894 1.684540. -1.2895 3.945941. -1.8519 3.630942. -1.5552 3.895543. -3.7713 1.795544. -2.5473 3.132845. -2.2471 3.393946. -0.7540 4.462147. -2.6814 2.950848. -4.2188 1.049449. -3.0710 2.463050. -2.7661 2.719351. -3.1133 2.189252. -2.4640 2.662453.55.stats =56.57.0.9282 180.9531 0.0000 1.7437复制代码运行结果解读如下参数回归结果为，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834]r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531，p=0.0000，由p<0.05, 可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立(3)残差分析作残差图1.rcoplot(r,rint)复制代码从残差图可以看出，除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。

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y ˆ 0 ˆ 1 x 1 . . ˆ k x k .
布，且为的无偏估计，协方差阵为 2 C .
C = L - 1 = ( c i j ) , L = X ’ X
称为经验回归平面方程 ˆ i .称为经验回归系数 .
2020/10/18
n
n
记 QQ(0,1) i2 yi 01xi2
i1
i1
最小二乘法就是选择 0和 1 的估计 ˆ0ˆ， 1 使得
Q(ˆ0,ˆ1)m 0,1Q in (0,1)
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6
2 2
n
记 Qe Q(ˆ0, ˆ1)
yi ˆ0 ˆ1xi
2
n
(yi yˆi )2
.
.
令 x i x i ， i = 1 ， 2 ， … ， k 多项式回归模型变为多元线性回归模型 .
返回
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三、多元线性回归中的检验与预测
1 假设 H 0 : 0 1 . k 0 . .
（Ⅰ）F检验法
U /k
当 H 0 成立时， F Q e/n ( k 1 )~ F ( k ,n k 1 )
参数 a和 b .采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用
非线性回归线性化的方法 .
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通常选择的六类曲线如下：
（ 1 ）双曲线 1 a b y x
（ 2 ）幂函数曲线 y = a x b , 其中 x > 0 , a > 0
1 2 2 Q ( n e 2 ) , 2 2 ( Q n e 2 （1）预测
用 y 0 的回归值 y ˆ 0 ˆ 0 ˆ 1 x 0 作为 y 0 的预测值 .
y 0 的置信水平为 1 的预测区间为
记为
y01x E 0,D 2 固定的未知参数 0、 1称为回归系数，自变量 x也称为回归变量 .
Y 0 1 x ，称为 y 对 x 的回归直线方程 .
一元线性回归分析的主要任务是：
1 、用试验值（样本值）对 0 、 1 和作点估计； 2 、对回归系数 0 、 1作假设检验；
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7
6.5
6
2
4
6
8
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散点图
此即非线性回归或曲线回归问题（需要配曲线）配曲线的一般方法是：
先对两个变量 x 和 y作 n 次试验观察得 (x i,y i)i ,1 ,2 ,.n .画 .出 ,散点图，
根据散点图确定须配曲线的类型 .然后由 n 对试验数据确定每一类曲线的未知
i1
i1
称 Qe 为残差平方和或剩余平方和.
2 的无偏估计为
ˆ
2 e
Qe
(n 2)
称ˆ
2 e
为剩余方差（残差的方差）， ˆ
2 e
分别与ˆ0 、ˆ1
独立。
ˆe 称为剩余标准差.
2020/10/18
返回
7
三、检验、预测与控制
1、回归方程的显著性检验
对回归方程 Y 01 x的显著性检验，归结为对假设 H 0:1 0 ;H 1:1 0
ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 ,x ˆ 0 t1 2 ( n 2 )ˆ e1 n L x x 2 x
和 ˆ 1 t1 2 ( n 2 )ˆ e /L x,x ˆ 1 t1 2 ( n 2 )ˆ e /L x x 2 的置信水平为 1 - 的置信区间为
i 1
i 1
当 | r | > r 1 - α 时，拒绝 H 0 ；否则就接受 H 0 .
其中 r 1 1 n 2 F 1 1 1 , n 2
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2、回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1 - α 的置信区间分别为
数学建模与数学实验
回归分析
2020/10/18
1
实验目的
1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。
实验内容
1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业。
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数学模型及定义
模型参数估计
3 、在 x x = 0处对 y 作预测，对 y 作区间估计 .
2020/10/18
返回 5
二、模型参数估计
1、回归系数的最小二乘估计
有 n组独立观测值，（ x1， y1），（ x2， y2）， … ，（ xn， yn）
设 E yi i 0 0, D xi12 i,i且 11,22,， ....n ..n,,相互独立
使用次数
2 3 4 5 6 7 8 9
增大容积
6.42 8.20 9.58 9.50 9.70 10.00 9.93 9.99
使用次数
10 11 12 13 14 15 16
增大容积
10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76
解答
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14
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10.5
故 T t 1 ( n 2 ) ，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0.
2
n
n
其Lx中 x (xix)2 xi2nx2
i 1
i 1
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（Ⅲ）r检验法
n
( x i x ) y i ( y )
记 r i 1
n
n
( x i x ) 2( y i y ) 2
根据线性化方法，算得 b ˆ 1 .11 ,A ˆ 0 2 .475
返回
由此a ˆ e A ˆ 1.6 1789
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1 .1107
最后得 y 1.6 17 ex 89
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一般称
一、数学模型及定义
YX E()0,CO(,V )2In
为高斯 — 马尔柯夫线性模型 (k元线性回归模型 )，并简记为 (Y,X,2In)
进行检验 .
假设 H 0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关
系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著， y 与 x 的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义 .
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检验、预测与控制
性可回线归性（化曲的线一回元归非）线
数学模型及定义
模型参数估计
检验与预测
多元线性回
归
中
的
逐步回归分析
3
一般地，称由 y01x确定的模型为一元线性回归模型，
18
设变量 x 、 Y 的回归模型为 Y 0 1 x 2 x 2 . . p x p .
其中 p 是已知的， i ( i 1 , 2 , , p ) 是未知参数，服从正态分布 N ( 0 ,2 ) .
Y 0 1 x 2 x 2 . k x k .
y ˆ ˆ e u 1 2 , y ˆ ˆ e u 1 2
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（2）控制
要求： y 0 1 x 的值以 1 的概率落在指定区间 y , y
只要控制 x 满足以下两个不等式
y ˆ(x ) y ,y ˆ(x ) y 要求 y y 2(x ).若 y ˆ(x ) y ,y ˆ(x ) y 分别有 x 解
y ˆ 0 ( x 0 ) y ˆ 0 ( x 0 ) ,
其中 ( x 0 ) ˆ e t 1 2 ( n 2 ) 1 1 n x 0 L x x 2 x
特别，当 n 很大且 x 0 x 在附近取值时 ,
y 的置信水平为 1 的预测区间近似为
（ 3 ）指数曲线 y = a e b 其中参数 a > 0 x .
（ 4）倒指数曲线 y=aeb/x 其中 a>0，
（ 5 ）对数曲线 y = a + b l o g x , x > 0 （ 6 ） S 型曲线 y a 1 b x 解例 2 .由散点 e 图我们选配倒指数曲线 y = e b a /x
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（Ⅰ）F检验法当 H 0成立时，FQ e/U n (2)~F（ 1， n-2）
n
其中 U y ˆiy2（回归平方和） i1
故 F>F 1(1,n2)，拒绝 H 0 ，否则就接受 H 0 .