2019-2020学年重庆市外国语学校高一下学期6月月考数学试题(解析版)
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2019-2020学年重庆市外国语学校高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，101x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-【答案】B【解析】根据分式不等式解法可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 解：101x x +≤-，()()1101x x x +-≤⎧⎪∴⎨≠⎪⎩，所以{}11B x x =-≤<， 又∵{}1,0,1A =-，∴{}1,0A B ⋂=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查分式不等式解法以及集合的交集运算，难度较易.计算分式不等式时注意将其转化为整式不等式去计算.2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（） A ．||||a b > B ．2a ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 【答案】D【解析】0a b <<，有a b >，A 正确； 因为0a <，所以2a ab >，B 正确；11a b>，C 正确； 当2,b 1a =-=-时，11a b =--，112a =-，11a b a>-不成立，D 错误． 故选D.3．若直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．12D ．2【答案】D【解析】由两直线垂直的性质可得． 【详解】因为直线1:210l x y -+=与直线2:30l mx y +-=互相垂直， 所以20m -=，得2m =． 故选：D ． 【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．斜率存在的两直线垂直的充要条件是斜率乘积为－1，一般情况下直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=．4．下列函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x =【答案】C【解析】根据正、余弦函数的周期性及单调性以此判断四个选项，利用排除法即可得解. 【详解】()cos2f x x =的最小正周期为2π，故排除； ()sin 2f x x =不是周期函数，故排除；()cos f x x =的最小正周期是π，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故正确；D. ()sin f x x =的最小正周期是2π，故排除. 故选：C. 【点睛】本题考查正、余弦函数的周期性及单调性，属于常考题.5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A ．17 B ．29C ．23D ．35【答案】B【解析】由已知可得{}n a 为等差数列，由9S ，求出5a ，再结合公差，即可得出结论. 【详解】依题意{}n a 为等差数列，且3d =-，199559()9207,232a a S a a +===∴=， 35229a a d ∴=-=.故选：B. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和以及通项的基本量运算，属于基础题. 6．在等差数列{}n a 中，若29,a a 是方程2260x x --=的两根，则3478a a a a +++的值为（ ） A ．4 B ．2C ．﹣4D ．﹣2【答案】A【解析】由韦达定理求出29a a +，再由等差数列性质得3478292()a a a a a a ++=++，即可得解. 【详解】由题意知292a a +=，则3794822()4a a a a a a +++==+. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质，即等差中项的推广性质，属于基础题.7．已知角α=（ ） A ．sin cos αα+ B ．sin 3cos αα- C ．3cos sin αα- D ．sin cos αα-【答案】B【解析】利用二倍角公式化简可得； 【详解】==sin cos2cosααα=-+因为α是第二象限角，所以sin0α>，cos0α<所以原式sin cos2cos sin3cosααααα=--=-故选：B【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题.8．已知()4,3a=，()9,9b=-，则a在a b+方向上的投影为（）A．165B．335C．1613D．3313【答案】C【解析】先由已知求出a b+的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可.【详解】因为()()()4,39,95,12a b+=+-=-，所以a在a b+方向上的投影为()cos,a a ba a aba b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题.9．在ABC∆中，,,a b c分别为,,A B C的对边，60,1A b==，则a=（）A．2B C ．D【答案】D【解析】依题意11sin1sin60322S bc A c==⋅⋅=4c=，由余弦定理得13a==【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用.题目所给已知条件包括一个角和一条边，还给了三角形的面积，由此建立方程可求出AB边的长，再用余弦定理即可求得BC 边的长.利用正弦定理或者余弦定理解题时，主要根据题目所给的条件选择恰当的公式解列方程.10．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π， 故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11．圆()()22128x y -++=上到直线30x y ++=的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线x +y +1=0的距离，作图数形结合分析可得结论.【详解】解：由题意，圆心坐标为(1,2)-，半径为22， ∴圆心到直线30x y ++=的距离为2d =，如图所示：∴圆()()22128x y -++=上到直线30x y ++=的距离等于2的点共有 3个：,,P M N . 故选：C. 【点睛】本题考查的重点是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心到直线x +y +1=0的距离. 12．如图，等边ABC ∆的边长为2，顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 中点，则OA OM ⋅的最大值为（ ）A 7B ．572+ C ．72D ．3332+【答案】B 【解析】【详解】 设OBC θ∠=，则()()B 2,0,?0,2cos C sin θθ,A 22,233cos cos sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,M 2,33cos cos sin ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,22223333OA OM cos cos cos cos sin sin ππππθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⨯-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2242633cos cos cos cos ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+223sin πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭221246?24632cos cos cos cos cos cos πθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2515222θ2222cos cos cos θθθθθϕ=++=+=++其中tan θ=∴OA OM ⋅的最大值为52+ 故选B.二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则4a =_______.【答案】7【解析】利用443a S S =-求解. 【详解】由题得4431697a S S =-=-=. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查数列项和公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14．两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的距离是____________________．【解析】在直线x ＋3y －4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x ＋6y －9＝0的距离d 即为两平行直线之间的距离．d15．已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是_______. 【答案】8【解析】利用向量共线定理可得233x y +=，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 【详解】 解：//a b ，23(1)0x y ∴---=，化为233x y +=，∴()3213219412312128333y x x y x y x y x y y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3232x y ==时取等号． ∴32x y+的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题．16．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.【答案】13⎡⎣【解析】先将直线化为()()2430--+--=m x y x y ，可知直线过定点()1,2Q -，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求出圆心和半径，由圆的性质即可求得最值. 【详解】由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM ∆为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为13==CN ，所以MN的取值范围是13⎡⎣.故答案为：13⎡+⎣.【点睛】本题主要考查直线与圆的综合问题，考查学生综合应用所学知识的能力.三、解答题17．已知直线l ：20ax y a ++=，1l ：10x ay a ++-=，圆C ：228120x y y +-+=.（1）当a 为何值时，直线l 与1l 平行；（2）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =l 的方程. 【答案】（1）1a =；（2）7140x y -+=或20x y -+=.【解析】（1）当0a ≠时，由直线平行，可得两直线斜率相等，即可求出1a =或1a =-，将a 的值带回直线方程进行验证，可舍去1a =-；当0a =，求出两直线方程进行验证是否平行，进而可求出a 的值.（2）将已知圆的方程整理成标准方程形式，得到圆的半径和圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可知AB ==得到关于a 的方程，从而可求出a 的值，进而可求直线的方程. 【详解】解：（1）当0a ≠ 时，直线l 的斜率k a =-，1l 的斜率11k a=-，由两直线平行可知， 1a a-=-，解得1a =或1a =-.当1a =时，l ：20x y ++=，1l ：0x y +=，符合题意，当1a =-时，l ：20x y -+-=，1l ：20x y -+=，此时两直线重合，不符合题意. 当0a =时，l ：0y =，1l ：10x +=，两直线垂直，不符合题意； 综上所述：1a =.（2）由题意知，C ：()2244x y +-=，则圆的半径2r ，圆心为()0,4C ，则圆心到直线l 的距离d =.由AB ==得()2242214a a +-+=整理得，2870a a ++= ，解得7a =-或1a =-. 故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=. 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，考查了直线与圆相交的弦长问题.本题的易错点，一是未讨论a 的值，直接令斜率相等；二是求出a 的值未带回 直线方程进行验证.涉及到直线和圆相交的弦长问题时，通常是结合勾股定理表示弦长.18．已知函数2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）求函数()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.【答案】（1）T π=；（2）,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）根据二倍角公式和诱导公式，结合辅助角公式可求得()f x 解析式，从而利用周期公式求周期；（2）利用整体代换即可求单调增区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，从而可得()f x 的取值范围. 【详解】 （1）2()sin sin 2f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 212sin 2262x x x π-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭ 所以T π=． （2）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得 ,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查利用整体的思想结合图象解决给定范围下的三角函数的范围，属基础题.19．已知函数()()224f x x mx m m R =-+-∈.（1）当1m =时，求不等式()0f x ≥ 的解集；（2）当2x >时，不等式()1f x ≥-恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞（2）(],6-∞【解析】（1）解一元二次不等式即得结果，（2）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据基本不等式求对应函数最值，即得结果. 【详解】（1）因为1m =，所以()22f x x x =--.所以220x x --≥，即()()210x x -+≥， 解得1x ≤-或2x ≥.故不等式()0f x ≥的解集为(][),12,-∞-⋃+∞.（2）当2x >时，不等式()1f x ≥-恒成立等价于232x m x -≤-在()2,+∞上恒成立.因为2x >，所以20x ->，则()()()222421312446222x x x x x x x -+-+-==-++≥=---. 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立. 故m 的取值范围为(],6-∞. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．已知数列{}n a 为正项等比数列，满足34a =，且5a ，43a ，6a 构成等差数列，数列{}n b 满足221log log n n n b a a +=+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ） 12n n a -=，21n b n =- ；（Ⅱ）21n nT n =+ 【解析】(Ⅰ)先设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，根据34a =，且546,3,a a a 构成等差数列，求出q ，即可得出{}n a 的通项公式，再由221log log n n n b a a +=+，可得出{}n b 的通项公式；(Ⅱ)先由等差数列的前n 项和公式求出n S ，再由裂项相消法求出n T 即可. 【详解】解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q(q 0>)，由题意，得256466a a a q q +=⇒+= 解得2q =或3q =-（舍）又3141a a =⇒=所以 1112n n n a a q --==221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-(Ⅱ)()()1212122n n n n n b b S n ⎡⎤+-+⎣⎦===．∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前n 项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式即可求解，属于常考题型.21．如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.【答案】（1；（2）6-.【解析】（1）根据四边形的内角和为360，求出ADC ∠，因为AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，所以可求出CAD ∠，然后在ACD ∆中，利用正弦定理可求得CD ；（2）根据正弦定理，可得()1sin 150θ=-DC ，=BC ，()131sin12024sin 150sin BCD S DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯-，通过降幂公式和和差公式化简后，可得∆BCD S 的最小值. 【详解】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠= 所以135ADC ︒∠= ，在ACD ∆中,可得906030CAD ︒︒︒∠=-=，135ADC︒∠=，2AC = 由正弦定理得:sin sin CD ACCAD ADC=∠∠,解得：CD = .（2）因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=, 四边形内角和360得150ADC θ∠=-，∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin150DC DC θθ=⇒=--.在ABC ∆中，2sin 60sin sin BC BC θθ=⇒=， ()131sin12024sin 150sinBCD S DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- 3344==)34360=+,当75θ=时，S 取最小值6-. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求边角以及正弦定理在解决实际问题的应用.22．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）（i ）求证：111n n n n c ac a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】(1) 21nn a =-; (2)证明见解析【解析】(1)将()11,1n n a a +++代入2y x =,构造等比数列即可.(2)(i)由121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+可得11n n c a ++的关系,再化简证明111n n n n n c c a a a ++=+即可. (ii)利用(i)中111n n n n c a c a +++=,在23111111n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中构造对应等式再换元.最后即求证121111153n n a a a a -++⋅⋅⋅++<,代入21n n a =-再利用等比放缩法证明即可. 【详解】(1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12n n a +=,即21n n a =-(2) (i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n nc c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+. 即111n n n nc c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n n n n c ac a +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==,22111c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c ac a +++=. 故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213n n-++⋅⋅⋅++<----. 先证明21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈ , 即证当()2,n n N +≥∈时2211132212132n n nn --≤⋅⇔⋅≤-⇔- 2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈. 所以121121111111111 (2121212133232)n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 成立.即2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证毕 【点睛】本题主要考查了构造等比数列求数列通项公式的方法,同时也考查了数列的证明以及根据所给不等式利用等比放缩的方法求证数列不等式的问题,其中证明21112132nn -≤⋅-是关键.属于难题.。
