二次根式公开课

二次根式运算教案一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质。

2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。

3.能够运用二次根式的运算法则解决实际问题。

二、教学重点1.理解二次根式的含义和运算规律。

2.掌握二次根式的基本运算法则，包括加减乘除。

三、教学难点1.能够灵活运用二次根式的运算法则。

2.提高学生解决实际问题的能力。

四、教学方法1.讲解法：通过讲解理论知识，阐述二次根式的含义和运算规律。

2.示范法：通过示范例题，引导学生理解二次根式的运算方法。

3.练习法：通过练习题，巩固学生对二次根式运算法则的掌握。

4.讨论合作法：让学生分组讨论，合作解决实际问题。

五、教学过程1.引入（5分钟）通过一个简单的问题引入二次根式运算的概念，例如：“小明买了一块长宽分别为√2米和2√3米的矩形地毯，求地毯的面积。

”2.讲解二次根式的定义和性质（10分钟）讲解二次根式的定义和性质，明确二次根式的含义以及根式的加减乘除法则。

3.示范例题（15分钟）通过一些简单的例题，演示二次根式的基本运算方法，包括加减乘除。

4.练习题（15分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对二次根式运算法则的掌握。

5.讨论合作解题（15分钟）将学生分组讨论一些实际问题，例如：“小明有一块长宽分别为√5米和√3米的矩形地毯，他想铺在房间的地面上，房间的长宽分别为3√2米和2√3米，问地毯是否能完全覆盖房间的地面？”引导学生通过二次根式的运算解决问题。

6.总结归纳（5分钟）总结二次根式的运算法则和解题思路，强调学生在实际问题中的运用能力。

七、课堂练习（15分钟）八、作业布置（5分钟）九、教学反思。

2.7 二次根式 第2课时 二次根式的运算【上节知识回顾】1．关于二次根式的概念，要注意以下几点： （1）从形式上看，二次根式是以根号“”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。

如，等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数； （4）像“，”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。

2．二次根式的主要性质（1）； （2）； （3）；（4）积的算术平方根的性质：；（5）商的算术平方根的性质：；（6）若，则。

3．注意与的运用。

【新授】一、二次根式的乘法一、复习引入1．填空 （14949⨯=______； （21625=_______1625⨯． （31003610036⨯． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×3610036⨯一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5）例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4二、二次根式的除法1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空；（2=________；（1；（4=________．（3一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1（1（2（3（4例3．已知9966x xx x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 三、分母有理化两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。

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因为下次再搜索到我的机会不多哦！《 16.1 二次根式》教学内容：a（a≥0）及根号的意义.教学目标：a（a≥0）并利用它进行计算和化简．a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板重要内容:1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=______；；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=11023=037．a （a ≥0）例1 化简（1（2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32a （a ≥0）•去化简．解：（1（2=4（3（4三、巩固练习教材第4页练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a <0，•并根据这一性质回答下列问题．（1a ，则a 可以是什么数？（2a ，则a 可以是什么数？（3a ，则a 可以是什么数？例3 当x>2．五、归纳小结a （a ≥0）及其运用，同时理解当a <0a 的应用拓展六、布置作业 1．教材第4页习题1.2.3.4.本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。

八年级二次根式教案引言：二次根式作为数学中的一个重要概念，是八年级数学学习中的一项重要内容。

学习二次根式不仅能够加深对实数概念的理解，还能够培养学生分析问题和解决问题的能力。

本篇教案将带领学生从概念的认识到运用的掌握，通过多种教学方法和活动，帮助学生全面理解和掌握二次根式。

一、概念引入1. 导入：教师出示一个正方形，让学生估计其边长的平方根是多少，并思考如何求得精确值。

2. 概念引入：由学生提出的求正方形边长的平方根的方法，引出二次根式的概念。

教师讲解二次根式的定义，并进行例题演示。

二、二次根式的性质1. 定理1：二次根式的平方等于被开方数。

- 教师进行证明，帮助学生理解该定理的正确性。

- 学生进行练习，巩固该定理的掌握程度。

2. 性质1：对于非负实数a和b，有√(a × b) = √a ×√b。

- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。

- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。

- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。

3. 性质2：对于非负实数a和b，有√(a ÷ b) = √a ÷√b。

- 教师进行案例演示，引导学生进行思考和发现。

- 学生进行小组讨论，总结归纳该性质并给出证明。

- 学生通过练习题，巩固该性质的应用。

三、二次根式的化简与扩展1. 化简二次根式：- 教师引导学生通过整理根式中的因式，并利用性质对根式进行化简。

- 学生通过练习题，熟悉和掌握化简二次根式的方法。

2. 扩展二次根式：- 教师出示一些无理数，引导学生进行运算。

- 学生进行小组讨论，总结归纳无理数的运算规律和性质。

- 学生通过练习题，巩固对扩展二次根式的掌握。

四、二次根式的应用1. 解决问题：教师通过实际问题引导学生将问题转化为二次根式，并进行求解。

2. 小组探究：学生分组完成一个二次根式相关的探究项目，包括建模和解决问题。

3. 拓展学习：学生通过相关课外阅读和实际应用，拓展二次根式的应用领域，如几何、物理等。

二次根式教案逐字稿一、教学目标1. 理解和掌握二次根式的概念；2. 能够正确运用二次根式的运算法则进行计算；3. 能够解答有关二次根式的基本练习题。

二、教学重点1. 二次根式的定义和性质；2. 二次根式的运算法则。

三、教学难点1. 二次根式的运算规律；2. 解决复杂二次根式的计算问题。

四、教学准备1. 教材《高中数学教程》第三册；2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔等；3. 笔记本电脑、投影仪。

五、教学过程第一步：导入新知识（5分钟）为了引起学生的兴趣，导入阶段，可以通过一个生动的案例加深学生对二次根式的理解。

例如：小明家的车库墙上有一个镜子，它的形状是一个正方形。

车库门边缘的长度为12米，我们想要知道镜子面积的大小。

请同学们思考一下，如何计算这个正方形镜子的面积？第二步：引入概念和性质（10分钟）为了引出二次根式的概念和性质，教师可以使用PPT展示的方式，结合实际案例，引导学生发现二次根式的特点。

然后，教师解释二次根式的定义和性质，比如根式的符号、根式的系数、根式的指数等，以及根式与分式之间的关系。

第三步：举例说明运算法则（15分钟）在教授了二次根式的概念和性质后，教师可以通过具体的例子，逐一讲解二次根式的运算法则。

教师应尽量采用多种多样的实例，让学生能够全面掌握运算法则。

同时，教师可以请学生上黑板进行实际操作，巩固所学的知识。

第四步：练习与巩固（15分钟）在完成了运算法则的讲解后，学生可以进行一些练习题，以检验他们对所学内容的理解和掌握程度。

教师可以分发一些练习册，或者在黑板上出示一些习题，要求学生在规定的时间内完成。

教师应及时纠正学生答题中的错误，以加强学生对二次根式运算法则的应用能力。

第五步：拓展与应用（15分钟）为了拓展学生对二次根式的认识，教师可以引导学生进行一些拓展性的讨论，如二次根式的图像特征、二次根式与实际问题的联系等。

同时，教师还可以给学生一些实际的应用题目，让他们将所学知识应用到实践中，提高解决问题的能力。

二次根式第一课时教案教学目标：1.了解二次根式的概念和特点；2.掌握二次根式的运算规则；3.能够应用二次根式解决实际问题。

教学重点：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的运算规则。

教学难点：1.灵活运用二次根式的运算规则解决实际问题。

教学准备：教师：教材、黑板、粉笔、计算器学生：教材、笔记本、铅笔、直尺、三角板教学步骤：Step 1 热身导入（5分钟）教师可以通过出示一道与二次根式相关的问题引导学生思考，如：如果一个正方形的面积是16平方厘米，那么它的边长是多少？并提醒学生思考如何计算。

Step 2 引入新知（10分钟）教师通过引导学生观察并分析计算正方形边长的方法，引出二次根式的概念。

然后，教师给出二次根式的定义：若a是一个正数且n是一个正整数，则a的n次方根，记作√a，其中根指数n为奇数，被开方数a大于等于零。

Step 3 二次根式的性质和运算规则（20分钟）3.1 二次根式的性质教师通过教材内容介绍二次根式的性质，包括：（1）若a≥0则√a ≥ 0；（2）若a≥0则√a²=a；（3）若a≥0则√a×√a=a；（4）若a≥0，b≥0，则√a±√b不能进行合并成一个根号；（5）若a≥0，b≥0，则√(a×b)=√a×√b。

3.2 二次根式的运算规则教师通过具体的计算例子介绍二次根式的运算规则，包括：（1）同类项的加减运算：根指数、底数相同的二次根式可以进行加减运算，但不能合并成一个根号；（2）乘法运算：根指数相同的二次根式可以进行乘法运算，结果的根指数不变，底数相乘；（3）除法运算：根指数相同的二次根式可以进行除法运算，结果的根指数不变，底数相除；（4）化简运算：对二次根式进行化简，尽量把二次根式的底数写成素数的乘积。

Step 4 练习与讲评（15分钟）教师布置一些二次根式的练习题，要求学生独立完成，并在规定时间内交卷。

然后教师对练习题进行讲评，解释正确答案的求解思路和方法，并指出容易出错的地方。

16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．17．1勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD ＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是。