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一类四阶非线性微分方程的周期解

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ｌ ） 一 ［ （） （， （≤ ２ － ｃ— ｆ］ ｆ ）＋ （） ｆ
类 四阶 非 线性 微 分 方 程 的 周 期 解
刘 俊 （ 曲靖 师 范学院 数 学 系 ， 曲靖 ， ５ ０ ０ ６５ ０ ）
●
沈 艳 平 （ 明 大学 经济 系， 昆 昆明 ， ５ １ ８ ６０ １ ）
李 正彪
（ 曲靖 师 范学院 数 学 系， 靖 ， ５ ０ ０ 曲 ６ ５０ ）
ｉｔ ｎｃ ｕｎｉ ｕｅ ｓ ｄ ｓ ｓ ｅ ｅ， ｇ ｎｅ ｓａｎ ａ ｙｍ ｐｔ ｉ ｔ ｉｉｙ ｏ ｈｅ ｐｅ ｉ ｄｉ ｏｌ ｔｏ ｏｔｃ ｓ ａｂ ｌｔ ｆ ｔ ｒｏ ｃ ｓ ｕ ｉｎｓ．
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｌ ａ ｕ ｏ ｕ ｃ ｉ ｎ ｐ ｒｏ ｉ ｓ ｌ ｔｏ ａ ｙ ｐ ｏ ｉ ｔ ｂ ｌｙ ｙ ｒｓ ｉ ｐ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔ ｅ ｉ ｄ ｃ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｓ ｍ ｔ ｔｃ ｓ ａ ｉ ． ｔ
＋ Ｐ（ ， ￡ ）＋ ｇ（ ， ￡ ）＋ ＾（ ｔ ＋ ￡ ）一 ｆ（ ， ， ， ，， ， ｔ ， ） （） １
运 用 Ｌａ ｕ ｏ ｉｐ ｎ ｖ函数 方法 ， 到 了 存 在唯 一渐 近 稳 定 的周 期解 的 充分 条 件 ． 得
・ 云 南 省 教 委 应 用 基 础 研 究 课 题 （ ０ ２ ２ ） 曲 靖 师 范学 院 资 助 课 题 ０１ ２６ ， 何 树 红 教 授 推 荐 收 稿 日期 ： ０ １年 Ｏ ２０ ９月 ２ ０日
上连 续 可 微 （ 可 以足 够 大 ） 且 满 足 ： 尺 ， （） 口 ｌ ｌ） Ｖ（， ≤ ６ ｌ ｌ ， 中 ａ ｒ ， （ ） 连 续 的 ， ｌ ａ ｒ ｉ （１ １ ≤ ｆ ） （１ １ 其 ） （） ６ ｒ 是 且 ｉ （ ）一 ＋ Ｃ ； ｍ ， Ｄ
（） ｉ ｉ
一 Ｆ（， ） ，Ｌ’ Ｊ ｆ
—
（ ） ２
其 中 Ｆ（， ｔ ）∈ Ｃ （ Ｒ ） Ｒ ， ｔ ∞， ＝Ｆ（， ，∞＞ ０是周 期 ） 尺， 一 Ｆ（ ＋ ）＝ ： ｔ ） （ ． 引理 １ 如 果存 在 一个 Ｌ ａ ｕ ｏ ｉｐ ｎ ｖ函数 Ｖ（， 在 乘 积 空间 ： ￡ｚ） ｎ： Ｏ≤ ｔ ＋ 。 ）× Ｅ （１ ｌ Ｒ， （ ＜ 。 １ １≥ 尺≥ ０ ）
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第 ２ ２卷 第 ２期 ２０ ０ ２年 ６月
数 学 理 论 与 应 用
Ｍ ＡＴＨＥＭ Ａ ＴＩ ＣＡ Ｌ ＴＨＥｏＲＹ ＡＮＤ Ｐ Ａ ＰＬＩ ＣＡＴＩ ＮＳ ｏ ＶｂＩ ２ ． ２ NhomakorabeaＮｏ． ２
Ｊ ｎ ０ ｕ ｅ２０ ２
一
维普资讯
第 ２期
一 类 四阶 非 线性 微 分 方 程 的 周 期 解
９５
２ 预 备 知 识
在证 明结 果 之前 ， 必要 介 绍 一 下 定理证 明过 程 中 引 用的结 论 ．为叙 述 方便 ， 虑 微分 方 有 考
程 系统 ：
ｄ ｘ
ＬｉＺｈｅ ｇｂｉｏ ｎ ａ
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｈ ｍ ａｉｓ Ｑｕｍ ｇＮｏ ｍ ａ ｌ ｇ Ｑ ｕｉｇ， ５ ０ ０ ｅ Ｄ ａ ｔ ｎ ｆＭ ｔ ｅ ｔｃ ， ｊ ｒ ｌ Ｃｏ ｌ ｅ， ｉ ｅ ｎ ６ ５０ ）
Ａｂｓ ｒ ｔ Ｉ ｔ ｓ ｔ ａｃ ｎ ｈｉ ｐａ ｒ， ｈｅ ｐｅ ｔ ｐｅ ｉ ｄｉ ｏｌ ｔｏ ｃ ａ ｓ ｏｆ ｆ ｒｏ ｃ ｓ ｕ ｉｎｓ ｏｆ ａ ｌ ｓ ｏｕｒ ｏｒ ｒ ｄｅ ｎｏ ｉ ａ ｆｅｒ ｎｔａｌｅｑ ｔｏ ａ ｅ ｎｌｎｅ ｒ ｄｉｆ ｅ ｉ ｕａ ｉｎｓ ｒ
摘 要 本 文运 用 Ｌａ ｕ ｏ ｉ ｎ ｖ函数 方 法 ， 究 了一 类四 阶 非 线 性 微 分 方 程 的 周期 解 ， 到 了存 在 唯 一 渐 近 稳 定 ｐ 研 得 Ｌａ ｕ ｏ ｉｐ ｎ ｖ函数 周 期 解 渐 近 稳 定 性
的 周期 解 的 充分 条 件 ．
关键词
Ｔｈ ｒ ｏ ｃ Ｓ ｌ ｉ ｎｓ ｅ Ｐｅ ｉ ｄｉ ｏ ｕｔｏ ｆ ｒ ａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｆｏ ｒ Ｏ ｒ ｅ ｏ ｉ ａ ｆ ｅ ｅ ｉ ｌ Ｅｑｕ ｔｏ ｏ ａ ｓｏ ｕ ｄ ｒ Ｎ ｎｌｎｅ ｒ Ｄｉ ｆ ｒ ｎｔａ ａ ｉ ｎｓ
ｓ ｕ ｉ ｄ ｂ ｓｎ ｈ ｔ ｏ ｆＬｉｐ ｎ ｖ ｆ ｎ ｔｏ ． ｅｏ ｔ ｉ ｈ ｕ ｆｃｅ ｔｃ ｎ ｉ ｏ ｓｗｈ ｃ ｕ ｒ ｎ ｅ ｈ ｘ ｔ ｄ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｔ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ａ ｕ ｏ ｕ ｃ ｉ ｎ Ｗ ｂ ａｎ ｔ ｅ ｓ ｆｉ ｉｎ ｏ ｄ ｔ ｎ ｉｈ ｇ ａ ａ ｔ ｅ ｔ ｅ ｅ ． ｉ
１ 引
‘ ‘
言
文献 ［ ］ 究 了如 下的 四 阶微 分 方程 Ｌａ ｕ ｏ １研 ｉｐ ｎ ｖ函数 的作 法 和解 的存 在性 ：
＋ ａ ｔｘ＋ ６ ｆ （） （） ＋ ｃ ￡二＋ （） 一 ０ （） ｆ
本文 研 究较 为 复杂 的 一类 四 阶 非线 性 微分 方 程．
ＬｕＪ ｎ ｉ ｕ
（ ｅ ａ ｔ ｎ ｆＭａ ｈ ｍａｉｓ Ｑｕ ｉｇＮｏ ｍａ ｌ ｇ ， ｊ ｇ， ５ Ｏ Ｏ Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ， ｊ ｒ ｌ ｎ Ｃｏ ｌ ｅ Ｑｕｉ ６ ５ Ｏ ） ｅ ｎ
Ｓｈ ｎｇ Ｙ ａ ｅ ｎｐｉ ｎｇ
（ ｐａ ｔ ｅ ｏｎ ｅ Ｄ ｒ ｍ ｎｔｏｆＥｃ ｏｍ ｉ Ｋ ｕｎｍ ｉ ｎｏｖ ｒ ｉｙ， ｃ， ｎｇ Ｕ ｅ ｓｔ Ｋｕｎｍ ｉ ｇ ， ０１ ） ｎ ６５ ８ １

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一类非线性脉冲时滞微分方程的概周期解

一类非线性脉冲时滞微分方程的概周期解

ｆ （ －２ｔｘ ｆ＋厂ｆ ｔｒ ｔ） ， ＝ １ ） （ （ ） （ （ （ ） ， － ） ｆ ； ≠
【 （） ｘｒ ） （） 厶 （） ， △ ＝ （ ｋ ＝ ）
周 期解 存在 的一 组 充分条 件 ． 本文 再把 系统 推广 到 更一般 的多 时滞 的情形 ：
方程的概周期解存在的充分条件．
【 词】脉冲时滞微分方程；压缩映射原理；概周期解 关键
【 中图分类号］Ｏ１５ ［ ７ 文献标识码］Ａ ［ 文章编号］１０－６１ ２１ ） ５０１—５ ０４４７ （０１ ０—０８０
几 年 ，很 多学 者 通 常都 是 利 用 锥 不 动 点定 理 来 研 究 脉 冲 时滞 微 分 方 程 的周 期 解 的 存在 性 问题
定义 １Ｊ 称序列｛ ｉ，ｌ Ｉ ９ ） ＂ ｋ
一 ，ｋ Ｚ ∈ ，｛ ） Ｂ ∈ ，ｆ Ｚ ｌ ∈ 是一致概周期的，如果对任意的 ｓ ０ ＂ ｋ ＞ ，对每
个 序列 都存 在相 同的 ｓ 概周 期相 对紧 集 ． 一 定 义 ２ 函数妒（ ∈ Ｃ（， ） Ｐ Ｒ Ｒ 满足 下列 条件 ：
［ 收稿 日期］２ １— ９ １ ０ １ ０— ９ ［ 基金项 目］基金项 日：国家 自然科学基金 资助 （ ０ ６ ０ ５ １９ １０ ）。 ［ 作者简介］徐苏柳 （ ９ １ ），女， 云南人 ，讲师 ，在职研 究生，从 事微 分方程方 向的研究 。 １８ ￣
１ ８
徐苏柳 等
一类非线性脉冲时滞微分方程的概周期解
（ ）序列｛ ｉ １ ｝ 是一致概周期的，即对任意的 ￡ ０ ＞ ，存在 Ｊ Ｚ ∈ ，使得 ｌ 州一 ＜ ， ｌ ｓ （ ）对任 意 的 ｓ ０ ２ ＞ ，存 在一个 实数 ＞ ，使得 点 ｔ和 ｔ属于 （ 的 同一个 连续 区间 ，当 ｌ — ０ ｔ ） ｔ
非线性偏微分方程

非线性偏微分方程


应用
研究方向
突破
1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学 问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、 偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
2．该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和 实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中 本课题属于国内外前沿性研究工作。
发展情况
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE)。很多意义重大的自然科学 和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述， 很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE。另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程 近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出 了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪 50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学 中的热点。
3．应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要 的理论依据和方法。
谢谢观看
定义
非线性偏微分方程(NLPDE)，又称非线性数学物理方程、非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域 如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。
函数是一个广义的偏微分方程，如果 u，v是此微分方程的两个解，而（au+bv)也是此微分方程的解，则此 偏微分方程则为线性偏微分方程，否则为非线性偏微分方程 。
常微分方程的周期解的周期性

常微分方程的周期解的周期性

常微分方程的周期解的周期性在数学中，常微分方程是研究变量之间的关系以及其对应的导数或微分的方程。

周期解是指在一定周期内重复出现的解。

本文将探讨常微分方程的周期解的周期性。

一、周期解的定义在常微分方程中，如果存在一个解函数y(t)，使得对于某个正常数T，对于任意实数t，都有y(t + T) = y(t)，则称y(t)为方程的一个周期解，T为周期。

二、周期解的周期性质周期解的周期性质可以通过使用数学推导和分析来证明。

1. 唯一性对于一个给定的常微分方程，它可能存在多个周期解，但是每个周期解都有唯一的周期。

这是由于周期解是满足y(t+T)=y(t)的函数，而如果一个解函数y(t)的周期是T1，另一个解函数y(t)的周期是T2，那么它们的周期可以表示为T1的整数倍和T2的整数倍的最小公倍数。

2. 周期解的稳定性对于某些常微分方程，周期解可能是稳定的，即在微小的扰动下仍保持周期性。

这种稳定性可以通过线性化稳定性分析来判断。

线性化稳定性分析是通过计算方程在周期解附近的雅可比矩阵的特征值来确定稳定性。

3. R的周期解对于某些常微分方程，周期解可能形成一个闭合轨道，称为R的周期解。

这些R的周期解在相空间中构成一个封闭曲线，且整个相空间中的解曲线都将趋向于该封闭曲线。

R的周期解在动力系统中具有重要的应用。

三、例子说明以简单的谐振子作为例子来说明周期解的周期性。

谐振子的运动方程可以用常微分方程来描述：m(d^2y/dt^2) + k(y - y0) = 0，其中m和k 分别是质量和弹性系数，y0是平衡位置。

解这个方程可以得到y(t) = A sin(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位差。

由于sin函数的周期是2π，因此振动解的周期是T = 2π/ω。

这展示了周期解的周期性质。

四、相关应用周期解的周期性质在动力学系统、电路理论、生物学和物理学等领域都有广泛的应用。

在动力学系统中，周期解的周期性质可以用来描述震荡现象和周期性运动。

一类具高阶非线性项的发展方程的准确周期解

一类具高阶非线性项的发展方程的准确周期解


但 在求解具高阶 非线性项 的发 展方程准确 周期解方面 ，有关文献 不多 ，文 献ｆ 仅仅求 出了具 ６ １ 高 阶非线性项 的广义Ｋ 方 程 的准确 周期解 ，但 并没有 由此推广 求 出更多的具 高阶非线性 项 ＤＶ 的发展方程 的准确周期解 。因此在这 方面有 必要进 行深入 的研究 。事实上 ，许 多非线性发展 方 程孤波解的求解问题 可转化 为对Ｌｅ ａｄ ｉ ｒ 方程 ｎ
文献标识码： Ａ
１ 引 言
为 了解释各种 非线性 问题 的物 理机理 ，各 种非线 性模型 （ 非线 性方程） 陆续提 了出来 。 比 被 如 ，电磁场服从 的Ｍａ ｗ ｌ ｘ ｅ 方程 ，粘性 液体运动所服从 的反应扩 散方程 以及 浅水波模 型ＫＤ ｌ Ｖ方 程 等，这 些发 展方程都是非线性偏微分方程或方程组 ，其解是 多种 多样的 ，它反映 了数学物理 中各种形 式 的时 空结构 。最 近几年 ， 国内外许多科 学家对 求解非 线性发 展方程 的准确周 期解 作 了大量研究 ，￣Ｐ ｒｂ ｖ Ｎ ｏｕ ｏ 等利用Ｗｅ ｒｔａｓ 圆函数求得 了某 些非线性 发展方程 的准确 周期 ｉ ｓｒｓ椭 ｅ 解 Ｉ２ ］ ，：刘式达等 利用Ｊ ｃ ｂ椭 圆 函数 展开法求得 了某些非 线性发展 方程 的准确 周期解Ｉ４ 】 ａｏ ｉ ３ ，。 ，５
文章编号： ０ —０ ５２ ０ ）３０ ５ —２ １ ５３ ８ （０ ８０ —４ ７１ ０
一
类具 高阶非线性项 的发展方 程 的准确 周期解术
安 俊 英 ， 张 卫 国 （ 上海理工大学理学院 ，上海 ２０９ ） ０ ０３
摘
要：本文导出 了具高阶 非线性项的Ｌｅ ａｄ ｉ ｒ 方程的准确周 期解并从 理论 上给予 了证 明，然 后利用这些 ｎ 公式得到一大批 具高阶非线 性项的发展方程的各种Ｊ ｃ ｂ椭 圆函数型的准确周期解 ，由此避免 了 ａｏ ｉ