无穷区间上二阶三点差分方程边值问题正解的存在性

banach空间中二阶微分方程三点边值问题的正解
本文探讨了在Banach空间中的二阶微分方程三点边值问题的正解。

我们首先引入了关于Banach空间中二阶微分方程的一些基本概念和定理，包括常微分方程的基本理论、变分法和弱解的概念等。

然后，我们介绍了三点边值问题的定义和一些基本性质，包括唯一性、存在性和解的稳定性等。

最后，我们给出了一些具体的例子，说明了这些理论和方法的应用。

本文的研究对于深入理解Banach空间中微分方程的性质和解法具有重要意义。

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无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性随着数学科学的发展，越来越多的数学学科在不断涌现，其中微积分学科则是数学学科中最为重要的一个分支。

微积分学科中，常常会涉及到求解边值问题，边值问题是微积分学科研究的一个重要课题，其解的存在性问题一直是学界关注的焦点。

本文将探讨无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性。

1.问题概述设函数y(x)在无穷区间上（-∞,+∞）上二阶可微，考虑如下形式的二阶三点q-差分方程边值问题：y''(x)=[q(x+1)y(x+1)-2q(x)y(x)+q(x-1)y(x-1)]/(h^2)y(-∞)=0，y(+∞)=0，其中，q(x)为已知正实函数，h>0为常数。

需要证明：当q(x)满足一定条件时，该方程存在唯一的实解y(x)，且满足y'(x)=o(1/x)以及y(x)=o(1/x^2)。

2.证明过程为了证明上述问题，我们需要利用一些基本的数学原理和方法，具体证明过程如下： 1）首先，将上述方程改写为以下形式：2）使用格林公式得到：其中，α(x)=[q(x+1)+q(x)]/(2h^2)，β(x)=-q(x)/(h^2)，γ(x)=[q(x-1)+q(x)]/(2h^2)，D(x,y)=[q(x+1)-q(x-1)]y(x-1)/(h^2)。

3）通过格林函数G(x,ξ)的方法求得方程的解：y(x)=∫G(x,ξ)D(ξ,y(ξ))dξG(-∞,ξ)=G(+∞,ξ), G'(-∞,ξ)=G'(+∞,ξ)-G(+∞,ξ)4）利用格林函数的性质进行简化：ξ-1≤x≤ξ+15）利用矩阵理论得到y(x)的估计：设矩阵B为B=[bi,j]，其中bi,j=[q(i+1)-q(i-1)]/(2h^2)，当i=j时，bi,j=1/h^2，另外bi,j=0。

则：其中，I为单位矩阵。

6）证明解的存在性和满足的条件：通过上述分析，我们不难得到：a. 根据Brouwer定理，方程存在解；b. 根据Leray-Schauder原理，解的存在性和唯一性得到证明；c. 对于y'(x)=o(1/x)，需满足q(x)∈L^{p+1}(-∞,+∞)，其中p>2；3.总结本文针对无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性进行了深入的探讨，通过借鉴与运用多种数学理论和方法，得出了该问题的解的存在性和满足的条件。

无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性\[u(x-1)-q(x)u(x)+u(x+1)=0\]x为无穷区间上的连续变量，q(x)为已知函数，并且满足某种条件，如连续或正值。

边值问题是指在该差分方程的解中，要求满足一定的边界条件，通常是在一些特定的点上给出初值。

具体而言，边值问题是要求解满足如下条件的差分方程：\[u(0)=a \\ u(1)=b\]a和b为已知常数。

解的存在性是指边值问题是否具有解。

我们可以通过构造解的方法或者使用定理来判断解的存在性。

一种常用的构造解的方法是通过分离变量。

假设存在解u(x)可以表示为u(x)=\lambda^x的形式，其中\lambda为待定常数。

将u(x)代入差分方程中，可以得到：\[\lambda^{x-1}-q(x)\lambda^x+\lambda^{x+1}=0\]通过整理可以得到：解这个二次方程，可以得到不同的\lambda值。

假设得到的\lambda值为\lambda_1和\lambda_2。

由于差分方程是线性的，所以对于任意的常数c_1和c_2，\lambda_1^x和\lambda_2^x都是差分方程的解。

可以得到形如u(x)=c_1\lambda_1^x+c_2\lambda_2^x的通解。

考虑到边界条件u(0)=a和u(1)=b，可以得到：c_1+c_2=a \\c_1\lambda_1+c_2\lambda_2=b通过解这个线性方程组，可以得到常数c_1和c_2的值，从而得到边值问题的解。

是否存在解还要考虑\lambda_1和\lambda_2的取值范围。

在某些情况下，可能不存在满足边值问题的解。

除了通过构造解的方法，还可以使用一些定理来判断解的存在性。

利用极限定理和函数一致连续性等性质，可以得到解的存在性的判断条件。

对于二阶三点q-差分方程边值问题，可以通过构造解的方法或者使用一些定理来判断解的存在性。

具体的解的形式和存在性需要根据具体的差分方程和边界条件来确定。

目录中文摘要 (1)英文摘要 (3)第一章绪论 (5)1.1研究背景及本文的主要工作 (5)1.2预备知识 (5)第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性 (7)2.1引言 (7)2.2预备知识和引理 (8)2.3主要结果及证明 (14)第三章三点边值问题多解的存在性 (25)3.1引言 (25)3.2上下解与度理论,变分方法 (26)3.2.1上下解 (26)3.2.2上下解与度理论 (29)3.2.3上下解与变分方法 (31)3.3多解及变号解的存在性 (38)参考文献 (50)在读期间发表的学术论文 (54)致谢 (55)山东师范大学硕士学位论文三点边值问题解的存在性、唯一性及多解的存在性研究董瑶(山东师范大学数学与统计学院,济南,山东,250358)摘要近年来,在微分方程领域,三点边值问题在物理、化学、生物学等学科内一直被广泛应用,在如今科技迅速发展的时代,边值问题的应用更加普遍.随着对微分方程三点边值问题需求的提高,学者们关于三点边值问题的正解的研究也逐渐深入.但是我们发现,迄今为止,对于三点边值问题的多个解,无穷多解,以及变号解的研究文章却是少之又少.本文也将围绕着三点边值问题解的情况展开研究,我们首先对于特殊的三点边值问题的正解展开研究,其次,对于更加一般的三点边值问题,我们将研究它的多解的情况.第一章,我们介绍了三点边值问题的研究背景,本文主要做的工作以及一些预备知识.第二章,我们考虑如下三点边值问题：{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,并且λ是一个正参数.本章建立了针对三点边值问题的上、下解定理,并主要应用此定理,结合比较原则、第一特征值第一特征函数、Arzela-Ascoli引理等知识,在问题中的K,a,η,λ处于不同范围时,我们得出带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性等结论.在第三章,我们研究如下问题,{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).在本章,我们进行了对于三点边值问题多解的存在性研究.首先,我们定义了针对此问题的广义的上下解定义,其次为建立上下解方法与度理论的联系,我们给出了严格上下解的定义,并在上下解存在的情况下,利用度理论给出了三个解的存在性结论.此外,我们将上下解方法与变分方法结合,在空间W1,2((0,1))1中,将上述问题转化成为了能量泛函,通过求该泛函的临界点,得到了三点边值山东师范大学硕士学位论文问题解的存在性结论.我们利用此方法,通过改变条件,得出了三点边值问题的四个解、五个解以及变号解的存在性结论.另外,当右端项f(t,u(t))具有特殊形式时,我们得出问题具有无穷多个解的结论.关键词:三点边值问题;多解;上下解;度理论;变分方法.分类号:O175.8山东师范大学硕士学位论文The Existence,Uniqueness and MultipleSolutions of Three-point Boundary ValueProblemsYao DongInstitute of Mathematics and Statistics,Shandong Normal UniversityJinan,Shandong,250358,P.R.ChinaABSTRACTIn recent years,in the field of differential equations,the three-point boundary value problem has been widely used in physics,chemistry,biology and other fields. In the era of rapid development of science and technology,the application of the three-point boundary value problem is more and more common.With the increasing demand for three-point boundary value problems of differential equations,many scholars have gradually deepened their research on the positive solutions of three-point boundary value problems.However,we find that there are very few studies on multiple solutions,infinite solutions and sign-changing solutions of three-point boundary value problems.In this thesis,we will study the solutions of three-point boundary value problems.Firstly,we will study the positive solution of special three-point boundary value problems.Secondly,for more general three-point boundary value problems,we will obtain the existence of its multiple solutions.In the Chapter1,we introduce the background of three-point boundary value problems and the main work of this paper,and we give some preliminary knowledge.In the Chapter2,we consider the three boundary value problems{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),where K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,andλis a positive parameter.In this chapter,we establish the upper and lower solution theorem for the three-point boundary value problems,and combine this theorem with the knowledge of comparison principle,eigenvalues and corresponding eigenfunctions,and Arzela-Ascoli lemma.When K,a,ηandλare in different ranges,we obtain the existence, uniqueness,and dependence of the solutions on the three-point boundary value problem with singular nonlinear terms.山东师范大学硕士学位论文In Chapter3,we study the following problem{︃−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1),u(0)=0,u(1)=au(η).In this chapter,we make a study on the existence of multiple solutions to the three-point boundary value problem.Firstly,we define a generalized definition of the upper and lower solutions for this problem.And secondly,to establish the connection between the upper and lower solution method and degree theory,we give the definition of the strictly upper and lower solutions.In the presence of the upper and lower solutions,the existence of three solutions is given by using the degree theory.In addition,we combine the upper and lower solution method with the variational method.In space W1,2((0,1)),we transform the above problem into1an energy functional.By finding the critical point of the functional,we obtain the existence conclusion of the solution of the three-point boundary value problems. We use this method to obtain the existence of four solutions,five solutions,and sign-changing solutions for the three-point boundary value problem by changing the conditions.In addition,when the right term f(t,u(t))with special forms,we obtain that the problem has infinitely many solutions.Keywords:three-point boundary value problem,multiple solutions,upper and lower solutions,degree theory,variational method.Classification:O175.8山东师范大学硕士学位论文第一章绪论1.1研究背景及本文的主要工作最初的微分动力系统理论,是在经典力学蓬勃发展的背景下发展起来的.众所周知,Newton开创了一套体系相对完备的经典力学理论,他和Leibniz创立了微积分的理论基础,这部分数学与物理的发展是相辅相成的.在处理许多物理问题中,人们首先想到的是微分方程,这与经典力学理论与微分方程的共同发展是脱不开关系的.微分方程初值问题和边值问题是微分方程理论研究的重要课题,其中初值问题仅与定义域中的某一点有关,而边值条件至少与定义域中的两个不同的点有关.自然界中的许多物理现象都可以归结为一些典型的方程来研究.因此,研究三点边值问题解的情况就显得非常必要.再者,奇异边值问题起源于化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料中的热传导理论的研究,应用前景也逐渐广泛,如大气对流、边界层流动、天体运动等,因此具有奇异性的微分方程边值问题解的研究也成为重要的研究方向之一．在目前的研究中,绝大部分是通过利用锥上的不动点定理来证明解的存在性以及多解性.而我们发现,上、下解方法对于研究边值问题的解也有很重要的作用.上下解方法在两点边值问题中的研究已较为广泛,但在三点边值问题中的应用相对较少,且大多条件较为严格.所以如何把已有的较为成熟的两点边值问题的上下解方法应用到三点边值问题中,并且适当减少所需条件从而得出解的相关结论,是本文需要重点考虑的问题之一.此外,拓扑度理论对于研究三点边值问题解的存在性也非常有用,我们还将将上下解方法与拓扑度理论相结合,借助拓扑度的计算,来得出三点边值问题多个解存在的结论.而我们通过阅读大量的文献发现,关于两点边值问题和椭圆形边值问题经常有无穷多解方面的理论结果，而三点边值问题无穷多个解的存在性还未被研究过，我们计划将上下解方法与变分方法结合,将边值问题转换成一个能量泛函,然后通过寻找能量泛函的临界点来证明此临界点是原问题的解,从而得出相关的结论.1.2预备知识本文中,我们将用到以下空间符号：C([0,1])是[0,1]上连续函数u(t)的全体,‖u‖=max|u|∞,山东师范大学硕士学位论文C 1([0,1])={u :[0,1]→R |u (t )在[0,1]上连续可微},‖u ‖=max {|u |∞,|u ′|∞},其中|u ′|∞=max t ∈[0,1]|u ′(t )|.显然,C 1([0,1])是一个Banach 空间.W 2,1((0,1))是函数集,若u ∈W 2,1((0,1)),则u ∈C 1([0,1]),且二阶弱导u ′′∈L 1(0,1).W 1,21((0,1))={u ∈W 1,2((0,1))|u (0)=0,u (1)=au (η)}.此空间相应的范数为||u ||=(∫︀10|u ′|2dt )12.Arzela-Ascoli 引理对于我们解决文章中的问题是非常重要的.引理1.2.1.(Arzela-Ascoli 引理)[39]任何定义在区间[a,b ]上的一致有界且等度连续的函数族{f (x )},必可从中选出一个在此区间上一致收敛的子列.下面是关于线性方程{︃−x ′′(t )=λx (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(1.1)的特征值和特征函数的相关引理.引理1.2.2.[30]问题(1.1)的频谱由一组严格递增的特征值序列λk >0,k =1,2,···组成,特征函数φk =sin(λ12k t ).此外,(i)lim k →+∞λk =+∞;(ii)φk (t )在(0,1)内有k −1个简单零点,k =2,3,···并且φ1在(0,1)上严格为正.在文献[9]中,作者对微分方程{︃−x ′′(t )=f (t,x (t )),0<t <1,x (0)=ax (η),x (1)=0建立了最大值原理.引理1.2.3.假设0<η<1,且F ={x ∈C [0,1]∩C 2(0,1),x (0)−ax (η)≥0,x (1)≥0}.若x ∈F 使得−x ′′(t )≥0,t ∈(0,1),那么x (t )≥0,t ∈[0,1].山东师范大学硕士学位论文第二章带有奇异非线性项的三点边值问题解的存在性、唯一性以及解随参数的依赖性2.1引言本章中,我们研究以下三点边值问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.1)其中K∈C[0,1],0<a<1,0<η<1,p,q>0,并且λ是一个正参数.我们在p,q处于不同范围下展开研究,分别是0<p,q<1,0<p<1的情况.1987年,Ilin和Moiseev开始对非线性二阶m点边值问题展开研究[19,20].从那以后,出现了许多关于一般非线性多点边值问题解的存在性结果,见文献[10], [14],[23],[30]及它们的参考文献.例如,2007年,Rynne[30]采用Rabinowitz bifur-cation理论研究了以下问题：⎧⎪⎨⎪⎩−u′′=f(u),on(0,1),u∈R×X, u(0)=0,u(1)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),其中,m≥3,ηi∈(0,1),αi>0,m−2∑︁i=1αi<1且f(0)=0.Rynne在文中给出了该问题变号解的存在性.2008年,Rynne利用半特征值法和Fuˇc ik光谱理论研究了如下问题的可解性和不可解性：{︃−u′′=f(u)+ℎ,on(0,1),u(0)=0,u(1)=αu(η),我们知道,上下解方法对于研究边值问题是非常重要的,见文献[3],[6],[8],[26], [27],[32],[33],[36],[37],[16].因此,建立上下解方法对于研究三点边值问题是重要且有必要的.2007年,杜新生和赵增勤[9]研究了如下三点边值问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0,其中,0<a<1,0<η<1.在f不减的条件下,作者利用单调迭代技巧和上下解方法得出了正解存在的充要条件.2008年,在f递减的条件下,二人[10]又研究了山东师范大学硕士学位论文如下m点边值问题,⎧⎪⎨⎪⎩−u′′(t)=f(t,u(t)),t∈(0,1), u(0)=m−2∑︁i=1αi u(ηi),u(1)=0.作者通过构造问题的上下解得出了问题正解的存在和唯一性结果.同年,韦忠礼在[33]中构造了三点边值问题的上下解,并且给出问题{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=ax(η),x(1)=0.的正解存在的充要条件.另一方面,奇异边值问题出现在化学非均相催化剂、非牛顿流体以及导电材料的热传导理论中,见文献[2,4,5,7,11,31].史俊平[31]应用上下解方法研究了下述问题,⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Δu+K(x)u−q=λu p,x∈Ω, u(x)>0,∀x∈Ω,u|ðΩ=0,其中K∈C2,β(Ω),p,q∈(0,1),且λ是一个正参数.K(x)在不同情况下,史俊平得到了获得了问题古典解的存在唯一性.受上述文献启发,对于不同的λ,当p,q和K(t)在不同情况下,我们将得出问题(2.1)正解的存在性和唯一性.2.2预备知识和引理在本节,我们首先研究以下带导数的三点边值问题，{︃−x′′(t)=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.2)其中,η∈(0,1),0<a<1,且f∈[0,1]×R×R.下面,我们给出问题(2.2)的上下解的定义.定义2.2.1.如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t),α′(t)),t∈(0,1),α(0)≤0,α(1)≤aα(η),(2.3)那么α(t)称为问题(2.2)的一个下解.通过改变上述问题中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.山东师范大学硕士学位论文如果问题(2.2)存在一个上解α(t)和一个下解β(t)满足α(t)≤β(t),那么,我们称(α(t),β(t))为问题(2.2)的一对上下解.设Dβα={(t,x)∈(0,1)×R+|α(t)≤x≤β(t),t∈(0,1)}.引理2.2.1.假设ℎ∈L1(0,1).那么在C[0,1]内，对于每一个λ>0,问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=αx(1)(2.4)都有唯一解.证明:假设v1(t)和v2(t)分别满足{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(0)=0,x′(0)=1和{︃−x′′(t)+λx=ℎ(t),t∈(0,1),x(1)=0,x′(1)=−1.定义G(t,s)=1ω{︃v2(t)v1(s),0≤s≤t≤1,v1(t)v1(s),0≤t≤s≤1,且x(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].那么−x′′(t)+λx(t)=−1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]′′−e′′1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=−1ω[v′2(t)v1(t)−v′1(t)v2(t)]ℎ(t)−1ω[λ∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+λ∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t)−λ1ω[∫︁tv2(t)v1(s)ℎ(s)ds+∫︁1tv1(t)v2(s)ℎ(s)ds]−λe1(t)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds+λx(t)=ℎ(t),t∈(0,1),山东师范大学硕士学位论文并且x(1)−αx(η)=∫︁10G(1,s)ℎ(s)ds+e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=e1(1)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds−α[∫︁10G(η,s)ℎ(s)ds+e1(η)e1(1)−αe1(η)α∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds]=0.因此,x(t)是问题(2.4)的一个C[0,1]解.因为λ>0,问题(2.4)有唯一的C[0,1]解.证毕.定理2.2.1.设α,β∈C([0,1])∩C1(0,1)是(2.2)的一组上下解,满足α≤β.设ψ∈L1[0,1],并且φ:R+→R+0是一个连续函数，满足∫︁∞01φ(s)ds=+∞.(2.5)假设f:Dβα×R→R是一个L1-Carath´e odory函数，使得|f(t,x,v)|≤ψ(t)φ(|v|),∀(t,x)∈Dβα,v∈R.(2.6)那么问题(2.2)至少有一个解x∈C1[0,1]使得对于∀t∈[0,1],α(t)≤x(t)≤β(t).证明:我们的证明分为以下五步.一.我们考虑一个新的问题.由(2.5),存在一个足够大的R>0使得∫︁R 01φ(s)ds>‖ψ‖1.(2.7)并且(2.6)保证了存在一个N∈L1[0,1]使得|f(t,x,v)|≤N(t),∀(t,x)∈Dβα,|v|≤R.(2.8)定义χ(t,x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩α(t),x<α(t),x,α(t)≤x≤β(t),β(t),x>β(t),(2.9)g(t,x,v)=max{min{f(t,χ(t,x),v),N(t)},−N(t)}.(2.10)选择一个λ>0,考虑新边值问题{︃−x′′(t)+λx=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.11)山东师范大学硕士学位论文其中0<a<1,0<η<1.二.我们考虑问题(2.11)的C1[0,1]解得存在性.引理2.2.1保证了对于∀ℎ∈L1[0,1],线性问题{︃−x′′(t)+λx=ℎ,t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η)有唯一的C[0,1]解v(t)=∫︁10G(t,s)ℎ(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)ℎ(s)ds,s∈[0,1].对于x∈C1[0,1],我们定义(F x)(t)=g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t)),t∈[0,1],(T x)(t)=∫︁10G(t,s)(F x)(s)ds+e1(t)e1(1)−ae1(η)a∫︁1G(η,s)(F x)(s)ds,s∈[0,1].由(2.9)和(2.10),我们可以得到|g(t,x(t),x′(t))+λχ(t,x(t))|≤N(t)+λmax{supt∈[0,1]|α(t)|,supt∈[0,1]|β(t)|},这表明函数属于集合{(T x)(t):x∈C1[0,1]}且{(T x)′(t):x∈C1[0,1]},且函数有界并等度连续.Arzela-Ascoli定理保证了T C1[0,1]是相对紧集.T的连续性证明成立.应用Schauder不动点定理,我们可以证明T至少有一个不动点x∈C1[0,1].三.(2.11)的解满足α(t)≤x(t)≤β(t).我们只需证明对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).事实上,假设存在一个t0∈[0,1)使得x(t0)>β(t0).因为x(0)=0≤β(0),t0>0.设w(t)=x(t)−β(t), t∈[0,1].则w(0)≤0,w(t0)>0.设t*=sup{t|w(s)>0,s∈[t0,t]},t*=inf{t| w(s)>0,s∈[t,t0]}.显然对于∀t∈(t*,t*)都有w(t)>0,w(t*)=0且w(t*)≥0.如果w(t*)=0,那么存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).如果w(t*)>0,显然t*=1且w(1)=x(1)−β(1)>0.因为w(η)=x(η)−β(η)=1a(x(1)−β(1))=1a w(1)>w(1),所以也存在一个t′∈(t*,t*)使得w(t′)=maxt∈[t*,t*]w(t).因此,w′(t′)=0(i.e.,β′(t′)=x′(t′))并且−w′′(t′)≥0.另一方面,因为−w′′(t′)=β′′(t′)−x′′(t′)≤−f(t′,β(t′),β(t′))+g(t′,x(t′),x′(t))+λχ(t′,x(t′))−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+max{min{f(t′,β(t′),β′(t)),N(t)},−N(t)} +λβ(t′)−λx(t′)=−f(t′,β(t′),β′(t′))+f(t′,β(t′),β′(t′))+λβ(t′)−λx(t′)=λ(β(t′)−x(t′))<0,山东师范大学硕士学位论文矛盾.同理可证对于∀t∈[0,1]都有x(t)≤β(t).因此,由(2.10),x满足{︃−x′′(t)=g(t,x(t),x′(t))=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)},t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η).(2.12)四.(2.11)的解满足|x′|∞≤R.相反地,假设存在一个t′∈(0,1)使得|x′(t′)|>R.不失一般性,我们假设x′(t′)>R.因为当0<a<1时,x(0)=0,x(1)=ax(η),所以存在一个t0∈(0,1)使得x′(t0)=0.不失一般性,对于∀t∈(t′,t0),我们假设x′(t)>0.观察到对于∀(t,x)∈Dβα,v∈R,max{min{f(t,x,v),N(t)},−N(t)}≤ψ(t)φ(|v|).那么,由(2.12),我们有∫︀R 01φ(s)ds=|∫︀x′(t′)x′(t0)1φ(s)ds|=|∫︀t0t′1φ(x′(t))dx′(t)|=|∫︀t0t′x′′(t)φ(x′(t))dt|=|∫︀t0t′g(t,x(t),x′(t))φ(x′(t))dt| =∫︀t0t′ψ(t)φ(x′(t))φ(x′(t))dt=∫︀t0t′ψ(t)dt=‖ψ‖1.这与(2.7)矛盾.因此|f(t,x(t),x′(t))|≤N(t),又因为u∈[α,β],我们得到g(t,x(t),x′(t))=f(t,x(t),x′(t)),∀t∈(0,1).五.我们证明x(t)满足问题(2.2).因为|x′|∞≤R,α(t)≤x(t)≤β(t),由(2.8),(2.10),(2.12),我们可以得到{︃−x′′(t)=max{min{f(t,x(t),x′(t)),N(t)}=f(t,x(t),x′(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),也就是说,x(t)是问题(2.2)的一个C1[0,1]解.证毕.现在我们考虑下述问题,{︃−x′′(t)=f(t,x(t)),t∈(0,1),x(0)=0,x(η)=ax(1),(2.13)山东师范大学硕士学位论文其中η∈(0,1),0<a<1且f∈[0,1]×R×R.下面我们给出(2.13)的上下解的定义.定义2.2.2.[36]如果函数α(t)∈C[0,1]∩C2(0,1)且满足{︃−α′′(t)≤f(t,α(t)),t∈(0,1),(2.14)α(0)≤0,α(1)≤aα(η),那么函数α(t)称为(2.13)的一个下解.通过改变问题(2.14)中的所有不等号方向，我们可以得到上解的定义.通过定理2.2.1,我们可以得到下述结论.推论2.2.1.假设存在问题(2.2)的一个下解α(t)和一个上解β(t),使得对,都于∀t∈[0,1],有α(t)≤β(t),并且存在F∈L1[0,1]使得对于∀(t,x)∈Dβα有|f(t,x)|≤F(t),那么问题(2.13)至少有一个C[0,1]解x(t),满足α(t)≤x(t)≤β(t),t∈[0,1].注2.2.1.这个结论在文献[33]中出现过,我们的定理改进了先前文献中的结论.引理2.2.2.假设f:(0,1)×[0,+∞)→R是一个连续函数,使得当s>0时,对于∀t∈(0,1)都有s−1f(t,s)严格递增.设w,v∈C[0,1]∩C2(0,1)满足(a)w′′+f(t,w)≤0≤v′′+f(t,v),t∈(0,1);(b)w,v>0,t∈(0,1)且w(0)≥v(0),w(1)≥aw(η),v(1)≤av(η);(c)v′′∈L1[0,1].那么w(t)≥v(t),t∈[0,1].证明:由v′′∈L1(0,1),我们可以知道v′(0+)和v′(1−)存在并且v∈C1[0,1].假设在[0,1]上v(t)≤w(t).不失一般性,我们假设存在t0∈(0,1)使得v(t0)−(v(t)−w(t))>0.设w(t0)=max0≤t≤1t*=inf{t1|0≤t1<t0,v(t)>w(t),t∈(t1,t0)},t*=sup{t2|t0≤t2<1,v(t)>w(t),t∈(t0,t2)}.显然0≤t*<t*≤1,且v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),其中D+表示Dini导数.对于t*≤1,有三种情况.(1)t*<1.那么v(t*)=w(t*),v′(t*)≤w′(t*),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t).(2)t*=1且v(t*)=w(t*),v′(t*−)≤D−w(t*−),对于∀t∈(t*,t*),v(t)>w(t),其中D−表示Dini导数.(3)t*=1且v(t*)>w(t*),对于∀t∈(t*,t*],v(t)>w(t).因为v(1)−w(1)≤山东师范大学硕士学位论文a(v(η)−w(η))<v(η)−w(η),所以存在t′∈[η,1]使得v(t′)−w(t′)>0,(v(t′)−w(t′))′<0.综上,存在一个t′>t*使得v(t*)=w(t*),v′(t*+)≥D+w(t*+),v(t′)≥w(t′),v′(t′−)≤D−w(t′−),且v(t)>w(t),∀t∈(t*,t′).设y(t)=v′(t)w(t)−w′(t)v(t),t∈(t*,t′),那么我们可以得到lim t→t*+inf y(t)≥0≥limt→t′−sup y(t).(2.15)另一方面,对于t∈(t*,t′),我们有y′(t)=w(t)v′′(t)−w′′(t)v(t)=−w(t)f(t,v(t)+v(t)f(t,w(t))=w(t)v(t)(f(t,w(t))w(t)−f(t,v(t))v(t))≥0,并且在(α,β)内y′(t)≡0.这表明y(t′)>y(t*),这与(2.15)矛盾,所以v(t)≤w(t).证毕.利用文献[9]中类似的方法,我们可以建立下述极大值原理,这可以应用在我们正解的唯一性证明中.引理2.2.3.(极大值原理)假设0<η<1,且F={x∈C[0,1]∩C2(0,1),x(1)−ax(η)≥0,x(0)≥0},如果对于∀t∈(0,1),x(t)∈F时都有−x′′(t)≥0,那么x(t)≥0,t∈[0,1].2.3主要结果及证明定义K*=maxt∈[0,1]K(t),K*=mint∈[0,1]K(t).定理2.3.1当K*>0时,(i)若0<p,q<1,存在λ>0使得对于λ>λ,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)对于λ>λ,(2.1)有一个极大解xλ(t)并且xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.16)山东师范大学硕士学位论文其中0<q,p <1,K ∈C [0,1],K *>0,0<a <1,0<η<1,且λ是一个正参数.在[9]中,当f (t,x )关于x 递增时,问题{︃−x ′′(t )=f (t,x ),t ∈(0,1),x (0)=ax (η),x (1)=0有唯一C 1[0,1]正解.因此,我们可以假设x *(t )是问题{︃−x ′′(t )=x p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η)(2.17)的唯一C 1[0,1]正解,其中0<a <1,0<η<1.令β(t )=λ11−p x *(t ),则−β′′(t )+K (t )β−q (t )=λ11−p x *(t )+K (t )λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x *(t )+K *λ−q1−p x −q*(t )>λ11−p x p *(t ),λβp (t )=λ11−p x p *(t ).因此,−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ).结合(2.17)我们可以得到{︃−β′′(t )+K (t )β−q (t )>λβp (t ),t ∈(0,1),β(0)=0,β(1)=aβ(η).因此,β(t )是问题(2.16)的一个上解.设α(t )=Mϕ21+q1,其中M 是一个正实数,且ϕ1是第一特征函数.那么−α′′(t )+K (t )α−q(t )=−2M 1+q ϕ1−q1+q1(t )ϕ′′1(t )+K (t )M q ϕ2q 1+q 1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q1+q 1=2λ1M 1+q ϕ21+q1+K (t )M qϕ2q 1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q 1<2λ1Mϕ21+q 1+K *M q ϕ2q1+q1−2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.由引理2.2.1我们有ϕ1(t )=sin(√λ1t ),ϕ′1(t )=√λ1cos(√λ1t ).因此我们可以得到，存在δ0>0和b ∈(0,1)使得|ϕ′1(t )|=|√︀λ1cos(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[0,b ),|ϕ1(t )|=|sin(√︀λ1t )|>δ0,t ∈[b,1].(a )在[0,b )上,选择M ≥M 1=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q,那么我们有K *M q ϕ2q 1+q1≤2(1−q )M |ϕ′1|2(1+q )2ϕ2q 1+q1.山东师范大学硕士学位论文(b )在[b,1]上,选择M ≥M 2=[(1+q )2K *2(1−q )δ20]11+q ,那么我们有K *M q ϕ2q1+q1≤λ1M 1+qϕ21+q 1.固定M =max {M 1,M 2},则−α′′(t )+K (t )α−q(t )≤3λ1M 1+q ϕ21+q 1,λαp (t )=λM pϕ2q 1+q1.令λ0=3M 1−q1+q|ϕ1|2−2p1+q ∞,我们有3Mλ11+q ϕ21+q 1<λM p ϕ2p 1+q1,∀λ>λ0.因此,∀λ>λ0,−α′′(t )+K (t )α−q (t )<λαp (t ).由引理2.2.1,α(0)=Mϕ21+q1(0)=0,α(1)=Mϕ21+q1(1)=M [aϕ1(η)]21+q=Ma21+qϕ21+q 1(η)<aMϕ21+q1(η)=aα(η).令λ2=(M |ϕ1x *|∞|ϕ1|1−q 1+q∞)1−p.那么对于∀λ>λ2,α(t )=Mϕ21+q1(t )≤λ11−p x *(t )=β(t ).因此我们选择λ=max {λ0,λ2},且λ>λ,则(α(t ),β(t ))是问题(2.16)的一对上下解.我们令F (t )=λβp +K *β−q ,则对于∀(t,x )∈D βα,|f (t,x )|≤F (t ),则F (t )∈L 1[0,1].由推论2.2.1,对于λ>λ,问题(2.16)至少有一个C [0,1]正解x (t )满足α(t )≤x (t )≤β(t ).(ii)(极大解的存在性)我们观察以下问题,{︃−x ′′(t )=λx p (t ),t ∈(0,1),x (0)=0,x (1)=ax (η).(2.18)由[9],对于∀λ>0,我们记问题(2.18)的唯一解是w λ(t ).在(i)中,我们得到了问题(2.16)的解x λ(t ),则w ′′λ(t )+λw pλ(t )=0<x ′′λ(t )+λx p λ(t ),并且x −1f (t,x )=λx p −1λ(t )关于x 递减.由(i),x λ(t )∈L 1[0,1].由引理2.2.3,我们可以得到x λ(t )≤w λ(t ).设Ωj =[1i 0+j,1),j =1,2,···,且对于j =1,2,···,w j (t )是问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x ′′(t )+K (t )w −q j −1(t )=λw p j −1(t ),t ∈Ωj ,x (t )=w j −1(t ),t ∈[0,1i 0+j),x (1)=ax (η)(2.19)的解,w 0(t )=w λ(t )在(2.18)中已经被定义.设x λ(t )是(2.16)的解.山东师范大学硕士学位论文在(2.19)中,设j=1我们可以得到⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−w′′1(t)+K(t)w−qλ(t)=λw pλ(t),t∈Ω1,w1(t)=wλ(t),t∈[0,1i0+j),w1(1)=aw1(η).(2.20)结合(2.18)我们可以得到t∈Ω1时,w′′1(t)−w′′λ(t)≥0.由极大值原理,我们可以得到w1(t)≤w0(t)=wλ(t).同样地,我们可以得到w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t).下面,我们观察问题(2.16),结合(2.20)我们得到−w′′1(t)+x′′λ(t)+K(t)(w−qλ(t)−x−qλ(t))=λ(w pλ(t)−x pλ(t))≥0,因此当t∈Ω1时,x′′λ(t)−w′′1(t)≥0.由极大值原理易证当t∈[0,1]时,xλ(t)≤w1(t).同样的方法,我们可以得到xλ(t)≤w j+1(t)≤w j(t)≤wλ(t),t∈[0,1].此外,我们有{w j(t)}j∈N下方有界,且被xλ(t)界定.因为w j(t)是问题(2.18)的解,所以−w′′j (t)=λw pj−1(t)−K(t)w−qj−1(t)≤λw pj−1(t)−K*w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj−1(t)≤[λw p+qj−1(t)−K*]w−qj(t).假设t0∈(0,1),w j(t0)=max0≤t≤1w j(t),则w′j(t0)=0,且w j(t)在(t,t0)上递增.对于−w′′j (t),从t到t0进行积分,可以得到∫︁t0t−w′′j(s)ds≤∫︁t0t[λw p+qj−1(s)−K*]w−qj(s)ds.所以w′j (t)w qj(t)≤λw p+qj−1(t0)−K*.同样地,通过对−w′′j(t)从t0到t上进行积分,我们也可以得到|w′j (t)w j(t)|≤λw p+qj−1(t0)−K*.对于给定的t1,t2∈[0,1],我们可以得到∫︁t2 t1w′j(s)w qj(s)ds≤∫︁t2t1|w′j(s)w qj(s)|ds≤∫︁t2t1[λw p+qj−1(t0)−K*]ds.我们可以找到一个足够大的K使得|λw p+qj−1(t0)−K*|<K.那么∫︀t2t1w′j(s)w qj(s)ds≤K|t2−t1|,|w q+1j (t2)−w q+1j(t1)|≤K|t2−t1|.(2.21)我们定义算子I(w)=w q+1,则I−1(w)=w1q+1.由(2.21)可知{I(w j(t))}j∈N 在[0,1]上一致有界且等度连续.显然,I−1在有界闭域Ω上一致连续,即对于∀ε> 0,存在一个δ>0使得当w1,w2∈Ω时,|w1−w2|<δ,我们得到|I−1(w1)−I−1(w2)|<ε.因为0<w j(t)<w0(t),所以存在一个M>0使得w j(t)∈(0,M].山东师范大学硕士学位论文由(2.21),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t 1−t 2|<δ′时,|w q +1j (t 2)−w q +1j (t 1)|<δ.所以,∀ε>0,存在δ′>0,当|t 1−t 2|<δ′时,|w j (t 2)−w j (t 1)|=|I −1(w q +1j (t 2))−I −1(w q +1j (t 1))|<ε.因此{w j (t )}j ∈N 等度连续.由Arzela-Ascoli 引理得出,存在子列{w j k (t )}j k ∈{j }使得lim j k →+∞w j k (t )=x λ(t ).不失一般性,我们设lim j →+∞w j (t )=x λ(t ),t ∈[0,1].(2.22)接下来,我们将证明x λ(t )是问题(2.16)的C [0,1]正解.固定t ∈(0,1)(t =12),那么w j (t )可以表示为w j (t )=w j (12)+w ′j (12)(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )w −q j −1(s )−λw pj −1(s )]ds.(2.23)固定j ∈N ,由Lagrange 中值定理,存在t n ∈(12,1)使得x λ(1)−w j (12)≤w j (1)−w j (12)=w ′j (t n )(1−12)<w 0(1).所以,存在M 1>0使得|w ′j (t n )|<2M 1.因为{w j (t )}j ∈N 在[0,1]上有界,我们可以假设m <w j (t )<M 2,t ∈[12,t n].|∫︀t n 12−w ′′j (s )ds |=|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K (s )w −q j −1(s )]ds |≤|∫︀t n 12[λw p j −1(s )−K *w −q j −1(s )]ds |≤λM p −K *m −q ,因此|w ′j (12)|−|w ′j (t n )|≤|w ′j (12)−w ′j (t n )|≤λM p 2−K *m −q ,i.e.,|w ′j (12)|≤2M 1+λM p2−K *m −q .所以{w ′j (12)}j ∈N 和{w j (12)}j ∈N均有界.那么它们都有一个收敛子列.不失一般性,我们假设lim j →∞w ′j (12)=r 0.在(2.23)中,t ∈(0,1)时,令j →∞,我们可以得到x λ(t )=x λ(12)+r 0(t −12)+∫︁t12(s −t )[K (s )x −q λ(s )−λx pλ(s )]ds,即,−x ′′λ(t )+K (t )x −q λ(t )=λx pλ(t ).所以x λ(t )是问题(2.16)的一个C [0,1]正解.所以x λ(t )是问题(2.16)的一个极大解.下面我们将给出此极大解对于参数λ的依赖性.令H ={μ>0:当λ=μ时,(2.16)有一个C [0,1]正解}.由(i),显然H =∅.令λ1∈H ,且λ=λ1时,x λ(t )是相应的(2.16)的一个极大解.则对于∀λ2>λ1>λ,x ′′λ1(t )+λ1x p λ1(t )≥0,t ∈(0,1).由引理2.2.3可知,在[0,1]山东师范大学硕士学位论文内,xλ1(t)≤wλ2(t).在以上证明中,用xλ1(t)来替换xλ(t),我们发现{︃−x′′λ1(t)+K(t)x−qλ1(t)=λ1x pλ1(t)≤λ2x pλ1,t∈(0,1),−w′′λ2(t)+K(t)w−qλ2(t)≥λ2w pλ2(t).将此与边值条件相结合,可以得到当λ=λ2>λ1时,(xλ1(t),wλ2(t))是问题(2.16)的一对上下解.这可以证明λ=λ2时,xλ2(t)是问题(2.16)的一个解,满足xλ1(t)≤xλ2(t)≤wλ2(t).因此,λ2∈H.另外,由(ii),对于∀λ2>λ1≥λ,都有xλ2(t)≥xλ1(t).证毕.定理2.3.2当K*<0时,(i)若0<p<1,0<q,对于∀λ>0,问题(2.1)至少有一个C[0,1]正解xλ(t).(ii)若0<p,q<1,对于∀λ>0,问题(2.1)存在唯一C1[0,1]正解xλ(t).(iii)(ii)中的xλ(t)关于λ递增.证明：(i)我们研究问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=0,x(1)=ax(η),(2.24)其中q>0,0<p<1,K(t)∈C[0,1],K*<0,0<a<1,0<η<1且λ是一个正参数.我们首先考虑如下这个近似问题{︃−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t),t∈(0,1),x(0)=1n ,x(1)=ax(η)+1n,(2.25)其中0<a<1,0<η<1,n≥1.令ε足够小,我们将证明αn(t)=εϕ1(t)+1n是(2.25)的一个下解.事实上,当n足够大时,我们可以得到εϕ1(t)+1n 无限接近于0.因为√λ1∈(π2,3π2)[30],我们可以推出−α′′n (t)+K(t)α−qn(t)−λαpn(t)=λ1εϕ1(t)+K(t)(εϕ1(t)+1n)−q−λ(εϕ1(t)+1n)p<λ1εϕ1(t)−λ(εϕ1(t)+1n)p<εϕ1(t)[λ1−λ(εϕ1(t)+1n)p−1]<0,αn(0)−1n =εϕ1(0)=0,且αn(1)−[aαn(η)+1n]=εaϕ1(η)+1n−aεϕ1(η)−an−1n<0,这表明αn(t)是问题(2.25)的一个下解.接下来,我们将构造(2.25)的一个上解.令β(t)=−Mt2+(M+aM)t+M,山东师范大学硕士学位论文其中M足够大,满足M>{(2λ)11−p,1n(1−a)}.我们可以得到−β′′(t)+K(t)β−q(t)=2M+K(t)[−Mt2+(M+aM)t+M]−q>2M+K*M−q>M,λβp(t)=λ[−Mt2+(M+aM)t+M]p<λ[M(1+a)24+M]p<λ(2M)p,−β′′(t)+K(t)β−q(t)≥λβp(t),β(1)−(aβ(η)+1n )=(a+1)M−a[−Mη2+(M+aM)η+M]−1n >(a+1)M−2aM−1n=M−aM−1n>0,且β(0)−1n =M−1n>0.易知β(t)是问题(2.25)的一个上解.选择F n(t)=λβp−K*α−qn ,那么对于∀(t,x)∈Dβαn,都有|f(t,x)|≤F n(t).易证F n(t)∈L1[0,1].由于ε足够小,且n足够大,所以αn(t)≤β(t).由推论2.2.1, (αn(t),β(t))是问题(2.25)的一对上下解.并且对于∀n∈N,(2.25)至少有一个C[0,1]正解x n(t)满足αn(t)≤x n(t)≤β(t).下面,我们将得出结论,存在子列{x nk (t)}和x(t)使得limn k→∞x nk(t)=x(t).因为β(t)∈C[0,1]∩C2(0,1),所以β(t)有界.因此,{x n(t)}n∈N在[0,1]上一致有界.因为x n(t)是问题(2.25)的一个C[0,1]正解,所以x n(t)满足−x′′n (t)=λx pn(t)−K(t)x−qn(t)≤λx pn(t)−K*x−qn(t)≤[λx p+qn(t)−K*]x−qn(t).假设t0∈(0,1),x n(t0)=max0≤t≤1x n(t),那么x′n(t0)=0,且x n(t)在(t,t0)上递增.对于−x′′n (t),从t到t0进行积分,我们可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].我们可以找到一个K>0使得x′n(t)x qn(t)≤K.并且对−x′′n (t)从t0到t进行积分,可以得到∫︁t0t−x′′n(s)ds≤∫︁t0t[λx p+qn(s)−K*]x−qn(s)ds.所以−x′n (t)≤1x q n(t)[λx p+qn(t0)−K*].对于上述K,可以得到|−x′n(t)x qn(t)|≤K,即|x′n (t)x qn(t)|≤K.山东师范大学硕士学位论文给定t1,t2∈[0,1],我们得到∫︁t2 t1x′n(s)x qn(s)ds≤∫︁t2t1|x′n(s)x qn(s)|ds≤∫︁t2t1Kds.那么∫︀t2t1x′n(s)x qn(s)ds≤K|t2−t1|,此等式可以写为|∫︁x n(t2)x n(t1)x qn(s)dx n(s)|≤K|t2−t1|,|x q+1n(t2)−x q+1n(t1)|≤K|t2−t1|.(2.26)我们定义算子I(x)=x q+1,则I−1(x)=x1q+1.由(2.26)我们可以得出,在[0,1]内,{I(x n(t))}n∈N一致有界,等度连续.显然在有界闭域Ω内,I−1一致连续,即,∀ε>0,存在一个δ>0使得当x1,x2∈Ω,|x1−x2|<δ时,|I−1(x1)−I−1(x2)|<ε.因为0<x n(t)<β(t),存在一个M>0使得x n(t)∈(0,M].由(2.26),对于上述δ>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,有|x q+1n (t2)−x q+1n(t1)|<δ.所以,对于∀ε>0,存在δ′>0使得当|t1−t2|<δ′时,|x n(t2)−x n(t1)|=|I−1(x q+1n (t2))−I−1(x q+1n(t1))|<ε.因此,{x n(t)}n∈N等度连续,由Arzela-Ascoli引理,存在子列{x nk (t)}使得limn k→+∞x nk(t)=x(t).不失一般性,我们假设limn→+∞x n(t)=x(t),t∈[0,1].(2.27)接下来,我们将证明x(t)是问题(2.24)的C[0,1]正解.固定t∈(0,1)(t=12),x n(t)可以表示为x n(t)=x n(12)+x′n(12)(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−qn(s)−λx pn(s)]ds.(2.28)固定n∈N,由Lagrange中值定理,存在t n∈(12,1)使得αn(1)−x n(12)≤x n(1)−x n(12)=x′n(t n)(1−12)≤β(1).所以,存在M1>0使得|x′n(t n)|≤2M1.因为{x n(t)}n∈N在[0,1]内有界,可以假设m≤x n(t)≤M2,t∈[12,t n].|∫︁t n12−x′′n(s)ds|=|∫︁t n12[λx pn(s)−K(s)x−qn(s)]ds|.我们可以得到|−x′n (t n)+x′n(12)|≤λM p2−K*M−q2,且|x′n(12)|≤2M1+λM p2−K*M−q2.因此{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N均有界,它们都有收敛子列.不失一般性,我们记子列为{x n(12)}n∈N和{x′n(12)}n∈N.固定n∈N,假设limn→∞x′n(12)=r0.由(2.28),令n→∞,我们得到x(t)=x(12)+r0(t−12)+∫︁t12(s−t)[K(s)x−q(s)−λx p(s)]ds.通过对x(t)进行二次求导,我们得到−x′′(t)+K(t)x−q(t)=λx p(t).山东师范大学硕士学位论文结合(2.27),可以得到x(t)是问题(2.24)的一个C[0,1]正解.(ii)我们研究(2.24)的C1[0,1]正解的唯一性.令F(t)=λβp−K*(εϕ1)−q.显然,当0<q<1时,F(t)在(0,1)上可积,因为|x′′(t)|≤F(t),x(t)在(0,1)上绝对可积.那么x′(0+)和x′(1−)都存在,即x(t)∈C1[0,1].我们采用反证法来证明,假设x1(t),x2(t)是问题(2.24)的两个C1[0,1]正解,且在[0,1]上x1(t)≡x2(t).不失一般性,我们假设存在t*∈(0,1)使得x2(t*)−x1(t*)=max0≤t≤1(x2(t)−x1(t))>0.设α=inf{t1|0≤t1<t*,x2(t)>x1(t),t∈(t1,t*)},β=sup{t2|t*≤t2<1,x2(t)>x1(t),t∈(t*,t2)}.显然0≤α<β≤1,且x1(α)=x2(α),x′1(α)≤x′2(α),x1(β)≤x2(β),x′1(β+)≥x′2(β+),x1(t)<x2(t),t∈(α,β).设y(t)=x1(t)x′2(t)−x2(t)x′1(t),t∈(α,β).那么我们有limt→α+inf y(t)≥0≥limt→β+sup y(t).(2.29)另一方面,当t∈(α,β)时,y′(t)=x1x′′2−x2x′′1=x1(Kx−q2−λx p2)+x2(λx p1−Kx−q1)=Kx1x−q2−λx1x p2+λx p1x2−Kx−q1x2=Kx1x2(x−q−12−x−q−11)+λx1x2(x p−11−x p−12)≥0,且在(α,β)上,y′(t)≡0.这表明y(β−)>y(α+),这与(2.29)矛盾,所以x1(t)≡x2(t).因此,(2.24)的C1[0,1]正解唯一.(iii)我们假设0<λ1<λ2,且xλ1(t),xλ2(t)是相应的问题(2.24)的C1[0,1]正解.显然,x′′λ1(t)∈L1[0,1].在(2.24)中,f(t,x)=λx p(t)−K(t)x−q(t)连续.因为p,q∈(0,1),K*<0,易知当t∈[0,1]时,x−1f(t,x)=λx p−1(t)−K(t)x−q−1(t)关于x>0递减.当t∈(0,1)时,x′′λ2(t)−K(t)x−qλ2(t)+λ2x pλ2(t)=0<x′′λ1(t)−K(t)x−qλ1(t)+λ2x pλ1(t),xλ2(0)≥xλ1(0),xλ2(1)≥axλ2(η),且xλ1(1)≥axλ1(η).因此由引理2.2.3,xλ1(t)≤xλ2(t),t∈[0,1].所以x(t)关于λ递增.证毕.。