第41卷第3期河南大学学报(自然科学版)V ol.41 N o.32011年5月Journal of H enan U niver sity (N atur al Science)M ay 2011一种双正交多小波滤波器的设计及应用李永军1,徐晓蓉2,张彦波1,张东明1(1.河南大学物理与电子学院河南开封475001; 2.湖南文理学院湖南常德415000)收稿日期:2010 08 09作者简介:李永军(1977-),男,河南开封人,硕士,讲师.研究方向:通信仿真与图像处理.摘 要:根据M icchelli 和Xu 建立的不变集多小波理论,以具有自仿映射性的三角区域为支撑区间,以其上的常数函数为尺度函数,构建出了一组具有对称、紧支、正交的多小波滤波器,并给出该滤波器的分解与重构算法,最后用该组滤波器对虹膜图像进行了分解与重构试验,并对结果进行了分析.关键词:双正交多小波;多分辨分析;分解与重构;虹膜中图分类号:T P391 文献标志码:A文章编号:1003-4978(2011)03-0304-04Design and Application of a Biorthogonal Multiwavelet FilterLI Yong jun 1,XU Xiao rong 2,ZH A NG Yan bo 1,ZH AN G Dong ming1(1.School o f Phy sics and Electr onics ,H enan Univer sity ,K aif eng H enan 475001,China ;2.H unan Univ ers ity of A r ts and Science ,Changde H unan 415000,China )Abstract:On the basis o f the t heo ry of invar iant set multi w avelets established by M icchelli and X u,a biortho go nal multi w avelets filter is designed in this paper wit h many char acteristics,such as sy mmetry ,compact suppor t and ort ho go nality.In this filt er ,the self affine t riang le doma in is as suppo rt interv al,and constant f unction is as scaling function.In this paper ,the alg or ithms of decompositio n and reconstructio n o f this filter and the test about the decomposition and reconstr uctio n o f ir is imag e a re g iven,the exper iment r esult is analy zed.Key words:bio rtho gonal multi w avelet s;reconstructio n and decomposition;mult i resolut ion analy sis;lris对称性、短支撑性、正交性和高阶消失矩是信号处理中十分重要的性质,已经证明实系数单小波不可能同时具有这些性质,而多小波可以[1].这使得多小波比单一小波具有更多的优势,成为小波理论的新发展.多小波的构造方法有多种[2 3],其中Charles A.M icchelli 和XU Yue sheng 构建的具有自仿映射特性的双正交不变集多小波[4 6],滤波器推导简单而灵活,具有最短的支集长度,在形成变换滤波矩阵时,没有支集重叠部分,在作小波分解后能精确重构,无边界失真效应,在应用时避免了边界延拓[7].用这种多小波对图像进行处理,能很好地描述图像的局部信息特征,是一种能较好地进行特征提取的方法.本文根据Micchelli 和Xu 建立的不变集多小波理论,以具有自仿射性的三角区域为支撑区间,以其上的常数函数为尺度函数,构建出了一组具有对称、紧支、正交的双正交多小波滤波器,并给出该滤波器的分解与重构算法,最后用该组滤波器对虹膜图像进行了分解与重构试验,并对结果进行了分析,为虹膜特征提取和识别奠定了基础.1 双正交多小波滤波器求解定义具有自仿映射特性三角区域 ={(x ,y )|0 x D,0 y D},如图1所示.选择下面4个具有收缩性和自仿射性的映射r i R 2 R 2,i =0,1,2,3,这些可逆的映射把区域 分成4个子区域, i =r i ( ),i =0,1,2,3,如图2所示.r 0=120012, r 1=120012+D 2D 2,李永军,等:一种双正交多小波滤波器的设计及应用305r 2=120012+0D 2, r 3=-1200-12+D 2D. 图1 支撑区间 图2 映射的4个子区域Fig.1 Suppor t Int erval Fig.2 Fo ur mapping sub reg ions of定义 ( , )为基于区域 的正交尺度函数,( , ) =1A0 ( , ),(1)这里A 0为 的Lebesgue 测度, ( , )为其特征函数, ( , )=1, ( , ) ,0, other w ise.如果L 2为 的二次可积空间,V 0为 张成的一维空间,那么有V 0 L 2( ).选择g 为二维函数,定义线性算子T i 为(T i g )( , ) =g(r -1i ( , )) i ( , ),i =0,1,2,3.(2) 根据线性算子T i 的性质[5],可以用该线性算子和二维函数g 来构造一系列的嵌套尺度空间V j+1 V j ,V j+1=T 0V j T 1V j T 2V j T 3V j .(3)这里V j =sp an { j,k K =k j k 1,k i {0,1,2,3}}, j ,k 为正交尺度函数,其定义如下[5]: j,k ( , ) =2j(T k j T k j -1 T k 1 ( , )),(4)这里j 为离散化尺度,2j为标准化因数,这样通过算子T i 把 映射为 j,k .由式(3),(4)可以得到第一尺度函数空间:V 1=sp an{ 1,0, 1,1, 1,2, 1,3},(5)这里 1,i ,是区域 i 上的常数函数如图2.由于V 0 V 1,则第零尺度函数可以用第一尺度函数表示为:( , )=3p=0a p1,p( , ) p =0,1,2,3.(6)根据式(6)及正交尺度函数的正交性可以得到方程组:1A 0( , )=2a 01A 00( , )+2a 11A 01( , )+2a 21A 02( , )+2a 31A 0 3( , ),1=a 20+a 21+a 22+a 23.(7)解该方程组得一组解a p ={a 0,a 1,a 2,a 3}={12,12,12,12},(8)这就是要求的低通滤波器矩阵.正交尺度V j 对应的正交小波子空间W j 是尺度空间的补空间[5]V j+1=V j W j .(9)由于dim (V 0)=1,dim (V 1)=4,则dim (W 0)=3.定义W 0 =sp an{ 1, 2, 3}, i,i =1,2,3是区域 的小波函数,它们都是常数分段函数.由于W 0 V 1,则小波函数可用尺度函数表示为:r( , )=3p=0b rp1,p( , ), i =0,1,2,3.(10)306 河南大学学报(自然科学版),2011年,第41卷第3期定义{b 1p }={b 10,b 11,b 12,b 13},{b 2p }={b 10,b 11,b 12,b 13},{b 3p }={b 10,b 11,b 12,b 13}.根据正交小波函数的定义(即正交性)可以列出方程组:a i ,b j=0,i =1 j =1,2,3, b i ,b j =0,i j i,j =1,2,3, b i ,b j =0,i =j i,j =1,2,3.(11)解之得高通滤波器,其中一组解为:b 1p ={b 10,b 11,b 12,b 13}={12,-12,0,0},b 2p ={b 20,b 21,b 22,b 23}={0,0,12,-12},b 3p ={b 30,b 31,b 32,b 33}={12,12,-12,-12}.(12)2 双正交多小波多分辨分析由式(12)得到了小波初始空间W 0,再用算子T i 可以递归构造第j +1尺度小波空间W j+1:W j+1=T 0W j T 1W j T 2W j T 3W j .(13)这里每一个小波空间W j =sp an{ j,K K =k j k 1,k i {0,1,2,3},r =1,2,3},小波函数 j,K ( , )定义为:j,K ( , ) =2j(T k j T k j-1 T k 1 r( , )),r =1,2,3.(14) 递归应用式(9)可以得到多尺度空间[5]V j =V 0 W 0 W 1 W j-2 W j-1,(15)这样就用小波空间完成了多分辩分析.3 双正交多小波分解与重构一个函数f ,如果满足V i 的条件,可以用单尺度函数表示为[8]:f j ( , )=j ,Kj ,K ( , ),(16){ j,K }是常数尺度函数系数.根据式(14),f 可以用多尺度表示为:f j ( , )= ( , )+3r=0j-1i=0Kri,Kri,K ,(17)这里{ ri,K }为常数小波系数.在实际应用中,特别是在对图像处理时,把低通滤波器和高通滤波器合在一起组成滤波器矩阵H 4 4=[(a p )T ,(b 1p )T ,(b 2p )T ,(b 3p )T ]T,(18)分解时,利用式(18)各行一维的滤波矩阵按式(17),先对图像按行进行分解,再对分解后的图像按列分解,最后根据式(13)和(15)对低通滤波输出结果作更高尺度分解即多分辩率分析.这种小波分解算法,不需进行边界延拓,可获得各个尺度下的相同数目的分解系数.对于分解以后的图像的重构,使用的重构滤波矩阵为分解的滤波矩阵的转置.重构时的顺序为先进行列重构再进行行重构,由于滤波矩阵的正交性,能实现无失真重构.4 试验结果与分析用滤波器矩阵H 4 4对图3进行分解,图3是一幅归一化后的144 720虹膜图像[9].把图3的每行看作一维信号按照式(17)进行行分解结果如图4所示,再把图4每列看作一维信号按照式(17)进行分解,结果如图5所示,这样就完成了对图3的一次小波分解.可见经过一次分解得到16块分解结果,每一块称之为一个小波分解通道,每个通道都是原图像在一方向上的分解信息,其中左上角第一个通道是低频通道,其余为高频通道.重构时相反,先对图5进行列重构,再进行行重构,结果如图6所示.李永军,等:一种双正交多小波滤波器的设计及应用307图3 原始虹膜图像 图4 行分解结果Fig.3 O rig inal iris image Fig.4 Image o f line r eso lutio n图5 一次分解后的虹膜图像 图6 重构虹膜图像Fig.5 Ir is imag e after fir st decomposit ion F ig.6 R eco nstr ucted ir is imag e 图6是图3的重构图,是否能很好地重构原图像主要看重构图像和原图像有没有差别.一般用平均相异度DI S和元素最大差M A X P来表示两幅图像相差的程度,它们定义如下:DI S= #S i=1(p1[i]-p2[i])2/#S,MA X P=m ax|p1[i]-p2[i]|.平均相异度表示了两幅图像的平均相差异的程度,而元素最大差表示了两幅图像单个元素值相差异的大小,它们越小两幅图像越接近于同一幅图像.比较图6和图3,DI S=4.1129e-015,MA X P=2.8422e-014,用db4小波对图3进行分解与重构,原图和重构图的DI S=7.6353e-012,MAX P=8.7951e-011.可见无论是平均相异度DI S还是元素最大差M AX P都比用db4小波小3个数量级,用本文的滤波器进行重构的结果与原图像几乎没有什么差别,仅仅存在数值精度上的误差.5 结束语根据M icchelli和Xu建立的不变集多小波理论,以具有自仿射性的三角区域为支撑区间,以其上的常数函数为尺度函数,构建的一组具有对称、紧支、正交的多小波滤波器,没有支集重叠部分,能精确重构,无边界失真效应.该滤波器矩阵一次分解得到一幅图像16个方向的特征信息,当虹膜图像在某一频率和方向下具有较明显的纹理特征时,与之对应的小波通道的输出就具有较大的能量.因此该滤波器矩阵能很好地描述图像的局部,是一种较好的特征提取方法.参考文献:[1]M orr is M,Akunur i V.M o re results o n or thog onal wav elets w ith optimum time frequency r eso lutio n[J]//P roc SPIE2491,1995:52-62.[2]A lper t B.A class o f bases in L2for the spar e r epr esentation o f integ ral operato rs[J].SIA M J.M at h.Analysis,1993,24.[3]Go odman T NT,L ee S L.Wav elet of mult iplicity[J].T rans Amer M ath So c,1994,338(2):639-652.[4]M ICCHEL LI CA,XU Y.U sing the matr ix refinement equatio n fo r the constructio n of w avelets on invar iant sets number alg or 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