下载文档原格式
目录◆第一讲找规律（一） (2)◆第二讲找规律（二） (5)◆第三讲长方形和正方形（一） (8)◆第四讲长方形和正方形（二） (11)◆第五讲算式谜（一） (14)◆第六讲算式谜（二） (17)◆第七讲植树问题（一） (19)◆第八讲植树问题（二） (22)◆能力测试（一） (25)◆第九讲和差问题（一） (28)◆第十讲和倍问题（一） (31)◆第十一讲和倍问题（二） (33)◆第十二讲差倍问题 (35)◆第十三讲年龄问题（一） (38)◆第十四讲年龄问题（二） (41)◆第十五讲还原问题（一） (43)◆第十六讲还原问题（二） (45)◆能力测试（二） (48)◆第17讲周期问题（一） (2)◆第18讲周期问题（二） (7)◆第19讲假设问题（一） (12)◆第20讲假设问题（二） (16)◆第21讲计数问题（一） (17)◆第22讲计数问题（二） (19)◆第23讲容斥问题（一） (23)◆第24讲容斥问题（二） (26)◆能力测试（一） (26)◆第25讲行程问题（一） (28)◆第26讲行程问题（二） (31)◆第27讲平均数问题 (35)◆第28讲推理问题（一） (37)◆第29讲推理问题（二） (39)◆第30讲巧算（一） (40)◆第31讲巧算（二） (45)◆第32讲巧算（二） (45)◆第33讲巧算（三） (45)◆第34讲等量代换 (45)◆第35讲拼拼算算 (45)◆能力测试（二） (63)第一讲 找规律（一）事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律。
例题与方法例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）3，6，12，24，（ ），96，192。
四年级奥数讲义)第七讲四年级奥数讲义第七讲一、整数的运算整数是数学中的一种基本数，掌握整数的运算方法非常重要。
1.加法和减法整数的加法和减法运算可以通过数轴来帮助理解和计算。
例如，对于两个整数a和b的加法，可以先在数轴上找到整数a的位置，然后根据b是正数还是负数，在a的右边（正数）或左边（负数）移动b的绝对值个单位。
对于减法，可以先在数轴上找到被减数的位置，再根据减数是正数还是负数，在被减数的右边（正数）或左边（负数）移动减数的绝对值个单位。
2.乘法和除法整数的乘法和除法运算可以根据正负数的规律进行计算。
两个整数的乘法，如果两个整数的正负性相同，那么得到的结果是正数；如果两个整数的正负性不同，那么得到的结果是负数。
整数的除法，如果被除数和除数的正负性相同，那么得到的结果是正数；如果被除数和除数的正负性不同，那么得到的结果是负数。
需要注意的是，除数不能为0.二、整数的应用整数在实际生活中有着广泛的应用，例如温度计上的摄氏度和华氏度就是整数。
在日常应用中，我们还常遇到整数的比较问题。
当比较两个整数的大小时，可以直接比较它们的大小关系。
如果两个整数相等，则称它们为相等整数；如果一个整数大于另一个整数，则称它们为大小关系整数。
三、练题1.计算：(-3) + 7 - (-5) =。
2.___的妈妈比他大18岁，___的妹妹比他小6岁。
请问___的妈妈和___的妹妹年龄的和是多少？3.某地的气温比昨天下降了8摄氏度，今天的气温是-3摄氏度，请问昨天的气温是多少摄氏度？答案1.(-3) + 7 - (-5) = -12.___的妈妈和___的妹妹年龄的和是___的年龄加上18再加上(-6)：___的年龄 + 18 + (-6) = 小明的年龄 + 123.昨天的气温 = 今天的气温 + 8 = -3 + 8 = 5。
四年级奥数教材讲义(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录第一讲加减速算与巧算 (2)第二讲乘法速算与巧算 (9)第三讲乘除法速算与巧算 (14)第四讲找规律填数 (21)第五讲应用题（一） (26)第六讲错中求解 (33)第七讲数数图形 (40)第八讲数列求和 (46)第九讲和倍问题 (55)第十讲差倍问题 (63)第十一讲和差问题 (70)第十二讲消去法解题 (77)第十三讲还原问题 (84)第十四讲图形面积计算 (91)第一讲加减速算与巧算人生一世离不开计算：日常生活买这买那离不开；学习活动中求解问题离不开；科学研究和统筹设计离不开……。
为了加快我们的生活节奏，提高我们的工作效率，人们总想着算得快些，再快些。
为此，人们总结了不少精彩的速算方法和技巧。
速算和巧算也一直是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确，迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？首先必须掌握一些计算法则、定理、性质和拆、并等一些技巧性方法。
其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。
三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最佳的算法，从而使较复杂的计算题能很快地计算结果。
在加减法的运算中，同学们熟知的加法交换律和加法结合律是运算的基础，请同学们回忆一下：a＋b﹦；a＋b＋c﹦还有一些比较重要的性质是我们在学习过程中需要掌握的。
⑴“带符号搬家”：在连减或加、减法的混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
即数字与它前面的符号可同时在运算中移动位置，不影响运算的结果。
例如：a－b－c﹦a－c－b a＋b－c﹦a－c＋b⑵“添括号法则”：在加、减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“＋”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”号，那么括号内的数的原运算符号要改变。
小学四年级奥数讲义需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交换律：a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)减法和加、减混合运算中的巧算：（1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。
相反，一个数减去几个数的和，等于连续减去这几个数。
即a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c（2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。
如：a-b+c=a+c-b（3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的符号不变。
如a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做另一个数的“互补数”。
2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、(a-b)×c=a×c-b×c3、除法中的巧算：（1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b（2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行巧算。
公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c (a÷n)÷(b÷n)=c n≠0（3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律，进行巧算。
公式：a÷(b×c)= a÷b÷c（4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因数”公式：a÷(b÷c)= a÷b×c（5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=10 4×25=100 8×125=100016×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾“尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b)7、配对求和，也就是等差数列求和。
目录第一章组合与推理第一讲逻辑推理第二讲容斥问题第二章数与计算（一）第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二）单元练习（一）第三章实践与应用（一）第一讲应用题（二）第二讲平均数问题第三讲差倍问题第四讲和差问题第五讲巧算年龄第六讲假设法解题第七讲盈亏问题第八讲还原问题单元练习（二）第四章数与计算（二）第一讲定义新运算第二讲速算与巧算（三）第三讲二进制单元练习（三）第五章实践与应用（二）第一讲行程问题（一）第二讲行程问题（二）第三讲应用题（三）第四讲应用题（四）第五讲较复杂的和差倍问题单元练习（四）第六章趣题与智巧第一讲周期问题第二讲数学开放题综合练习（一）综合练习（二）第一章组合与推理第一讲逻辑推理【专题导引】解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。
一般可以从以下几方面考虑：1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断。
2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。
3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的。
4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
【典型例题】【例1】桌上有排球、足球、篮球各1个。
排球在足球的右边，篮球在足球的左边。
请按从左到右的顺序排列出球的摆放情况。
【试一试】1、甲、乙、丙比身高，甲说：“丙的身高没有乙高。
”乙说；“甲的身高比丙高。
”丙说：“乙比甲矮。
”问：最高的是谁？2、某班学生，如果：有红色铅笔的人没有绿色铅笔；没有红色铅笔的人有蓝色铅笔。
那么“有绿色铅笔的人就有蓝色铅笔”。
对吗？【例2】刘老师、夏老师和胡老师三人在语、英、数三门课中每人教一门课。
已知：夏老师：我不教数学。
胡老师：我既不教语文，也不教数学。
请你说这三位老师分别教什么课？【试一试】1、有4个球，编号为①、②、③、④，其中3个球一样重，有一个球比其他球轻1克。
为了找出这个轻球用天平称了两次，结果如下：第一次：①+②比③+④轻；第二次：①+③比②+④重。
四年级奥数训练班讲义
一、引言
本讲义旨在帮助四年级学生提高奥数能力和解题技巧。
通过系统的训练，学生将能够掌握基本的奥数知识，并在考试中取得更好的成绩。
二、课程目标
1. 培养学生对奥数的兴趣和热爱；
2. 提高学生的数学思维能力和逻辑推理能力；
3. 培养学生的自学能力和问题解决能力；
4. 增强学生的数学创造力和想象力；
5. 培养学生的团队合作精神。
三、课程安排
1. 基础知识讲解
- 数与式的认识与计算
- 数学运算的基本规律
- 图形与几何的认识
- 数据的处理与统计
2. 解题技巧训练
- 分析题目和梳理思路
- 列方程和列式解决问题
- 探索规律和使用数学方法解题
- 选择合适的数学工具和策略解题
3. 模拟演练与测试
- 针对不同难度的奥数题目进行模拟演练
- 定期进行考试评估学生的研究进度和成绩
四、研究要求
1. 准时参加每次上课和完成课后作业；
2. 积极主动参与讲解和讨论；
3. 主动思考和解决问题，互相研究和帮助；
4. 注意课堂纪律和团队合作。
五、课后辅导与反馈
1. 提供课后答疑，解答学生的疑问；
2. 针对学生的表现进行积极的反馈和指导；
3. 为学生提供额外的练题和研究资源；
4. 定期与家长沟通，了解学生的研究情况。
希望同学们能够珍惜这次奥数训练班的机会，努力学习，取得优异的成绩！。
四年级奥数全套奥数讲义目录第1讲巧找规律填数 (1)第2讲巧解数字谜 (7)第3讲巧算与速算（一） (16)第4讲巧算与速算（二） (23)第5讲巧添运算符号 (32)第6讲巧解新运算 (39)第7讲巧解年龄问题 (46)第8讲巧用消去法解题 (52)第9讲巧解智巧问题 (61)第10讲巧用列举法解题 (68)第11讲巧用数字问题（一） (76)第12讲巧解图形拼割问题 (83)第13讲巧算面积 (93)第14讲巧解逻辑推理 (100)第15讲巧解格点与面积 (108)第16讲巧解还原问题 (116)第17讲巧求平均问题 (123)第18讲巧解数字问题（二） (130)第19讲巧求讲数问题 (136)第20讲巧解相遇问题 (145)第21讲巧解追及问题 (154)第22讲巧解盈亏问题 (161)第23讲巧解鸡兔同笼问题 (168)第24讲巧解一元一次方程 (174)第25讲巧解行船问题 (182)第26讲巧用对应与分组解题 (189)第27讲巧做游戏与对策 (195)巧找规律填数巧点晴——方法和技巧一、求两数的和、差、积、商[例1]根据下图前两个图中各数之间的关系，想一想第三个图中的括号里应填什么数。
做一做1 根据前两个图中各数之间的关系，想一想第三个图中的括号里填什么数。
（1）（2） （3）[例2]找规律计算。
（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63 （2）72－27=（7－2）×9=5×9=45 （3）63－36=（□－□）×9=□×9=□做一做2 找规律计算。
（1）62＋26=（6＋2）×11=8×11=88（2）87＋78=（8＋7）×11=15×11=165（3）54＋45=（□＋□）×11=□×11=□[例3]观察下列算式的规律，在（）中填上符合同样规律的数。
第一讲定义新运算(又名:自定义)例1:规定一种运算: a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23, ……,根据以上规律计算: ①10△2 ② 2△10 简析:本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律.①含义为:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加10△2 2△10=3×10＋4×2 = 3×2＋4×10=30＋8 = 6＋40=38 =46②式中的“△”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等③计算完毕后比较一下:定义新运算中,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:5□32.规定一种运算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求： 6△4例2：对于两个数a和b，规定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：①1△2△3 ② 1△﹙2△3﹚简析：本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。
①其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。
②应该用发展的、动态的眼光对待a和b.1△2△3=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3 ﹙a=1,b=2﹚=[4×6]△3=24△3=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚﹙a=24,b=3﹚=27×7=1891△﹙2△3﹚=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚=1△[5×7]=1△35=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚=4×39=156配套练习:1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求① 1○2○3 ② 1○﹙2○3﹚注意:5b表示5×b或b×52.对于两个数a和b,规定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:3□﹙5□4﹚例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算① 3☆5 ② 8☆3简析:本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.3☆5 8☆3=3+4+5+6+7 =8+9+10=25 =27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:1.如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此规律计算:3▽4.2.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此规律计算:8▽4例4:规定一种运算:5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚ =15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此规律计算:7C4简析:本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.①本题是例3的具体应用,难度较小.②鼓励学生自主完成.解答过程:略.第二讲一. 阔步课堂例1:甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?简析:扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题. 60×5=300 60×5=300 60×5×5=1500二.盈亏问题例1:将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?简析:本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.①总数相差多少?借助线段图直观显示(图略) 45+5=50（个）②每人分配相差多少? 9－7=2（个）③一共有几人? 50÷2=25（人）④一共有几个苹果? 9×25－45=180（个）或者 25×7+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套练习:①某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?②数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?例2:同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?简析:本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:4人此为盈;多出4条船,意味着少:6×4=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.①总数相差多少?4×1+4×6=28（人）②每条船坐的人数相差多少? 6-4=2（人）③有几条船? 28÷2=14（条）④有多少人? 14×4＋4=60（人）或者 14×6－4×6=60（人）答：略配套练习:①学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?②一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?有多少棵树?简析:本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.①总数相差多少?18-4=14（棵）②每人搬的树苗相差多少? 8－6=2（棵）③有多少人? 14÷2=7（人）④有多少棵树? 7×6—4=38(棵)答：略配套练习:①科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?②一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;若每人2个,多18个.学生有多少人?第三讲一 . 阔步课堂例1:有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?简析:本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.①方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:120÷2=60（升）第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升）③方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A方法一:都与第二桶同样多:120-10×2=100（升）100÷2=50（升）……第二桶第一桶:120-50=70（升）B方法二:都与第一桶同样多:120+10×2=140（升） 140÷2=70（升）……第一桶第二桶 120-70=50（升）④直接用公式(略)答：略二 . 替换法例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5则□=（）○=（）简析:这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.①替换成□:每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:215÷5=43,因此○是:43-5=38②替换成○:每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:5×2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:190÷5=38,每个□为:38+5=43配套练习:1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,则◎是几?□是几?2.甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?学生做完后思考:本题与和差问题有什么相通之处?例2:◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,则◎=( ),□=( )简析:本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×2=6（个）□,现在共有6+1=7(个)□,所以每个□为:210÷7=30,每个◎为:30×3=90配套练习:1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本题与和倍问题有什么相通之处?例3:等腰三角形的顶角比底角大18º.求它的顶角与底角度数.简析:本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.①全替换成底角:顶角去掉18º,变成底角,三底角之和是:180º-18º=162º,每个底角度数为:162º÷3=54º,则顶角为:54º＋18º=72º②全替换为顶角:每个底角增加18º,一共增加18º×2=36º.此时三个顶角之和为:180º+36º=216º,每个顶角度数为:216º÷3=72º,则底角为:72º-18º=54º答：略配套练习:1.等腰三角形的底角比顶角大18º,则底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?简析:本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:多退少补①从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.②画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:200÷（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为50×3+10=160（元）或者210-50=160（元）答：略③完成后思考:本题与“和倍问题”有何相通之处?配套练习:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?第四讲一 . 阔步课堂例1:三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米.简析:本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷2=10（厘米）例2:把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?简析:本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.①最长边的范围:最长边小于16÷2=8（厘米）②小于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种答：略配套练习：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二.还原问题例1:一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.简析:本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.①20×3=60②60-2=58③58+5=63④63÷7=9配套练习:1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?例2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?简析:本题属于“还原问题”的变式。
第一讲格点与面积内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。
【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.数学童话八戒被劫八戒路过一个大果园，见无人看管就溜了进去。
小学四年级奥数讲义第一部分：数学基础知识1.1 自然数和整数- 自然数是指从1开始的正整数，用符号$N$表示。
- 整数是自然数和其相反数的集合，用符号$Z$表示。
1.2 加法和减法- 加法是将两个数合并在一起，得到它们的总数。
- 例如：$2 + 3 = 5$。
- 减法是从一个数中减去另一个数，得到它们的差。
- 例如：$5 - 2 = 3$。
1.3 乘法和除法- 乘法是将两个数相乘，得到它们的积。
- 例如：$2 × 3 = 6$。
- 除法是将一个数分割成若干等份，得到它们的商。
- 例如：$6 ÷ 3 = 2$。
第二部分：奥数技巧和练2.1 快速计算- 利用9的乘法法则，可以快速计算一个数乘以9的结果。
- 例如：$4 × 9 = 36$。
- 利用倍数关系，可以快速计算一个数的倍数。
- 例如：$3 × 4 = 12$。
2.2 算式变换- 利用算式的性质，可以将复杂的算式转化为简单的算式。
- 例如：$(3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35$。
- 利用分配律，可以将一个数拆分成两个数的和或差。
- 例如：$8 × 7 = (5 + 3) × 7 = 5 × 7 + 3 × 7 = 35 + 21 = 56$。
2.3 枚举法和猜想法- 枚举法是一种通过列举所有可能情况来解决问题的方法。
- 例如：求两个数的最大公约数，可以列举出所有可能的公约数，然后找出其中最大的一个。
- 猜想法是一种根据已有规律猜测答案的方法，然后通过严谨的推理来证明猜想是否正确。
- 例如：猜测一个数是偶数时，它一定能被2整除，然后通过证明偶数定义来证明猜想的正确性。
第三部分：练题1. 计算：$2 + 3 × 4 - 5 = ?$2. 计算：$7 - (4 × 2 + 1) = ?$3. 快速计算：$6 × 9 = ?$4. 快速计算：$5 × 7 = ?$5. 利用枚举法找出10以内的所有偶数。
2017春季四年级奥数班讲义第一讲定义新运算(又名:自定义)例1:规定一种运算: a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23, ……,根据以上规律计算: ①10△2 ② 2△10 简析:本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律.①含义为:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加10△2 2△10=3×10＋4×2 = 3×2＋4×10=30＋8 = 6＋40=38 =46②式中的“△”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等③计算完毕后比较一下:定义新运算中,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:5□32.规定一种运算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求： 6△4例2：对于两个数a和b，规定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：①1△2△3 ② 1△﹙2△3﹚简析：本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。
①其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。
②应该用发展的、动态的眼光对待a和b.1△2△3=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3 ﹙a=1,b=2﹚=[4×6]△3=24△3=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚﹙a=24,b=3﹚=27×7=1891△﹙2△3﹚=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚=1△[5×7]=1△35=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚=4×39=156配套练习:1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求① 1○2○3 ② 1○﹙2○3﹚注意:5b表示5×b或b×52.对于两个数a和b,规定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:3□﹙5□4﹚例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算① 3☆5 ② 8☆3简析:本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.3☆5 8☆3=3+4+5+6+7 =8+9+10=25 =27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:1.如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此规律计算:3▽4.2.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此规律计算:8▽4例4:规定一种运算:5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚ =15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此规律计算:7C4简析:本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.①本题是例3的具体应用,难度较小.②鼓励学生自主完成.解答过程:略.第二讲一. 阔步课堂例1:甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?简析:扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.60×5=300 60×5=300 60×5×5=1500二.盈亏问题例1:将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?简析:本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.①总数相差多少?借助线段图直观显示(图略) 45+5=50（个）②每人分配相差多少? 9－7=2（个）③一共有几人? 50÷2=25（人）④一共有几个苹果? 9×25－45=180（个）或者 25×7+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套练习:①某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?②数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?例2:同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?简析:本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:4人此为盈;多出4条船,意味着少:6×4=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.①总数相差多少?4×1+4×6=28（人）②每条船坐的人数相差多少? 6-4=2（人）③有几条船? 28÷2=14（条）④有多少人? 14×4＋4=60（人）或者 14×6－4×6=60（人）答：略配套练习:①学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?②一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?有多少棵树?简析:本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.①总数相差多少?18-4=14（棵）②每人搬的树苗相差多少? 8－6=2（棵）③有多少人? 14÷2=7（人）④有多少棵树? 7×6—4=38(棵)答：略配套练习:①科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?②一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;若每人2个,多18个.学生有多少人?第三讲一 . 阔步课堂例1:有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?简析:本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.①方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:120÷2=60（升）第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升）③方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A方法一:都与第二桶同样多:120-10×2=100（升）100÷2=50（升）……第二桶第一桶:120-50=70（升）B方法二:都与第一桶同样多:120+10×2=140（升） 140÷2=70（升）……第一桶第二桶 120-70=50（升）④直接用公式(略)答：略二 . 替换法例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5则□=（）○=（）简析:这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.①替换成□:每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:215÷5=43,因此○是:43-5=38②替换成○:每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:5×2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:190÷5=38,每个□为:38+5=43配套练习:1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,则◎是几?□是几?2.甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?学生做完后思考:本题与和差问题有什么相通之处?例2:◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,则◎=( ),□=( )简析:本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×2=6（个）□,现在共有6+1=7(个)□,所以每个□为:210÷7=30,每个◎为:30×3=90配套练习:1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本题与和倍问题有什么相通之处?例3:等腰三角形的顶角比底角大18º.求它的顶角与底角度数.简析:本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.①全替换成底角:顶角去掉18º,变成底角,三底角之和是:180º-18º=162º,每个底角度数为:162º÷3=54º,则顶角为:54º＋18º=72º②全替换为顶角:每个底角增加18º,一共增加18º×2=36º.此时三个顶角之和为:180º+36º=216º,每个顶角度数为:216º÷3=72º,则底角为:72º-18º=54º答：略配套练习:1.等腰三角形的底角比顶角大18º,则底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?简析:本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:多退少补①从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.②画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:200÷（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为50×3+10=160（元）或者210-50=160（元）答：略③完成后思考:本题与“和倍问题”有何相通之处?配套练习:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?第四讲一 . 阔步课堂例1:三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米.简析:本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷2=10（厘米）例2:把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?简析:本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.①最长边的范围:最长边小于16÷2=8（厘米）②小于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种答：略配套练习：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二.还原问题例1:一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.简析:本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.①20×3=60②60-2=58③58+5=63④63÷7=9配套练习:1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?例2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?简析:本题属于“还原问题”的变式。
