最新五年级奥数容斥问题讲座及练习答案

五年级奥数：用例题讲解【容斥问题】的解题方法
容斥问题是指在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。

例题
五年级（2）班有45人，其中有35人参加了美术兴趣小组，有21人参加了体育兴趣小组，并且每个人至少参加了一个兴趣小组。

那么，两个兴趣小组都参加的有多少人？
解题方法一
分析
因为：
两个兴趣小组的总人数是：35+21=56（人），五年级（2）班只有45人，就出现了（多出了）：56-45=11（人）。

所以：
这个多出的11人就是35和21重叠（重复）的部分。

我们在计算时既不能重复，也不能遗漏。

这个题目里重复的部分（11人）就是两个兴趣小组都参加的人数。

列式
（1）35+21=56（人）
（2）56-45=11（人）
答：两个兴趣小组都参加的有11人
解题方法二
1、我们来看下面的图解法：
2、根据题意以及图解，可以得出：
（1）35+21=56（人）
（2）56-45=11（人）
3、答：两个兴趣小组都参加的人数是11人。

练习题
1、五年级（1）班有46人，参加音乐兴趣小组的有30人，参加舞蹈兴趣小组的有25人，并且每个人至少参加了一个兴趣小组。

你知
道两个小组都参加的有多少人吗？
2、1-500这500个数字中，能被5或7整除的数一共有多少个？
（附练习题答案：第1题9人；第2题157个）。

五年级奥数培训资料—容斥原理班级：姓名：策略思想：在生活中我们经常会碰到有些数量会出现重复、包含的情况，那么在解题时就要考虑排除由于重复、相互包含而引起的多加的情况，这就是包含与排除问题，也称容斥原理。

解题要点：解答重叠问题时首先要确定采用哪种分类标准，然后根据题意画出图示，找出哪些是重复的，重复了几次，仔细审题，明确求的哪部分，再根据包含与排除原理进行解题。

例题1：五（3）班每个人都订阅了学习报（数学报、语文报），订阅《小学生数学报》的有30人，订阅《小学生语文报》的有26人。

两种都订阅的有14人，这个班有学生多少人？练习1：五（3）班每人都参加了课外兴趣小组（舞蹈、合唱），参加舞蹈队的有21人，参加合唱团的有32人，既参加舞蹈队的又参加合唱团的有9人，全班共有多少人？练习2：一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有多少人？例题2：47名学生参加数学和语文考试，其中语文得100分的有12人，数学得100分的有17人，两门都没得100分的26人，两门都得100分的有多少人？练习1：六（1）班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？练习2：音乐班有40名学生，25名学生会作曲，20人会指挥，有10人作曲和指挥都不会，既会作曲、又会指挥的学生有多少人？例题3：在一个炎热的夏日，有一群小朋友去冷饮店每人都买了冷饮。

其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁，三种冷饮都买了的有1人，一共有几个小朋友？练习1：一批教师，每人至少都会一门外语，会英语的有65人，会俄语的有58人，会日语的有51人，既会英语又会俄语的有21人，既会英语又会日语的有19人，既会俄语又会日语的有17人，三种都会的有5人。

容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。

要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。

101315251211++--⨯=（人）答：只有两次达到优秀的有11人。

例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。

问：共有几个小朋友去了冷饮店分析与解：根据题意画图。

方法一：664310111110++-+-+-++=()()()（人） 方法二：664311210++---⨯=（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。

例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。

281783--=（人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。

例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

分析与解：根据已知条件画出图。

三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可以列出这样的方程：3020103149++---+=x y 整理后得：x y +=9由于x 、y 均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。

2021-2022学年五年级上册奥数培训专题——容斥原理姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．一个班有小学生55人，订阅小学生数学报的有12人，订阅少年报的有9人，两种报纸都订的有5人，（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都不订的有多少人？2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，这两种语言都不会的有4人，这两种语言都会的有多少人？3．求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？4．艺术节那天，学校画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅不是六年级的，五六年级参展的共有8幅，其他年级参展的有多少幅？5．将边长为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少？6．二（2）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？7．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。

两样都会的有多少名?8．某校选出50名学生参加作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖，两项比赛都没获奖的有多少人？9．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么有多少人两个小组都没参加？10．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2题，其中答对第一题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都打错。

问参加这次测验的有多少人？11．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，两种都不会下的有12人，都会下的有30人这个俱乐部里有多少人？12．某班上体育课，全班排成4列（每列人数相等），从前往后数小芳第6个，从后往前数在第7个，这个班共有多少人？13．在1到200之间的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有几个？14．科技节那天，学校的科技室例展出了每个年级学生的作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一二年级参展的作品共32件，其他年级参展的作品有多少件？试题答案1．16人；39人【分析】可将这55人分成4类，即只订阅小学生数学报，只订阅少年报，两种报纸都订阅，两种报纸都没有订阅，分别求出每一类的人数，再求出题目所求。

20222023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22 容斥原理专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A 、B 合并在一起，就组成了一个新的集合C 。

计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B －AB 。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。

显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，知识精讲典例分析比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。

这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。

【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。

其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。

第___讲巧用容斥原理方法与技巧:(1)当两个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分。

(2)如果采用三种不同的分类标准，性质A的事物有个，性质B的事物有个，性质C的事物有个，那么事物的总个数为例1:某班40名同学都在做语文和数学作业，其中，26人做完了语文作业，18人做完了数学作业。

现在已有5人两门作业都做完了，求这两门作业都没有做完的有多少名同学？做一做 1:36个学生在回答两个问题时，答对第一题的有23人，答对第二题的有25人，两题都答对的有14人，问：两题都没有答对的有多少人？例2:在1到100的自然数中，能被5或被7整除的数共有多少个？做一做 2:在1到500这500个数中，既不是完全平方数，又不是立方数的数共有多少个？例3:线段a长150毫米，小明把它平均分成10份后，小娟再把它平均分成15份。

这时，线段a 上一共有多少个分点？做一做 3: 线段a长18厘米，丁丁把它平均分成9份后，英英又把它平均分成6份。

这时，线段a上一共有多少个分点？例4:某小学的318名学生到儿童乐园活动。

其中参加划船的有156人，乘电动飞机的有196人，坐碰碰车的130人；既参加划船又坐碰碰车的人74人，既参加划船又乘电动飞机的有80人，既乘电动飞机又坐碰碰车的有40人。

问：这三种活动都参加的有多少人？做一做 4:某班50名学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏。

已知34人手中有红旗，26人手中有黄旗，18人手中有蓝旗，15人手中有红、黄两种旗，10人手中有黄、蓝两种旗，9人手中有红、蓝两种旗。

求手中有红、黄、蓝三种旗的有多少人？例5：某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀。

这部分学生达到优秀的项目人数如下表，求这个班的学生人数。

短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球17 18 15 6 6 5 2做一做5：某班在一次达标测试中，测得26人短跑达标，30人铅球达标。

五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除包含与排除问题其实也叫容斥问题。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。

如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-ABA AB B （韦恩图）例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。

又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。

最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）37 + 42－48=31（人）答：语文、数学作业都完成的有 31 人。

想一想：下面算式有何道理？( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。

语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）答：语文数学都优秀的有30人。

( 2）四年级一班有 54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？解：根据两种读物的有 13 人，订《小学生优秀作文》的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《数学大世界》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《数学大世界》的有：13+9=22（人）答：订《数学大世界》的有22人。

容斥原理
主讲：五豆
两个对象的容斥原理 三个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
������、������总数=������ + ������ − ������、������重叠
两个对象的容斥原理
【例题】五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课 的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、 数学都优秀的有多少人？
三个对象的容斥原理
【例题】三位基金经理投资若干只股票。张经理买过其中的66只，王经 理买过其中40只，李经理买过23只。张经理和王经理都买过的有17只， 王经理和李经理都买过的有13只，李经理和张经理都买过的有9只，三个 人都买过的有6只。请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？
张经理
王经理
李经理
三．文氏图是解决容斥问题时最重要的方法。
三个对象的容斥原理
三个对象的容斥原理������①④⑥ ⑦② ������
⑤
③
������
������������������总数=������ + ������ + ������ − ������������重叠−������������重叠−������������重叠+������������������重叠
甲
乙
丙
本讲知识点汇总
一．两个对象的容斥原理： ������、������总数=������ + ������ − ������、������重叠
二．三个对象的容斥原理： ������������������总数=������ + ������ + ������ − ������������重叠−������������重叠−������������重叠+������������������重叠

第2讲：容斥问题（二）这一讲介绍容斥原理2：n 个事物，如果采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、按性质b 分类与按性质c 分类（如图），那么具有性质a 或b 或c 的事物的个数=abc ca bc ab c b a N N N N N N N +++++)()－（ 学习例题：例1、 五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：求全班人数。

例2、 某班有学生42人，参加无线电小组、航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人，既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。

已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个小组都参加的学生有多少人？例3、 一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。

结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加。

既参加篮球队又参加足球队的有多少人？例4、松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。

有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）只参加作文竞赛的有多少人？（3）只参加美术竞赛的有多少人？思考与练习：1、有30名运动员，其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高都不会。

既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名？2、操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵队，从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。

/小学奥数辅导网
/京翰教育 那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
例2：某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
例3 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多个？
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个？
例5设下面图中正方形的边长为1厘米，半圆均以正方形的边为直径，求图中阴影部分的面积。

1. 某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人.问既会游泳又会体操的有多人？
2. 在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？
3. 五环图中每一个环内径为4厘米，外径为5厘米.其中两两相交的小曲边四边
形（右图中阴影部分）的面积相等.已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘
米.求每个小曲边四边形的面积。

4. 某班全体学生进行短跑、游泳和篮球三项测验，有
4个学生这三项均未达到优秀，其余每人至少一项达到优秀，这部分学生达到优秀的项目及人数如下表：问这个班有多少名学生？
5．有100位学生回答A 、B 两题.A 、B 两题都没回答对的有10人，有75人答对A 题，83人答对B 题，问有多少人A 、B
两题都答对？。

⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案⼩学奥数精讲：容斥原理习题及答案年级班姓名得分⼀、填空题1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈.2.有长8厘⽶,宽6厘⽶的长⽅形与边长为5厘⽶的正⽅形,如图,放在桌⾯上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌⾯的⾯积是平⽅厘⽶.3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个.4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈.5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈.6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个.7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个.8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈.69.分母是1001的最简真分数有个.10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.⼆、解答题11.某进修班有50⼈,开甲、⼄、丙三门进修课、选修甲这门课的有38⼈,选修⼄这门课有的35⼈,选修丙这门课的有31⼈,兼选甲、⼄两门课的有29⼈,兼选甲、丙两门课的有28⼈,兼选⼄、丙两门课的有26⼈,甲、⼄、丙三科均选的有24⼈.问三科均未选的⼈数?12.求⼩于1001且与1001互质的所有⾃然数的和.13.如图所⽰,A、B、C分别代表⾯积为8、9、11的三张不同形状的纸⽚,它们重叠放在⼀起盖住的⾯积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的⾯积分别是5、3、4,求A、B、C 三个图形公共部分(阴影部分)的⾯积.14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.———————————————答案——————————————————————1. 26从图中可以看出全班45⼈,借语⽂或数学课外读物的共39+32=71(⼈),超过全班⼈数71-45=26(⼈),这26⼈都借了语⽂、数学两种课外书。

1
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人

25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
例：一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？ 请举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？ 做完 语文 的人 数： 37人 两科 做完 的人 数：？ 做完 数学 的人 数： 42人
？人（两种都 订的）
1、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做 完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、 数学作业都做完的有多少人？
2、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有 一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优 的有87人，问语文、数学得优的有多少人？
3、某班有50名学生，在一次测试中有26人满分，在第 二次测试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满 分的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少 人？
37＋42－48=31（人）
答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。
48人
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门 功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀 的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？
语文 优秀 的人 数： 65人
两科 做完 的人 数：？
数学 优秀 的人 数： 87人
0.87-0.49= 5.4×400= 6.3÷0.7= 7.34－4=
17×40= 5×1.06= 3.06÷0.3= 0.125÷0.25=
3.2＋1.68= 4.3÷0.5= 18.2＋1.8= 2.56-0.37=
2.8×0.4= 0.14×50= 9.9＋2.7= 1.05×4=

例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个 班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类， “数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分” 称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A 类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学” 称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢 乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢， 问C班有多少人？ 解： 练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的 数共有几个？
Байду номын сангаас
解： 练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有 120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都 参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？
问题1.十月国庆节，学校门口挂了一行彩 旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数 起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
问题2.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位 置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是 第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 问题3.把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成 了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米， 中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
例1. A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。 喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两 种球都喜欢的同学有多少人？ 解：
原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。
A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量

‫ڈ‬ᆐபைடு நூலகம் ‫ڈ‬ᆐఅ
28
容斥原理
课本
瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里 ̙۟Џԅఆ
̙۟࢔‫ׅ‬ԅఆ
一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，
两者各不相关．但本讲要学习的包含与
排除问题要复杂一些，各部分之间会有
重叠．比如一个办公室中每个人都至少 爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人
‫̙۟ޛ‬Џရ̙۟࢔‫ׅ‬ԅఆ
这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下
面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式． 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B A ķ Ĺ ĸ B
就会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可
以了．上述分析总结成公式就是：
这个公式就是两个对象的容斥原理．
29
五年级
上册第 5 讲
进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz） 已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”（Venn Diagram）．
另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符 号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．
五年级
上册第 5 讲
5 容斥原理
这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样 的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子， 指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包 含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一 称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．
练一练
五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀， 其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？

五年级奥数容斥问题：容斥原理（1）如果被计数的事物有a、b两类，那么，a类或b类元素个数= a类元素个数+b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数。

容斥原理（2）如果被计数的事物有a、b、c三类，那么，a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数1、艺术小学举行学生画展，其中18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画。

问其他年级展出多少幅？分析：18幅不是六年级，那就是五年级和其他年级的，20幅不是五年级，就是六年级和其他年级，已知五六年级展出22幅，所以其他年级展出就是八幅。

（18+20-22）/2=8（幅）2、某地区100个外语教师中，每人至少懂英语和日语中的一种语言。

已知懂英语的75人，懂日语的有45人。

问只懂英语的有几人？分析；两种语言都懂的人为；懂英语的和懂日语和减外语教师总数。

只懂英语的就是75减两种都懂得了。

75+45-100=20（人）75-20=55（人）3、在1至100的整数中,能被2整除或能被3整除的数共有几个?分析：100中，能被2整除的有100/2=50个，能被3整除的有100/3=33个，同时能被2和3整除的100/6=16个，注意这16个包括在能被2和3整除的，要去掉。

就是100内能被或3整除的。

50+33-16=67个4、全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人，两样都不会的有多少人？分析：骑自行车：27人会滑旱冰：15人都会：4人都不会的：50-（27+15-4）=12人画个图就可以看出来了，4个人是多加的，所以要减去。

5、六年级有52人，其中喜欢绘画的36人，喜欢书法的有42人，喜欢唱歌的有48人，喜欢跳舞的有34人，这个班最少有多少学生对这四项活动都喜欢？分析：52-36=16个人不喜欢绘画，52-42=10个人不喜欢书法，52-48=4个人不喜欢唱歌，52-34=18个人不喜欢跳舞。

五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65 人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
巩固练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？
例：学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问：这250名同学中，乒乓球组都不会参加的有多少人？
五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？
少年乐团学生中有170名不是五年级的，有135名不是六年级的，已知五六年级的共有205人，少年乐团中五六年级以外的学生共有多少人？
六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
01
02
03
洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？
01
答：一共要9个夹子。
02
8×2－7=9（个）
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质1或性质2的事物个数等于性质1＋性质2减去它们的共同性质。
20＋16－3=33 （个）
100－33=67 （个）
例：
18＋21＋9－3－1－40 =44－40 =4（人） 答：有4人既爱好舞蹈又爱好美术。 全班学生40人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？