工程力学例题解析

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《工程力学》参考习题解析

2011年课程考试复习题及参考答案工程力学计算题：1.梁结构尺寸、受力如图所示，不计梁重，已知q=10kN/m，M=10kN·m，求A、B、C处的约束力。

2.铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。

已知I z=60125000mm4，y C=157.5mm，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa。

试求：①画梁的剪力图、弯矩图。

②按正应力强度条件校核梁的强度。

3.传动轴如图所示。

已知F r=2KN，F t=5KN，M=1KN·m，l=600mm，齿轮直径D=400mm，轴的[σ]=100MPa。

试求：①力偶M的大小；②作AB轴各基本变形的内力图。

③用第三强度理论设计轴AB的直径d。

4.图示外伸梁由铸铁制成，截面形状如图示。

已知I z=4500cm4，y1=7.14cm，y2=12.86cm，材料许用压应力[σc]=120MPa，许用拉应力[σt]=35MPa，a=1m。

试求：①画梁的剪力图、弯矩图。

②按正应力强度条件确定梁截荷P。

5.如图6所示，钢制直角拐轴，已知铅垂力F1，水平力F2，实心轴AB的直径d，长度l，拐臂的长度a。

试求：①作AB轴各基本变形的内力图。

②计算AB轴危险点的第三强度理论相当应力。

6.图所示结构，载荷P=50KkN，AB杆的直径d=40mm，长度l=1000mm，两端铰支。

已知材料E=200GPa，σp=200MPa，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，稳定安全系数n st=2.0，[σ]=140MPa。

试校核AB杆是否安全。

7.铸铁梁如图5，单位为mm，已知I z=10180cm4，材料许用压应力[σc]=160MPa，许用拉应力[σt]=40MPa，试求：①画梁的剪力图、弯矩图。

②按正应力强度条件确定梁截荷P。

8.图所示直径d=100mm的圆轴受轴向力F=700kN与力偶M=6kN·m的作用。

工程力学答案解析

3-5四连杆机构在图示位置平衡。

已知OA=60cm , BC=40cm ,作用BC 上的力偶的力偶矩大小为 M 2=1N.m ，试求作用在 OA上力偶的力偶矩大小 M l 和AB 所受的力F AB 所受的力。

各杆重量不计。

列平衡方程:M =0- F A OA M ^0解: (1)研究BC 杆，受力分析，画受力图:列平衡方程:F B=0 F B BC sin 30°-M 2=01o =5N0.4 sin30°-BC sin30°(2)研究AB (二力杆)，受力如图:F'B可知:F A = F B = F B 二 5 N(3)研究OA 杆，受力分析，画受力图:3-8 在图示结构中，各构件的自重都不计，在构件M 产F A OA = 5 0.6 =3 NmBC 上作用一力偶矩为 M 的力偶，各尺寸如图。

求支座MA 的约束力。

lB（2）取DAC为研究对象，受力分析，画受力图;' M =0 -F C l M =0 F C画封闭的力三角形;解得4-5 AB梁一端砌在墙内, 求固定端的约束力。

DCFDA在自由端装有滑轮用以匀速吊起重物F Ccos45°D，设重物的重量为G,又AB长为b,斜绳与铅垂线成：•角,解：（1）研究AB杆（带滑轮），受力分析,画出受力图（平面任意力系）；xx(2)选坐标系Bxy ，列出平衡方程；' F x 二 0: - F AX G sin > - 0 F AX = G sin:' F y = 0:F A y -G -G cos ： = 0 F Ay 二 G (1 COS ：)'M B (F )=0: M A -F Ay b G R-G R 二 0M A =G(1 cos )b4-16由AC 和CD 构成的复合梁通过铰链 C 连接，它的支承和受力如题4-16图所示。

已知均布载荷集度q =10 kN/m ，力偶M =40 kN m ，a =2 m ，不计梁重，试求支座 A 、B 、D 的约束力和铰链 C 所受的力。

工程力学__习题详解_第二章

解： ①选碾子为研究对象
②取分离体画受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。
NB P cos r 2 (r h) 2 又由几何关系：tg 0.577 r h
F Ptg
10
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
为该力系的汇交点
三、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。即：
Rx X 0 R y Y 0
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
14
静力学
例题 3
平面汇交力系与平面力偶系
利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重P = 20 kN，
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。由余弦定理：
R F1 F2 2 F1 F2 cos
2 2
为力多边形
R 1 合力方向由正弦定理： sin sin(180 )
F
4
力三角形规则
F F1 F2 F2 F1
力多边形规则
5
FR1 F1 F2
30

P C
不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
27
静力学
平面汇交力系与平面力偶系
解：
A
60
取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。列写平衡方程
D
B
Fx 0,
30

FAB F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0

电气工程力学习题与答案

电气工程力学习题与答案
本文档包含一系列电气工程力研究题及其答案。

以下是一些例题和解答供参考：
1. 题目：一条杆长为L的铁杆，质量为m，静止在弗林斯克级台阶上，杆的一端借由一条轻绳悬挂，另一端连结一质量为M的盒子。

求弗林斯克级台阶的反作用力与盒子的重量之间的关系。

解答：根据受力分析，弗林斯克级台阶的反作用力与盒子的重量之和等于杆的重量。

因此，反作用力与盒子的重量之间的关系可表示为： F反作用力 + Mg = mg ，其中F反作用力为反作用力，M 为盒子的质量，g为重力加速度。

2. 题目：一辆质量为m的小车在水平地面上以速度v做匀速直线运动，小车上的一个物体质量为M。

求物体对小车的反作用力。

解答：根据牛顿第三定律，物体对小车的反作用力与小车对物体的反作用力大小相等，方向相反。

因此，物体对小车的反作用力
的大小可表示为： F反作用力 = -Mv ，其中M为物体的质量，v为速度。

以上是一些电气工程力学习题的例题和解答。

希望能对你有帮助。

工程力学考试题及答案解析

工程力学考试题及答案解析一选择题（4分×10=40分）1. 如图所示的体系的几何组成为：（A）常变体系；（B）瞬变体系；（C）无多余约束几何不变体系；（D）有多余约束的几何不变体系2. 如图所示的体系的多余约束个数为：（A）4（B）5 （C）6 （D）73. 加减平衡力系，公理适用于：（A）刚体（B）变形体（C）连续体（D）任何物体4. 梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为：（A）Q图有突变，M图无变化（B）Q图有突变，M图有转折（C）M图有突变，Q图无变化（D）M图有突变，Q图有转折5. 如图所示的两跨静定梁，对于Q和M图有如下结论：（A）两者的M图和Q图都相同；（B）两者的M图相同，Q图不同；（C）两者的M图不同，Q图相同；（D）两者的M图和Q图均不相同6. 如图所示的结构1杆的轴力一定为：（A）0 （B）2P（拉力）（C）2P（压力）（D）P（拉力）7. 如图所示结构K截面的弯矩（下侧受拉取正）为：（A）0 （B）M （C）2M （D）—M8. 一三铰拱有均布铅垂荷载，受力图如图示，试判断其是否正确：（A）正确，无水平荷载，A、B处反力应无水平分量（B）错误，受力图中未画出铰链C的反力（C）错误，AC和BC构件均为二力构件，A、B反力应有水平分量（D）错误，A、B处有水平分力，受力图中未画出AB9. 请选择正确结论：图形对其对称轴的：（A）静矩为零，惯性矩不为零，惯性积为零（B）静矩不为零，惯性矩和惯性积均为零（C）静矩、惯性矩及惯性积均为零（D）静矩、惯性矩及惯性积均不为零10. 如图所示的桁架结构，零杆的个数为：aaP1（A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）7二求图示悬臂梁最大正应力和最大剪应力，要求写明步骤（10分）10kN40kNC AB Dd =200mm三绘制刚架弯矩图，要求写明简要步骤（10分×2=20分）（1）（2）q qq qqll四如图所示结构为预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算图。

工程力学(例题)

1.如图2-4所示为一曲柄摇杆机构。

机构中各构件自重不计，圆轮上的销子A 在摇杆BC 的光滑导槽内，圆轮上作用一力偶，其力偶矩大小为M 1=2kN·m，OA ＝r ＝0.5m 。

在图示位置时OA 与OB 相互垂直，α=30°，且系统处于平衡状态。

求作用于在摇杆BC 上的力偶矩M 2及铰链O 、B 处的约束力。

解（1）取圆轮为研究对象，画受力图如图2-4b 所示。

A 点的约束力FA 与摇杆的导槽垂直，根据力偶只能用力偶平衡的性质，铰链O 处的约束力FO 必定与FA 形成一个力偶，其转向与M 1转向相反，由此可以确定FA 指向如图2-4b 所示。

ΣMi =0 M 1-FAr sin α=0（2）取摇杆BC 为研究对象，画受力图如图2-4c 所示。

F'A (与FA 互为作用力与反作用力)和FB 形成一力偶，且与M 2平衡。

解之得 M 2=4 M 1=8 kN·m 由此求得2.在图4-8a 所示的杆件中，已知F 1=20kN ，F 2=50kN ，AB 段的直径d 1=20mm ，BC 段的直径d 2=30mm ，试计算各段杆件横截面上的正应力。

解（1）采用轴力图的简易画法，从左至右作图，可以在不求出固定端约束力和情况下，直接根据外力情况画出轴力图。

（2）确定各横截面的轴力F N 。

采用轴力图的简易画法直接画出轴力图如图解得1sin 30A M F r =ΣM i =020sin ArM F α-+=18kNsin 30O A B M F F F r ====4-8b 所示。

从轴力图上可以看出，各横截面的轴力分别为F N1=20kN ，F N2=－30kN 。

（3）计算各横截面上的正应力。

由式（4-3），AB 段横截面上的正应力为BC 段横截面上的正应力为3.如图4-14a 所示，杆件受轴向载荷作用。

已知：F 1＝30kN ，F 2＝10kN ，AC 段横截面面积A 1＝500mm2，CD 段横截面面积A 2＝200mm2，材料的弹性模量E ＝200GPa试计算各段杆件横截面上的应力和杆的总变形Δl 。

工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解

得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI

工程力学课后习题答案解析

《工程力学》复习资料1．画出（各部分）的受力图（1）（2）（3）2．力F作用在边长为L正立方体的对角线上。

设Oxy平面与立方体的底面ABCD 相平行，两者之间的距离为h，试求力F对O点的矩的矢量表达式。

解：依题意可得：ϕθcos cos ⋅⋅=F F xϕθsin cos ⋅⋅=F F y θsin ⋅=F F z 其中33sin =θ 36cos =θ 45=ϕ 点坐标为：()h l l ,, 则()3)()(3333333j i h l F k F j F i F F M +⋅+=-+-= 3．如图所示力系由F 1，F 2，F 3，F 4和F 5组成，其作用线分别沿六面体棱边。

已知：的F 1=F 3=F 4=F 5=5kN, F 2=10 kN ，OA=OC/2=1.2m 。

试求力系的简化结果。

解：各力向O 点简化 0.0.0.523143=-==-==+-=C O F A O F M C B F A O F M C O F C O F M Z Y X 即主矩的三个分量 kN F F Rx 55==kN F F Ry 102==kN F F F F RZ 5431=+-=即主矢量为: k j i 5105++合力的作用线方程 Z y X ==24．多跨梁如图所示。

已知：q=5kN ，L=2m 。

试求A 、B 、D 处的约束力。

取CD 段0=∑ci M 0212=-⋅ql l F D 解得 kN F D 5=取整体来研究，0=∑iy F02=+⋅-+D B Ay F l q F F 0=∑ix F 0=Ax F0=∑iAM 032=⋅+⋅-⋅l F l ql l F D B 联合以上各式，解得 kN F F Ay A 10-== kN F B 25=5．多跨梁如图所示。

已知：q=5kN ，L=2m ，ψ=30°。

试求A 、C 处的约束力。

（5+5=10分）取BC 段0=∑iy F0cos 2=⋅+⋅-ϕC B F l q F 0=∑ix F 0sin =⋅-ϕC Bx F F0=∑icM 022=⋅⋅+⋅-l l q l F By联合以上各式，解得 kN F Bx 77.5= kN F By 10= kN F C 574.11=取整体研究0=∑ix F0sin =⋅-ϕC Ax F F 0=∑iy F 0cos 2=⋅+⋅-ϕC Ay F l q F0=∑iAM 04cos 32=⋅⋅+⋅⋅-l F l l q M C A ϕ 联合以上各式，解得 kN F Ax 774.5= kN F Ay 10= m kN M A ⋅=406．如图无底的圆柱形容器空筒放在光滑的固定地面上，内放两个重球。

平面任意力系平衡方程的基本形式例题分析

《工程力学》课程习题-例题分析学习项目二（平面任意力系的合成与平衡）平面任意力系平衡方程的基本形式1、起重设备重G1=10kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂钩上挂一重为G2=40k N的重物，如图所示。

起重机的重心C到转动轴的距离为，其它尺寸如图所示。

求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。

解：以起重机为研究对象，它所受的主动力有G1和G2。

由于对称性，约束反力和主动力都在同一平面内。

止推轴承A处有两个约束反力F Ax、F Ay，轴承B处只有一个与转轴垂直的约束反力F B，约束反力方向如图所示。

上述力形成平面一般力系，取坐标系如图所示，列平衡方程，即∑F x=0 F Ax＋F B =0∑F y=0 F Ay－G1－G2=0∑M A（F i）=0 －F B×5－G1×－G2×=0联立以上方程，得F Ay=G1＋G2=50 kNF B =－－=－31kNF Ax =－F B =31kNF B 为负值，说明其方向与假设的方向相反，即应指向左。

2、防洪用弧形闸门有对称的两个支架和铰链支座。

已知闸门重G =1100kN ，静水总压力2P 2G B V A (F i )=0 B V ×2G×=0得 V B = kN 取x 、y 轴方向如图b ，列投影方程由∑F x =0 05531sin 25531sin 21='︒-'︒+-G V R P B得 R 1=由∑F y =0 05531c 25531cos 2='︒-'︒+os G V R B得R2=反力的方向如图b所示。

工程力学受力分析

受力分析一、例题1、在图1－22(a)所示的平面系统中，匀质圆盘A重G1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C和柔绳维持在仰角是α的光滑斜面上，绳的一端挂着重G2的物块B。

试分析圆盘A 和滑轮C的受力情况，并分别画出平衡时两物体的量力图。

解：(1)取圆盘为研究对象，画出其简图。

(2)在其简图上画出主动力。

(3)画约束力。

圆盘A和滑轮C的受力图分别为图1－22(b)和图1－22(c)，由于满足三力平衡汇交定理条件，两受力图都可画为三力汇交形式，图1－22(d)为滑轮C三力汇交形式的受力图。

2、简易支架的结构如图1－23(a)所示，图中A、B、C三点为铰链连接。

悬挂物的重量为G，横梁AD和斜杆BC的重量不计。

试分别画出横梁AD和斜杆BC的受力图。

解：(1)先取斜杆BC(二力杆)为研究对象，假设为受拉杆，画受力图见图1－23(b)。

(2)再取横梁AD为研究对象，根据固定铰支座和柔绳约束，画受力图如图1－23(c)所示，注意B点处反作用力方向不能重新假定，要与图1－23(b)中FB方向相反。

3、如图1－24(a)所示的三铰拱桥，由左右两拱桥铰接而成。

设各拱桥的自重不计，在左拱上作用有载荷F，试分别画出左拱和右拱的受力图。

解：(1)先取右拱(二力杆)为研究对象，假设为受压，画受力图[见图1－24(c)]。

(2)取左拱为研究对象，受力图见图1－24(b)。

4、如图1－25(a)所示，梯子的两部分AB和AC在A点铰接，又在D、E两点用水平绳连接。

梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点处作用一铅直载荷F。

试分别画出梯子的AB、AC部分以及整个系统的受力图。

解：分别取梯子的AB、AC部分以及整个系统为研究对象，画分离体的受力图，如图1－25(b)、(c)、(d)所示。

注意：梯子整体的受力图中不要画AB与AC之间的相互作用力，因为对梯子整体来说这是内力。

由于内力成对出现，对梯子整体来说是平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。

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Φ F 由 ( x ) D ,E ,G 2 , 得到
(Φ )8,9 ,10 (Φ ) 3, 4 ,3 Fh.
第五章
用差分法和变分法解平面问题
⑷ 对内结点1、2、3、4分别列出下列类型
的方程：
0点： 20Φ 0 8Φ1, 2,3, 4 2Φ 5,6, 7 ,8 Φ 9,10,11,12 0. 对结点1， 20Φ1 16Φ2 8Φ3 16Φ4 2 Fh, 对结点2， 8Φ1 22Φ2 16Φ3 4Φ4 4 Fh,
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题7 图中所示的薄板，厚度 1，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中 0。取 a b，
第五章
用差分法和变分法解平面问题
y
q
b
a a
x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：在瑞利-里茨法中，设定位移试函数应满足位移边界条件，并应反映图示问题的对称性。取
例题
(a) AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生张开。这是不稳定的平衡状态；
(b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而 (a)、(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势题
(c )
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
从式⑶可见，在平面应变情况下，形变势能 U 中的第一、二、三项均大于平面应
1 μ 2 γ xy 不变。因力情况下的值，而第四项 2
此，平面应变的形变势能 U大于平面应力的形变势能U 。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题5 图中表示一板块，受到铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB 时，试说明板的形变势能将发生什么变化？
Φ B ( y B y ) fx d s ( x x B ) fy d s ,
A A
B
B
（其中 ΦB 即AB之间面力对B点的力矩，图中以顺时针方向为正）。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
求出边界上各结点的值，如下图所示。结点 A B CDEGH I
Φ y Φ x

对于平面应变情况，只需将上式中， E 变换为 μ E μ .(b) E , 1 μ 1 μ2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
2
例题
2
1 E E E 1 ( )( )[ ]( )[ ], 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2
a
b
22
22
20
17
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：对a,b列出方程如下：
4Ta 32 35 22 Tb 0,
4Tb Ta 30 20 22 0.
解出
Ta 28.53,
Tb 25.13(度） .
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题2 用差分法计算图中A和B点的应力分量。 F
u A1u1 A1 ( x a ) xy,
2 2
2 2
由于体力 f x f y 0 ，面力只存在于AB边（ y b ），因此求解 A1, B1 的位移变分方程为：
a
6
B
3 a 1
F x
a
a
A 5 .7y
（Z向厚度） 1
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：为反映对称性，取A为基点。令
Φ Φ Φ A ( ) A ( ) A 0. x y
边界点的应力函数值： Φ2 Φ3 Φ4 ΦB 0.
Φ Φ 边界点的导数值： ( )3 0, ( ) B F . x y
11 H 10 9 8 G E D C I 3 4 3 B
F
12 J 2 1 2 A 3 4 3 h h h h
x
F
7 6
y
h=l/4 1
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：⑴本题具有的两个对称轴，为了反映对称性，在 y 向外荷载作用下，取
Φ Φ ΦA ( ) A ( ) A 0 x y
1 6 qa A1 B1 . 5 5 E
由此解出位移分量的解答是 2 qa x xy u 1.3125 (1 2 ) 2 , E a a 2 qa x v 1.4625 (1 2 ). E a
qa qa , B1 1.4625 . A1 1.3125 E E
u ( x a ) xy[ A1 A2 y A3 x ],
2 2 2
v ( x a ) y[ B1 B2 y B3 x ].
2 2 2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。仅取各一项进行运算，
J
0
0
0
0 F/2 -Fh/2 F/2 -Fh
0
0
0
0
F/2 -Fh/2
Φ
读者可检验，上述的值反映了边界结点和边界外一行虚结点上 Φ 值的对称性。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
⑶ 计算边界外一行结点的 Φ 值。
Φ 由 ( ) A, B , I , J 0, 得到 y (Φ ) 6 , 7 ,11,12 (Φ ) 2 , 3, 3, 2 ,
C D
A
l
B
E
F
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
解： ⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于 0。而形变势能是正定的，U 0 ，当这部应力 0 时，相应的形变势能也失去因此，板的总的形变势能减少。 ⑵ 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：
第五章
用差分法和变分法解平面问题
第五章
⑸按照应力公式 (σ x ) 0 1 (Φ 2Φ ), 2
h 1 (σ y ) 0 2 (Φ1, 3 2Φ0 ), h
2, 4 0
用差分法和变分法解平面问题
及 h l ，求得AJ及EI截面上的应力分量： 4
F (σ x ) J 1.4984 , l F F (σ x ) 2 0.4424 , (σ x )1 0.6136 ; l l F (σ y ) E 0.1648 , l F F (σ y ) 4 0.8912 , (σ y )1 2.0528 . l l
例题
例题6 单位厚度 ( 1) 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。（取 a b ， y 0 . 2 并设）。
b u v
b a
o
a
q
q
x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于y轴，而反对称于x轴。因此，位移分量u应为 x 、 y 的奇函数，而v为 x 、y 的偶函数，如图所示。可以设定位移试函数如下：
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
再积分求 U ， a b
0 0
8 a 2 2E 4 b 2 1 4 b 2 8 A1 B1 A1 ]}. { A1 [ B 1 2 15 7 15 b 1 15 a 2 3a
U 4 U1dxdy
在本题中体力 f x f y 0 ，在 y b边界上只有 f y q的均布荷载，f x 0 。由此，瑞利-里茨方程成为
x xy 2 2 u (1 2 ) [ A1 A2 x A3 y ], a ab
x 2 2 v (1 2 )[ B1 B2 x B3 y ]. a
2
2
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
上式已满足两端的约束边界条件，
x a,
(u, v) 0,
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
例题1 例题3 例题5 例题7
例题2 例题4 例题6
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题1
40
35
30
25
设图中的矩形域 32 为 6m 4m ，取网格间距为h=2m,布置网格如图，各边 24 界点的已知温度值（度）如图所示，试求内结点a,b的稳定温度值。
以及对称和反对称性条件。以下按瑞利里茨法进行计算。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
例题
假设只取u，v中一项，即
2 x x xy v B1v1 B1 (1 2 ). u A1u1 A1 (1 2 ) , a a ab 将u和v代入形变势能公式（平面应力问
2
题），得：
2 2 4 E y x x 2 U1 { A (1 6 2 9 4 ) 1 2 2 2 2(1 ) ab a a 2 2 4 2 2 x x 1 2 x x x 2 x [4 B1 4 4 A1 B1 3 (1 2 ) A1 2 2 (1 2 2 4 )]}. 2 a ab a ab a a
网格结点编号如图所示。
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用差分法和变分法解平面问题
Φ Φ ⑵ 计算各边界结点处的 Φ 、、值。
F 在A点及J点，各取布置于两侧，以 2
x
y
反映荷载的对称性，按公式
B B Φ Φ ( ) B f x d s ,( ) B fy d s , A A y x
显然，方括号内